新高考数学二轮复习易错题专练易错点06 解三角形（含解析）

易错点06 解三角形

易错题【01】忽略隐含条件

本易错点主要包含：(1)解三角形忽略内角和为忽略每一个内角都在上；(2)解三角形忽略两边之和大于第3边；(3)忽略大边对大角.

易错题【02】对锐角三角形理解不到位

涉及锐角三角形一定要注意每一个角都在，且任意两内角之和都大于，由余弦定理可得，，.

易错题【03】解三角形增解或漏解

本易错点主要包含：

(1)已知两边及其中一边的对角解三角形时,注意要对解的情况进行讨论,讨论的根据一是所求的正弦值是否合理,当正弦值小于等于1时,还应判断各角之和与180°的关系；二是两边的大小关系．

(2)两边同时除以一个三角函数式，忽略判断该三角函数式是否可以为零，导致漏解.

 01

在中,,则的大小为(  )

A.   B.   C.   D.

【警示】平方相加,得,即,忽略隐含条件得出的错误结论

【答案】A

【问诊】因为 ,,故选A.

【叮嘱】解三角形一定要注意三角形的几何性质

1. (2022届福建省大田县高三上学期期中)在中，角所对的边分别是，已知，则(    )

A． B． C．或 D．或

【答案】B

【解析】由正弦定理可得，则.因为，所以，则.故选B.

2. (2022届湖北省新高考9 N联盟部分重点中学2高三上学期联考)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则以下结论错误的是(    )

A． B．若，则△ABC为钝角三角形

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【解析】对于A选项， ，故正确；对于B选项，，当角为钝角的时候，则，故正确；

对于C选项，若，则或，故错误；对于D选项，若，则，所以，则，故正确.故选C

 02

在锐角ABC中,若C=2B,则的范围是(    )

A．(0,2)    B.     C.      D.

【警示】忽略根据每个角都是锐角确定角B范围，是本题出错主要原因

【答案】C

【问诊】 ,因为△ABC为锐角三角形,所以, 故 ,故选C.

【叮嘱】锐角三角形中每个角都是锐角，且任意两个角的和为钝角.

1.(2019全国卷3理T18)的内角、、的对边分别为，，．已知．

(1)求；

(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．

【解析】(1)，即为，

可得，

，

，

若，可得，不成立，

，

由，可得；

(2)若为锐角三角形，且，

由余弦定理可得，

由三角形为锐角三角形，可得且，

解得，

可得面积，．

2. (2022届陕西省西安市高三上学期月考)在锐角中，角所对的边分别是，且．

(1)求角的大小；

(2)求的取值范围．

【解析】(1)，

由正弦定理得，

所以，，

，所以，又，所以；

(2)三角形为锐角三角形，所以，，即．

，

，则，，

所以．即的范围是．

 03

在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c且a＝1,c＝.

(1)若C＝,求A；

(2)若A＝,求b,c.

【警示】在用正弦定理解三角形时,易出现漏解或多解的错误,如第(1)问中没有考虑c边比a边大,在求得sin A＝＝后,得出角A＝或；在第(2)问中又因为没有考虑角C有两解,由sin C＝＝,只得出角C＝,所以角B＝,解得b＝2.这样就出现漏解的错误．

【答案】　(1)由正弦定理得＝,即sin A＝＝.

又a<c,∴A<C,∴0<A<,∴A＝.

(2)由＝,得sin C＝＝＝,∴C＝或.

当C＝时,B＝,∴b＝2；当C＝时,B＝,∴b＝1.

综上所述,b＝2或b＝1.

【叮嘱】已知两边及其中一边的对角解三角形时,注意要对解的情况进行讨论,讨论的根据一是所求的正弦值是否合理,当正弦值小于等于1时,还应判断各角之和与180°的关系；二是两边的大小关系．

1.(2021届新高考1卷T19)记的内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，．

(1)证明：；

(2)若，求．

【解析】(1)解法一：证明：由正弦定理知，，

，，

，，即，

．；

(2)由(1)知，

，，，

在中，由余弦定理知，，

在中，由余弦定理知，，

，

，即，得，

，，或，

在中，由余弦定理知，，

当时，(舍；当时，；

综上所述，．

2.(2018届全国卷1T16)的内角，，的对边分别为，，．已知，，则的面积为　　．

【答案】

【解析】的内角，，的对边分别为，，，，

利用正弦定文可得，由于，，

所以，所以，则，由于，则：

，

①当时，，解得，所以．

②当时，，解得(不合题意)，舍去．

故．

错

1．在中，，，，则等于(    )

A．或 B．或 C． D．

【答案】A

【解析】由正弦定理知，∴，

∵，，∴或.故选A.

2．(2022届北京市第十五中学高三上学期期中)在中，若，则边a的大小为(    )

A． B． C． D．或

【答案】D

【解析】因为，所以由余弦定理可得，即，解得或，当或时，均能构成三角形，故选D

3．△ABC中，已知下列条件：①；②，，；③，，；④，，．其中满足上述条件的三角形有两解的是(    )

A．①④ B．①②

C．①②③ D．③④

【答案】B

【解析】①，且，所以三角形有两解；

②，且，所以三角形有两解；

③，所以三角形有一解；

④，，，则，则，所以三角形无解.

所以满足上述条件的三角形有两解的是①②.故选B

4．(2022届福建省部分名校高三11月联合测评)在中，内角，，所对的边分别为，，，则“”是“是等腰三角形”的(    )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】在中，由结合余弦定理得：，整理得：

，即，则或，为等腰三角形或直角三角形，

即“”不能推出“是等腰三角形”，而为等腰三角形，不能确定哪两条边相等，不能保证有成立，

所以“”是“是等腰三角形”的既不充分也不必要条件.故选D

5．在锐角中，角的对边分别为，若则的取值范围为(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】在中，由及正弦定理得：

，，

于是得

因为为锐角三角形，则有，即，解得，有，则，

所以的取值范围为．故选A

6．(多选)(2022届湖北省十一校高三上学期联考)三角形 中， 角 的对边分别为 ， 下列条件能判断 是钝角三角形的有 (    )

A． B．

C． D．

【答案】BC

【解析】A：由可知，且，所以是锐角，故A不能判断；

B：由,得，则为钝角，故B能判断；

C：由正弦定理，得，则，，故C能判断；

D：由正弦定理，条件等价于=，

则，即，故，则，故D不能判断.

故选BC

7．(2022届黑龙江省哈尔滨高三上学期期中)在中，内角的对边分别为，，，，则角_________．

【答案】

【解析】因为，，，

根据正弦定理可得：，

解得：，则或；

因为，故可得，则；

故.

8．(2022届河北省石家庄市高三上学期质量检测)已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，则___________.

【答案】

【解析】由正弦定理可得，

故，

故，

整理得到，

而，故，所以，

故，解得或，

若，则，故同为钝角，这与矛盾，

故.

9．在锐角 中， 角 的对边分别为，已知 ．

(1)求证：．

(2)若，求的取值范围．

【解析】(1)因为，由正弦定理得，

因为=，

所以，则或，

即或(舍去)，故.

(2)因为是锐角三角形，所以，解得，

所以，

由正弦定理可得：，则，

所以.

10．(2022届江苏省盐城市高三上学期期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.

(1)求证：存在，使得；

(2)求面积S的最大值.

【解析】(1)证明：由，可得：

由正弦定理得：

所以

所以

即

所以或者

即或者

当时，符合题意

此时令，得：

所以存在，使得

(2)

解：由(1)知或者，，

①当时，

对求导得：

因为，所以在三角形中，，且

令得：

在时，

在时，

所以是，取得极小值，此时无最大值

②当时，

当时，，取得最大值.

所以面积的最大值为.