新高考数学二轮复习易错题专练易错点08 数列（含解析）

易错点08 数列

易错题【01】利用关系求忽略

已知数列{an}的前n项和Sn,求通项an与Sn的关系中,an＝Sn－Sn－1,成立的条件是n≥2,求出的an中不一定包括a1,而a1应由a1＝S1求出,然后再检验a1是否在an中,这是一个典型的易错点．

易错题【02】利用等比数列求和忽略的情况

注意等比数列的求和公式是分段表示的：，所以在利用等比数列求和公式求和时要先判断公比是否可能为1，,若公比未知,则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论.

易错题【03】裂项求和剩余项出错

用裂项相消法求和时,裂项后可以产生连续相互抵消的项，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项，一般来说前面剩余几项后面也剩余几项，若前面剩余的正数项，则后面剩余的是负数项．

易错题【04】混淆数列与函数的区别

数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时有时可以利用函数的性质，但是在利用函数单调性求解数列问题,要注意的取值不是连续实数，忽略这一点很容易出错。

 01

(2021年高考全国乙卷理科)记为数列的前n项和，为数列的前n项积，

已知．

(1)证明：数列是等差数列;

(2)求的通项公式．

【警示】本题易错之处是在由求时忽略对的讨论

【答案】(1)证明见解析；(2)．

【问诊】(1)由已知得,且，,

取,由得,由于为数列的前n项积，

所以,

所以，所以,

由于所以，即,其中

所以数列是以为首项，以为公差等差数列;

(2)由(1)可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，

,,

当n=1时，(易错之处),

当n≥2时,,显然对于n=1不成立,

∴．

【叮嘱】。

1.(2022届安徽省六安一中、阜阳一中、合肥八中等校高三上学期联考)数列中的前n项和，数列的前n项和为，则(    ).

A．190 B．192 C．180 D．182

【答案】B

【解析】当时，；当时，，

经检验不满足上式，所以，

，则，.故选B.

2. 已知各项均为正数的数列的前项和为，其中为常数.

(1)证明：；

(2)是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出；若不存在，请说明理由.

【解析】(1)证明：因为，所以，

因为，所以，即，

可得.

又因为，可得，所以，故.

(2)由(1)知，当时，，

两式相减得，即

所以数列从第二项起成等比数列，且公比.

又由，即，所以，可得，

所以，

若数列是等比数列，则，可得，

经验证得时，数列满足，

所以当时，数列是等比数列.

 02

【例4】求数列的前n项和．

【警示】本题易错之处是忽略考虑的情况

【答案】

【问诊】当时,；

当时,由于,[

[来源:学,科,网]

两式相减得

=

.

所以

【叮嘱】利用等比数列前n项和公式求解数列问题，要注意判断公比是否可以为1

2．(2022届辽宁省大连市高三上学期期中)等比数列的前项和为，若，则(    )

A．2 B．-2 C．1 D．-1

【答案】A

【解析】设等比数列的公比为q，当时，，不合题意；当时，等比数列前项和公式，依题意.故选A

2.(2022届黑龙江省哈尔滨市高三上学期测试)已知数列是公比为的等比数列，是其前和，若恒成立，则实数的取值范围是(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】当时，，符合题意；当时，恒成立，当时，不等式变形得，，因为，此时符合题意；

当时，不等式变形得，，因为，此时符合题意；

当时，若为偶数，则不等式变形得，，即，

若该不等式恒成立，则，即，所以设，

，，

所以当时，，此时，

此时该不等式不可能恒成立；

当时，，若该不等式恒成立，只需，

解得(舍去)或，综上，；

若为奇数，不等式变形得，，满足题意；

综上所述，实数的取值范围是．

 03

【例5】求和： ________．

【警示】本题错误解法是：

=

=.

【问诊】错误原因是裂项相消后,忽略前面与后面各剩余2项．

正确解法是：=

=.

【叮嘱】裂项求和要注意相消后剩余哪些项，不熟练时可以多写几项，发现规律。

1．(2022届广东省仲元七校高三上学期11月月考)设数列的前n项和，，，成等比数列.

(1)求数列的通项；

(2)数列的前n项和为，求数列的前n项和为.

【解析】(1)，当时，，当时，

，∴，，

，由题知，

舍)或

，当n＝1时，也满足上式，；

(2)由(1)知，

∴

2. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知公差不为0的等差数列的前项和为，是与的等比中项，______．

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【解析】(1)选条件①．

设等差数列的公差为，

则依题意得，，所以，得，

所以数列的通项公式为；

选条件②．

设等差数列的公差为，

则依题意得，，所以，得，

所以数列的通项公式为．

选条件③．

因为是与的等比中项，所以，

由，可得，

设等差数列的公差为，

则依题意得，，所以，得，

所以数列的通项公式为．

(2)

由(1)可得．

因为，所以，

.

 04

已知,若数列是递增数列,则的取值范围是　　　.

【警示】本题易错之处是忽略正整数的不连续性，误用由二次函数的单调性，得出,即的错误结论。

【问诊】因为数列是递增数列,所以,

所以.

【叮嘱】求解数列问题可以利用函数性质，但要注意n是不连续的.

1．(2022届山东省枣庄市滕州市高三上学期期中)已知数列，，则下列说法正确的是(    )

A．此数列没有最大项 B．此数列的最大项是

C．此数列没有最小项 D．此数列的最小项是

【答案】B

【解析】令，则，当时，，当时，，由双勾函数的知识可得在上单调递增，在上单调递减所以当即时，取得最大值，所以此数列的最大项是，最小项为，故选B．

2. (2022届黑龙江省实验中学高三上学期月考)已知数列的前项和为，，数列满足，．

(1)求数列和的通项公式；

(2)设数列的前项和为，若不等式恒成立，求实数的取值范围．

【解析】(1)∵∴当时，，

当时，由，得，即，数列是公差为2的等差数列，

由条件得，即数列是公比为2的等比数列，

；

(2)∵，则，

，

，

，恒成立，

则恒成立，

令，则，

，

，

，

故实数的取值范围是﹒

错

1．(2022届江苏省徐州市高三上学期期中)已知等比数列的前项和，数列的前项和为，若数列是等差数列，则非零实数的值是(    )

A． B． C．3 D．4

【答案】C

【解析】因为等比数列的前项和，则当时，，则，解得，

则，即是以为首项，为公比的等比数列，

则，因为是等差数列，则通项公式不能出现次方项，所以，解得.故选C.

2．(2022届黑龙江省哈尔滨市高三上学期期中)数列的前项和为，若，，则(    )

A．数列是公比为2的等比数列 B．

C．既无最大值也无最小值 D．

【答案】D

【解析】由题意，时，，又，解得：，

时，，则，又，

所以数列从第2项起是公比为2的等比数列.A错误；

易得，，则，B错误；

时，，时，，而是递减数列，所以时，.综上：有最大值1.C错误；

时，，满足题意；时，，于是，.D正确.故选D.

3．(多选题)()若是公比为的等比数列，记为的前项和，则下列说法正确的是(    )

A．若，则为递减数列

B．若，则为递增数列

C．若，则

D．若，则是等比数列

【答案】ABD

【解析】在等比数列中，，

当时，显然有，故数列为递减数列，故A正确；

当，显然有，故为递增数列，故B正确；

若等比数列满足，则则，故C不正确；

设等比数列的公比为，若，则，所以是等比数列，公比为，故D正确；故选ABD．

4．(多选题)(2022届江苏省新高考基地学校高三上学期联考)设数列的前n项和为，若与的等差中项为常数t()，则(    )

A．数列是等比数列 B．

C．数列是递增数列 D．当且仅当t<0时，数列{(n+1)}是递增数列

【答案】ABD

【解析】与的等差中项为常数t()，，即，①

，② ①②可得，

即，当时，，解得，A，是以为首项，公比为的等比数列，故A正确；B，，则，故B正确；

C，，即，当时，数列是递减数列，故C错误；

D，令，，当且仅当，则，即，当且仅当t<0时，数列{(n+1)}是递增数列，故D正确.故选ABD

5．(多选题)数列{an}的前n项和为Sn，，则有(    )

A．Sn＝3n－1 B．{Sn}为等比数列

C．an＝2·3n－1 D．

【答案】ABD

【解析】依题意，当时，，

当时，，，所以，

所以，所以.

当时，；当时，符合上式，所以.

，所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以ABD选项正确，C选项错误.故选ABD

6．(多选题)(2022届山东省聊城市高三上学期期中)已知等差数列的公差为d，前n项和为，若，则下列说法中正确的有(    )

A．当时，

B．当时，取得最大值

C．当时，

D．当时，

【答案】AC

【解析】因为，所以，即，即，所以，

所以，故A正确；

当时，，故C正确；

，当时时，取得最小值，当时，时，取得最大值，故B错误；

，，当时，，故D错误；故选AC

7．(2022届上海市建平中学高三上学期月考)已知，满足对于任意的，都有，设，若对于任意的，，都有成立，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】∵对于任意的，都有，∴函数的对称轴为，∴，∴

,

对于任意的，，都有成立，

∴,解得，

即实数的取值范围是

8.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，∀n∈N*,2Sn＝a＋an.令bn＝，设{bn}的前n项和为Tn，则在T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数为________．

【答案】9

【解析】∵2Sn＝a＋an，①

∴2Sn＋1＝a＋an＋1，②

②－①，得2an＋1＝a＋an＋1－a－an，

a－a－an＋1－an＝0，(an＋1＋an)(an＋1－an－1)＝0.

又∵{an}为正项数列，∴an＋1－an－1＝0，

即an＋1－an＝1.

在2Sn＝a＋an中，令n＝1，可得a1＝1.

∴数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列．

∴an＝n，

∴bn＝

＝

＝＝－，

∴Tn＝1－＋－＋…＋－＋－＝1－，

要使Tn为有理数，只需为有理数，

令n＋1＝t2，

∵1≤n≤100，

∴n＝3,8,15,24,35,48,63,80,99，共9个数．

∴T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数为9.

9．(2022届四川省雅安市高三学业质量监测)已知数列的前项和是，且，等差数列中，．

(1)求数列的通项公式；

(2)定义：记，求数列的前20项和．

【解析】(1)由题意，当时，．

两式相减，得，即．

是首项为3，公比为3的等比数列．

．

设数列的公差为，

．

．

(2)由．

10．已知数列的前项和为，，.

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【解析】(1)当时，，所以，

当时，由可得，

上述两式作差得，整理得，

所以是以为首项，公比为的等比数列，所以.

(2)由()知，

所以，则，

两式相减得，

所以.