安徽省滁州市定远县民族中学2022-2023学年高二数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

2022-2023学年度第一学期高二10月月考试卷

数学试题

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分)

1. 如图，如空间四边形中，，分别是，的中点，（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用空间向量运算法则进行计算.

【详解】.

故选：B

2. 已知A，B，C，D，E是空间中的五个点，其中点A，B，C不共线，则“存在实数x，y，使得是“平面ABC”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】利用存在实数x，y，使得平面ABC或平面ABC，结合充分必要条件的定义即可求解.

【详解】若平面ABC，则共面，故存在实数x，y，使得，所以必要性成立；

若存在实数x，y，使得，则共面，则平面ABC或平面ABC，所以充分性不成立；

所以 “存在实数x，y，使得是“平面ABC”的必要不充分条件，

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量共面的问题，理清存在实数x，y，使得平面ABC或平面ABC是解题的关键，属于基础题.

3. 已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（    ）

A. 1 B. 2 C. -1 D. -2

【答案】D

【解析】

【分析】在四面体中，取定一组基底向量，表示出，，再借助空间向量数量积计算作答.

【详解】四面体的所有棱长均为2，则向量不共面，两两夹角都为，

则，

因点E，F分别为棱AB，CD的中点，则，，

，

所以.

故选：D

4. 已知空间向量，，，，且与垂直，则与的夹角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知可得，根据数量积的运算律即可求出，进而求出结果.

【详解】因为与垂直，所以，

即，

所以.

又，所以.

故选：D

5. 在长方体中，若，则向量在基底下的坐标是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】结合图形，利用空间向量加法运算的几何表示与基本定理即可得解.

【详解】如图，长方体中，若，

则，

所以向量在基底下的坐标是．

故选：C．

6. 如图所示，在棱长为2的正四面体中，以的中心为坐标原点，为轴，为轴建立坐标系，为中点，则的坐标为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题意，得的中线长为，，，可得点的坐标，再由中点坐标公式解决即可.

【详解】由题意，得的中线长为．

所以．

所以．

所以点的坐标为．

又点的坐标为．

因为为中点，

所以点坐标为．

故选：A．

7. 已知，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出的坐标，然后由可得，再根据向量数量积的坐标运算求解即可.

【详解】因为，，所以，

因为，所以，即，解得.

故选：B

8. 已知空间向量，，若，则（    ）

A.  B.  C. 1 D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】由空间向量平行的坐标公式求出即可.

【详解】由，解得，则.

故选：A.

9. 在三棱柱中，如图所示，侧棱底面，点是的中点，是的中点，，则与所成角的余弦值是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，从而求得的坐标表示，进而利用空间向量夹角余弦的坐标表示求得所求.

【详解】因为在直三棱柱中，，

所以易得两两垂直，则以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

因为，所以，

又点分别是的中点，所以，，

故，

设与所成的角为，

则．

所以与所成角的余弦值为．

故选：B．

.

10. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ）

A.  B.  C. 或 D. 与斜交

【答案】C

【解析】

【分析】利用直线的方向向量和平面的法向量垂直来判断直线和平面的位置关系.

【详解】∵，，

∴即，

∴∥或.

故选：C.

11. 若直线l经过点，且在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率k的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】将截距范围转化为直线与线段有交点，利用斜率计算公式及其意义即可得出．

【详解】取直线与轴的交点，．

，．

直线与线段相交，

或．

故选：．

【点睛】本题考查了直线在坐标轴上截距的定义、斜率计算公式及其意义，考查了转化思想与计算能力，属于基础题．

12 如果直线与直线平行，则等于（   ）

A. 0 B.  C. 0或1 D. 0或

【答案】D

【解析】

【分析】根据直线平行的条件，列出关于的方程并解之，即可得到实数的值．

【详解】∵直线与直线平行，

∴，解之得或，

故选D.

【点睛】本题给出两条直线互相平行，求参数的值，着重考查了直线的方程与直线的位置关系等知识，属于基础题．

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知点，且过点的直线分别到点的距离相等，则直线的斜率为__________

【答案】或

【解析】

【分析】直线与点的距离相等，则直线与直线平行或直线经过的中点，可求直线斜率.

【详解】当过点的直线与直线平行时，直线与点的距离相等，所以；

当过点的直线经过的中点时，直线与点的距离相等，由的中点坐标为，，所以 .

故答案为：或．

14. 若过点的直线的倾斜角是直线倾斜角的两倍，则直线的方程为__________．

【答案】

【解析】

【分析】求出直线的倾斜角，从而得到直线的倾斜角及斜率，写出直线的方程.

【详解】设直线的倾斜角为，

则，故，

设直线的倾斜角为，则，

故直线的斜率为，

故直线的方程为，即．

故答案为：．

15. 若向量，，且与的夹角的余弦值为，则实数的值为__________

【答案】3

【解析】

【分析】由向量的夹角公式列方程求解.

【详解】向量，，

∴，

，

．

又夹角的余弦值为，

∴，

解得．

故答案为:．

16. 如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，用向量，，表示，则=_______．

【答案】

【解析】

【分析】利用空间向量的线性运算直接求解

【详解】由题意 =

故答案为：

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知．

（1）求；

（2）已知点在直线上，求的值；

（3）当为何值时，与垂直？

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据空间向量数量积的坐标运算直接求解；（2）利用空间向量共线的坐标表示求解；（3）利用空间向量垂直的坐标表示求解.

【小问1详解】

，

，

．

【小问2详解】

因为点在直线上，与共线，

则存在使得，即，

，解得；

【小问3详解】

，

与垂直,

，

，

时，与垂直．

18. 已知直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，点在线段上，满足，直线为原点的斜率为．

（1）求的值；

（2）设点与点关于轴对称，为线段的中点，求证：．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据及，坐标即可得点的坐标为，从而可得，即可得的值；

（2）根据对称可得点的坐标为，从而可得的坐标，计算，验证，即可证明结论.

【小问1详解】

解：点在线段上且满足，所以，

则，即点的坐标为．

又因为直线的斜率为，于是，

所以；

【小问2详解】

证明：点与点关于轴对称，

点的坐标为，

线段的中点的坐标为，

则，

于是，

所以．

19. 已知．

（1）若，求的值．

（2）若，且，求的值．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用向量的线性运算和向量平行的坐标运算，列方程求解.

（2）利用向量垂直的充要条件和向量模的坐标运算，列方程求解.

【小问1详解】

  ，．

， ，解得

【小问2详解】

由，得， ∴   ，

由，有，即， ，

解得

20. 如图，三棱柱中，M，N分别是上的点，且．设，，．

（1）试用，，表示向量；

（2）若，求MN的长．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解.

（2）根据空间向量的数量积以及向量模的求法即可求解.

【小问1详解】

解：

，

∴；

【小问2详解】

解：，

，

，

，

，

 即MN长为.

21. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，底面ABCD，且，M为PC的中点．

（1）求证：

（2）求AC与PD所成角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

【分析】以，，为基底，利用向量法求解.

(1)两条直线垂直可转化为两个向量垂直，利用两个非零向量数量积为零可得两向量垂直；

(2)两条直线的夹角可转化为两个向量的夹角，利用向量数量积求夹角.

【详解】(1)证明：结合图形，知，，

因为底面，所以，，

有，.

又，所以.

所以.

又，所以，.

所以.

(2)设，

因为，

所以，

，

记直线和所成角为，

则

所以直线和所成角的余弦值为.

22. 如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，设，，.

（1）若底面，试用，，表示出空间的一个单位正交基底；（无需写出过程）

（2）若是的中点，且，求线段的长.

【答案】（1）(答案不唯一)；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据单位正交基底的概念即得；

（2）由题可得，然后利用向量的数量积的定义及运算律可得模长，进而即得.

【小问1详解】

因为底面，四边形是正方形，，，

所以空间的一个单位正交基底为；

【小问2详解】

因为，

由题意知，，，，

，

所以，

即，

所以.