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【数学】安徽省滁州市定远县民族中学2018-2019学年高二12月月考（文）（解析版） 试卷
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安徽省滁州市定远县民族中学2018-2019学年
高二12月月考（文）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。请在答题卷上作答。
第I卷 选择题（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知p：∀x∈R，ax2＋2x＋3>0，如果p是真命题，那么a的取值范围是( )
A．a< B． 0
2.已知条件p：x<－3或x>1，条件q：x>a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是( )
A．a≥－1 B．a≤1
C．a≥1 D．a≤－3
3.设椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为( )
A．＋＝1 B．＋y2＝1
C．＋y2＝1 D．＋y2＝1
4.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M、N两点，O是坐标原点．若OM⊥ON，则双曲线的离心率为( )
A． B．
C． D．
5.已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，点A(，4)，则|PA|＋|PM|的最小值是( )
A． B． 4
C． D． 5
6.设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( )
7.经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则·等于( )
A． －3 B． －
C． －或－3 D． ±
8.抛物线y＝2x2上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1·x2＝－，则m等于( )
A． B． 2
C． D． 3
9.设函数g(x)＝x(x2－1)，则g(x)在区间[0,1]上的最小值为( )
A． －1 B． 0
C． － D．
10.已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是( )
A． (2，＋∞) B． (1，＋∞)
C． (－∞，－2) D． (－∞，－1)
11.已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A．[0，) B．[，)
C．(，] D．[，π)
12.已知F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，P是双曲线上一点，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是( )
A．1 B．
C．2 D．
第II卷 非选择题（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.命题“某些平行四边形是矩形”的否定是__________________________________．
14.已知f(x)＝x3＋x2f′(1)＋3xf′(－1)，则f′(1)＋f′(－1)的值为________．
15.已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．
16.过双曲线x2－＝1的左焦点F1，作倾斜角为的直线AB，其中A，B分别为直线与双曲线的交点，则|AB|的长为________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分。
17. （10分）已知p：∀x∈R,2x＞m(x2＋1)，q：∃x0∈R，＋2x0－m－1＝0，且p∧q为真，求实数m的取值范围．
18. （12分）已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△AOB的面积等于时，求k的值．
19. （12分）设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
20. （12分）已知p：x2－8x－20≤0；q：1－m2≤x≤1＋m2.
(1)若p是q的必要条件，求m的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围．
21. （12分）椭圆＋＝1(a>b>0)与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且⊥(O为坐标原点)．
(1)求证：＋等于定值；
(2)若椭圆的离心率e∈[，]，求椭圆长轴长的取值范围．
22. （12分）如图，抛物线的顶点在坐标原点，圆x2＋y2＝4x的圆心是抛物线的焦点，直线l过抛物线的焦点且斜率为2，直线l交抛物线和圆依次于A，B，C，D四点．
(1)求抛物线的方程；
(2)求|AB|＋|CD|的值．
参考答案
1. C
【解析】 p：∃x0∈R，ax＋2x0＋3≤0，
显然当a＝0时，满足题意；
当a>0时，由Δ≥0，得0
所以a的取值范围是.
2. C
【解析】 ∵p是q的充分不必要条件，
∴q是p的充分不必要条件，∴a≥1，故选C.
3. A
【解析】∵|BF2|＝|F1F2|＝2，∴a＝2c＝2，
∴a＝2，c＝1，∴b＝，∴椭圆的方程为＋＝1.
4. C
【解析】设右焦点为F(c,0)，则M(c，)，N(c，－)．又OM⊥ON，
故c2－＝0，即b2＝ac，从而c2－a2＝ac，即e2－e－1＝0，
解得e＝(负值舍去)，故选C.
5. C
【解析】设抛物线y2＝2x的焦点为F，则F(，0)，又点A(，4)在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x＝－，则|PM|＝d－，又|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5，∴|PA|＋|PM|≥.
故选C.
6. D
【解析】应用函数的单调性与其导函数的正负关系来判断导函数的图象．
7. B
【解析】不妨设l过椭圆的右焦点(1,0)，则直线l的方程为y＝x－1.
由消去y，得3x2－4x＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝0，
∴·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－1)(x2－1)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1＝－＋1＝－.
8. A
【解析】由条件得A(x1，y1)、B(x2，y2)两点连线的斜率k＝＝－1，
而y2－y1＝2(－)，①
得x2＋x1＝－，②
且(，)在直线y＝x＋m上，
即＝＋m，即y2＋y1＝x2＋x1＋2m，③
又因为A(x1，y1)、B(x2，y2)两点在抛物线y＝2x2上，
所以有2(＋)＝x2＋x1＋2m，
即2[(x2＋x1)2－2x2x1]＝x2＋x1＋2m，④
把①②代入④整理得2m＝3，解得m＝.
故选A.
9. C
【解析】g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，
解得x1＝，x2＝－(舍去)．
当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表：
所以当x＝时，
g(x)有最小值g＝－.
10. C
【解析】显然a＝0时，函数有两个不同的零点，不符合．当a≠0时，由f′(x)＝3ax2－6x＝0，得x1＝0，x2＝.当a>0时，函数f(x)在(－∞，0)，上单调递增，在上单调递减，又f(0)＝1，所以函数f(x)存在小于0的零点，不符合题意；当a<0时，函数f(x)在，(0，＋∞)上单调递减，在上单调递增，所以只需f>0，解得a<－2，所以选C.
11. D
【解析】∵y＝，∴y′＝.
令ex＋1＝t，则ex＝t－1且t>1，
∴y′＝＝－.
再令＝m，则0
容易求得－1≤y′<0，∴－1≤tanα<0，得π≤α<π.
12. A
【解析】方法一 设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，由双曲线的定义可知|d1－d2|＝4.又∠F1PF2＝90°，
于是有＋＝|F1F2|2＝20，因此，＝d1d2＝(＋－|d1－d2|2)＝1.
方法二 由－y2＝1，知|F1F2|＝2.
设P点的纵坐标为yP，由于∠F1PF2＝90°，则P在以|F1F2|为直径的圆上，即在x2＋y2＝5上．
由消去x，得|yP|＝.故△F1PF2的面积S＝|F1F2|·|yP|＝1.
13. 每一个平行四边形都不是矩形
14. －
【解析】∵f′(x)＝3x2＋2f′(1)x＋3f′(－1)，
∴
由①②得f′(－1)＝－，f′(1)＝.
∴f′(－1)＋f′(1)＝－.
15. [－4，－2]
【解析】f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝.
由题设得∈[－2，－1]，故m∈[－4，－2]．
16. 3
【解析】双曲线的左焦点为F1(－2,0)，
将直线AB方程：y＝(x＋2)代入双曲线方程，得8x2－4x－13＝0.显然Δ＞0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴|AB|＝·
＝×＝3.
17. 解 2x＞m(x2＋1)可化为mx2－2x＋m＜0.
若p：∀x∈R,2x＞m(x2＋1)为真，
则mx2－2x＋m＜0对任意的x∈R恒成立．
当m＝0时，不等式可化为－2x＜0，显然不恒成立；
当m≠0时，有∴m＜－1.
若q：∃x0∈R，＋2x0－m－1＝0为真，
则方程x2＋2x－m－1＝0有实根，
∴4＋4(m＋1)≥0，∴m≥－2.
又p∧q为真，故p、q均为真命题．
∴∴－2≤m＜－1.
18. (1)证明由方程组消去x得ky2＋y－k＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由根与系数的关系知y1y2＝－1.因为A，B在抛物线y2＝－x上，所以＝－x1，＝－x2，＝x1x2，因为kOA·kOB＝·＝＝＝－1，所以OA⊥OB.
(2)解设直线AB与x轴交于点N，显然k≠0，
所以点N的坐标为(－1,0)，因为S△OAB＝S△OAN＋S△OBN
＝|ON||y1|＋|ON||y2|＝|ON||y1－y2|，
所以S△OAB＝·1·
＝，
因为S△OAB＝，
所以＝，解得k＝±.
19. 解 (1)由7x－4y－12＝0得y＝x－3.
当x＝2时，y＝，∴f(2)＝，①
又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝，②
由①，②得解之得.
故f(x)＝x－.
(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，
由y′＝1＋知，
曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(1＋)(x－x0)，
即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．
令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－)．
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
20. 解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
即p：－2≤x≤10，
q：1－m2≤x≤1＋m2.
(1)若p是q的必要条件，则
即即m2≤3，
解得－≤m≤，
即m的取值范围是[－，]．
(2)∵p是q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件．
即(两个等号不同时成立)，
即m2≥9，解得m≥3或m≤－3.
即m的取值范围是{m|m≥3或m≤－3}．
21. 解 (1)椭圆的方程可化为b2x2＋a2y2－a2b2＝0.
由消去y，
得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0.
由Δ＝4a4－4(a2＋b2)·a2·(1－b2)>0，
得a2＋b2>1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
∵⊥，∴x1x2＋y1y2＝0，
即2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，
即－＋1＝0，
∴a2＋b2＝2a2b2，即＋＝2.
∴＋等于定值．
(2)∵e＝，∴b2＝a2－c2＝a2－a2e2.
又∵a2＋b2＝2a2b2，∴2－e2＝2a2(1－e2)，
即a2＝＝＋.
∵≤e≤，
∴≤a2≤，即≤a≤，
∴≤2a≤，即椭圆长轴长的取值范围是[，]．
22. 解 (1)由圆的方程x2＋y2＝4x，
即(x－2)2＋y2＝4可知，
圆心为(2,0)，半径为2，
又由抛物线的焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为F(2,0)，抛物线的方程为y2＝8x.
(2)|AB|＋|CD|＝|AD|－|BC|，
∵|BC|为已知圆的直径，
∴|BC|＝4，则|AB|＋|CD|＝|AD|－4.
设A(x1，y1)，D(x2，y2)，
∴|AD|＝|AF|＋|FD|＝x1＋x2＋4，
由已知可知，直线l的方程为y＝2(x－2)，
由消去y，得x2－6x＋4＝0，
∴x1＋x2＝6，∴|AD|＝6＋4＝10，因此|AB|＋|CD|＝10－4＝6.
高二12月月考（文）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。请在答题卷上作答。
第I卷 选择题（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知p：∀x∈R，ax2＋2x＋3>0，如果p是真命题，那么a的取值范围是( )
A．a< B． 0
2.已知条件p：x<－3或x>1，条件q：x>a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是( )
A．a≥－1 B．a≤1
C．a≥1 D．a≤－3
3.设椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为( )
A．＋＝1 B．＋y2＝1
C．＋y2＝1 D．＋y2＝1
4.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M、N两点，O是坐标原点．若OM⊥ON，则双曲线的离心率为( )
A． B．
C． D．
5.已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，点A(，4)，则|PA|＋|PM|的最小值是( )
A． B． 4
C． D． 5
6.设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( )
7.经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则·等于( )
A． －3 B． －
C． －或－3 D． ±
8.抛物线y＝2x2上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1·x2＝－，则m等于( )
A． B． 2
C． D． 3
9.设函数g(x)＝x(x2－1)，则g(x)在区间[0,1]上的最小值为( )
A． －1 B． 0
C． － D．
10.已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是( )
A． (2，＋∞) B． (1，＋∞)
C． (－∞，－2) D． (－∞，－1)
11.已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A．[0，) B．[，)
C．(，] D．[，π)
12.已知F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，P是双曲线上一点，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是( )
A．1 B．
C．2 D．
第II卷 非选择题（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.命题“某些平行四边形是矩形”的否定是__________________________________．
14.已知f(x)＝x3＋x2f′(1)＋3xf′(－1)，则f′(1)＋f′(－1)的值为________．
15.已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．
16.过双曲线x2－＝1的左焦点F1，作倾斜角为的直线AB，其中A，B分别为直线与双曲线的交点，则|AB|的长为________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分。
17. （10分）已知p：∀x∈R,2x＞m(x2＋1)，q：∃x0∈R，＋2x0－m－1＝0，且p∧q为真，求实数m的取值范围．
18. （12分）已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△AOB的面积等于时，求k的值．
19. （12分）设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
20. （12分）已知p：x2－8x－20≤0；q：1－m2≤x≤1＋m2.
(1)若p是q的必要条件，求m的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围．
21. （12分）椭圆＋＝1(a>b>0)与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且⊥(O为坐标原点)．
(1)求证：＋等于定值；
(2)若椭圆的离心率e∈[，]，求椭圆长轴长的取值范围．
22. （12分）如图，抛物线的顶点在坐标原点，圆x2＋y2＝4x的圆心是抛物线的焦点，直线l过抛物线的焦点且斜率为2，直线l交抛物线和圆依次于A，B，C，D四点．
(1)求抛物线的方程；
(2)求|AB|＋|CD|的值．
参考答案
1. C
【解析】 p：∃x0∈R，ax＋2x0＋3≤0，
显然当a＝0时，满足题意；
当a>0时，由Δ≥0，得0
所以a的取值范围是.
2. C
【解析】 ∵p是q的充分不必要条件，
∴q是p的充分不必要条件，∴a≥1，故选C.
3. A
【解析】∵|BF2|＝|F1F2|＝2，∴a＝2c＝2，
∴a＝2，c＝1，∴b＝，∴椭圆的方程为＋＝1.
4. C
【解析】设右焦点为F(c,0)，则M(c，)，N(c，－)．又OM⊥ON，
故c2－＝0，即b2＝ac，从而c2－a2＝ac，即e2－e－1＝0，
解得e＝(负值舍去)，故选C.
5. C
【解析】设抛物线y2＝2x的焦点为F，则F(，0)，又点A(，4)在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x＝－，则|PM|＝d－，又|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5，∴|PA|＋|PM|≥.
故选C.
6. D
【解析】应用函数的单调性与其导函数的正负关系来判断导函数的图象．
7. B
【解析】不妨设l过椭圆的右焦点(1,0)，则直线l的方程为y＝x－1.
由消去y，得3x2－4x＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝0，
∴·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－1)(x2－1)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1＝－＋1＝－.
8. A
【解析】由条件得A(x1，y1)、B(x2，y2)两点连线的斜率k＝＝－1，
而y2－y1＝2(－)，①
得x2＋x1＝－，②
且(，)在直线y＝x＋m上，
即＝＋m，即y2＋y1＝x2＋x1＋2m，③
又因为A(x1，y1)、B(x2，y2)两点在抛物线y＝2x2上，
所以有2(＋)＝x2＋x1＋2m，
即2[(x2＋x1)2－2x2x1]＝x2＋x1＋2m，④
把①②代入④整理得2m＝3，解得m＝.
故选A.
9. C
【解析】g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，
解得x1＝，x2＝－(舍去)．
当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表：
所以当x＝时，
g(x)有最小值g＝－.
10. C
【解析】显然a＝0时，函数有两个不同的零点，不符合．当a≠0时，由f′(x)＝3ax2－6x＝0，得x1＝0，x2＝.当a>0时，函数f(x)在(－∞，0)，上单调递增，在上单调递减，又f(0)＝1，所以函数f(x)存在小于0的零点，不符合题意；当a<0时，函数f(x)在，(0，＋∞)上单调递减，在上单调递增，所以只需f>0，解得a<－2，所以选C.
11. D
【解析】∵y＝，∴y′＝.
令ex＋1＝t，则ex＝t－1且t>1，
∴y′＝＝－.
再令＝m，则0
容易求得－1≤y′<0，∴－1≤tanα<0，得π≤α<π.
12. A
【解析】方法一 设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，由双曲线的定义可知|d1－d2|＝4.又∠F1PF2＝90°，
于是有＋＝|F1F2|2＝20，因此，＝d1d2＝(＋－|d1－d2|2)＝1.
方法二 由－y2＝1，知|F1F2|＝2.
设P点的纵坐标为yP，由于∠F1PF2＝90°，则P在以|F1F2|为直径的圆上，即在x2＋y2＝5上．
由消去x，得|yP|＝.故△F1PF2的面积S＝|F1F2|·|yP|＝1.
13. 每一个平行四边形都不是矩形
14. －
【解析】∵f′(x)＝3x2＋2f′(1)x＋3f′(－1)，
∴
由①②得f′(－1)＝－，f′(1)＝.
∴f′(－1)＋f′(1)＝－.
15. [－4，－2]
【解析】f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝.
由题设得∈[－2，－1]，故m∈[－4，－2]．
16. 3
【解析】双曲线的左焦点为F1(－2,0)，
将直线AB方程：y＝(x＋2)代入双曲线方程，得8x2－4x－13＝0.显然Δ＞0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴|AB|＝·
＝×＝3.
17. 解 2x＞m(x2＋1)可化为mx2－2x＋m＜0.
若p：∀x∈R,2x＞m(x2＋1)为真，
则mx2－2x＋m＜0对任意的x∈R恒成立．
当m＝0时，不等式可化为－2x＜0，显然不恒成立；
当m≠0时，有∴m＜－1.
若q：∃x0∈R，＋2x0－m－1＝0为真，
则方程x2＋2x－m－1＝0有实根，
∴4＋4(m＋1)≥0，∴m≥－2.
又p∧q为真，故p、q均为真命题．
∴∴－2≤m＜－1.
18. (1)证明由方程组消去x得ky2＋y－k＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由根与系数的关系知y1y2＝－1.因为A，B在抛物线y2＝－x上，所以＝－x1，＝－x2，＝x1x2，因为kOA·kOB＝·＝＝＝－1，所以OA⊥OB.
(2)解设直线AB与x轴交于点N，显然k≠0，
所以点N的坐标为(－1,0)，因为S△OAB＝S△OAN＋S△OBN
＝|ON||y1|＋|ON||y2|＝|ON||y1－y2|，
所以S△OAB＝·1·
＝，
因为S△OAB＝，
所以＝，解得k＝±.
19. 解 (1)由7x－4y－12＝0得y＝x－3.
当x＝2时，y＝，∴f(2)＝，①
又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝，②
由①，②得解之得.
故f(x)＝x－.
(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，
由y′＝1＋知，
曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(1＋)(x－x0)，
即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．
令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－)．
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
20. 解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
即p：－2≤x≤10，
q：1－m2≤x≤1＋m2.
(1)若p是q的必要条件，则
即即m2≤3，
解得－≤m≤，
即m的取值范围是[－，]．
(2)∵p是q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件．
即(两个等号不同时成立)，
即m2≥9，解得m≥3或m≤－3.
即m的取值范围是{m|m≥3或m≤－3}．
21. 解 (1)椭圆的方程可化为b2x2＋a2y2－a2b2＝0.
由消去y，
得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0.
由Δ＝4a4－4(a2＋b2)·a2·(1－b2)>0，
得a2＋b2>1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
∵⊥，∴x1x2＋y1y2＝0，
即2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，
即－＋1＝0，
∴a2＋b2＝2a2b2，即＋＝2.
∴＋等于定值．
(2)∵e＝，∴b2＝a2－c2＝a2－a2e2.
又∵a2＋b2＝2a2b2，∴2－e2＝2a2(1－e2)，
即a2＝＝＋.
∵≤e≤，
∴≤a2≤，即≤a≤，
∴≤2a≤，即椭圆长轴长的取值范围是[，]．
22. 解 (1)由圆的方程x2＋y2＝4x，
即(x－2)2＋y2＝4可知，
圆心为(2,0)，半径为2，
又由抛物线的焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为F(2,0)，抛物线的方程为y2＝8x.
(2)|AB|＋|CD|＝|AD|－|BC|，
∵|BC|为已知圆的直径，
∴|BC|＝4，则|AB|＋|CD|＝|AD|－4.
设A(x1，y1)，D(x2，y2)，
∴|AD|＝|AF|＋|FD|＝x1＋x2＋4，
由已知可知，直线l的方程为y＝2(x－2)，
由消去y，得x2－6x＋4＝0，
∴x1＋x2＝6，∴|AD|＝6＋4＝10，因此|AB|＋|CD|＝10－4＝6.
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