初中数学人教版八年级上册13.3.1 等腰三角形第1课时教学设计

第十三章 轴对称

13.3  等腰三角形

13.3.1  等腰三角形

第1课时   等腰三角形的性质

一、教学目标

1.理解并掌握等腰三角形的两条性质.

2.经历探索等腰三角形的性质的过程，并能运用等腰三角形的性质解决问题.

二、教学重难点

重点：等腰三角形的两条性质.

难点：运用等腰三角形的性质解决问题.

三、教学过程

【新课导入】

[复习导入]1.          两边相等                           的三角形叫做等腰三角形.

2. 等腰三角形中，相等的两边叫做   腰         ，另一边叫做       底边       ，两腰的夹角叫做     顶角         ，腰和底边的夹角叫做        底角       .

3.等腰三角形具备一般三角形所有的性质，如内角和为    180    °;两边之和     大于        第三边，两边之差       小于          第三边.

教师带领学生复习旧知，鼓励学生积极的投入到活动中，为本节课做准备.

【新知探究】

知识点   等腰三角形的性质

[提出问题]如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点?

[课件展示]教师利用多媒体展示如下剪法：

[动手操作]学生观察后动手剪纸，观察,思考发现：剪刀剪过的两条边是相等的，即△ABC中AB=AC，所以△ABC是等腰三角形.

[提出问题]把剪出的等腰三角形ABC沿着折痕对折，找出其中重合的线段和角.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下对折过程：

[动手操作]学生观察后动手对折，观察,思考发现：重合的线段：AB和AC，BD和CD；重合的角：∠BAD=∠CAD，∠B=∠C，∠ADB=∠ADC.

[提出问题]由这些的重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.

[小组讨论]学生之间讨论.之后代表回答小组间讨论的结果.教师纠正.最后得到：“猜想1：等腰三角形的两个底角相等.”和“猜想2：AD既是△ABC顶角的平分线，也是底边BC上的中线、高线.”

[提出问题]如何验证你的猜想呢？我们先来看看这两种方法.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下验证方法：

验证方法一：折叠法

在一张白纸上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，请你试着折一折，你的猜想仍然成立吗？

[动手操作]学生动手剪纸，观察,测量，思考发现：猜想仍然成立.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下验证方法：

验证方法二：几何证明

[提出问题]还有其他的证法吗？

[小组讨论]小组之间讨论.教师巡视，利用几何证明方法验证时，要分清“已知”和“求证”.之后代表回答小组间讨论的结果.教师将学生的验证方法板书到黑板上，纠错，改正，鼓励多种方法进行验证.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下验证方法：

[归纳总结]等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.

该性质定理的几何语言：

如图，在△ABC中，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C.

等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）.

该性质定理的几何语言：

如图，在△ABC中，

①∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CD.

②∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，BD=CD.

③∵AB=AC，BD=CD，∴AD平分∠BAC，AD⊥BC.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题和变式：

例1   如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.

解：∵AB=AC，BD=BC=AD，

∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD（等边对等角）.

设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,

从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x,

于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180° .

解得x=36°.所以，在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.

【变式】(2021•新疆)如图,在△ABC中，AB=AC,∠C=70°,分别以点A,B为圆心,大于1/2AB的长为半径作弧，两弧相交于M,N两点，作直线MN交AC于点D,连接BD,则∠BDC=     80°       .

例2   (2020•青海)等腰三角形的一个内角为70°,则另外两个内角的度数分别是(  D   )

A.55°, 55°          B.70°, 40°或70°, 55°

C.70°, 40°          D. 55°，55°或70°, 40°

【解析】因为题干中没有说明70°角是顶角还是底角，所以应分情况讨论.当70°的角是底角时，顶角的度数为40°；当70°的角是顶角时，两底角相等，均为55°.故选D.

【变式】等腰三角形的一个内角为100°,则另外两个内角的度数分别是      40°和40°           .

【解析】题干中没有说明100°角是顶角还是底角，但分析可知，该角只能是顶角.而两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是40°.

[归纳总结]

（1）“等边对等角”是证明三角形中两个角相等的常用方法，这种方法比利用三角形全等证明两个角相等更方便.

（2）在等腰三角形中，依据三角形内角和等于180°，可以由顶角求底角，也可以由底角求顶角．

并提醒学生：（1）应用“等边对等角”的前提条件是在同一个三角形中，不在同一个三角形中不能使用.

（2）如果已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．

（3）等腰三角形的顶角可以是直角、钝角、锐角，而底角只能是锐角．

[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题和变式：

例3  如图, AD是等腰三角形ABC的顶角平分线, BD=5,则CD等于(  B   )

A.10          B.5         C.4          D.3

【变式】如图，在△ABC中，已知AB=AC，D为BC的中点，若∠BAD=35°，则∠C的度数为（    C    ）

A.35°        B.45°      C.55°    D.60°

例4  如图，已知AB＝AC，点D，E在△ABC的边BC上，且AD＝AE，求证：BD＝CE.

证明：过点A作AG⊥BC于点G.

∵AB＝AC，AD＝AE，

∴BG＝CG，DG＝EG，

∴BG－DG＝CG－EG，

∴BD＝CE.

[归纳总结]

（1）“三线合一”这一性质应用非常广泛，可以用来证明角相等、线段相等或线段垂直,也是等腰三角形中常作的辅助线.

（2）等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线.

并提醒学生：应用“三线合一”的前提条件是等腰三角形，且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线才能互相重合.

【课堂小结】

【课堂训练】

1．（2021•兰州模拟）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝46°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于（　D　）

A．33° B．30° C．26° D．23°

2.(2021•赤峰)如图，AB∥CD,点E在线段BC上，CD=CE .若∠ABC=30°,则∠D的度数为(   B  )

A. 85°       B.75°       C.65°         D.30°

3．（2021•陕西模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为（　B　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【解析】∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，

∴AD是△ABC的中线.

∴S△ABC＝2S△ABD.

∵DE⊥AB于点E，DE＝2，∴S△ABD＝AB•DE＝AB.

∵BF⊥AC于点F，∴S△ABC＝AC•BF.∴AC•BF＝2AB.

∵AC＝AB，∴BF＝4．

故选B．

4.下列说法正确的有         ④⑥           .（填序号）

①等腰三角形的顶角一定是钝角.

②等腰三角形的底角可能是锐角，也可能是直角或者钝角.

③钝角三角形不可能是等腰三角形.  

④等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.

⑤等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.

⑥等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.

5.(1)等腰三角形一个底角为65°,则它的另外两个角为       65°, 50°                ；

(2)等腰三角形一个角为36°,则它的另外两个角为       72°,72°或36°,108°               ；

(3)等腰三角形一个角为90°,则它的另外两个角为          45°，45°                 .

6.（2021•武汉模拟）△ABC中，D、E在BC上，且EA＝EB，DA＝DC，若∠EAD＝30°，则∠BAC＝　105°　．

【解析】∵∠EAD＝30°，∴∠AED+∠ADE＝150°，

∵EA＝EB，DA＝DC，

∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAD，

又∠AED+∠ADE＝∠B+∠BAE+∠C+∠CAD，

∴∠AED+∠ADE＝2∠BAE+2∠CAD，即150°=2（∠BAE+∠CAD），

∴∠BAE+∠CAD＝75°，

∴∠BAC＝75°+30°=105°．

故答案为105°．

7．在△ABC中，AB＝AC，∠B的角平分线与AC边所夹的锐角为60°，求∠A的度数．

解：设∠B的角平分线交AC于点E.

如图1，当∠BEC＝60°时，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A），

∴∠ABE＝∠ABC＝（180°﹣∠A），

∵∠ABE+∠A＝∠BEC，

∴（180°﹣∠A）+∠A＝60°，

∴∠A＝20°；

如图2，当∠AEB＝60°时，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A），

∴∠ABE＝∠ABC＝（180°﹣∠A），

∵∠ABE+∠A+∠AEB＝180°，

∴（180°﹣∠A）+∠A+60°＝180°，

∴∠A＝100°，

综上所述，∠A的度数为20°或100°．

8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D．若∠ADB＝125°，求∠BAC得度数.

方法一：解：设∠BAC=4x.

∵在△ABC中，AB=AC，

∴∠ABC=（180°﹣4x）÷2=90°﹣2x.

∵BD是∠ABC的角平分线，AD是∠BAC的角平分线，

∴∠ABD=（90°﹣2x）÷2=45°﹣x，∠DAB=2x.

∵∠ABD+∠DAB+∠ADB=180°，∴45°﹣x+2x+125°=180°.

解得x=10°．∴∠BAC=40°．

方法二：解：如图，延长AD交BC于点E.

∵AD是∠BAC的角平分线，

∴AE为等腰三角形ABC底边BC上的高.∴∠AEB=90°.

∵∠ADB=∠AEB+∠DBC,即125°=90°+∠DBC,

∴∠DBC=35°.∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABC=70°.

∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=70°.

∴∠BAC=180°﹣∠C-∠ABC=40.

【教学反思】
   本节课通过剪纸的方式让学生参与到等腰三角形的性质的探究中，使课堂更加形象生动，调动了孩子们的积极性.在例题设置上，围绕知识点循序渐进，使学生体会了分类讨论思想，体验“三线合一”作辅助线在几何论证中的作用.反思整个课堂教学：在探究中学生的参与还不够全面;学生习惯用全等解决问题，运用“三线合一”解题仍存在困难,今后仍需加强练习.