第05讲 特殊平行四边形单元复习-九年级数学上册同步精品讲义（北师大版）

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第5讲 特殊平行四边形单元复习 知识精讲 知识点01 平行四边形 1．定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质 （1）对边平行且相等； （2）对角相等；邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形. 3．面积 4．判定 边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形． 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 注意：平行线的性质 （1）平行线间的距离都相等； （2）等底等高的平行四边形面积相等. 知识点02 菱形 1．定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质 （1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等； （3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角； （4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积 4．判定 （1）一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形. 知识点03 矩形 1．定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质 （1）具有平行四边形的所有性质； （2）四个角都是直角； （3）对角线互相平分且相等； （4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积 4．判定 （1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 注意：由矩形得直角三角形的性质： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． 知识点04 正方形 1. 定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质 （1）对边平行； （2）四个角都是直角； （3）四条边都相等； （4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角； （5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积 边长×边长＝×对角线×对角线 4．判定 （1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形. 能力拓展 考法01 平行四边形 【典例1】如图，在□ABCD中，将△ABD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E为（     ） A．112° B．118° C．120° D．122° 【即学即练】如图，在平行四边形ABCD中，，，，点E在AB边上，将沿着直线DE翻折得．连结，若点恰好落在的平分线上，则，C两点间的距离为（     ） A．3或6 B．3或 C． D．6 【典例2】如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是（       ） A． B． C． D． 【即学即练】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O．下列条件：①AD∥BC，②AB＝CD，③AD＝BC，④∠ADC＝∠ABC，⑤BO＝DO，⑥∠DBA＝∠CAB．若添加其中一个，可得到该四边形是平行四边形，则添加的条件可以是（　　） A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②④⑥ D．①③④⑥ 考法02 菱形 【典例3】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是(     ) A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC 【即学即练】如图，在菱形中，，则（       ） A． B． C． D． 【典例4】）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法能判定四边形ABCD是菱形的是（　　） A．AB＝CD B．BA⊥BD C．AC⊥BD D．AC＝BD 【即学即练】如图，在平行四边形ABCD中，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．添加一个条件，使四边形AEBD是菱形，这个条件是（     ） A． B． C． D．DE平分 考法03 矩形 【典例5】如图，在矩形中，对角线，相交于点O，垂直平分，交于点E，交于点F，连接．若，则的长为（       ） A．3 B． C． D． 【即学即练】如图，矩形ABCD中，点E为AB上一个动点，沿DE折叠得到，点A的对应点为点F，连接CF，过点F作交BC于点G，若，，当为等腰直角三角形时，AE的长为（       ） A． B． C． D． 【典例6】如图，在中，，是边的中点，于点，若，，则的面积是（       ） A．660 B．50 C．40 D．30 【即学即练】如图，在中，，以B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点D，作射线BD交AC于点E，点F为BC的中点，连接EF．若，则的周长为（       ） A． B． C． D．4 考法04 矩形 【典例7】四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD∥BC，AD＝BC，使四边形ABCD为正方形，下列条件中：①AC＝BD；②AB＝AD； ③AB＝CD；④AC⊥BD．需要满足（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．①②或①④ 【即学即练】如图，AC，BD是四边形ABCD对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需要添加的条件是（     ） A． B． C． D． 【典例8】如图，在正方形ABCD中，AB=8，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFC=120°，若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则AE的长度为（       ） A． B． C． D． 【即学即练】如图，将边长为9的正方形ABCD沿MN折叠，使点B落在CD边上的处，点A对应点为，且，则AM的长是（     ） A．2 B．3 C． D． 考法05 综合应用 【典例9】如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（       ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形 【即学即练】如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．下列三种说法： ① .四边形EFGH一定是平行四边形； ②.若AC＝BD，则四边形EFGH 是菱形； ③.若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形． 其中正确的是（     ） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【典例10】如图，菱形的对角线相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F．若，，则的最小值为（       ） A． B． C．4 D． 【即学即练】如图，已知点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H得到四边形EFGH，我们把四边形EFGH叫做四边形ABCD的“中点四边形”．若四边形ABCD是矩形，则矩形ABCD的“中点四边形”一定是（       ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 分层提分 题组A 基础过关练 1．在菱形ABCD中，周长为24，已知其两个相邻的内角度数比为，则菱形ABCD中较短对角线长度为（       ） A．6 B．8 C． D． 2．如图，长方形沿折叠后，若，则的度数是（       ） A．65° B．60° C．55° D．50° 3．一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若，则的度数为（       ） A．28° B．56° C．36° D．62° 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，若EF=12，则CD的长为（            ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（   ） A．12 B．9 C．6 D． 6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是OB的中点，连接AE，若AB=4，则线段AE的长为（       ） A． B．3 C． D． 7．如图，在正方形ABCD中，点E为边长AB延长线上一点，且，则______． 8．如图，将沿着方向平移得到，只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是____________．（写出一个即可） 9．如图，在ABC中，AB＝AC，过A、C两点分别作ADBC，CDAB交于点D，延长DC至点E，使DC＝CE，连接BE． (1)求证：四边形ACEB是菱形； (2)若AB＝4，BC＝6，求四边形ACEB的面积． 10．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，O为AC的中点，连接BO并延长至D使OD=OB，连AD、CD． (1)求证：四边形ABCD为矩形； (2)若∠AOB＝60°，E为BC的中点，连OE，OE=2．求对角线的长及矩形的面积． 题组B 能力提升练 1．如图，在中，，，点为边的中点，，则的长为（　　　） A． B． C．2 D．4 2．如图，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝70°，则∠ACD的大小为（　　） A．25° B．35° C．45° D．55° 3．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（       ） A．1cm B．2cm C．(－1)cm D．(2－1)cm 4．如图，O为正方形对角线的中点，为等边三角形．若，则的长度为（       ） A． B． C． D． 5．如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（       ） A．3 B．5 C． D． 6．如图，在正方形ABCD中，点E是边AB上一动点，将△CBE沿直线CE折叠，点B落在点F处，连接DF交CE的延长线于点H，连接BH．下列四个结论：①BH＝FH；②∠CHD＝45°；③DF∶AH＝；④∠AHD＝∠BHC；其中正确的是（       ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 7．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，AB上一点，且EF＝EC，，若DE＝2，矩形ABCD的周长为24，则矩形ABCD的面积为________． 8．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 _____． 9．综合与实践 【问题情境】如图①，在中，，，点D为AB上一点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到的对应线段为CE，连接BE． 【问题解决】 (1)试判断AD与BE的位置关系和数量关系，并直接写出你的结论； (2)如图②，将沿AB的垂直平分线对折，得到，连接EG，过点E作，交BC于点F，交AC于点H，连接HD，FG． ①试判断线段EG与EF的数量关系，并证明你的结论； ②试判断四边形DGFH的形状，并证明你的结论． 10．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，AE是折痕． (1)如图1，若AB=4，AD=5，求折痕AE的长； (2)如图2，若AE=，且EC：FC=3：4，求矩形ABCD的周长． 题组C 培优拔尖练 1．如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝，则CF的长是（       ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，下列说法错误的是（       ） A．若AC⊥BD，四边形ABCD是菱形 B．若AB＝BC，AC＝BD，四边形ABCD是正方形 C．若AC＝BD，四边形ABCD是矩形 D．若∠ABC＝90°，四边形ABCD是正方形 3．如图，在中，点D、E、F分别为边、、的中点，分别连结、、、，点O是与的交点，下列结论中，正确的个数是（       ） ①的周长是周长的一半；②与互相平分；③如果，那么点O到四边形四个顶点的距离相等；④如果，那么点O到四边形四条边的距离相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图①，在正方形中，点以每秒的速度从点出发，沿的路径运动，到点停止．过点作，与边（或边）交于点，的长度与点的运动时间（秒）的函数图象如图②所示．当点运动2.5秒时，的长是（       ） A． B． C． D． 5．如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE + PF的最小值是（　　） A．2 B． C．1.5 D． 6．如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．已知，，垂足为，的延长线交于点．若，则的值为　　 A． B． C． D． 7．如图，已知正方形的边长为1，点是边的中点，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，联结并延长交射线于点，那么的长为______． 8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，点F沿线段AO从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，连接OE．现给出以下结论： ①；②；③直线；④点E运动的路程是． 其中正确的结论是______．（写出所有正确结论的序号） 9．某数学兴趣小组开展图形的折叠实验探究，如图，在矩形纸片ABCD中，，，点E为CD上一动点（不与C，D重合） (1)如图（1），将沿BE折叠，使得点C的对应点恰好落在AD边上的F处，求DE的长； (2)如图（2），将沿BE折叠，使得点C的对应点为F，连接DF，当DF取得最小值时，求DE的长； (3)如图（3），小明准备用上述纸片折叠一种纸飞机，发现其中一个步骤是需将沿BE折叠，使点C的对应点F落在矩形ABCD的对称轴上，在这种情况下，求DE的长． 10．已知，AB＝AC，AB＞BC． (1)如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形； (2)如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明； (3)如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若，求∠ADB的度数．