数学选择性必修 第二册4.3 等比数列第1课时课后练习题

4．3　等比数列

4．3.1　等比数列的概念

第1课时　等比数列的概念及通项公式

知识点一  等比数列的定义

1.数列m，m，m，…一定(　　)

A．是等差数列，但不是等比数列

B．是等比数列，但不是等差数列

C．是等差数列，但不一定是等比数列

D．既是等差数列，又是等比数列

答案　C

解析　当m＝0时，数列是等差数列，但不是等比数列；当m≠0时，数列既是等差数列，又是等比数列．故选C.

2．等比数列中，首项为，末项为，公比为，则项数是(　　)

A．3  B．4

C．5  D．6

答案　B

解析　等比数列中的第二项为×＝，第三项为×＝，第四项为×＝，故此等比数列的项数为4.

知识点二  等比数列的通项公式

3.一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为(　　)

A．na(1－b%)  B．a(1－nb%)

C．a(1－b%)n  D．a[1－(b%)n]

答案　C

解析　依题意可知第一年后的价值为a(1－b%)，第二年后的价值为a(1－b%)2，依此类推形成首项为a(1－b%)，公比为1－b%的等比数列，则可知n年后这批设备的价值为a(1－b%)n.故选C.

4．(多选)下列通项公式可以作为等比数列通项公式的是(　　)

A．an＝(－1)n32n－1  B．an＝

C．an＝2－n  D．an＝log2n

答案　AC

解析　对于A，an＝(－1)n32n－1，＝＝－9，是常数，成立；对于B，an＝，＝，不是常数，不成立；对于C，an＝2－n，＝＝，是常数，成立；对于D，an＝log2n，＝，不是常数，不成立．故选AC.

5．已知一个等比数列的前4项之积为，第2项与第3项的和为，则这个等比数列的公比为________．

答案　3±2或－5±2

解析　设这4个数为a，aq，aq2，aq3(其中aq≠0)，由题意，得所以

所以＝±，整理得q2－6q＋1＝0或q2＋10q＋1＝0，

解得q＝3±2或q＝－5±2.

知识点三  等比数列的证明

6.已知数列{an}的首项a1＝t>0，an＋1＝，n∈N*，若t＝，求证是等比数列并求出{an}的通项公式．

解　由题意知an>0，＝＝＋，

－1＝，－1＝，

所以数列是首项为，公比为的等比数列．

－1＝n－1＝，an＝.

知识点四  等比中项及应用

7.若1，x，y，z,16这五个数成等比数列，则y的值为(　　)

A．4  B．－4

C．±4  D．2

答案　A

解析　由于⇒y＝4，故选A.

8．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，a是b，c的等比中项，且a＋3b＋c＝10，则a的值是(　　)

A．1  B．－1

C．－3  D．－4

答案　D

解析　由题意，得解得a＝－4，b＝2，c＝8.

9．已知一等比数列的前三项依次为x,2x＋2,3x＋3，那么－13是此数列的第________项．

答案　4

解析　由x，2x＋2,3x＋3成等比数列，可知(2x＋2)2＝x(3x＋3)，解得x＝－1或－4，又当x＝－1时，2x＋2＝0，这与等比数列的定义相矛盾．∴x＝－4.∴该数列是首项为－4，公比为的等比数列，其通项an＝－4×n－1，由－4×n－1＝－13，得n＝4.

10．在等比数列{an}中，若a4a5a6＝27，则a3与a7的等比中项是________．

答案　±3

解析　由等比中项的定义知a＝a4a6，∴a＝27.

∴a5＝3，∴a1q4＝3，

∴a3a7＝aq8＝32，因此a3与a7的等比中项是±3.

一、选择题

1．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为(　　)

A．2  B．4

C．8  D．16

答案　B

解析　由anan＋1＝16n，知a1a2＝16，a2a3＝162，后式除以前式得q2＝16，∴q＝±4.∵a1a2＝aq＝16＞0，∴q＞0，∴q＝4.

2．在数列{an}中，a1＝1，点(an，an＋1)在直线y＝2x上，则a4的值为(　　)

A．7  B．8

C．9  D．16

答案　B

解析　∵点(an，an＋1)在直线y＝2x上，∴an＋1＝2an.∵a1＝1≠0，∴an≠0.∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴a4＝1×23＝8.

3．一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列，其公比为(　　)

A.  B．

C．  D．

答案　A

解析　设这个数为x，则(50＋x)2＝(20＋x)(100＋x)，解得x＝25.∴这三个数分别为45,75,125，公比q为＝.

4．在如下表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．

答案　D

解析　按题意要求，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列填表如图，

故a＝，b＝，c＝，则a＋b＋c＝.故选D.

5．(多选)设数列{an}为等比数列，q为公比，则下面四个数列中，一定是等比数列的是(　　)

A．{a}  B．{pan}(p为非零常数)

C．{an·an＋1}  D．{an＋an＋1}

答案　ABC

解析　对于A，因为＝3＝q3(常数)，所以{a}是等比数列；对于B，因为＝＝q(常数)，所以{pan}是等比数列；对于C，因为＝＝q2(常数)，所以{an·an＋1}是等比数列；对于D，当q＝－1时，an＋an＋1＝0，故此时{an＋an＋1}不是等比数列；当q≠－1时，因为＝＝＝q(常数)，所以{an＋an＋1}是等比数列．故选ABC.

二、填空题

6．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．

答案　

解析　设该直角三角形的三边分别为a，aq，aq2 (q＞1)，则(aq2)2＝(aq)2＋a2，∴q2＝.较小锐角记为θ，则sinθ＝＝.

7．已知数列1，a1，a2,4成等差数列；1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值为________．

答案　2.5

解析　解法一：∵a1＋a2＝1＋4＝5，b＝1×4＝4且b2与1，4同号，∴b2＝2，∴＝＝2.5.

解法二：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q.∴1＋3d＝4，d＝1，∴a2＝2，a3＝3，q4＝4，∴q2＝2，b2＝q2＝2.∴＝＝2.5.

8．各项均为正数的等比数列{an}中，a2－a1＝1.当a3取最小值时，等比数列的公式q＝________，此时数列{an}的通项公式an＝________.

答案　2　2n－1

解析　由a2－a1＝1，得a1(q－1)＝1，所以a1＝.

a3＝a1q2＝＝(q＞0)，

而－＋＝－2＋，　①

当q＝2时①式有最大值，所以当q＝2时a3有最小值4.

此时a1＝＝＝1.所以数列{an}的通项公式an＝2n－1.

三、解答题

9．等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.

解　(1)设{an}的公比为q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，

∴an＝a1qn－1＝2n.

(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32，

设{bn}的公差为d，则有解得

从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，

∴数列{bn}的前n项和Sn＝＝6n2－22n.

10．数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2，3，…)．

(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；

(2)求an.

解　(1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.

下面证明{an－n}是等比数列：

证明：由an＝3an－1－2n＋3可得

an－n＝3[an－1－(n－1)]，因为a1－1＝－2≠0，

所以an－n≠0，

所以＝

＝＝3(n＝1,2,3，…)．

又a1－1＝－2，所以{an－n}是以－2为首项，3为公比的等比数列．

(2)由(1)知an－n＝－2·3n－1，所以an＝n－2·3n－1.