备战2023-2024学年高三上学期期中数学真题分类汇编（新高考通用）专题09数列经典题（九大题型）（Word版附解析）

这是一份备战2023-2024学年高三上学期期中数学真题分类汇编（新高考通用）专题09数列经典题（九大题型）（Word版附解析），共40页。

专题09 数列经典题


等差等比数列基本量的计算
1．（2022秋·福建泉州·高三泉州五中校考期中）已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ）
A．77 B．88 C．99 D．110
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质，计算出等差数列的基本量，即可利用等差数列的求和公式求解.
【详解】，得，解得，
，得，解得，
故，
.
故选：B
2．（广东省深圳市福田区外国语高级中学2023届高三上学期期中）已知等差数列的前5项和，则 ．
【答案】11
【分析】由等差数列的性质求解，
【详解】由题意得，得，
故，，则，
故答案为：11
3．（山东省潍坊市临朐县实验中学2022-2023学年高三上学期期中）已知在等比数列{an}中，a3=7，S3=21，则公比q=
【答案】1或
【分析】由a3=7，S3=21，得到求解.
【详解】解：因为在等比数列{an}中，a3=7，S3=21，
所以，
两式相除得： ，
解得或，
故答案为：1或
4．（黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学2022-2023学年高三上学期期中）已知等比数列的前n项和，则 .
【答案】9
【分析】根据等比数列的前项和公式的特点，结合已知条件，求得其首项和公比，再求结果即可.
【详解】因为当等比数列的公比时，，
又，故可得，解得，
故，则.
故答案为：.
等差中项及等差数列项的性质
5．（山东省滨州市沾化区实验高级中学2022-2023学年高三上学期期中）已知等比数列{}为递增数列，是它的前项和，若＝，且与的等差中项为，则＝（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据等比数列的通项公式和等差中项的应用求出等比数列的首项和公比，结合等比数列前n项求和公式计算即可.
【详解】设该等比数列的通项公式为()，
由题意知，即，
解得，
所以.
故选：B
6．（2022秋·广东广州·高三广州市白云中学校考期中）各项为正数且公比为的等比数列中，成等差数列，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件是等比数列，假设出首项和公比，再根据等差中项性质列式计算即可.
【详解】因为成等差数列，所以，即，所以，解得或（舍去），
故选:C.
7．（福建省福州华侨中学等多校2023届高三上学期期中）设等差数列的前项和为，则“”是“”的（    ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】解：在等差数列中，若，则，故充分性成立，
若，即，所以，故必要性成立，
所以“”是“”的充要条件.
故选：A
8．（山东省德州市武城县第二中学2022-2023学年高三上学期期中）已知是各项均为正数的等差数列，且，则的最大值为（    ）
A．10 B．20 C．25 D．50
【答案】C
【分析】根据等差数列的性质，化简原式，得到，用基本不等式求最值.
【详解】∵，∴，
由已知，得，
∴，当且仅当时等号成立.
故选：C.
9．（江苏省常州市金沙高级中学2022-2023学年高三上学期期中）已知数列为递增的等比数列，若，且是和的等差中项，则 .
【答案】1024/
【分析】设出公比，利用是和的等差中项，列出方程，求出公比，从而结合得到答案.
【详解】设等比数列的公比为，
因为是和的等差中项，所以，即，
因为，则，解得或，
因为等比数列是递增数列，所以，
又因为，所以.
故答案为：1024
10．（福建省福州市四校联盟（永泰城关中学、连江文笔中学、长乐高级中学、元洪中学）设等差数列的前n项和为，若，，则n= 时，取得最大值.
【答案】7
【分析】根据题目条件利用等差数列性质，可求出且，进而分析出结果.
【详解】等差数列中，，，
即，
所以且，
所以当时，取得最大值.
故答案为：7.

等比中项及等比数列项的性质
11．（2022秋·广东中山·高三华南师范大学中山附属中学校考期中）已知等差数列满足，且数列是等比数列，若，则（    ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】D
【分析】根据等差中项、等比中项运算求解.
【详解】因为数列是等比数列，若，
由等差数列的性质可得，即有，解得或（舍去），
即，由等比数列的性质可得.
故选：D.
12．（2022秋·黑龙江佳木斯·高三建三江分局第一中学校考期中）已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，则错误的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出公差，根据题干条件列出方程，求出公差，求出通项公式，再利用通项公式和前n项和公式对四个选项一一计算，进行判断.
【详解】设等差数列的公差为d（）.
因为且成等比数列，所以.
解得：，所以.
对于A：.故A正确；
对于B：因为，所以.故B正确；
对于C：.故C错误；
对于D：因为，所以当时，，即.故D正确.
故选：C
13．（广东省广州市增城中学、广东华侨，协和中学三校2023届高三上学期期中）已知等比数列，满足，且，则数列的公比为（    ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用对数运算性质可得且，从而，由等比数列性质有，所以，即可求公比.
【详解】令公比为，
由，
故且，
所以，则，
又，，则，
所以，
综上，.
故选：B.
14．（2022秋·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期中）已知数列是公比不等于的等比数列，若数列，，的前2023项的和分别为m，，20，则实数m的值（    ）
A．只有1个 B．有2个 C．无法确定 D．不存在
【答案】B
【分析】根据等比数列前项和公式求得数列，，的前2023项的和，通过观察得出关于的方程，由此求得的值.
【详解】是公比不等于的等比数列，
则数列，都是公比不为1的等比数列，前者公比为，后者公比为.
设的公比为q，则，，，
观察可知：，即，所以或.
故选：B
15．（2022秋·山东青岛·高三青岛二中校考期中）已知公差为的等差数列中，、、成等比数列，若该数列的前项和则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件求出的值，再由可求得正整数的值.
【详解】由已知，则，解得，
故，因为，解得.
故选：B.
16．（黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学2022-2023学年高三上学期期中）（多选）已知等比数列各项均为正数，满足，，记等比数列的前n项的积为，则当取得最大值时，（    ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】CD
【分析】利用等比数列的性质求出，判断数列的单调性，进而即得.
【详解】因为，由等比数列的性质可得，
所以，因为，
所以，
因为，即，
所以，
∴，
因为，
所以等比数列为递减数列，
所以当时，，
∴当或时，取得最大值.
故选：CD

等差等比数列的判定与证明
17．（江苏省南京东山外国语学校2022-2023学年高三上学期期中）已知数列的前n项和为，，且，则下列说法中错误的是（    ）
A． B．
C．是等比数列 D．是等比数列
【答案】C
【分析】根据已知条件，令代入，求得，判断A；结合数列前n项和与的关系式，求出时，结合，判断C,求出，即可判断B;利用可得，构造出，即可判断D．
【详解】由题意数列的前项和为，，且，
则，即，
所以即选项A正确；
因为①，
∴当时，②，
①-②可得，，即，
当时，，不满足，
故数列不是等比数列，故C错误，
由时，可得，则，
故，故B正确；
由得：
所以
令，则
所以
所以，即，
故是首项为，
公比为4的等比数列，D正确，
故选：C.
18．（黑龙江省伊春市铁力市马永顺中学校2022-2023学年高三上学期期中）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．
【详解】（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有.
则当或时，．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
19．（2022秋·湖南湘潭·高三湘潭一中校考期中）已知数列满足，.
（1）证明：数列为等差数列；
（2）设，证明：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）由变形得：，可得证明.
（2）由（1）知：,∴,用裂项相消可求和,从而可证明.
【详解】（1）由变形得：
又，故
∴数列是以1为首项1为公差的等差数列.
（2）由（1）知：
∴
∴

∴
【点睛】本题考查根据数列的递推公式证明数列为等差数列，考查用裂项相消法求和，属于基础题.
20．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）已知数列，为的前n项和，，，.
(1)证明：是等比数列；
(2)设，求数列的前n项和为.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据等比数列的定义得数列 为第二项起为等比数列，由等比数列的通项公式可得答案；
（2）由（1）得 运用错位相减法可得.
【详解】（1）当时，，
当时， 由， 可得，
两式相减可得，，
即有，
即为数列为第二项起为等比数列,
又

数列为以为首项，等比数列为的等比数列.
（2）由（1）得，， 可得，
则,,
即有前项和为，
，,
两式相减可得，，

化简可得.
21．（2022秋·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）记为数列的前项和，已知，是公差为2的等差数列.
(1)求证为等比数列，并求的通项公式；
(2)证明：.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析
【分析】（1）先由题设条件得到，再利用得到，从而可证得是等比数列，由此可求得的通项公式；
（2）利用放缩法得到，从而利用等比数列前项和公式即可得证.
【详解】（1）因为是公差为2的等差数列，，
所以，
当时，，
两式相减得，，即，
故，又，
所以是首项为，公比为的等比数列，
故，则.
（2）因为，所以，则，即，
所以.
22．（广东省广州市增城中学、广东华侨，协和中学三校2023届高三上学期期中）设数列满足，且.
(1)求证：数列为等差数列，并求的通项公式；
(2)设，求数列的前99项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据递推式，变形为，由等差数列定义可证明结论；利用累加法求得通项公式；
（2）根据，利用并项求和法，可得答案.
【详解】（1）由已知得， 即，
是以2为首项， 2为公差的等差数列.
，
当时，,
当时，也满足上式，所以;
（2）,
当时，




等差数列前n项和的性质
23．（江苏省镇江市扬中市第二高级中学2022-2023学年高三上学期期中）在等差数列中，为其前项和．若，且，则等于（    ）
A．-2021 B．-2020 C．-2019 D．-2018
【答案】A
【分析】根据等差数列的性质可知，数列也为等差数列，结合已知条件求出等差数列的首项，即可得到.
【详解】因为为等差数列的前项和，令，则也为等差数列，设其公差为，
由得，
又得.
故选：A．
24．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）已知等差数列前n项和为，，则 ．
【答案】20
【分析】根据等差数列的性质，推得也成等差数列，再结合已知数据，即可求解．
【详解】等差数列前n项和为，则也成等差数列，
则，由，有，解得．
又，即，解得．
故答案为：20
25．（福建省龙岩市永定区坎市中学2023届高三上学期期中）已知等差数列的前n项和为，，则 ．
【答案】//
【分析】由找出公差与首项间的关系，利用求和公式代入中化简即可
【详解】设等差数列的首项为，公差为
由，则
所以，且及
所以
故答案为：.
26．（2022秋·福建莆田·高三莆田第五中学校考期中）已知、分别是等差数列、的前项的和，且.则 .
【答案】
【详解】试题分析：由等差数列性质可知
考点：等差数列性质及求和

等比数列前n项和的性质
27．（江苏省扬州市仪征市精诚高级中学2022-2023学年高三上学期期中）记为等比数列的前n项和.若，，则（    ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.
【详解】∵为等比数列的前n项和，
∴，，成等比数列
∴，
∴，
∴.
故选：A.
28．（江苏省镇江市扬中市第二高级中学2022-2023学年高三上学期期中）数列中，，对任意 ，若，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】取，可得出数列是等比数列，求得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于的等式，由可求得的值.
【详解】在等式中，令，可得，，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
，
，则，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.
29．（福建省三明市教研联盟校2023届高三上学期期中）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，则下列结论正确的是（    ）
A． B．是数列中的最大值
C． D．数列无最大值
【答案】C
【分析】根据题意，由等比数列的性质分析公比的范围，由此分析选项可得答案．
【详解】解：等比数列的公比为，则，由，则有，必有，
又由，即，又，则有或，
又当时，可得，由，则与矛盾
所以，则有，
由此分析选项：
对于A，，故，故A错误；
对于B，等比数列中，，，所以数列单调递减，又因为，所以前项积为中，是数列中的最大项，故B错误；
对于C，等比数列中，则，则，故C正确；
对于D，由B的结论知是数列中的最大项，故D错误.
故选：C.
30．（江苏省徐州市2022-2023学年高三上学期期中）已知数列为等比数列，为其前n项和，，且，，则 .
【答案】45
【详解】可以将每三项看作一项，则也构成一个等比数列.
所以,故答案为45.
等差数列前n项和的最值问题
31．（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第四十中学校联考期中）已知为等差数列， 为的前项和． 若， 则当取最大值时， 的值为（    ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【分析】根据等差数列的前项和公式及等差数列下角标的性质即可求解.
【详解】因为，所以，又，所以，所以，则.
故选: C.
32．（2022秋·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）已知等差数列，是数列的前n项和，对任意的，均有成立，则不可能的值为（    ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】由已知分析可得，公差，讨论当时，当，时，与的关系，计算即求得的取值范围,得出结果.
【详解】等差数列，对任意的，均有成立，即是等差数列的前项和中的最小值，必有，公差，
当，此时，、是等差数列的前项和中的最小值，此时，即，则
当，此时是等差数列的前项和中的最小值，此时，，即，则,则有，
综合可得：分析选项可得：BCD符合题意；
故选：A
33．（2022秋·山东日照·高三统考期中）（多选）已知等差数列的前n项和为，若，则（    ）
A．
B．若，则的最小值为
C．取最大值时，或
D．若，n的最大值为8
【答案】ACD
【分析】求出等差数列的通项公式判断A，由等差数列性质得利用基本不等式求最小值判断B，由等差数列的是递减数列，找到正负分隔的项即可得最大时的值，从而判断C，求得等差数列的前项和，解不等式判断D.
【详解】由题意得，可得，
则等差数列的通项公式为，则选项A判断正确；
若，则,
则
（当且仅当，时等号成立）
又，则的最小值不是．则选项B判断错误；
等差数列中，…
则等差数列的前n项和取到最大值时，n=4或n=5．则选项C正确；
，得,且，故n的最大值为8，则选项D判断正确，．
故选：ACD
34．（2022秋·河北衡水·高三河北武强中学校考期中）（多选）已知是等差数列，其前项和为，满足，则下列四个选项中正确的有（    ）
A． B． C．最小 D．
【答案】BD
【分析】根据等差数列公式化简得到，A错误，计算，B正确，当时不满足，C错误，计算得到D正确，得到答案.
【详解】，则，化简，即，A错误；
，B正确；
当时，，C错误；
，即，D正确.
故选：BD
35．（福建省莆田第三中学2023届高三上学期期中）设是等差数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和的最大值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）求出等差数列的基本量后可求其通项；
（2）根据通项的符号可求的最大值．
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，
故.
（2）因为当时，，当时，，当时，，
故当或时有最大值且最大值为.
36．（2022秋·福建宁德·高三宁德市民族中学校考期中）设等差数列的前项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最小值及相应的的值.
【答案】(1);
(2)当或时，的最小值为.
【分析】（1）利用基本量，表示题干条件，求解即可；
（2）表示，结合二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）记等差数列的首项为，公差为，
则，
解得，
故.
（2）由题意，，
关于为开口向上的二次函数，对称轴为，
故当或时，的最小值为.
等差数列前n项和的二次函数特征
37．（江苏省扬州市宝应县安宜高级中学2022-2023学年高三上学期期中）在各项不全为零的等差数列中，是其前项和，且，则正整数的值为（    ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】C
【分析】由等差求和公式结合二次函数的性质得出正整数的值.
【详解】因为，所以可看成关于的二次函数，
由可知二次函数图像的对称轴为，所以，解得.
故选：C
38．（山东省威海市第四中学2022-2023学年高三上学期期中）已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么当时，的最大值为（   ）
A．10 B．11 C．20 D．21
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合等差数列的前项和公式，即可求解．
【详解】由等差数列的性质可知，，
又，
和异号，
数列的前项和有最大值，
数列是递减的等差数列，即
，，
，，
当时，的最大值为20．
故选：C．
39．（河北省高碑店市崇德实验中学2023届高三上学期期中）已知等差数列的公差不为，设为其前项和，若，则集合中元素的个数为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据可得出、的等量关系，求出的表达式，利用二次函数的对称性和单调性可得出集合中元素的个数.
【详解】因为，可得，且，
所以，，
且数列单调递增，
根据二次函数的对称性可知，，，，
故集合中元素个数为.
故选：D.
40．（河北省保定市唐县第一中学2022-2023学年高三上学期期中）已知是各项不全为零的等差数列，前n项和是，且，若，则正整数 ．
【答案】
【分析】设出等差数列的首项和公差，将前n项和看成关于n的二次函数，利用二次函数的图象和性质即可求解.
【详解】设等差数列的首项和公差分别为，，则，
也即，可以把可看成关于n的二次函数，
由二次函数的对称性及，，
可得，解得．
故答案为：.
含绝对值的等差数列的前n项和
41．（湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高三上学期期中）（多选）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则数列的前10项和为49
C．若，则的最大值为25
D．若数列为等差数列，且，，则当时，的最大值为2021
【答案】CD
【分析】由与的关系求出，可判断A；由题意求出数列的前10项可判断B；由等差数列的和结合二次函数的性质可判断C；由等差数列的性质与求和公式可判断D
【详解】对于A：当时，，
当时，，
检验时，
所以，故A错误；
对于B：因为，则，
所以数列的前10项和为，故B错误；
对于C：由可知数列是等差数列，
则，
易知时，的最大值为25，故C正确；
对于D：由数列为等差数列，且，，
所以，
，
所以当时，的最大值为2021，故D正确；
故选：CD
42．（湖北省黄冈市黄梅国际育才高级中学2022-2023学年高三上学期期中）已知在前n项和为的等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前20项和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据等差数列前n项和、通项公式求首项与公差，进而写出通项公式.
（2）首先判断、对应n的范围，再根据各项的符号，应用分组求和及等差数列前n项和求.
【详解】（1）由，则，
由，则，
所以，即，故，
则.
（2）由（1）知：，可得，即，故时，
所以.
43．（福建省泉州市晋江二中、鹏峰中学、广海中学、泉港五中2023届高三上学期10月期中）已知等差数列中，公差，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)为数列的前项和，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用等差数列的性质列式求出公差即可计算得解.
(2)利用(1)的结论分段写出的表达式，再分情况求和即可得解.
【详解】（1）在等差数列中，由得，则，解得或，
而公差，则，，于是得，
所以数列的通项公式是.
（2）由(1)知，因此，，
当时，，
当时，

，
所以.
44．（福建省泉州市剑影实验学校2022届高三上学期期中）在等差数列中，为其前n项和．
求的最小值，并求出相应的n值；
求
【答案】（1）（2）
【详解】试题分析：利用等差数列通项公式与求和公式即可得出．
时，时，．
试题解析：
等差数列中，，
，
解得．
．
．
令解得．
或21时取得最小值．
时，
．
时，．
∴
45．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）已知是数列的前项和，，则 ；若，则 .
【答案】 218
【分析】根据题意得到，两式作差得到再检验首项即可得到结果；当时，当时，，将代入第二个式子即可得到答案.
【详解】，则，
两式作差得到，当时成立，故得到；
当时，
，
当时，


故得到：，.
故答案为：；.

1．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期中）已知等差数列的公差为，前项和为，当首项和变化时，是一个定值，则使为定值的的最小值为（    ）
A．15 B．17 C．19 D．21
【答案】B
【分析】为定值，计算得到答案.
【详解】，故为定值.
又，所以为定值.
故选：B
2．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期中）已知数列，对于任意正整数，都满足，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由递推关系可得，利用累加求数列的通项公式，再由裂项相消法求的值.
【详解】因为对于任意正整数，都满足，
所以，又，
所以，
所以当时，，
所以，即，
所以当时，，又也满足此关系，
所以
所以，
故.
故选：C.
3．（2022秋·云南·高三云南民族大学附属中学校考期中）已知数列的前项和，若不等式，对任意恒成立，则整数的最大值为（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】首先利用公式，，求得数列的通项公式，代入不等式后，参变分离得，转化为求数列的最大值.
【详解】易知，，可得，两边同时除以可得，又因为时，，
所以数列是公差为1，首项为2的等差数列，
则，所以，由得，所以，即
令，因为，
当时，，即，数列单调递增，
当时，，即，数列单调递减，
且，，，
由数列的单调性可知的最大值为，所以，即，又因为，所以的最大值为3.
故选：B.
4．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期中）已知数列满足，若对任意（且）恒成立，则当取最大值时，（    ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【分析】由，得，两式相除可求出，从而可求得，所以将问题转化为，从而可求出m的取值范围，则得到的最值，则得到的值.
【详解】当时，由，得，
两式相除得，对时，也适合,
所以，
因为对任意，（且）恒成立，
所以，所以，
当时，由，得，则，
当时，由，得，则，
综上，,的最大值为2，则，
故选：B.
5．（福建省龙岩市一级校联盟（九校）高三上学期期中）若是数列的前n项和，已知，,且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件及与的关系，利用构造法得通项公式，结合等比数列的前n项和公式及分组求和法即可求解.
【详解】由题意得当时，，
设，得，
又因为，，
所以也满足上式，
所以数列是以首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
所以
故.
故选：A.
6．（2022秋·山东泰安·高三统考期中）已知数列是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若、数列的第2项、数列的第5项恰好构成等比数列，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【分析】通过等差数列的通项公式用分别表示，，，再通过等比中项的性质列出即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，所以，
所以，，
又因为、数列的第2项、数列的第5项恰好构成等比数列，
即构成等比数列，所以，
解得（舍去），所以.
故答案为：.
7．（湖南省岳阳市第五中学2022-2023学年高三上学期期中）在数列中.，是其前n项和，当时，恒有、、成等比数列，则
【答案】
【分析】由题可得，利用可得，利用倒数法求出的通项公式，然后根据与的关系即得.
【详解】当时，由题可得，即，
化简得，得，
两边取倒数得，
，
所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
，
，
当时，，
所以，.
故答案为：.
8．（湖北省高中名校联盟2023届高三上学期期中）已知数列满足，，且，则 .
【答案】2550
【分析】理解递推公式的意义，即偶数项是相邻两项的等比中项，奇数项是相邻两项的等差中项，据此找到规律计算即可.
【详解】由条件：得：，即偶数项是相邻两项的等比中项；
得：，即奇数项是相邻两项的等差中项；
∴原数列为：1，2，4，6，9，12，16，……，其中第项，第项（） ；
；
故答案为：2550.
9．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）（多选）数列依次为,,,,,,,,,,,,,,,,,…,其中第一项为,接下来三项为,再五项为,依次类推,记的前项和为,则下列说法正确的是（    ）
A． B．为等差数列
C． D．对于任意正整数都成立
【答案】BCD
【分析】根据数列的规律可求出判断A；根据等差数列的定义可判断B；根据数列求和可判断C；根据不等式的性质可判断D.
【详解】设分母为的数为第一组,分母为的数为第二组，…,分母为的数为第组,
则前组数共有个数,
对于A,令,可得,所以为第组最后一个数,则,故A错误;
对于B,因为前组数共有个数,所以数列的项为每一组的最后一个数的倒数,即,故B正确;
对于C,因为前项共有组数,又每组数的和为,所以前组数的和为,即,故C正确;
对于D,根据已知设,因为为定值,即,
因为,所以,则,因为,所以,即,故D正确.
故选:BCD.
10．（湖南省张家界市慈利县第一中学2022-2023学年高三上学期期中）（多选）已知各项都是正数的数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（    ）
A．是等差数列 B．
C． D．
【答案】CD
【分析】对于A，求出，再将转化为，即可证明；对于B，求出，即可判断正误；对于C，利用的结论求出，再利用基本不等式，即可证明；对于D，构造函数，即可判断正误．
【详解】解：因为，
所以，又，解得，
当时，，整理得，故是以为首项，为公差的等差数列，
所以，则，则，所以不是等差数列，故A错误；
，故C正确；
因为，故B错误；
令，，，在上单调递增，，
则，即，故D正确．
故选：CD．
11．（2022秋·山东济宁·高三统考期中）（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（    ）
A．为递减数列 B．
C．是数列中的最大项 D．
【答案】AC
【分析】根据题意先判断出数列的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1.再对四个选项一一验证：
对于A：利用公比的定义直接判断；对于B：由及前n项和的定义即可判断；对于C：前项积为的定义即可判断；对于D：先求出，由即可判断.
【详解】由可得：和异号，即或.
而，，可得和同号，且一个大于1，一个小于1.
因为，所有，，即数列的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1.
对于A：公比，因为，所以为减函数，所以为递减数列.故A正确；
对于B：因为，所以，所以.故B错误；
对于C：等比数列的前项积为，且数列的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1，所以是数列中的最大项.故C正确；
对于D：





因为，所以，即.故D错误.
故选：AC
12．（湖南省常德市五校联盟2022-2023学年高三上学期期中）已知公差为2的等差数列的前项和为，且满足.
(1)若，，成等比数列，求的值；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)9.
(2).
【分析】（1）根据题意可求得等差数列的通项公式，再利用条件结合等比中项性质列方程，即可求得答案.
（2）由（1）的结果求得的表达式，利用分组求和法结合等差数列以及等比数列的前n项和公式，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知数列是公差为2的等差数列，设公差为d，则，
又因为，所以即，得，
所以，
又因为，，成等比数列，即，
即，得．
（2）因为，
所以



.
13．（2022秋·山东临沂·高三统考期中）已知正项数列的前项和，且.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)记，证明.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据，求出，，得到是首项为1，公差为1的等差数列；
（2）在第一问的基础上，求出，再进行放缩，裂项相消求和，证明出不等式.
【详解】（1）证明：∵，
∴当时，，
∴，
∴.
当时，，
∴，即，
故是首项为1，公差为1的等差数列；
（2）证明：由（1）知正项数列满足，
所以；
，
∴.
即.
14．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）已知正项数列满足，且，.
(1)已知，求的通项公式；
(2)求数列的前2023项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由可得，从而得到，进而得到是以为首项，公比为的等比数列，再根据等比数列的通项公式即可求解；
（2）由可得，从而有，得到数列偶数项具有周期性，最后根据分组求和即可.
【详解】（1），，
，，
即，，即，
是以为首项，公比为的等比数列，
.
（2），
又，
，，
，即，
，即数列偶数项具有周期性，
，
所以·
15．（福建省福州华侨中学等多校2023届高三上学期期中）在国家一系列利好政策的支持下，我国新能源汽车产业发展迅速.某汽车企业计划大力发展新能源汽车，2021年全年生产新能源汽车1万辆，之后每年新能源汽车的产量都在前一年的基础上增加.记2021年为第一年，其产量为万辆，该汽车企业第年生产的新能源汽车为万辆.
(1)求的值；
(2)若从第年开始计算，连续3年该汽车企业生产的新能源汽车的总产量不低于19万辆，求的最小值.（参考数据：）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得数列是等比数列，根据等比数列的通项即可得解；
（2）由题意，根据等比数列的通项结合已知数据计算即可.
【详解】（1）解：由题意得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，
所以；
（2）解：由题意，
即，
即为，则，
即，则，
因为，
所以，解得，
又因，
所以的最小值为.