备战2023-2024学年高三上学期期中数学真题分类汇编（新高考通用）专题17统计与概率（十二大题型）（Word版附解析）

这是一份备战2023-2024学年高三上学期期中数学真题分类汇编（新高考通用）专题17统计与概率（十二大题型）（Word版附解析），共100页。

专题17统计与概率


统计图表
1．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期中）2022年，我国彩电、智能手机、计算机等产量继续排名全球第一，这标志着我国消费电子产业已经实现从“跟随”到“引领”的转变，开启了高质量发展的新时代．如图是2022年3月至12月我国彩电月度产量及增长情况统计图（单位：万台，%），则关于这10个月的统计数据，下列说法正确的是（    ）（注：同比，即和去年同期相比）
  
A．这10个月我国彩电月度产量的中位数为1726万台
B．这10个月我国彩电月度平均产量不超过1600万台
C．自2022年9月起，各月我国彩电月度产量均同比下降
D．这10个月我国彩电月度产量同比增长率的极差不超过0.4
【答案】D
【分析】根据条形图结合中位数，平均数和极差定义分别判断各个选项即可.
【详解】将这10个月我国彩电月度产量（单位：万台）按从小到大排列依次为1513，1540，1553，1650，1727，1783，1802，1846，1926，2097，
中位数为第5个数与第6个数的平均数，即，A错误；
这10个月我国彩电月度平均产量万台，B错误;
自2022年9月起，我国彩电月度产量虽然逐月减少，但同比是与去年同月相比，
由同比增长率可知，9月、10月、11月的同比增长率均为正数，故月度产量同比有所增长，C错误；
由题图可知，这10个月产量的同比增长率的最大值与最小值分别为25.6%与－8.3%，
故其极差为，故D正确．
故选:D．
2．（江苏省苏州市太仓市明德高级中学2022-2023学年高三上学期期中）下图反映2017年到2022年6月我国国有企业营业总收入及增速统计情况

根据图中的信息，下列说法正确的是（    ）
A．2017-2022年我国国有企业营业总收入逐年增加
B．2017-2022年我国国有企业营业总收入逐年下降
C．2017-2021年我国国有企业营业总收入增速最快的是2021年
D．2017-2021年我国国有企业营业总收入的平均数大于630000亿元
【答案】C
【分析】根据题意结合统计相关知识逐项判断即可.
【详解】因为2022下半年企业营业总收入未知，
所以无法判断2022年我国国有企业营业总收入是否增长，故A、B错误；
由图可知2017-2021年我国国有企业营业总收入增速依次为，
所以增速最快的是2021年，故C正确；
2017-2021年我国国有企业营业总收入的平均数为
亿元，
因为，故D错误.
故选：C.
3．（2022秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校联考期中）（多选）已知某地区中小学生人数如图①所示，为了解该地区中小学生的近视情况，卫生部门根据当地中小学生人数，用分层抽样的方法抽取了的学生进行视力调查，调查数据如图②所示，下列说法正确的有（    ）

图①                                    图②
A．该地区的中小学生中，高中生占比为
B．抽取调查的高中生人数为人
C．该地区近视的中小学生中，高中生占比超过
D．从该地区的中小学生中任取名学生，记近视人数为，则的数学期望约为
【答案】ABD
【分析】根据扇形统计图计算高中生的占比，可判断A选项；利用分层抽样可判断B选项；计算出近视的中小学生中，高中生的占比，可判断C选项；分析可知，利用二项分布的期望公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，由图①可知，该地区的中小学生中，高中生占比为，A对；
对于B选项，用分层抽样抽取了的学生，则抽取的高中生人数为人，B对；
对于C选项，该地区近视的中小学生中，小学生近视的人数为人，
初中生近视的人数为人，高中生近视的人数为人，
所以，该地区近视的中小学生中，高中生占比为，C错；
对于D选项，从该地区中的中小学生中任意抽取一名，该学生近视的概率为，
从该地区的中小学生中任取名学生，记近视人数为，则，
所以，，D对.
故选：ABD.
4．（福建省泉州市安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2023届高三期中）（多选）某医院护士对甲、乙两名住院病人一周内的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列说法正确的有（    ）
  
A．病人甲体温的极差为
B．病人乙的体温比病人甲的体温稳定
C．病人乙体温的众数、中位数与平均数都为
D．病人甲体温的上四分位数为
【答案】BC
【分析】根据折线图，结合极值，百分位数，众数，中位数和平均数的计算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择．
【详解】对于选项A：病人甲体温的最大值为，最小值为，故极差为，故A错误；
对于选项B：病人乙的体温波动较病人甲的小，极差为，也比病人甲的小，因此病人乙的体温比病人甲的体温稳定，故B正确；
对于选项C：病人乙体温按照从小到大的顺序排列为：，
病人乙体温的众数、中位数都为，
病人乙体温的平均数为：，故C正确；
对于选项D：病人甲体温按照从小到大的顺序排列为：，
又，
病人甲体温的上四分位数为上述排列中的第6个数据，即，故D错误．
故选：BC．
5．（2022秋·江苏南京·高三南京市第二十九中学校考期中）（多选）随着国民经济的快速发展和人民生活水平的不断提高，我国社会物流需求不断增加，物流行业前景广阔.社会物流总费用与GDP的比率是反映地区物流发展水平的指标，下面是年我国社会物流总费用与GDP的比率统计，则（    ）
  
A．这5年我国社会物流总费用逐年增长，且2021年增长的最多
B．这6年我国社会物流总费用的分位数为14.9万亿元
C．这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为
D．2022年我国的GDP超过了121万亿元
【答案】AD
【分析】由图表逐项判断可得答案.
【详解】由图表可知，20182022这5年我国社会物流总费用逐年增长，2021年增长的最多，且增长为万亿元，故A正确；
因为，则分位数为第5个，即为16.7，所以这6年我国社会物流总费用的分位数为16.7万亿元，故B错误；
由图表可知，2017−2022这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为，故C错误；
由图表可知，2022年我国的GDP为万亿元，故D正确.
故选：AD.
频率分布直方图
6．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中期中考试）要调查某地区高中学生身体素质，从高中生中抽取人进行跳远测试，根据测试成绩制作频率分布直方图如图，现从成绩在之间的学生中用分层抽样的方法抽取人，应从间抽取人数为，则（    ）．

A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】先由频率之和为解得值，再分别计算各段学生人数，根据抽样比得.
【详解】由题得，所以．
在之间的学生：人，
在之间的学生：人，
在之间的学生：人，
又用分层抽样的方法在之间的学生50人中抽取5人，即抽取比为：，
所以成绩在之间的学生中抽取的人数应为，即.
故选：D．
7．（河北省高碑店市崇德实验中学2023届高三上学期期中）（多选）为了向社会输送优秀毕业生，中等职业学校越来越重视学生的实际操作（简称实操）能力的培养．中职生小王在对口工厂完成实操产品100件，质检人员测量其质量（单位：克），将所得数据分成5组：．根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，其中质量在内的为优等品．对于这100件产品，下列说法正确的是（    ）
  
A．质量的平均数为99.7克（同一区间的平均数用区间中点值代替） B．优等品有45件
C．质量的众数在区间内 D．质量的中位数在区间内
【答案】ABD
【分析】根据频率分布直方图的性质，以及其数据特征估计值的计算，可得答案.
【详解】对于选项A，质量的平均数为（克），选项A正确；
对于选项B，优等品有件，选项B正确；
对于选项C，频率分布直方图上不能判断质量众数所在区间，质量众数不一定落在区间[98，100）内，所以选项C错误；
对于选项D，质量在内的有45件，质量在内的有15件，质量在内的有5件，所以质量的中位数一定落在区间内，所以选项D正确．
故选：ABD.
8．（重庆市第一中学校2023届高三上学期期中）（多选）近年来，加强青少年体育锻炼，重视体质健康已经在社会形成高度共识，某校为了了解学生的身体素质状况，举行了一场身体素质体能测试，以便对体能不达标的学生进行有效地训练，促进他们体能的提升，现从全部测试成绩中随机抽取200名学生的测试成绩，进行适当分组后，画出如图所示频率分布直方图，则（    ）

A．
B．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有70人
C．估计全校学生体能测试成绩的平均数为77
D．估计全校学生体能测试成绩的分位数为84
【答案】AD
【分析】根据频率分布直方图中频率和等于1可求出，判断A；求出成绩落在内的频率，再乘以总人数可判断B；根据频率分布直方图平均数的求解方法即可判断C；根据百分位数的定义求解可判断D.
【详解】对于A，根据频率和等于1得，解得，故A正确；
对于B，成绩在区间[80,100]内的学生人数约为，故B错误；
对于C，学生体能测试成绩的平均数约为，故C错误；
对于D，
，
所以这组数据的分位数的估计值落在区间内，
又因为，故学生体能测试成绩的分位数为84，故D正确，
故选：AD.
9．（广东省深圳市红岭中学2022-2023学年高三上学期期中）（多选）在某市高三年级举行的一次调研考试中，共有30000人参加考试.为了解考生的某科成绩情况，抽取了样本容量为的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在，按照的分组作出如图所示的频率分布直方图.若在样本中，成绩落在区间的人数为16，则由样本估计总体可知下列结论正确的为（    ）
  
A．
B．
C．考生成绩的第70百分位数为76
D．估计该市全体考生成绩的平均分为71
【答案】AC
【分析】根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1，即可判断A，根据成绩落在区间内的人数和频率可判断B，根据百分位数的定义和平均数的定义可判断CD．
【详解】对于A，因为，解得，故A正确；
对于B，因为成绩落在区间内的人数为16，所以样本容量，故B错误；
对于C，因为，，
所以考生成绩的第70百分位数落在区间，
设考生成绩的第70百分位数为,则，解得，
即考生成绩的第70百分位数为76，故C正确；
对于D，学生成绩平均分为,故D错误．
故选:AC．
10．（2022秋·江苏南通·高三统考期中）（多选）某书店为了解其受众人群，对100名顾客的年龄进行调研，并将所统计的数据制成如图所示的频率分布直方图.已知是各个小矩形上短边的中点，若点在一条直线上，点在一条直线上，且，则下列描述正确的是（    ）
  
A．的值为0.0108
B．数据的众数大于中位数
C．数据的中位数小于平均数
D．数据的第80百分位数大于60
【答案】AC
【分析】先从直线的性质，可求出的值，再利用众数、中位数、平均数、百分位数的概念求解即可.
【详解】因为点在一条直线上，且的横坐标的差相同，
所以它们的纵坐标的差值也相同，
因为，
所以，.
因为，
点在一条直线上，
所以，A正确；
数据的众数的估计值为，
设中位数为，因为，
所以，
解得，即数据的中位数约为41.02，
所以数据的众数小于中位数，B错误；
因为，所以平均数大于中位数，C正确；
因为，所以数据的第80百分位数小于60，D错误.
故选：AC.
11．（湖北省七市(州)教研协作体2023届高三上学期期中）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三挡：月用电量不超过200度的部分按元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按元/度收费，超过400度的部分按元/度收费.
  
(1)求某户居民月用电费（单位：元）关于月用电量（单位：度）的函数解析式；
(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题目条件，分段列出函数解析式即可；
（2）将代入（1）中解析式得到的值，再结合频率分布直方图求的值；
【详解】（1）当时，；
当时，，
当时，，
所以与之间的函数解析式为，
（2）由（1）可知：当时，，则，
结合频率分布直方图可知：，
∴

线性回归方程
12．（湖北省荆门市龙泉中学2023届高三上学期期中）已知两组数据和，其中且时，；且时，，，我们研究这两组数据的相关性，在集合中取一个元素作为a的值，使得相关性最强，则a=（    ）
A．8 B．11 C．12 D．13
【答案】B
【分析】根据相关性与线性回归方程的关系即可得到答案.
【详解】设点坐标为，且，
由题意得前9个点位于直线上，面，则要使相关性更强，应更接近10，
四个选项中11更接近10，
故选：B.
13．（安徽省合肥市庐江第五中学2022-2023学年高三上学期期中）（多选）某同学将收集到的六对数据制作成散点图如下，得到其经验回归方程为，计算其相关系数为，决定系数为．经过分析确定点F为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的五对数据计算得到经验回归方程为，相关系数为，决定系数为．下列结论正确的是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据散点图对相关性的强弱的影响即可判断四个选项.
【详解】由图可知两变量呈现正相关，故，，去掉“离群点”后，相关性更强，所以，故，故A正确，B不正确．
根据图象当去掉F点后，直线的基本在A,B,C,D,E附近的那条直线上，直线的倾斜程度会略向轴偏向，故斜率会变小，因此可判断，故C正确,D错误.
故选：AC．
14．（2022秋·浙江绍兴·高三绍兴一中校考期中）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示．

(1)依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；
(2)求y关于x的回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为10千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？
附：相关系数公式．
参考数据：
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
【答案】(1)，说明见解析
(2)；550千克
【分析】（1）根据散点图中的数据分别求得可得，，，，，进而求得相关系数，再与0.75比较下结论.
（2）结合（1）中的数据，分别求得，，写出回归方程，然后将代入求解.
【详解】（1）由已知数据可得，，
所以，
，
，
所以相关系数．
因为，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系．
（2），，
所以回归方程为．
当时，．
即当液体肥料每亩使用量为10千克时，西红柿亩产量的增加量约为550千克
15．（江苏省徐州市2022-2023学年高三上学期期中）如图是某采矿厂的污水排放量单位：吨与矿产品年产量单位：吨的折线图：

(1)依据折线图计算相关系数精确到，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合
(2)若可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程，并预测年产量为10吨时的污水排放量．
相关公式：，参考数据：．
回归方程中，
【答案】(1)相关系数，可用线性回归模型拟合y与x的关系
(2)，吨
【分析】（1）代入数据，算出相关系数r，将其绝对值与比较，即可判断可用线性回归模型拟合y与x的关系．
（2）先求出回归方程，求出当时的值，即为预测值．
【详解】（1）由折线图得如下数据计算得：
，，，

所以相关系数，
因为，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系
（2）
，
所以回归方程为，
当时，，
所以预测年产量为10吨时的污水排放量为吨
16．（湖北省部分省级示范高中2022-2023学年高三上学期期中）小李准备在某商场租一间商铺开服装店，为了解市场行情，在该商场调查了20家服装店，统计得到了它们的面积x（单位：）和日均客流量y（单位：百人）的数据，并计算得，，，.
(1)求y关于x的回归直线方程；
(2)已知服装店每天的经济效益，该商场现有的商铺出租，根据（1）的结果进行预测，要使单位面积的经济效益Z最高，小李应该租多大面积的商铺?
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
【答案】(1)
(2)小李应该租的商铺
【分析】（1）由已知条件结合回归直线公式可求出回归直线方程，
（2）根据题意得，，构造函数，利用二次函数的性质可求出其最大值，从而可求出Z的最大值
【详解】（1）由已知可得，，
，
，
所以回归直线方程为.
（2）根据题意得，.
设，令，，
则，
当，即时，取最大值，
又因为k，，所以此时Z也取最大值，
因此，小李应该租的商铺.
非线性回归方程
17．（2022秋·浙江杭州·高三学军中学校考期中）害虫防控对于提高农作物产量具有重要意义.已知某种害虫产卵数（单位：个）与温度（单位：）有关，测得一组数据，可用模型进行拟合，利用变换得到的线性回归方程为.若，则的值为 .
【答案】
【分析】将非线性模型两边同时取对数可得，再将样本中心点代入回归方程可得，即可计算出.
【详解】对两边同时取对数可得；
即，可得
由可得，
代入可得，即，所以.
故答案为：
18．（河北省石家庄市第十七中学2023届高三上学期期中）抗体药物的研发是生物技术制药领域的一个重要组成部分，抗体药物的摄入量与体内抗体数量的关系成为研究抗体药物的一个重要方面.某研究团队收集了10组抗体药物的摄入量与体内抗体数量的数据，并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值，抗体药物摄入量为x（单位：），体内抗体数量为y（单位：）.




29.2
12
16
34.4
  
(1)根据经验，我们选择作为体内抗体数量y关于抗体药物摄入量x的回归方程，将两边取对数，得，可以看出与具有线性相关关系，试根据参考数据建立关于的回归方程，并预测抗体药物摄入量为时，体内抗体数量的值；
(2)经技术改造后，该抗体药物的有效率z大幅提高，经试验统计得z服从正态分布，那这种抗体药物的有效率超过0.54的概率约为多少？
附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；
②若随机变量，则有，，；
③取.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）用最小二乘法求解回归直线方程，再求非线性回归方程即可；
（2）根据正态分布的对称性求解给定区间的概率即可.
【详解】（1）将两边取对数，得，
设，，则回归方程变为，
由表中数据可知，，，
所以，，
所以，即，
故y关于x的回归方程为，
当时，.
（2）因为z服从正态分布，其中，，
所以，
所以，
故这种抗体药物的有效率z超过0.54的概率约为.
19．（河北省沧州市沧县中学2023届高三上学期期中）经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表.





360














表中
  
(1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型并求出关于回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）
(2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有8个鱼卵，其中“死卵”有3个．现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望.
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
【答案】(1)适宜，
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，所以适宜作为与之间的回归方程模型；令，转化线性回归方程求解，进而得关于回归方程；
（2）由题意，的取值为，由全概率公式求得对应的概率，从而可求分布列及数学期望.
【详解】（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，
所以适宜作为与之间的回归方程模型；
令，则，
，
关于的回归方程为.
（2）由题意，设随机挑选一批，取出两个鱼卵，其中“死卵”个数为，则的取值为，
设“所取两个鱼卵来自第批”，所以，
设“所取两个鱼卵有个”“死卵”，
由全概率公式
，
，
，
所以取出“死卵”个数的分布列为：

0
1
2




.
所以取出“死卵”个数的数学期望.
20．（福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2023届高三上学期期中）中医药是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，是具有悠久历史传统和独特理论技术方法的医药体系，长期呵护着我们的健康，为中华文明的延续作出了突出贡献.某科研机构研究发现，某味中药的药用量x（单位：克）与药物功效（单位：药物功效单位）之间具有关系.
(1)估计该味中药的最佳用量与功效；
(2)对一批含有这昧中药的合成药物进行检测，发现这味中药的药用量平均值为6克，标准差为2，估计这批合成药的药物功效的平均值.
【答案】(1)该药物使用量为克时可达最大功效.
(2)
【分析】（1）根据用量与功效之间具有关系，结合二次函数的性质，即可求解；
（2）根据题意求得，，结合则，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，某味中药的药用量与药物功效之间具有关系，
可得，所以当时，，
即该药物使用量为克时可达最大功效.
（2）解：由题意，得，，所以，
则，
这批合成药的药物功效平均值为.
21．（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考期中）五一小长假期间，文旅部门在某地区推出A，B，C，D，E，F六款不同价位的旅游套票，每款套票的价格（单位：元；）与购买该款套票的人数（单位：千人）的数据如下表：
套票类别
A
B
C
D
E
F
套票价格（元）
40
50
60
65
72
88
购买人数（千人）
16.9
18.7
20.6
22.5
24.1
25.2
（注：A，B，C，D，E，F对应i的值为1，2，3，4，5，6）为了分析数据，令，，发现点集中在一条直线附近．
(1)根据所给数据，建立购买人数y关于套票价格x的回归方程；
(2)规定：当购买某款套票的人数y与该款套票价格x的比值在区间上时，该套票为“热门套票”．现有甲、乙、丙三人分别从以上六款旅游套票中购买一款．假设他们买到的套票的款式互不相同，且购买到“热门套票”的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．
附：①参考数据：，，，．
②对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，期望为2.
【分析】（1）利用给定的数据，结合最小二乘法公式求出的回归方程，再代换作答.
（2）利用（1）的结论结合已知，求出“热门套票”数，再借助超几何分布求出分布列、期望作答.
【详解】（1）由已知点集中在一条直线附近，设回归直线方程为，
由，，，
得，，
因此变量关于的回归方程为，
令，则，即，
所以关于的回归方程为.
（2）由，解得，所以，
于是为“热门套票”，则三人中购买“热门套票”的人数服从超几何分布，的可能取值为1,2,3，
，
所以的分布列为：

1
2
3




期望.
22．（2022秋·黑龙江牡丹江·牡丹江一中上学期期中）当前移动网络已融入社会生活的方方面面，深刻改变了人们的沟通､交流乃至整个生活方式.4G网络虽然解决了人与人随时随地通信的问题，但随着移动互联网快速发展，其已难以满足未来移动数据流量暴涨的需求，而5G作为一种新型移动通信网络，不但可以解决人与人的通信问题，而且还可以为用户提供增强现实､虚拟现实､超高清（3D）视频等更加身临其境的极致业务体验，更重要的是还可以解决人与物､物与物的通信问题，从而满足移动医疗､车联网､智能家居､工业控制､环境监测等物联网应用需求，为更好的满足消费者对5G网络的需求，中国电信在某地区推出了六款不同价位的流量套餐，每款套餐的月资费x（单位：元）与购买人数y（单位：万人）的数据如下表：
套餐
A
B
C
D
E
F
月资费x（元）
38
48
58
68
78
88
购买人数y（万人）
16.8
18.8
20.7
22.4
24.0
25.5
对数据作初步的处理，相关统计量的值如下表：




75.3
24.6
18.3
101.4
其中，且绘图发现，散点集中在一条直线附近.
(1)根据所给数据，求出关于的回归方程；
(2)已知流量套餐受关注度通过指标来测定，当时相应的流量套餐受大众的欢迎程度更高，被指定为“主打套餐”.现有一家四口从这六款套餐中，购买不同的四款各自使用.记四人中使用“主打套督”的人数为，求随机变量的分布列和期望.
附：对于一组数据，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计值分别为.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望=
【分析】（1）根据数据和最小二乘法公式求出a和即可；
（2）因为是一家4口购买不同的套餐，套餐的种类只有6种，所以X的取值为2,3,4，按照超几何分布的模式写出分布列和数学期望.
【详解】（1）因为散点集中在一条直线附近，设回归方程为，
由，则，
，故变量关于的回归方程为.又，
故，
综上，关于的回归方程为；
（2）由，解得，
而，所以即为“主打套餐”.
则四人中使用“主打套餐”的人数服从超几何分布，又：一共只有6种套餐，一家4口选择不同的套餐，所以X的取值只能是，
且，
分布列为

2
3
4




期望.

独立性检验
23．（江苏省徐州市第七中学2023届高三上学期期中）根据分类变量与的观测数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（    ）












A．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过
B．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过
C．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过
D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过
【答案】B
【分析】根据找出对应的的值，并比较与卡方值得大小,进而由卡法的定义推出相应结论即可.
【详解】因为时，所以，
所以变量与不独立，且这个结论犯错误的概率不超过.
故选:B.
24．（广东省佛山市第四中学2023届高三上学期期中）2022年支付宝“集五福”活动从1月19日开始，持续到1月31日，用户打开支付宝最新版，通过AR扫描“福”字集福卡（爱国福、富强福、和谐福、友善福、敬业福），在除夕夜22：18前集齐“五福”的用户获得一个大红包．某研究型学习小组为了调查研究“集五福与性别是否有关”，现从某一社区居民中随机抽取200名进行调查，得到统计数据如下表所示：

集齐“五福”卡
末集齐“五福”卡
合计
男性
80
20
100
女性
65
35
100
合计
145
55
200
(1)请根据以上数据，由的独立性检验，判断集齐“五福”是否与性别有关；
(2)现采用分层抽样的方法从男性的样本中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，求这3人中恰有1人未集齐“五福”卡的概率．
参考公式：，其中．

0.10
0.050
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828
【答案】(1)有
(2)
【分析】（1）由公式根据列联表求出，将其与临界值比较大小，根据比较结果判断即可；
（2）由条件列出所有基本事件，再由古典概型的概率公式求解.
【详解】（1）根据列联表可得：，
又，，
所以由的独立性检验，可认为是否集齐“五福”与性别有关；
（2）设集齐“五福”卡的男性抽取x人，则，所以，
故抽取的5人中集齐“五福”卡的男性有4人，未集齐“五福”卡的男性有1人，
设被抽取的集齐“五福”卡的4名男性为,未集齐“五福”卡的1名男性为，
从5人中任意抽取3人的所有基本事件如下：
，
，
所以基本事件总数为10，其中事件恰有1人未集齐“五福”卡包含的基本事件有：
共6种，
由古典概型的概率公式可得事件恰有1人未集齐“五福”卡的概率,
故这3人中恰有1人未集齐“五福”卡的概率是.
25．（浙江省杭州市第二中学滨江校区2022-2023学年高三上学期期中）为研究大理州居民的身体素质与户外体育锻炼时间的关系，对大理州某社区200名居民平均每天的户外体育锻炼时间进行了调查，统计数据如下表：
平均每天户外体育
锻炼的时间（分钟）






总人数
20
36
44
50
40
10
规定：将平均每天户外体育锻炼时间在分钟内的居民评价为“户外体育锻炼不达标”，在分钟内的居民评价为“户外体育锻炼达标”．
(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与户外体育锻炼是否达标有关联？

户外体育锻炼不达标
户外体育锻炼达标
合计
男



女

20
110
合计



(2)从上述“户外体育锻炼不达标”的居民中，按性别用分层抽样的方法抽取5名居民，再从这5名居民中随机抽取3人了解他们户外体育锻炼时间偏少的原因，记所抽取的3人中男性居民的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
(3)将上述调查所得到的频率视为概率来估计全州的情况，现在从全州所有居民中随机抽取4人，求其中恰好有2人“户外体育锻炼达标”的概率．
参考公式：，其中．
参考数据：（独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值）

0.10
0.05
0.025
0.010

2.706
3.841
5.024
6.635
【答案】(1)表格见解析，有关联
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】（1）根据所给的数据列出列联表，求出与参考数据比较即可得出结果；
（2）由题意，可知可取0,1,2，求出分布列，再求数学期望即可；
（3）设所抽取的4名学生中，课外体育达标的人数为，可知即可得解.
【详解】（1）

户外体育锻炼不达标
户外体育锻炼达标
合计
男
60
30
90
女
90
20
110
合计
150
50
200
零假设为：性别与户外体育锻炼是否达标无关联，
根据列联表中的数据，经计算得到，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为性别与户外体育锻炼是否达标有关联；
（2）所抽取的5名居民中男性为名，女性为名，
X的所有可能取值为0，1，2，
，，，
所以X的分布列为
X
0
1
2
P



所以；
（3）设所抽取的4名居民中“户外体育锻炼达标”的人数为，
列联表中居民“户外体育锻炼达标”的频率为，
将频率视为概率则，所以，
所以从全州所有居民中随机抽取4人，
其中恰有2人“户外体有锻炼达标”的概率为．
26．（2022秋·广东广州·高三广州市白云中学校考期中）某城市在创建“国家文明城市”的评比过程中，有一项重要指标是评估该城市在过去几年的空气质量情况，考评组随机调取了该城市某一年中100天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如下表：
AQI




空气质量
优良
轻度污染
中度污染
重度污染
天数
17
48
20
15
(1)某企业生产的产品会因为空气污染程度带来一定的经济损失，其中经济损失S（单位：元）与空气质量指数（AQI）（记为x）有关系式，在本年度内随机抽取一天，求这一天的经济损失S大于400元且不超过800元的概率.
(2)若本次抽取得样本数据中有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.

重度污染
非重度污染
合计
供暖季的天数



非供暖季的天数



合计


100
附：

0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)
(2)表格见解析，有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.
【分析】（1）根据古典概型可求概率；
（2）根据独立性检验，填写列联表并代入公式计算.
【详解】（1）要使，可知空气质量指数（AQI）.
根据题意，空气质量指数（AQI）的天数为20天，
所调取的数据为100天，
所以概率为.
（2）补充的列联表为

重度污染
非重度污染
合计
供暖季的天数
8
22
30
非供暖季的天数
7
63
70
合计
15
85
100
.
可见，有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.
27．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学上学期期中）网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图.这名市民中，年龄不超过岁的有人.将所抽样本中周平均网购次数不少于次的市民称为网购迷，且已知其中有名市民的年龄超过岁.
  
(1)根据已知条件完成下面的列联表，并判断是否可以在犯错误的概率不超过的前提下认为网购迷与年龄不超过岁有关？

网购迷
非网购迷
总计
年龄不超过岁



年龄超过岁



总计



(2)现将所抽取样本中周平均网购次数不少于次的市民称为超级网购迷，且已知超级网购迷中有名超过岁，若从超级网购迷中任意选取名，求至少有名市民年龄超过岁的概率.
附：










【答案】(1)列联表见解析；可以在犯错误的概率不超过的前提下认为网购迷与年龄不超过岁有关
(2)
【分析】（1）根据已知数据可计算得到列联表所需数据，进而得到列联表；根据列联表可计算求得，对比临界值表可得结论；
（2）根据已知数据可知超级网购迷中年龄不超过岁的人数，结合组合数的知识，根据古典概型和对立事件概率公式可求得结果.
【详解】（1）由频数分布表可知：周平均网购次数不少于次的市民有名，
又其中有名市民的年龄超过岁，年龄不超过岁的网购迷有名；
名市民中，年龄不超过岁的有名，
年龄超过岁的非网购迷有名，
则列联表如下：

网购迷
非网购迷
总计
年龄不超过岁



年龄超过岁



总计



，
可以在犯错误的概率不超过的前提下认为网购迷与年龄不超过岁有关.
（2）由频数分布表可知：周平均网购次数不少于次的市民共有名，
若超级网购迷中有名超过岁，则有名不超过岁，
从超级网购迷中任取名，则共有种取法；
其中名市民年龄都不超过岁的取法有种，
至少名市民年龄超过岁的概率.

条件概率
28．（河北省唐山市开滦第二中学2022-2023学年高三上学期期中）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.则在第2次投篮的人是乙的情况下第一次是甲投篮的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件概率以及贝叶斯概率公式，即可求得答案.
【详解】设表示第i次投篮的人为甲，；表示第i次投篮的人为乙，；
则第2次投篮的人是乙的情况下第一次是甲投篮的概率：，
故选：A.
29．（山东省德州市2022-2023学年高三上学期期中数学试题）（多选）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用事件和表示从甲罐中取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，用事件B表示从乙罐中取出的球是红球，则下列结论正确的是（   ）
A．
B．
C．事件B与事件相互独立
D．是两两互斥的事件
【答案】BD
【分析】根据条件概率公式计算可知B正确；根据全概率公式计算可知A不正确；根据计算可知，故C不正确；根据互斥事件的定义可知D正确.
【详解】依题意得，，，
则，故B正确；
，，
所以
，故A不正确；
因为，，，
所以事件B与事件不相互独立，故C不正确；
根据互斥事件的定义可知是两两互斥的事件，故D正确.
故选：BD
30．（湖南省株洲市五雅中学2022-2023学年高三上学期期中）甲乙两人进行象棋比赛，先胜三局的人晋级，假设甲每局获胜的概率为（不考虑平局），
(1)若比赛三局后结束，求甲晋级的概率；
(2)若已知晋级的是甲，求比赛三局后结束的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式求解,
（2）利用条件概率公式求解.
【详解】（1）比赛三局后结束，甲晋级，表示三局甲全获胜，设比赛三局后甲晋级为事件,
则甲晋级的概率为;
（2）设甲晋级为事件,
有三种情况，可能比赛三场且这三场比赛甲都获胜，其概率为，
可能比赛四场前三场甲胜两场第四场比赛甲获胜，其概率为,
可能比赛五场前四场比赛甲胜两场，第五场比赛甲获胜，其概率为，
所以,
设比赛三局后结束为事件,则,
由条件概率公式可知.
31．（江苏省淮安市涟水县第一中学2023届高三上学期期中）（多选）设是一个随机试验中的两个事件，且，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据和事件的概率公式和条件概率公式逐个分析求解即可
【详解】对于A，因为，，
所以，所以A正确，
对于B，因为，所以，
所以，所以B错误，
对于C，因为，所以，
所以，，
所以，所以C正确，
对于D，因为，所以，所以，
所以，所以D正确，
故选：ACD
32．（湖南省岳阳市第一中学2023届高三上学期期中）（多选）骰子通常作为桌上游戏的小道具.最常见的骰子是六面骰，它是一个质地均匀的正方体，六个面上分别写有数字，现有一款闯关游戏，共有3关，规则如下：在第关要抛掷六面骰次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第关，，假定每次闯关互不影响，则（    ）
A．挑战第1关通过的概率为
B．直接挑战第2关并过关的概率为
C．连续挑战前两关并过关的概率为
D．若直接挑战第3关，设“三个点数之和等于15”，“至少出现一个5点”，则
【答案】BCD
【分析】根据题意，结合古典摡型的概率计算公式，相互独立事件的概率乘法公式，以及条件概率的计算方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，闯第1关时，，满足条件的点数有三种情况，
所以挑战第1关通过的概率为，所以A错误；
对于B中，直接挑战第2关，则，
所以投掷两次点数之和应大于6，即点数为共21种情况，
故直接挑战第2关并过关的概率为，所以B正确；
对于C中，连续挑战前两关并过关的概率为，所以C正确；
对于D中，由题意可知，抛掷3次的基本事件有个，
抛掷3次至少出现一个5点的基本事件共有个，故，
而事件包括：含的1个，含的有6个，一共有7个，故，
所以，所以D正确.
故选：BCD.
33．（2022秋·辽宁丹东·高三统考期中）（多选）一个盒子中装有个黑球和个白球（，均为不小于2的正整数），现从中先后无放回地取2个球.记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据题意，得到第一次取得黑球的概率，第一次取得白球的概率，结合条件概率的计算公式，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，第一次取得黑球的概率，第一次取得白球的概率，
第一次取黑球，第二次取黑球的概率；
第一次取黑球，第二次取白球的概率，所以A错误；
第一次取白球，第二次取黑球的概率，所以B正确；
第一次取白球，第二次取白球的概率，
；，
所以，所以C错误；
由，所以D正确.
故选：BD.

全概率公式
34．（湖北省宜昌市协作体2022-2023学年高三上学期期中联考数学试题）某人从A地到B地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.3，0.3，0.4，乘火车迟到的概率为0.2，乘轮船迟到的概率为0.3，乘飞机迟到的概率为0.4，则这个人从A地到B地迟到的概率是（    ）
A．0.16 B．0.31 C．0.4 D．0.32
【答案】B
【分析】根据全概率公式结合已知条件求解即可.
【详解】设事件A表示“乘火车”，事件B表示“乘轮船”，事件C表示“乘飞机”，事件D表示“迟到”，
则，，，，，，，
由全概率公式得：.
故选：B.
35．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期中）（多选）某市场供应多种品牌的N95口罩，相应的市场占有率和优质率的信息如下表：
品牌
甲
乙
其他
市场占有率



优质率



在该市场中随机买一种品牌的口罩，记表示买到的口罩分别为甲品牌、乙品牌、其他品牌，记表示买到的口罩是优质品，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】对于A，利用互斥事件的概率公式求解判断，对于BD，由条件概率公式计算判断，对于C，由全概率公式计算判断.
【详解】由题意得，
对于A，因为与互斥，所以，所以A正确，
对于B，，所以B错误，
对于C，
，所以C正确，
对于D，，所以D错误，
故选：AC
36．（2022秋·山东潍坊·高三潍坊一中校考期中）（多选）甲箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球，2个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，事件和分别表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，事件表示由乙箱取出的球是红球，则（    ）
A．事件与事件相互独立 B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据题意得到，，结合独立事件的概率乘法公式和条件概率的公式，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，可得，，
对于A中，由，且，
可得，所以事件与事件不相互独立，所以A错误；
对于B中，由，所以B正确；
对于C中，由A项可得，所以C不正确；
对于D中，由，所以D正确.
故选：BD.
37．（江苏省宿迁市北大附属宿迁实验学校2022-2023学年高三上学期期中）根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为：

1
2
3
0





（其中）
每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为，且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子，事件B表示一个家庭的男孩比女孩多（若一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多）.
(1)若，求，并根据全概率公式求；
(2)是否存在值，使得，请说明理由.
【答案】(1)，
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）由概率之和为1列出方程，求出，计算出，然后利用全概率公式可求得结果，
（2）假设存在，使，由于，两式相乘后得，设，利用导数可求出其最小值进行判断.
【详解】（1）当时，，
则，解得.
由题意，得.
由全概率公式，得

又，所以.
（2）由，得.
假设存在，使.
将上述两式相乘，得，
化简，得.
设，则.
由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，
所以不存在使得.即不存在值，使得.
【点睛】关键点点睛：此题考查全概率公式的应用，考查离散型随机变量的分布列，考查导数的应用，第（2）问解题的关键是根据概率和为1，和期望公式列方程，化简后利用导数解决，考查数学计算能力，属于较难题.
38．（2022秋·福建福州·高三校联考期中）（1）若和是两个互斥事件，求证：；
（2）在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为，其中为显性基因，为隐性基因，且这三种基因型的比为，如果在子二代中任意选取株豌豆进行杂交试验，试求出子三代中基因型为的概率.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）根据互斥事件的概率公式及条件概率公式证明即可；
（2）子二代基因配型有六种情况：分别记为事件，“子三代中基因型为”记为事件，利用全概率公式求解即可.
【详解】（1）已知事件与事件互斥，所以事件与事件互斥，有

所以
（2）子二代基因配型有六种情况：分别记为事件，
“子三代中基因型为”记为事件，则
事件






配型




















.
所以子三代中出现基因型为的概率是.
39．（2022秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考期中）邮件管理是一类非常常见的二元分类问题．如果将“非垃圾邮件”归类为正类邮件，“垃圾邮件”归类为负类邮件，试回答以下问题：
(1)若在邮件中正类邮件与负类邮件的占比分别为和，由于归类模型的误差，归类判断可能出错的概率均为0.05．若某个邮件归类为正类邮件，求它原本是正类邮件的概率；
(2)在机器学习中，利用算法进行归类，常用分别表示将正类邮件归类为正类邮件的个数，将负类邮件归类为负类邮件的个数，将负类邮件归类为正类邮件的个数，将正类邮件归类为负类邮件的个数．统计发现，收到邮件的种类可能与是否在工作日有关．为了验证此现象，在一段时间内，从数据库中随机抽取若干邮件，包含有正类邮件和负类邮件，按照机器学习的方法进行分类后，得到以下数据：．并给出了下表，试回答以下问题：
       时间
邮件
工作日
休息日
合计
正类
70


负类

18

合计



（ⅰ）求（充分大）封邮件归类正确的概率；
（ⅱ）补充上表，依据小概率值的独立性检验，分析收到邮件的种类与是否在工作日有关？
附：．

0.10
0.05
0.001
0.005

2.706
3.841
6.635
7.879
【答案】(1)
(2)（ⅰ）（ⅱ）认为收到邮件的种类与是否在工作日有关，此推断犯错误的概率不大于.
【分析】（1）由条件概率和全概率公式求解即可；
（2）（ⅰ）由古典概率的公式即可求出（充分大）封邮件归类正确的概率；（ⅰⅰ）补全列联表，计算并对照卡方表完成检验.
【详解】（1）设事件“该邮件为正类邮件”，“该邮件归类为正类邮件”，
所以,
所以

（2）（ⅰ）因为表示将邮件归类正确，
所以邮件归类正确的概率为，
所以（充分大）封邮件归类正确的概率是.
（ⅰⅰ）补全列联表如下：
       时间
邮件
工作日
休息日
合计
正类
70
5
75
负类
7
18
25
合计
77
23
100
零假设为：收到邮件的种类与是否在工作日无关，
根据列联表中的数据，经计算可得：，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为收到邮件的种类与是否在工作日有关，此推断犯错误的概率不大于.
独立事件的概率
40．（江苏省南通市如东高级中学2023届高三上学期期中）某校高三举办“三环杯”排球比赛活动，现甲、乙两班进入最后的决赛，决赛采用三局两胜的赛制，决出最后的冠军，甲班在第一局获胜的概率为，从第二局开始，甲班每局获胜的概率受上局比赛结果的影响，若上局获胜，则该局甲班获胜的概率增加，若上局未获胜，则该局甲班获胜的概率减小，且甲班前两局连胜两场获胜的概率为（每局比赛没有平局）.
(1)求甲班获胜的概率；
(2)若冠军奖品为16个排球，且在甲班第一局获胜的情况下，由于不可抗拒力的原因，比赛被迫取消，请问：你认为甲、乙如何分配奖品比较合理.
【答案】(1)
(2)甲班级应获得13个排球，乙获得3个排球比较合理
【分析】（1）先求出，再利用互斥事件得概率加法公式和相互独立事件得概率乘法公式计算即可；
（2）先求出再甲第一局获胜的情况下，甲输掉比赛的事件概率，即可求解.
【详解】（1）令事件：甲在第局获胜，.
甲连胜两局的概率为：，
所以，则甲获胜的概率为：


（2）由题意知，在甲且在甲第一局获胜的情况下，
甲输掉比赛事件为：甲接下来的比赛中连输两场，即，
故而甲、乙应按照的比例来分配比赛奖金，
即甲班级应获得13个排球，乙获得3个排球比较合理
41．（华师─附中等T8联考2022-2023学年高三上学期期中）为了提高居民参与健身的积极性，某社区组织居民进行乒乓球比赛，每场比赛采取五局三胜制，先胜3局者为获胜方，同时该场比赛结束，每局比赛没有平局.在一场比赛中，甲每局获胜的概率均为p，且前4局甲和对方各胜2局的概率为.
(1)求p的值；
(2)记该场比赛结束时甲获胜的局数为X，求X的分布列与期望.
【答案】(1)
(2)答案见解析，
【分析】（1）由前4局甲和对方各胜2局的概率为，列方程求解即可，
（2）由题意可知的取值可能为，求出相应的概率，从而可求得X的分布列与期望
【详解】（1）由题可知，前4局甲和对方各胜2局的概率为，        
则，即，                
解得.
（2）由题可知，的取值可能为，
且，
        
则的分布列为

0
1
2
3





所以
42．（广东省广州市南沙区东涌中学2023届高三上学期期中）甲、乙两人组成“梦想队”参加“极速猜歌”比赛，比赛共两轮，每轮比赛从队伍中选出一人参与，参与比赛的选手从曲库中随机抽取一首进行猜歌名.若每轮比赛中甲、乙参与比赛的概率相同.甲首次参与猜歌名，猜对的概率为；甲在第一次猜对歌名的条件下，第二次也猜对的概率为；甲在第一次猜错歌名的条件下，第二次猜对的概率为.乙首次参与猜歌名，猜对的概率为；乙在第一次猜对歌名的条件下，第二次也猜对的概率为；乙在第一次猜错歌名的条件下，第二次猜对的概率为甲、乙互不影响.
(1)求在两轮比赛中，甲只参与一轮比赛的概率；
(2)记“梦想队”一共猜对了首歌名，求的分布列及期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，期望为
【分析】（1）根据相互独立事件概率计算公式求得甲只参与一轮比赛的概率.
（2）首先计算出“梦想队”一共猜对首歌名、首歌名的概率，然后利用对立事件概率计算公式，求得“梦想队”一共猜对首歌名的概率，由此求得分布列并求得数学期望.
【详解】（1）依题意，每轮比赛中甲、乙参与比赛的概率相同，
甲只参与一轮比赛，即“参加第一轮，不参加第二轮”或“不参加第一轮，参加第二轮”，
所以甲只参与一轮比赛的概率为.
（2）每轮由两人选一人参赛，每次参赛结果有两种，，所以：
；
；
.
的分布列为

0
1
2




.
43．（2022秋·浙江绍兴·高三绍兴一中期中考试）如图，是正三角形，一点从A出发，每次投掷一枚骰子，若向上点数大于或等于5，则沿的边顺时针移动到下一个顶点；若向上的点数小于或等于4，则沿的边逆时针移动到下一个顶点.
  
(1)求投掷2次骰子后，该点恰好回到A点的概率；
(2)若投掷4次骰子，记经过B点的次数为X，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得顺时针移动到下一个顶点的概率为，逆时针移动到下一个顶点的概率为，然后利用独立事件和互斥事件的概率公式求解即可，
（2）由题意可得，求出相应的概率，从而可得.
【详解】（1）由题意得顺时针移动到下一个顶点的概率为，逆时针移动到下一个顶点的概率为，
所以投掷2次骰子后，该点恰好回到A点的概率为：；
（2）由题意可得，则
；
；
；
所有X得分布列为：
X
0
1
2
P



.
44．（山东省聊城市2022-2023学年高三上学期期中）甲、乙分别拥有3张写有数字的卡片，甲的3张卡片上的数字分别为X，Y，Z，乙的3张卡片上的数字分别为x，y，z，已知．他们按如下规则做一个“出示卡片，比数字大小”的游戏：甲、乙各出示1张卡片，比较卡片上的数字的大小，然后丢弃已使用过的卡片．他们共进行了三次，直至各自用完3张卡片，且在出示卡片时双方都不知道对方所出示的卡片上的数字．三次“出示卡片，比数字大小”之后，认定至少有两次数字较大的一方获得胜利．
(1)若第一次甲出示的卡片上写有数字X，乙出示的卡片上写有数字z，求乙最终获得胜利的概率；
(2)记事件“第一次乙出示的卡片上的数字大”，事件“乙获得胜利”，试比较A和B哪个概率大，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据互斥事件与独立事件概率公式求解即可；
（2）确定事件的样本空间，利用古典概型计算即可.
【详解】（1）由于第一次乙出示的卡片上的数字较小，故第二次、第三次乙出示的卡片上的数字必须较大才能获得胜利，
所以乙获得胜利为事件，则．
（2）在第一次出示的卡片中，样本空间为第一次双方出示的卡片上的数字匹配情况，
则，，
所以．
记，，，，，，
则三次出示卡片甲、乙卡片上数字匹配情况的样本空间为，“乙获得胜利”，所以．
故事件A的概率比事件B的概率大．即
超几何分布
45．（2022秋·山东青岛·高三山东省青岛第一中学校考期中）（多选）一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为取出白球的个数，随机变量为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（    ）
A．服从超几何分布 B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据已知条件，利用超几何分布的定义、性质以及超几何额期望公式分析即可.
【详解】由题意知，随机变量服从超几何分布，故A选项正确，
的取值可能为：，
所以，故B选项正确，
又，，
，，
所以，
的取值可能为：，
由题意得，所以，
所以，
，
，
所以，
所以，故C选项错误，
若，则，
故D选项正确，
故选：ABD.
46．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）年7月日第届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行．为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于至之间，将数据按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中的值，并估计这名学生成绩的中位数；
(2)在这名学生中用分层抽样的方法从成绩在，，的三组中抽取了人，再从这人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望；
【答案】(1)；
(2)分布列见解析；
【分析】（1）由频率之和为，可构建的方程，求解即可；令中位数为，由的频率之和为，可构建的方程，求解即可;
（2）先按抽样比算出各层样本数，接着我们发现服从超几何分布，写出分布列，算出期望即可.
【详解】（1）由频率分布直方图的性质可得，，
解得，
设中位数为，
，解得．
（2），，三组的频率之比为，
从，，中分别抽取7人，3人，1人，
则可取，
，
，
，
，
故的分布列为：

0
1
2
3





故．
47．（广东省佛山市顺德区2023届高三上学期期中）为了进一步学习贯彻党的二十大精神，准确把握全会的精神实质和重大部署，自觉用精神武装头脑、指导实践、推动工作，某单位组织全体员工开展“红色百年路·科普万里行”知识竞赛，并随机抽取100位员工的竞赛成绩进行统计，按，，，，，，分组制作频率分布直方图如图所示，且，，，0.025成等差数列．

(1)求的值并估算100位员工竞赛成绩的中位数（同一组中的数据用区间中点值作代表）；
(2)规定：成绩在内为优秀，根据以上数据完成列联表，并判断是否有95%的把握认为此次竞赛成绩与年龄有关；

优秀
非优秀
合计
岁

15

岁
5


合计



(3)根据（2）中的数据分析，将频率视为概率，从员工成绩中用随机抽样的方法抽取2人的成绩，记被抽取的2人中成绩优秀的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的数学期望．
附：，．

0.150
0.100
0.050
0.010
0.005

2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
【答案】(1)中位数约为分；
(2)补全列联表，有95%的把握认为此次竞赛成绩与年龄有关；
(3)的数学期望.
【分析】（1）根据频率之和为1和等差数列的性质求得，再根据每组的组中值乘以该组的频率之和就是平均数，中位数左边的频率之和为求得中位数；
（2）根据题意求得优秀人数为位，从而可以补全列联表，计算，查表可判断；
（3）先求得随机抽取一人，此人成绩优秀的概率，从而判断，根据二项分布的均值公式即可求解.
【详解】（1）根据频率分布直方图中的数据，可得
.
因为，，，0.025成等差数列，所以，
解得.
则这100位员工竞赛成绩的平均数 ，
所以这100位员工竞赛成绩的平均数约为分.
由频率分布直方图可得前三组的频率之和为，
前四组的频率之和为，
所以中位数在区间内，设中位数为，
则，解得，
所以这100位员工竞赛成绩的中位数约为分；
（2）因为成绩在内为优秀，所以优秀人数为，
补全列联表如下：

优秀
非优秀
合计
岁
10
15
25
岁
5
70
75
合计
15
85
100
所以，
故有95%的把握认为此次竞赛成绩与年龄有关；
（3）根据（2）的数据分析，可得随机抽取一人，此人成绩优秀的概率，
根据题意得，，
所以的数学期望.
48．（广东省佛山市第四中学2023届高三上学期期中）为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习．第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间（满时长15小时），将其分成六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
  
(1)求a的值；
(2)以样本估计总体，该地区教职工学习时间近似服从正态分布，其中近似为样本的平均数，经计算知．若该地区有5000名教职工，试估计该地区教职工中学习时间在内的人数；
(3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在内的教职工中随机抽取5人，并从中随机抽取3人作进一步分析，分别求这3人中学习时间在内的教职工平均人数．（四舍五入取整数）
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．
【答案】(1)
(2)估计该地区教职工中学习时间在内的人数约为4093
(3)这3人中学习时间在内的教职工平均人数约为1
【分析】（1）根据频率之和为1即可求解，
（2）根据正态分布的对称性即可求解概率，进而可求人数，
（3）求出超几何分布的分布列，即可求解期望.
【详解】（1）由题意得，
解得．
（2）由题意知样本的平均数为，
所以．
又，所以．
则，
所以估计该地区教职工中学习时间在内的人数约为4093．
（3）对应的频率比为，即为，
所以抽取的5人中学习时间在内的人数分别为2，3，
设从这5人中抽取的3人学习时间在内的人数为，
则的所有可能取值为0，1，2，
，，，
所以．
则这3人中学习时间在内的教职工平均人数约为1．
49．（2022·浙江宁波·高三统考）已知外形完全一样的某品牌电子笔支装一盒，每盒中的电子笔次品最多一支，每盒电子笔有次品的概率是.
(1)现有一盒电子笔，抽出两支来检测.
①求抽出的两支均是正品的概率；
②已知抽出的两支是正品，求剩余产品有次品的概率.
(2)已知甲乙两盒电子笔均有次品，由于某种原因将两盒笔完全随机的混合在了一起，现随机选支电子笔进行检测，记为选出的支电子笔中次品的数目，求的分布列和期望.
【答案】(1)①；②
(2)分布列见解析，数学期望
【分析】（1）①根据全概率公式直接求解即可；
②根据贝叶斯公式直接求解即可；
（2）根据超几何分布概率分布计算得到每个取值对应的概率，从而得到分布列；根据数学期望公式可直接求得期望值.
【详解】（1）①记事件：该盒有次品；事件：抽出的两支均是正品；
则，，，
；
②.
（2）由题意知：两盒笔中共有支正品，支次品，所有可能的取值为，
；；；
的分布列为：








.
50．（河北省石家庄精英中学2023届高三上学期期中）人工智能是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟．某校成立了、两个研究性小组，分别设计和开发不同的软件用于识别音乐的类别：“古典音乐”、“流行音乐”和“民族音乐”．为测试软件的识别能力，计划采取两种测试方案．
方案一：将首音乐随机分配给、两个小组识别．每首音乐只被一个软件识别一次，并记录结果；
方案二：对同一首音乐，、两组分别识别两次，如果识别的正确次数之和不少于三次，则称该次测试通过．
(1)若方案一的测试结果显示：正确识别的音乐数之和占总数的；在正确识别的音乐数中，组占；在错误识别的音乐数中，组占．
（i）用频率估计概率，两个研究性小组的软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为多少？
（ii）利用（i）中的结论，求方案二在一次测试中获得通过的概率：
(2)若方案一的测试结果如下：
音乐类别
小组
小组
测试音乐数量
正确识别比例
测试音乐数量
正确识别比例
古典音乐




流行音乐




民族音乐




在小组、小组识别的歌曲中各任选首，记、分别为小组、小组正确识别的数量，试比较、的大小（直接写出结果即可）．
【答案】(1)（i）、研究性小组的软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为、；（ii）
(2)
【分析】（1）（i）根据题意计算出、两个研究性小组识别音乐正确和错误的数量，即可求得两个研究性小组的软件每次能正确识别音乐类别的概率；
（ii）利用独立重复试验的概率公式、独立事件的概率公式以及互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）分析可知，，根据超几何分布的期望公式可得出、的值，即可得出结论.
【详解】（1）解：（i）对于方案一，设、两个研究性小组的软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为、，
首音乐中，正确被识别的数量为首，错误被识别数量为首，
其中组识别正确的数量为首，组识别正确的数量为首，
其中组识别错误的数量为首，组识别错误的数量为首，
故，；
（ii）记事件方案二在一次测试中获得通过，
则.
（2）解：由题意可知，小组识别正确的歌曲数量为首，
小组识别正确的歌曲数量为，
由题意可知，、均服从超几何分布，且，，
根据超几何分布的期望公式可得，，
因此，.
二项分布
51．（湖南省长沙市雅礼中学2023届高三上学期期中）第四届应急管理普法知识竞赛线上启动仪式在3月21日上午举行，为普及应急管理知识，某高校开展了“应急管理普法知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取100名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“普法王者”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.
  
(1)若该校参赛人数达20000人，请估计其中有多少名“普法王者”；
(2)随机从该高校参加竞赛的学生中抽取3名学生，记其中“普法王者”人数为，用频率估计概率，请你写出的分布列.
【答案】(1)
(2)分布列见解析
【分析】（1）由频率分布直方图的概率和为1求出的值，再由频数=频率×概率得出“普法王者”的人数；
（2）由题意得的取值为0，1，2，3，求出对应概率，可得的分布列.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，，
解得，成绩不低于80分的学生被评为“普法王者”，
则“普法王者”的频率为，
则该校参赛人数达20000人中“普法王者”人数为.
（2）随机从该高校参加竞赛的学生中抽取3名学生，记其中“普法王者”人数为，
则的取值为0，1，2，3，
由（1）知，从中任取一人是“普法王者”的概率为，不是“普法王者”的概率为，
则，，
，；
故的分布列为：

0
1
2
3





52．（辽宁省大连市滨城联盟2022-2023学年高三上学期期中）为了监控某一条生产线的生产过程，从其产品中随机抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图．
  
(1)求这些产品质量指标值落在区间内的频率；
(2)若将频率视为概率，从该条生产线的这种产品中随机抽取2件，记这2件产品中质量指标值位于区间内的产品件数为X，求X的分布列与数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列详见解析，数学期望为
【分析】（1）根据频率分布直方图的知识求得正确答案.
（2）利用二项分布的知识求得分布列以及数学期望.
【详解】（1）产品质量指标值落在区间内的频率为：
.
（2）依题意，，且，
所以，
，
，
所以的分布列为：








且.
53．（山西省运城市2023届高三上学期期中）小明参加一项答题活动，需进行两轮答题，每轮均有道题．第一轮每道题都要作答；第二轮按次序作答，每答对一题继续答下一题，一旦答错或题目答完则结束答题．第一轮每道题答对得5分，否则得0分；第二轮每道题答对得20分，否则得0分．无论之前答题情况如何，小明第一轮每题答对的概率均为，第二轮每题答对的概率均为．设小明第一轮答题的总得分为，第二轮答题的总得分为．
(1)若，求；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设小明第一轮答对的题数为，则，从而求出，再根据求出；
（2）设小明第二轮答对的题数为，求出的可能取值及可能取值，得到，利用错位相减法求和，再根据求出，从而比较出当时，.
【详解】（1）设小明第一轮答对的题数为，
由条件可知，则，
因为，所以，
因此，当时，．
（2）设小明第二轮答对的题数为，则的所有可能取值为0，1，2，…，n，
且，，，…，
，．
所以，①
，②
①－②得，
所以．
因为，所以．
当时，，，
即得证．
54．（2022秋·河北邢台·高三统考期中）西梅以“梅”为名，实际上不是梅子，而是李子，中文正规名叫“欧洲李”，素有“奇迹水果”的美誉.因此，每批西梅进入市场之前，会对其进行检测，现随机抽取了10箱西梅，其中有4箱测定为一等品.
(1)现从这10箱中任取3箱，求恰好有1箱是一等品的概率；
(2)以这10箱的检测结果来估计这一批西梅的情况，若从这一批西梅中随机抽取3箱，记表示抽到一等品的箱数，求的分布列和期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据古典概型概率计算公式以及组合数的计算求得所求概率.
（2）利用二项分布的知识求得分布列并求得数学期望.
【详解】（1）设抽取的3箱西梅恰有1箱是一等品为事件，
则；因此，从这10箱中任取3箱，恰好有1箱是一等品的概率为.
（2）由题意可知，从这10箱中随机抽取1箱恰好是一等品的概率，
由题可知的所有可能取值为0，1，2，3，则
，，
，，
所以的分布列为

0
1
2
3
P




.
55．（2022秋·江苏淮安·高三统考期中）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行临床人体试验.研究人员将疫苗注射到200名志愿者体内，一段时间后测量志愿者的某项指标值，按，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示.
  
试验发现志愿者体内产生抗体的共有160人，其中该项指标值不小于60的有110人.假设志愿者注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及小概率值的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60有关.
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60

有抗体



没有抗体



合计



(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40名志愿者进行第二次注射疫苗，结果又有名志愿者产生抗体.
（i）用频率估计概率，已知一名志愿者注射2次疫苗后产生抗体的概率，求的值；
（ⅱ）以（i）中的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，再进行另一组人体接种试验，记110名志愿者注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量，求最大时的的值.
参考公式：（其中为样本容量）.

0.50
0.40
0.25
0.15
0.100
0.050
0.025

0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
【答案】(1)列联表见解析，认为注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60有关；
(2)（i）20；（ⅱ）99.
【分析】（1）完善列联表，计算的观测值，再与临界值表比对作答.
（2）（i）利用对立事件、相互独立事件的概率公式求解作答；（ⅱ）利用二项分布的概率公式，列出不等式组并求解作答.
【详解】（1）由频率分布直方图，知200名志愿者按指标值分布为：在内有（人），
在内有（人），在内有（人），
在内有（人），在内有(人)，
依题意，有抗体且指标值小于60的有50人，而指标值小于60的志愿者共有人，
则指标值小于60且没有抗体的志愿者有20人，指标值不小于60且没有抗体的志愿者有20人，
所以列联表如下：
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60

有抗体
50
110
160
没有抗体
20
20
40
合计
70
130
200
零假设：注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60无关联，
根据列联表中数据，得，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）（i）令事件“志愿者第一次注射疫苗产生抗体”，事件“志愿者第二次注射疫苗产生抗体”，
事件“志愿者注射2次疫苗后产生抗体”，记事件发生的概率分别为，
则，解得：，
所以.
（ⅱ）依题意，随机变量，，
显然不是最大的，即当最大时，，
于是，即，
则，整理得，解得，因此，
所以最大时，的值为99.
56．（2022秋·浙江·高三慈溪中学校联考期中）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2022年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动．
(1)若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人，表示选取的人中来自该中学的人数，求的分布列和数学期望；
(2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，，且，如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得6轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？
【答案】(1)分布列见解析，
(2)11轮
【分析】（1）根据超几何分布列分布列计算数学期望即可；
（2）先求每轮答题中取得胜利的概率的最大值，再应用独立重复实验数学期望的范围求出最少轮数.
【详解】（1）由题意可知的可能取值有0、1、2、3，
，，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：

0
1
2
3





所以．
（2）他们在每轮答题中取得胜利的概率为

，
由，，，得，
则，因此，
令，，于是当时，．
要使答题轮数取最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值．
设他们小组在轮答题中取得胜利的次数为，则，，
由，即，解得．
而，则，所以理论上至少要进行11轮答题．
57．（2022秋·广东广州·高三广州市白云中学校考期中）某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入，其研发的检验试剂品分为两类不同剂型和.现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂和合格的概率分别为和，第二次检测时两类试剂和合格的概率分别为和.已知两次检测过程相互独立，两次检测均合格，试剂品才算合格.
(1)设经过两次检测后两类试剂和合格的种类数为X，求X的分布列；
(2)若地区排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一使用试剂品进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了3个人才确定为“感染高危户”的概率为，若当时，最大，求的值.
【答案】(1)分布列见解析
(2)
【分析】（1）先得到剂型与合格的概率，求出X的所有可能取值及相应的概率，得到分布列；
（2）求出，令，得到，利用基本不等式求出最值，注意取值条件.
【详解】（1）剂型合格的概率为：；剂型合格的概率为：．
由题意知：X的所有可能取值为0，1，2．则，
，，
则X的分布列为
X
0
1
2
P



（2）检测3人确定“感染高危户”的概率为，
检测4人确定“感染高危户”的概率为，
则．
令，因为，所以，
原函数可化为．
因为，当且仅当，即时等号成立．
此时，即．
【点睛】关键点点睛：第二问，首先求出检测3、4人确定“感染高危户”的概率，则为它们的概率之和，整理化简并构造，应用基本不等式研究最大值即可.
正态分布
58．（辽宁省六校2022-2023学年高三上学期期中）随机变量服从正态分布，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意，根据正态分布的性质，结合图象的对称性，整理概率等式，结合基本不等式，可得答案.
【详解】由随机变量服从正态分布，其正态分布分布曲线的对称轴为直线，
则，，
，且，，
所以，
当且仅当，即时，取等号.
故选：D.
59．（2022秋·山东济宁·高三统考期中）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ）

A． B．
C．对任意正数， D．对任意正数，
【答案】C
【分析】由正态密度曲线的性质结合图像可得，可判断AB，由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可判断CD.
【详解】A选项：、的密度曲线分别关于、对称，
因此结合所给图像可得，所以，故A错误；
B选项：又的密度曲线较的密度曲线“瘦高”，
所以，所以，故B错误；
CD选项：由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知：
对任意正数，．,故C正确，D错误．
故选：C．
60．（2022秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考期中）（多选）已知随机变量且，随机变量，若，则（    ）．
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】由正态分布，二项分布，随机变量均值与方差的性质判断，
【详解】因为，且，所以，
故，，选项A正确，选项B正确；
因为，所以，所以，解得，选项C正确；
，选项D错误，
故选：ABC
61．（山东省聊城市第二中学2022-2023学年高三上学期期中）随机变量服从正态分布，随机变量服从标准正态分布，若，则 ．（用字母表示）
【答案】
【分析】根据随机变量服从标准正态分布，得到，再结合随机变量服从正态分布可得答案.
【详解】随机变量服从标准正态分布，根据对称性可知，
因为，所以，即，
随机变量服从正态分布，根据对称性可知，
，则，即.
故答案为：.
62．（广东省深圳市深圳实验学校光明部2023届高三上学期期中）为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了“青 春向党百年路，奋进学习二十大”知识竞赛活动，并从 中抽取了200 份试卷进行调查，这200 份试卷的成绩（卷 面共100分）频率分布直方图如右图所示．

(1)用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
(2)可以认为这次竞赛成绩 X 近似地服从正态分布 N(m，s2) （用样本平均数和标准差 s 分别作为 m 、s 的近似值），已知样本标准差 s » 7.36 ，如有84%的学生的竞赛 成绩高于学校期望的平均分，则学校期望的平均分约为多少？（结果取整数）
(3)从得分区间[80，90 ) 和[90，100 ]的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这 10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间[80，90 ) 的概率．
参考数据：若 X ~N( m，s2)  ，则 P( m -s < X £ m +s ) » 0.68 ，P( m - 2s < X £ m + 2s ) » 0.95 ， P( m - 3s < X £ m + 3s ) » 0.99 .
【答案】(1)
(2)73
(3)
【分析】（1）根据平均数的求法求得平均数.
（2）根据正态分布的对称性求得正确答案.
（3）根据分层抽样、条件概率知识求得正确答案.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，
平均分；
（2）由（1）可知
设学校期望的平均分约为m，则，
因为，，
所以，即，
所以学校期望的平均分约为73分；
（3）由频率分布直方图可知，分数在和的频率分别为0.35和0.15，
那么按照分层抽样，抽取10人，其中分数在，应抽取人，
分数在应抽取人，
记事件：抽测的3份试卷来自于不同区间；事件B:取出的试卷有2份来自区间[80，90 )，
则，，
则．
所以抽测3份试卷有2份来自区间[80，90 ) 的概率为.
63．（2022秋·山西朔州·高三统考期中）在正常生产条件下，根据经验，可以认为化肥的有效利用率近似服从正态分布，而化肥施肥量因农作物的种类不同每亩也存在差异.
(1)假设生产条件正常，记表示化肥的有效利用率，求；
(2)课题组为研究每亩化肥施用量与某农作物亩产量之间的关系，收集了10组数据，并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值.其中每亩化肥施用量为（单位：公斤），粮食亩产量为（单位：百公斤）
  
参考数据：








650
91.5
52.5
1478.6
30.5
15
15
46.5
，，2，，.
（i）根据散点图判断，与，哪一个适宜作为该农作物亩产量关于每亩化肥施用量的回归方程（给出判断即可，不必说明理由）；
（ii）根据（i）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；并预测每亩化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量的值.
附：①对于一组数据，2，3，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；
②若随机变量，则，.
【答案】(1)
(2)（i）适宜作为粮食亩产量关于每亩化肥施用量的回归方程；（ii），（百公斤）
【分析】（1）根据正态分布曲线的对称性，结合，即可求解；
（2）（i）由散点图可知与的关系不是线性关系，即可得到答案；
（ii）由，得到，令，得到，结合公式求得回归系数和的值，即可求解.
【详解】（1）解：由，根据正态分布曲线的对称性，
可得.
（2）解：（i）由散点图可知与的关系不是线性关系，所以适宜作为粮食亩产量关于每亩化肥施用量的回归方程；
（ii）因为，所以，令，则，
由表可得，所以，
所以，所以，所以，
当时，（百公斤）
64．（湖北省宜昌市协作体2022-2023学年高三上学期期中）随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道．在凤梨销售旺季，某凤梨基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售凤梨的数量情况如下：
凤梨数量（盒）





购物群数量（个）
12

20
32

(1)求实数的值，并用组中值估计这100个购物群销售风梨总量的平均数（盒）；
(2)假设所有购物群销售凤梨的数量服从正态分布，其中为（1）中的平均数，．若该凤梨基地参与销售的购物群约有1000个，销售风梨的数量在（单位：盒）内的群为“一级群”，销售数量小于266盒的购物群为“二级群”，销售数量大于等于596盒的购物群为“优质群”．该凤梨基地对每个“优质群”奖励1000元，每个“一级群”奖励200元，“二级群”不奖励，则该风梨基地大约需要准备多少资金？（群的个数按四舍五入取整数）
附：若服从正态分布，则．
【答案】(1)，376
(2)186800元
【分析】（1）根据样本容量列方程求出m，利用组中数求出平均数；
（2）根据正态分布的概率计算公式求出对应的概率值，计算“优质群”和“一级群”的个数，求出奖励金.
【详解】（1）由题意得：，解得．
故平均数为.
（2）由题意，，
且，
故，
所以“优质群”约有个，
，
所以“一级群”约有个；
所以需要资金为，
故至少需要准备186800元．
均值与方差在决策中的应用
65．（2022秋·福建宁德·高三宁德市民族中学校考期中）某公司计划在2020年年初将100万元用于投资，现有两个项目供选择．
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，．
(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；
(2)若市场预期不变，该投资公司按照（1）中选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番？
（参考数据，）
【答案】(1)建议该投资公司选择项目一进行投资，理由见解析
(2)大约在2023年年底总资产可以翻一番
【分析】（1）分别计算两种投资项目获利的期望和方差，比较大小，可得出结论；（2）依题意列出等式，对数运算即可求解.
【详解】（1）若投资项目一，设获利为万元，
则的分布列为

30
-15
P


．
若投资项目二，设获利为万元，
则的分布列为

50
0
-30
P



．
．
，
，
，
这说明虽然项目一、项目二获利的均值相等，但项目一更稳妥．
综上所述，建议该投资公司选择项目一进行投资．
（2）假设n年后总资产可以翻一番，
依题意，，即，
两边取对数，得，
，
大约在2023年年底总资产可以翻一番．
66．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）投资甲、乙两种股票，每股收益的分布列如表所示：
甲种股票：
收益x（元）

0
2
概率
0.1
0.3
0.6
乙种股票：
收益y（元）
0
1
2
概率
0.3
0.3
0.4
(1)如果有人向你咨询：想投资其中一种股票，你会给出怎样的建议呢？
(2)在实际中，可以选择适当的比例投资两种股票，假设两种股票的买入价都是每股1元，某人有10000元用于投资，请你给出一个投资方案，并说明理由．
【答案】(1)建议购买乙种股票.
(2)投资甲种股票元，乙种股票元.
【分析】（1）根据期望与方差给出建议即可；
（2）设投资甲种股票元，投资乙种股票元，进而计算对应的期望与方程，使得方差最小时即可得答案.
【详解】（1）解：由题知：，
，
，
由题可知，两种股票的期望相同，但乙种股票的方差较小，
所以，投资乙种股票相对于甲种股票更稳妥.
（2）解：设投资甲种股票元，投资乙种股票元，
所以，，



所以，当时，取得最小，
所以，应当投资甲种股票元，乙种股票元，
67．（2022秋·广东揭阳·高三普宁市华侨中学校考期中）北京市某区针对高三年级的一次测试做调研分析，随机抽取同时选考物理､化学的学生330名，下表是物理､化学成绩等级和人数的数据分布情况：
物理成绩等级



化学成绩等级









人数（名）
110
53
2
55
70
15
3
12
10
(1)从该区高三年级同时选考物理､化学的学生中随机抽取1人，已知该生的物理成绩等级为，估计该生的化学成绩等级为的概率；
(2)从该区高三年级同时选考物理､化学的学生中随机抽取2人，以表示这2人中物理､化学成绩等级均为的人数，求的分布列和数学期望（以上表中物理､化学成绩等级均为的频率作为每名学生物理､化学成绩等级均为的概率）；
(3)记抽取的330名学生在这次考试中数学成绩（满分150分）的方差为，排名前的成绩方差为，排名后的成绩方差为，则不可能同时大于和，这种判断是否正确.（直接写出结论）.
【答案】(1)
(2)分布列答案见解析，数学期望为
(3)不正确
【分析】（1）由表可知，样本中物理成绩等级为的人数为，在该群体中化学成绩等级为的人数为110，即可估计该生的化学成绩等级为的概率；
（2）从该区高三年级同时选考物理､化学的学生随机选取一名，物理､化学成绩等级均为的概率估计为，可知随机变量的取值范围，分别求出相应概率即可得到分布列及其数学期望；
（3）假设排名前的成绩均为分，排名后的成绩均为分，即可判断.
【详解】（1）设事件为“该生物理成绩等级为的情况下，化学成绩等级为”，
样本中物理成绩等级为的人数为，在该群体中化学成绩等级为的人数为110，所以频率为，由样本估计总体可得，
故该生物理成绩等级为，估计该生化学成绩等级为的概率为.
（2）从该区高三年级同时选考物理､化学的学生随机选取一名，物理､化学成绩等级均为的概率估计为.
由题意随机变量的取值范围是



则的分布列：

0
1
2




（3）不正确；
举例：，排名前的成绩均为分，方差为，排名后的成绩均为分，方差为，显然，所以，，故同时大于和.
【点睛】（1）概率统计问题关键在于审题，建议大家在考试过程中审题不少于两遍，同时把重要信息标注出来，这样不容易丢掉关键信息；
（2）分布列问题类型判断是关键，建议结合做过的典型问题放在一起对比感悟；
（3）第三问这种问题是北京命题特色，围绕一些概念深入考查，具有较高的区分度，建议把一些典型的第三问加以整理并思考命题的逻辑.
68．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）某水果店的草莓每盒进价20元，售价30元，草莓保鲜度为两天，若两天之内未售出，以每盒10元的价格全部处理完.店长为了决策每两天的进货量，统计了本店过去40天草莓的日销售量（单位：十盒），获得如下数据：
日销售量/十盒
7
8
9
10
天数
8
12
16
4
假设草莓每日销量相互独立，且销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率.
(1)记每两天中销售草莓的总盒数为X（单位：十盒），求X的分布列和数学期望；
(2)以两天内销售草莓获得利润较大为决策依据，在每两天进16十盒，17十盒两种方案中应选择哪种？
【答案】(1)分布列见解析，数学期望17.44
(2)选择每两天进17十盒
【分析】（1）首先计算日销售量为7盒、8盒、9盒、10盒的概率，根据题意写出随机变量的所有取值并计算概率可得分布列，进一步计算可得期望值；
（2）分别计算每两天进16十盒，17十盒两种方案下利润的期望值，比较即可作出决策．
【详解】（1）日销售量为7盒、8盒、9盒、10盒的概率依次为：，
根据题意可得：的所有可能取值为14，15，16，17，18，19，20，
，，
，，
，，
，
所以的分布列为：

14
15
16
17
18
19
20








所以；
（2）当每两天进16十盒时，利润为，
当每两天进17十盒时，利润为，
，所以每两天进17十盒利润较大，故应该选择每两天进17十盒．
69．（江苏省南京东山外国语学校2022-2023学年高三上学期期中）某校为增强学生保护生态环境的意识，举行了以“要像保护眼睛一样保护自然和生态环境”为主题的知识竞赛．比赛分为三轮，每轮先朗诵一段爱护环境的知识，再答道试题，每答错一道题，用时额外加秒，最终规定用时最少者获胜．已知甲、乙两人参加比赛，甲每道试题答对的概率均为，乙每道试题答对的概率均为，甲每轮朗诵的时间均比乙少秒，假设甲、乙两人答题用时相同，且每道试题是否答对互不影响．
(1)若甲、乙两人在第一轮和第二轮答对的试题的总数量相等，求最终乙获胜的概率；
(2)请用统计学的知识解释甲和乙谁获胜的可能性更大．
【答案】(1)
(2)甲获胜的可能性更大，理由见解析
【分析】（1）分析可知第三轮答题中乙要比甲多答对道题以上才能获胜，对甲、乙答对试题的数量进行分类讨论，结合独立事件的概率公式和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）设甲在比赛中答错的试题数量为，乙在比赛中答错的试题数量为，分析可知，，计算出两人因答错试题而额外增加的时间的期望值，并算比较两人所用的时间的期望的大小，即可得出结论.
【详解】（1）解：因为甲、乙两人在第一轮和第二轮答对的试题的总数量相同，
且甲每轮朗诵的时间均比乙少秒，
所以，第三轮答题中乙要比甲多答对道题以上才能获胜，
若乙答对道试题，甲答对道试题，概率为，
若乙答对道试题，甲答对道或道试题，概率为，
所以，乙获胜的概率为.
（2）解：设甲在比赛中答错的试题数量为，乙在比赛中答错的试题数量为，
则，，
由二项分布的期望公式可得，，
则因甲答错试题额外增加的时间的期望值为秒，
乙因答错试题额外增加的时间的期望值为秒，
因为三轮中，甲朗诵的时间比乙少秒，所以，甲最后所用的时间的期望比乙少秒，
所以，甲获胜的可能型更大.
70．（2022秋·福建厦门·高三厦门一中校考期中）甲､乙两队进行篮球比赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”，设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立．
(1)在比赛进行4场结束的条件下，求甲队获胜的概率；
(2)赛事主办方需要预支球队费用万元．假设主办方在前3场比赛每场收入100万元，之后的比赛每场收入200万元．主办方该如何确定的值，才能使其获利（获利=总收入预支球队费用）的期望高于万元？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出比赛4场结束的概率，然后利用条件概率公式即可解答；
（2）先由题意列出比赛收入的分布列，从而求出期望值，进而根据题意确定的值.
【详解】（1）记事件为“比赛进行4场结束”；事件为“甲最终获胜”，
事件表示“第场甲获胜”，
事件为“比赛进行4场结束甲获胜”；事件为“比赛进行4场结束乙获胜”．
则，
因为各场比赛结果相互独立，
所以
，

，
因为互斥，所以．
又因为，
所以由条件概率计算公式得.
（2）设主办方本次比赛总收入为万元，
由题意：的可能取值为：．
，
，
，
则随机变量的分布列为：

300
500
700

0.26
0.37
0.37
所以．
设主办方本次比赛获利为万元，则，
所以，
由题意：，
所以预支球队的费用应小于261万元．
71．（2022秋·重庆长寿·高三重庆市长寿中学校校考期中）某车间购置了三台机器，这种机器每年需要一定次数的维修，现统计了100台这种机器一年内维修的次数，其中每年维修2次的有40台，每年维修3次的有60台，用代表这三台机器每年共需要维修的次数.
(1)以频率估计概率，求的分布列与数学期望；
(2)维修厂家有两家，假设每次仅维修一台机器，其中厂家单次维修费用是550元，厂家对同一车间的维修情况进行记录，前5次维修费用是每次600元，后续维修费用每次递减100元，从每年的维修费用的期望角度来看，选择哪家厂家维修更加节省？
【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：
(2)选择厂家更加节省
【分析】（1）设为这三台机器每年单个需要维修三次的台数，由题意可得则，且，结合二项分布求得分布列与期望即可；
（2）分别计算两种方案下维修费用的数学期望，比较即可得结论.
【详解】（1）以频率估计概率，一台机器每年需要维修2次的概率为，需要维修3次的概率为，
设为这三台机器每年单个需要维修三次的台数，
则，且，
所以，
.
所以的分布列为

6
7
8
9





则.
（2）选择厂家每年维修费用的期望为（元），
选择厂家每年维修费用的期望为（元），
因为，所以选择厂家更加节省.


1．（山东省淄博市临淄中学2022-2023学年高三上学期期中）近年来，网络消费新业态、新应用不断涌现，消费场景也随之加速拓展，某报社开展了网络交易消费者满意度调查，某县人口约为50万人，从该县随机选取5000人进行问卷调查，根据满意度得分分成以下5组：、、、，统计结果如图所示.由频率分布直方图可认为满意度得分X（单位：分）近似地服从正态分布，且，，，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差s，并已求得.则以下不正确的是（    ）
  
A．由直方图可估计样本的平均数约为74.5
B．由直方图可估计样本的中位数约为75
C．由正态分布估计全县的人数约为2.3万人
D．由正态分布估计全县的人数约为40.9万人
【答案】C
【分析】由频率分布直方图所给数据可计算出样本的平均数与中位数，即可判断AB选项；由由此即可判断C选项；由，可判断D选项.
【详解】对于A选项，由直方图可估计样本的平均数为
，A对；
对于B选项，满意度得分在之间的频率为，
满意度得分在之间的频率为，
设样本的中位数为，则，
由中位数的定义可得，解得，B对；
对于C选项，因为，，，
所以，，
所以，由正态分布可估计全县的人数约为万人，C错；
对于D选项，因为，，
所以，
，
所以，由正态分布可估计全县的人数约为万人，D对.
故选：C
2．（2022秋·江苏南通·高三统考期中）下列说法不正确的是（    ）
A．甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样调查，若抽取的甲种个体数为9，则样本容量为18
B．设一组样本数据，，…，的方差为2，则数据，，.…，的方差为32
C．在一个列联表中，计算得到的值，则的值越接近1，可以判断两个变量相关的把握性越大
D．已知随机变量，且，则
【答案】C
【分析】根据比例分层抽样的性质可得样本容量，故可判断A的正误，根据两类数据之间的关系结合方差公式可判断B的正误，根据的意义可判断C的正误，根据正态分布的对称性可计算的值，故可判断D的正误.
【详解】对于A：设样本容量为，则，故，故A正确.
对于B：设样本数据，，…，的均值为，
则数据，，.…，的均值为，
故数据，，.…，的方差为：
，
故B正确.
对于C：越大，可以判断两个变量相关的把握性越大，越小则把握性越小，故C错误.
对于D：由正态分布的对称性可得：
，
故D正确.
故选：C.
3．（湖北省襄阳市部分学校2022-2023学年高三上学期期中考）已知随机变量，且，则的最大值为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据正态分布的性质求出的值，则，令，，则，利用基本不等式求出的最小值，即可得解.
【详解】因为随机变量，且，
所以，即，所以，
所以
令，，
所以，
又，当且仅当，即时取等号，
所以，
即的最大值为.
故选：D.
4．（2022秋·吉林长春·高三长春市第十七中学上学期期中）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（    ）
A．2次传球后球在丙手上的概率是 B．3次传球后球在乙手上的概率是
C．3次传球后球在甲手上的概率是 D．n次传球后球在甲手上的概率是
【答案】C
【分析】列举出经2次、3次传球后的所有可能，再利用古典概率公式计算作答可判断ABC，n次传球后球在甲手上的事件即为，则有，利用全概率公式可得，再构造等比数列求解即可判断D.
【详解】第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4个结果，
它们等可能，2次传球后球在丙手中的事件有：甲乙丙， 1个结果，所以概率是，故A错误；
第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为：甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，
甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果，
它们等可能，3次传球后球在乙手中的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3个结果，
所以概率为，故B错误；
3次传球后球在甲手上的事件为：甲乙丙甲，甲丙乙甲，2个结果，所以概率为，故C正确；
次传球后球在甲手上的事件记为，则有，
令，则，
于是得，
故，则，
而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即，则有，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以即，故D错误.
故选：C
5．（福建省泉州市剑影实验学校2022届高三上学期期中）（多选）高中某学校对一次高三联考物理成绩进行统计分析，随机抽取100名学生成绩得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，同时计划从样本中随机抽取个体进行随访，若从样本随机抽取个体互不影响，把频率视为概率，则下列结论正确的是（    ）
  
A．学生成绩众数估计为75分
B．考生成绩的第75百分位成绩估计为80分
C．在内随机抽取一名学生访谈，则甲被抽取的概率为0.01
D．从和内各抽1名学生，抽2名学生调研，又从他们中任取2人进行评估测试，则这2人来自不同组的概率为0.13
【答案】AB
【分析】根据频率分布直方图估计出众数，第75百分位数可判断AB；利用频率估计概率，古典概型等知识可判断CD.
【详解】由频率分布直方图得，成绩在的频率最高，所以估计成绩的众数为75分，故A正确；
因为，所以估计第75百分位成绩为80分，故B正确；
因为成绩在内的人数为，所以随机抽取一名学生访谈，甲被抽取的概率为，故C错误；
记从抽取的1名学生为a，从抽取的1名学生为b，从抽取的2名学生为c,d,则从这4人中抽取2人，所有的可能结果为
ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种，
其中不同组的有ab，ac，ad，bc，bd，共5种，
所以这2人来自不同组的概率为，故D错误；
故选：AB.
6．（山东省泰安市宁阳县2022-2023学年高三上学期期中）（多选）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻的经常性有影响，随机抽取了300名学生，对他们是否经常锻炼的情况进行了调查，调查发现经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，绘制其等高堆积条形图，如图所示，则（    ）

A．参与调查的男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多
B．从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为
C．依据的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.1
D．假设调查人数为600人，经常锻炼人数与不经常锻炼人数的比例不变，统计得到的等高堆积条形图也不变，依据的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.05
附：，

0.1
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

【答案】ABD
【分析】由题意计算出男生中经常锻炼的人数以及不经常锻炼的人数，即可判断A；根据古典概型的概率公式可判断B；列出列联表，根据独立性检验的方法可判断C，D.
【详解】对于A，由题意知经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，
故经常锻炼人数为200人，不经常锻炼人数为100人，
故男生中经常锻炼的人数为人，不经常锻炼的人数为人，
故男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多，A正确；
对于B，经常锻炼的女生人数为人，不经常锻炼的人数为人，
故从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为，B正确；
对于C，由题意结合男女生中经常锻炼和不经常锻炼的人数，可得列联表：

经常锻炼
不经常锻炼
合计
男
100
60
160
女
100
40
140
合计
200
100
300
则，
故依据的独立性检验，不能认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.1，C错误；
对于D，由题意可得：

经常锻炼
不经常锻炼
合计
男
200
120
320
女
200
80
280
合计
400
200
600
则此时，
故依据的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.05，D正确，
故选：ABD
7．（福建省泉州市安溪一中、泉州实验中学、养正中学2023届高三上学期期中）为深入学习宣传贯彻党的二十大精神，某校团委举办“强国复兴有我”——党的二十大精神知识竞答活动.某场比赛中，甲、乙、丙三位同学同时回答一道有关二十大精神知识的问题.已知甲同学答对的概率是，甲、丙两位同学都答错的概率是，乙、丙两位同学都答对的概率是.若各同学答题正确与否互不影响.则甲、乙、丙三位同学中至少2位同学答对这道题的概率为 .
【答案】
【分析】设甲同学答对的的事件为A，答错的事件为，乙同学答对的的事件为B，答错的事件为，丙乙同学答对的的事件为C，答错的事件为，根据题意，由求得，再由求解.
【详解】解：设甲同学答对的的事件为A，答错的事件为，设乙同学答对的的事件为B，答错的事件为乙同学答对的的事件为C，答错的事件为，
因为甲同学答对的概率是，甲、丙两位同学都答错的概率是，乙、丙两位同学都答对的概率是，
所以 ，
解得，
所以甲、乙、丙三位同学中至少2位同学答对这道题的概率为:
，
，
故答案为：
8．（山东省临沂市2022-2023学年高三上学期期中）已知甲盒中有2个红球，1个篮球，乙盒中有1个红球，2个篮球.从甲、乙两个盒中各取1个球放入原来为空的丙盒中.现从甲、乙、丙三个盒子中分别取1个球，记从各盒中取得红球的概率为，从各盒中取得红球的个数为，则（    ）
A．    . B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据已知利用平均值的原理去快速解决问题判断A选项，再结合两点分布分别得出数学期望和方差大小判断B,C,D选项.
【详解】可以利用平均值的原理去快速解决问题，甲盒中有2个红球，1个篮球，拿出一个球，相当于平均拿出个红球，个篮球；
乙盒中有1个红球，2个篮球，拿出一个球，相当于平均拿出个红球，个篮球，
那么拿出一个球后，放入丙盒子中后，相当于甲盒子内还有个红球，个篮球，乙盒子内还有个红球，个篮球，丙盒子中有1个红球，1个篮球，
故，，，，A选项正确 ；
满足两点分布，
故，，
，，
，，，，B,C选项正确，D选项错误.
故选：ABC.
9．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）记A，B为随机事件，下列说法正确的是（    ）
A．若事件A，B互斥，，，
B．若事件A，B相互独立，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】BC
【分析】对于A，根据互斥事件和对立事件的性质分析判断即可，对于B，根据相互独立事件的性质分析判断，对于CD，根据条件概率的公式和对立事件的性质分析判断.
【详解】
，∴，A错.
，B对.
令，，，∴，
，∴，
，∴，C对.
，D错，
故选：BC.
10．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期中）已知A，B为互斥事件，事件C满足：，，，则 .
【答案】/0.25
【分析】根据概率加法公式和条件概率的计算公式即可求解.
【详解】因为A，B互斥，所以，
因为，所以，
又因为，所以.
故答案为：.
11．（重庆市长寿中学校2023届高三上学期期中数学）为巩固脱贫攻坚成果，推进共同富裕，我国西部某县政府派出含甲、乙、丙在内的6名农业专家，并分配到3个村庄进行农业技术指导，要求每个村庄至少分配到1名专家，每名专家只能去1个村庄，则在甲、乙两名专家不能分配在同一村庄的前提下，甲、丙两名专家恰好分配在同一村庄的概率为 ．
【答案】
【分析】根据条件概率公式求解即可.
【详解】将6名专家分配到3个村庄的不同分法有（种），
其中甲、乙两名专家不分配在同一村庄的分法有（种），
甲、乙两名专家不分配在同一村庄且甲、丙两名专家分配在同一村庄的分法有（种）．
设事件A表示“甲、乙两名专家不分配在同一村庄”，事件B表示“甲、丙两名专家恰好分配在同一村庄”，
则，，
故所求的概率为．
故答案为：.
12．（山东省青岛市莱西市2022-2023学年高三上学期期中数学试题）假设某型号的每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可成功飞行，若使4引擎飞机比2引擎飞机更为安全，则p的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由已知可得，飞机引擎运行正常的个数，然后根据二项分布概率公式分别计算出4引擎飞机正常运行的概率，以及2引擎飞机正常运行的概率.根据已知，求解不等式，即可得出答案.
【详解】由已知可得，飞机引擎运行正常的个数，
所以4引擎飞机正常运行的概率为.
2引擎飞机正常运行的概率为.
所以，.
因为4引擎飞机比2引擎飞机更为安全，所以，
即.
因为，所以.
故答案为：.
13．（2022秋·江苏盐城·高三期中）为了让税收政策更好的为社会发展服务，国家在修订《中华人民共和国个人所得税法》之后，发布了《个人所得税专项附加扣除暂行办法》，明确“专项附加扣除”就是子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等费用，并公布了相应的定额扣除标准，此项决定自年月日起施行至今已三年时间．某机关为了调查内部职员对新个税方案的满意程度与年龄的关系，通过问卷调查，整理数据得如下列联表：

40岁及以下
40岁以上
合计
基本满意
25
10
35

很满意
15
30
45
合计
40
40
80
(1)根据列联表，能否有的把握认为满意程度与年龄有关？
(2)为了帮助年龄在岁以下的未购房的名员工解决实际困难，该企业按员工贡献积分（单位：分）给予相应的住房补贴（单位：元），现有两种补贴方案．方案甲：；方案乙：．已知这名员工的贡献积分为分、分、分、分，将采用方案甲比采用方案乙获得更多补贴的员工记为“类员工”．为了解员工对补贴方案的认可度，现从这名员工中随机抽取名进行面谈，求至少抽到名“类员工”的概率．
附：.


















【答案】(1)有的把握认为满意程度与年龄有关
(2)
【分析】（1）计算，结合临界值可得答案；
（2）根据题意求出“类工人”的人数，再根据对立事件和古典概型的概率公式可求出结果.
【详解】（1）零假设：有的把握认为满意程度与年龄无关，
．
∵．故假设不成立，
∴有的把握认为满意程度与年龄有关．
（2）根据题意，该名员工的贡献积分分别按甲、乙两种方案所获补贴情况为：
积分




方案甲




方案乙




可知“类工人”有名．
记“至少抽到名类员工”为事件，
则．
14．（2022秋·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）小明玩摸球游戏，袋子里面装有形状和大小相同的红球､白球和绿球若干个，每次都是有放回地摸一个球，若首次摸到的是红球，爸爸就奖励小明2元，并规定：若连续摸到红球，则下次摸到红球的奖励是上次的两倍；若某次摸到其他球，则该次无奖励，且下次奖金重置为2元.已知小明每次摸到红球的概率是，且每次能否摸到红球相互独立.
(1)试问至少要摸几次球，才能使摸到红球的概率不小于？
(2)若小明连续摸球3次，记获得的总奖金为元，求.
【答案】(1)至少要摸4次球
(2)
【分析】（1）根据n次独立重复实验概率公式计算求解即可;
（2）应用独立事件发生的概率是概率的乘积计算概率列出分布列求出数学期望即可.
【详解】（1）设要摸次球，才能使摸到红球的概率不小于.
由题意得，
所以，
所以，即至少要摸4次球，才能使摸到红球的概率不小于.
（2）由题意可知，的可能取值为.
，
，
，
，，
所以的分布列为

0
2
4
6
14






.
15．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）为了丰富学生的课外活动，某中学举办羽毛球比赛，经过三轮的筛选，最后剩下甲、乙两人进行最终决赛，决赛采用五局三胜制，即当参赛甲、乙两位中有一位先赢得三局比赛时，则该选手获胜，则比赛结束.每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在每一局获胜的概率均为.
(1)若比赛进行三局就结束的概率为，求的最小值；
(2)记（1）中，取得最小值时，的值为，以作为的值，用表示甲、乙实际比赛的局数，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）若比赛进行三局就结束，则甲连胜三局或乙连胜三局，求出概率，利用导数求的最小值；
（2）由（1）知的值，的可能取值为，依次计算概率，列分布列，利用公式求数学期望.
【详解】（1）三局就结束比赛的概率为，
由，
当；当，
所以在上递减，在上递增，
所以，当时，取得最小值为.
（2）由（1）知，，
设实际比赛局数为，则的可能取值为，
所以，
，
，
的分布列为：

3
4
5




.
16．（河北省五个一联盟2023届高三上学期期中）某职业中专开设的一门学科的考试分为理论考试和实践操作考试两部分，当理论考试合格才能参加实践操作考试，只有理论考试与实践操作考试均合格，才能获得技术资格证书，如果一次考试不合格有1次补考机会.学校为了掌握该校学生对该学科学习的情况，进行了一次调查，随机选取了100位同学的一次考试成绩，将理论考试与实践操作考试成绩折算成一科得分（百分制），制成如下表格：
分段






人数
5
a
20

25
10
(1)①求表中a的值；
②在，，这三个分数段中，按频率分布情况，抽取7个学生进行教学调研，学校的教务主任要在这7名学生中随机选2人进行教学调查，求这2人均来自的概率；
(2)该校学生小明在历次该学科模拟考试中，每次理论合格的概率均为，每次考实践操作合格的概率均为，这个学期小明要参加这门学科的结业考试，小明全力以赴，且每次考试互不影响.如果小明考试的次数的期望不低于2.5次，求p的取值范围.
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①根据总人数为100列方程求解即可；②这3个分数段按的比例可求出每一段所抽取的人数，然后利用古典概型的概率公式可求得结果，
（2）设小明参加考试的次数为，所有可能取值为2，3，4，求出期望，再列不等式即可求解.
【详解】（1）①由题意得，解得，
②因为，，的频率比为，
所以抽取的7个学生中，应从，，分别抽取1人，2 人，4人，
所以这2人均来自的概率为，
（2）设小明参加考试的次数为，所有可能取值为2，3，4，则
，
，
，
所以的分布列为

2
3
4




所以，
由，得，得，
因为，所以，
即p的取值范围为.