备战2023-2024学年高三上学期期中数学真题分类汇编（新高考通用）专题04函数与导数经典小题（十大题型）（Word版附解析）

专题04 函数与导数经典小题

求某点的导数值

1．（浙江省湖州、衢州、丽水三地市2023届高三上学期期中）已知函数​，则​（    ）

A．​ B．1 C．​ D．5

【答案】B

【分析】利用导数运算求得.

【详解】，

令得.

故选：B

2．（黑龙江省齐齐哈尔市三立高级中学2022-2023学年高三上学期期中）已知函数 的导函数为，且满足，则（   ）

A． B． C．1 D．

【答案】B

【分析】求得函数的导数，令，即可求解.

【详解】由，可得，所以 ，则.

故选：B.

求曲线上一点的切线方程

3．（2022秋·湖南常德·高三湖南省桃源县第一中学校考期中）函数在处的切线方程为      .

【答案】

【分析】求出导函数，根据导数的几何意义求出切线斜率，再求出切点纵坐标，得到切线方程.

【详解】，故，

又，

所以，即

故答案为：

4．（湖北省部分省级示范高中2022-2023学年高三上学期期中）已知是定义在上的函数，且函数的图象关于直线对称，当时，，则          ，曲线在处的切线方程是          ．

【答案】         

【分析】根据题意求得的对称轴，结合已知函数解析式，以及导数的几何意义，即可求得结果.

【详解】因为函数的图象关于直线对称，

所以，即，

用代替，得到，故关于对称，

当时，，则，

所以时，，则，

故，，

故曲线在处的切线斜率，切点坐标为，

故切线方程为，即．

故答案为：；．

过点的切线方程

5．（黑龙江省大庆中学2022-2023学年高三上学期期中）已知过点作曲线的切线有且仅有条，则（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】C

【分析】设出切点，对函数求导得出切线的斜率，利用点斜式方程写出切线，将点代入，并将切线有且仅有条，转化为方程只有一个根，列方程求解即可．

【详解】设切点为，

由已知得，则切线斜率，切线方程为

直线过点，则，化简得

切线有且仅有条，即，化简得，即，解得或

故选：C

6．（江苏省淮安市高中校协作体2022-2023学年高三上学期期中）若曲线只有一条过坐标原点的切线，则=      .

【答案】或/或

【分析】设切点为，再根据导数的几何意义求得切线方程，并结合题意得方程有且只有一个实数根，再结合判别式求解即可.

【详解】解：∵，∴，

设切点为,则,切线斜率,

∴切线方程为：,

∵切线过原点，

∴,整理得：,

∵曲线只有一条过坐标原点的切线切，

∴,解得或,

∴或,

故答案为：或

公切线问题

7．（湖北省鄂北六校2022-2023学年高三上学期期中）若曲线和y＝x2＋mx＋1有公切线，则实数m＝（    ）

A． B． C．1 D．－1

【答案】A

【分析】利用导数求出曲线的切线方程，再与曲线y＝x2＋mx＋1联立，结合判别式即可求解.

【详解】设，则，

曲线与切线相切于，

则切线方程为：①

因为切线与y＝x2＋mx＋1②相切，

联立①②：x2＋mx＋1=，

所以，

所以，

所以，

则有，解得，

故选：A

8．（2022秋·山东青岛·高三山东省青岛第一中学校考期中）若曲线和曲线存在有公共切点的公切线，则该公切线的方程为          .

【答案】

【分析】先分别求出和的导数，然后设公共切点的坐标为，，根据题意有，，代入相应表达式列出方程组，解出与的值，计算出切线斜率和公切线的切点坐标，即可得到切线的方程．

【详解】，，则有，．

设公共切点的坐标为，，则

，，

，．

根据题意，有

，解得．

公切线的切点坐标为，切线斜率为2．

公切线的方程为，即．

故答案为：

求单调区间

9．（2022秋·山东淄博·高三统考期中）函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先对求导，利用导数与函数的单调性得到的单调区间与极大值点，再令求得有唯一零点，从而排除选项BCD，而选项A的图象满足的性质要求，由此得解.

【详解】因为，所以，

令，得；令，得；

所以在上单调递增，在上单调递减，

故的极大值点为，且，

令，则，得，且，

即在上有唯一大于的零点.

对于B，其图象的极大值点为，矛盾，故B错误；

对于C，其图象先减后增，矛盾，故C错误；

对于D，其图象有两个零点，矛盾，故D错误；

对于A，其图象满足上述结论，又排除了BCD，故A正确.

故选：A.

10．（广东省深圳市深圳实验学校光明部2023届高三上学期期中）已知函数，则函数的单调递增区间是             ．

【答案】

【分析】利用导数法求单调区间即可

【详解】函数，其定义域，

则在恒成立，

所以函数的单调递增区间是.

故答案为：.

已知单调求参数

11．（重庆市涪陵实验中学校2022届高三上学期期中）若函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意可推得在上有解，分离参数，得在上有解，由此构造函数，判断其单调性，即可求得答案.

【详解】由题可知在上有解，

即在上有解，

设，

当时，，递减，当时，，递增，

故，，

所以，解得，所以的取值范围是，

故选：A

12．（2022秋·重庆长寿·高三重庆市长寿中学校校考期中）已知函数，若对任意都有，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用导数研究函数的单调性以及函数恒成立问题，令，则由对任意都有可得在上单调递增，然后利用参变量分离的方法求出的范围即可．

【详解】由条件对任意都有，化为，

构造，则在上单调递增，

在上恒成立，

，即在上恒成立，

令，

，，

，当且仅当时取等号，

，当且仅当时取等号，

，故B，C，D错误.

故选：A.

求函数的极值（点）

13．（福建省福州华侨中学等多校2023届高三上学期期中）函数的极小值是（    ）

A． B．0 C．2 D．3

【答案】C

【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值.

【详解】解：定义域为，

所以，

所以当或时，，当时，，

所以在和上单调递增，在上单调递减，

所以在处取得极小值，该值为.

故选：C

已知极值（点）求参数

14．（2022秋·福建宁德·高三统考期中）已知函数，则“有极值”是（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据极值点的定义求出的范围，验证充分性和必要性即可.

【详解】定义域为,由得，

令，则，

当时，恒成立，所以在上单调递增，又因为，

所以当时，有极值；

当时，令解得，所以在上小于0，在上大于0，

所以在上单调递减，在上单调递增，

又因为当时，，

有极值则，

令，则，，

再令，则，解得，

所以在单调递增，在单调递减，又，

所以当时，，即，解得，

综上有极值，则或或，

所以有极值是的必要不充分条件，

故选：B.

15．（江苏省淮安市淮安区2022-2023学年高三上学期期中）若函数在内有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求导后，根据极值点的定义可确定在内有且仅有一个变号零点，根据二次函数零点的分布可构造不等式组求得结果.

【详解】；

在内有且仅有一个极值点，在内有且仅有一个变号零点；

或，解得：或，

综上所述：实数的取值范围为.

故选：C.

求函数的最值

16．（2022秋·云南·高三云南民族大学附属中学校考期中）已知函数，，则函数的最大值为            .

【答案】

【分析】求的导数，讨论单调性即可求出最值.

【详解】解析：，

当时，或，

当，，

此时或，

当，，

此时，

所以函数在和单调递增，

在和单调递减，

又，，，

所以.

故答案为：.

17．（湖北省襄阳市部分学校2022-2023学年高三上学期期中）（多选）已知函数，则（    ）

A．是的极小值点 B．有两个极值点

C．的极小值为 D．在上的最大值为

【答案】ABD

【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，可判断ABC选项；利用函数的最值与导数的关系可判断D选项.

【详解】因为，所以，

当时，；当时，，

故的单调递增区间为和，单调递减区间为，

则有两个极值点，B正确；

且当时，取得极小值，A正确；

且极小值为，C错误；

又，，所以在上的最大值为，D正确.

故选：ABD.

已知最值求参数

18．（山东省济南市章丘区第四中学2022-2023学年高三上学期期中）当时，函数取得最大值，则（    ）

A． B． C．2 D．4

【答案】B

【分析】根据题意可知，，可解得，即可求得答案

【详解】由可得，

因为当时，函数取得最大值，

所以，解得，

所以，

因此当，，单调递增；当，，单调递减，

故当时取最大值，满足题意，

所以

故选：B

一、单选题

1．（山东省青岛市青岛第十九中学2022-2023学年高三上学期期中）若函数在区间上单调递减，则实数的最大值是（    ）

A．1 B． C．0 D．

【答案】B

【分析】由函数在区间上单调递减，等价于在区间上恒成立，分离参数后得到，令，通过即可求出的最大值.

【详解】因为函数在区间上单调递减，

所以在区间上恒成立，

即在区间上恒成立.

令，则，

所以在上单调递减，上单调递增，

故，则，即.

经检验，当时，满足题意，所以实数的最大值是.

故选：B.

2．（江苏省常州市横林高级中学 2022-2023学年高三上学期期中）如图是函数的大致图象，则函数的解析式可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由图象得函数为偶函数，判断奇偶性排除B，由排除D，然后根据AC三个选项的解析式，由导数确定其在时的单调性可得．

【详解】定义域是，四个选项均符合，

ACD选项中函数式里都是含有或,它们是偶函数，B选项中，，函数为奇函数，

由图象关于轴对称，排除B，

且时，

选项A，，，因此在上递增，排除A；

选项D，，不符合题意，排除D；

选项C，，，

时，，递增，时，，递增，时，，递减，满足题意，

故选：C．

3．（福建省泉州市晋江二中、鹏峰中学、广海中学、泉港五中2023届高三上学期10月期中）已知函数，若在R上单调递增，求实数a的取值范围（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出函数的导数，求出的最小值后可得参数的取值范围.

【详解】，设，则，

当时，；当时，，

故在上为减函数，在上为增函数，

故.

因为在R上单调递增，故，故，

故选：D.

4．（辽宁省大连市滨城联盟2022-2023学年高三上学期期中）已知函数，则“”是“函数在处有极值”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】求出函数的导函数，依题意可得，即可得到方程组，解得、再检验，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】解：因为，所以，

所以，解得或；

当时，，即函数在定义域上单调递增，无极值点，故舍去；

当时，，

当或时，当时，满足函数在处取得极值，

所以，

所以由推不出函数在处有极值，即充分性不成立；

由函数在处有极值推得出，即必要性成立；

故“”是“函数在处有极值”的必要不充分条件；

故选：B

二、多选题

5．（2022秋·河北邢台·高三统考期中）已知函数，下列说法正确的有（    ）

A．曲线在处的切线方程为

B．的单调递减区间为

C．的极大值为

D．方程有两个不同的解

【答案】AB

【分析】利用导数，结合切线、单调区间、极值、方程的解等知识确定正确答案.

【详解】的定义域为，.

A选项，，

所以曲线在处的切线方程为，A选项正确.

B选项，令解得，

所以在区间，单调递减，B选项正确.

C选项，在区间，单调递增，

所以有极小值，无极大值，C选项错误.

D选项，的极小值为，

当时，；当时，，

方程有一个解，D选项错误.

故选：AB

6．（安徽省合肥市庐江第五中学2022-2023学年高三上学期期中）函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．函数在区间单调递减 D．函数在处取得极小值

【答案】ABD

【分析】结合导函数的图象，求出函数的单调区间，从而判断各个选项.

【详解】由图象知，当时，，当时，，

故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为和；

对于A，，故A正确；

对于B， ，故B正确；

对于C， 函数在区间单调递增，故C错误；

对于D， 函数在区间单减，在区间单增，故在处取得极小值，故D正确；

故选：ABD

7．（2022秋·江苏南通·高三期中）已知函数满足，.则当时，下列说法中正确的是（    ）

A． B．只有一个零点

C．有两个零点 D．有一个极大值

【答案】BD

【分析】令，则，于是

，，根据，解出的值.然后利用导数研究函数的单调性，即可推得结论.

【详解】令，则，

所以，，所以，.

又，则，解得.

所以，.

则，，且，A项错误.

当时，，则在上单调递增；

当时，，则在上单调递减.

所以，在处有极大值为，

且只有一个极值点，D正确.

且时，有恒成立.

又，所以只有一个零点，B项正确，C项错误.

故选：BD.

8．（2022秋·山东青岛·高三山东省青岛第一中学校考期中）函数在区间上存在极值点，则整数的值为（    ）

A． B． C． D．0

【答案】AC

【分析】由于在区间上存在极值点，根据间接法在上无极值点，则或或，即可解决.

【详解】由题知，，

所以，

当和时，，当时，，

则在和上单调递增，在上单调递减，

若在上无极值点，则或或，

解得：，

所以时，在区间上无极值点，

所以时，在区间上存在极值点，

因为是整数，故或，

故选：AC.

三、填空题

9．（安徽省卓越县中联盟2022-2023学年高三上学期期中）已知函数的图象在点处的切线与直线相互垂直，则          ．

【答案】1

【分析】对求导表示出，由切线与直线相互垂直得，可求得的值.

【详解】依题意，，故．

因为图象在点处的切线与直线相互垂直，

所以，则，解得．

故答案为：1

10．（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考期中）已知函数，则不等式的解集为          .

【答案】

【分析】首先判断的奇偶性，再利用导数判断的单调性，则不等式等价于，再令，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值，从而求出不等式的解集.

【详解】解：定义域为，且，

所以是奇函数，又，所以在上单调递增，

则不等式，即，

等价于，即，

令，，，

当时，，此时单调递增，

当时，，此时单调递减.

所以,又因为需要,所以

又，所以不等式的解集为.

故答案为：

11．（2022秋·河北邢台·高三统考期中）设函数，已知在上有且仅有675个极值点，则的取值范围是          ．

【答案】

【分析】化简的解析式，求得，根据极值点以及余弦函数零点的知识列不等式，由此求得的取值范围.

【详解】依题意，

，

，

，

由于在上有且仅有675个极值点，

所以，

解得，

所以的取值范围是.

故答案为：

12．（浙江省杭州市第二中学滨江校区2022-2023学年高三上学期期中）函数的极值点为，则      .

【答案】-3

【分析】由极值点的定义可求，再由同角关系，两角和正切公式可求.

【详解】因为，

所以

因为函数的极值点为，

所以，且，

所以，所以，

所以.

故答案为：-3.