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第1课 二次函数-九年级数学上册同步精品讲义（浙教版）
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第1课 二次函数
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学习目标
1.理解二次函数的概念,掌握二次函数的标准形式
2.会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围.
3.会用待定系数法求二次函数的表达式.
知识精讲
知识点01 二次函数函数的概念
1.形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数，称为二次项系数，为一次项系数，为常数项.
注意：二次项系数，而可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数．
2.二次函数的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．
⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
知识点02 根据实际问题列二次函数表达式
根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，理解题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
知识点03 待定系数法求二次函数的表达式
用待定系数法求二次函数的表达式步骤:
(1)设二次函数的表达式;
(2) 根据已知条件，得到关于待定系数的方程组。
(3)解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的解析式。
能力拓展
考点01 二次函数函数的概念
【典例1】若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1
【思路点拨】根据二次函数定义可得|a+3|＝2且a+1≠0，求解即可．
【解析】解：∵函数y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，
∴|a+3|＝2且a+1≠0，
解得a＝﹣5，
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数的定义，二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
【即学即练1】如果函数y＝（m﹣2）是二次函数，则m的值为 ﹣3 ．
【思路点拨】根据二次函数的定义，可得m2+m﹣4＝2且m﹣2≠0，然后进行计算即可解答．
【解析】解：由题意得：
m2+m﹣4＝2且m﹣2≠0，
∴m＝2或﹣3且m≠2，
∴m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
考点02 根据实际问题列二次函数表达式
【典例2】如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为便于进出，开了3道宽为1米的门．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，则S与x的之间的函数表达式为 S＝﹣3x2+24x ；自变量x的取值范围为 ≤x＜6 ．
【思路点拨】根据题意表示出长方形的长进而得出函数关系，进而结合a的最大值得出x的取值范围．
【解析】解：设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，
则S与x的之间的函数表达式为：S＝（21﹣3x+3）x＝﹣3x2+24x；
由题意可得：，
解得：≤x＜6．
故答案为：S＝﹣3x2+24x，≤x＜6．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确表示出长方形的长是解题关键．
【即学即练2】某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，第3年的销售量为y台，则y关于x的函数解析式为（ ）
A．y＝5000（1+2x） B．y＝5000（1+x）2
C．y＝5000+2x D．y＝5000x2
【思路点拨】首先表示出第二年的销售量为5000（1+x），然后表示出第三年的销售量为5000（1+x）2，从而确定答案．
【解析】解：设每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，
根据题意得：y＝5000（1+x）2，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式，解题的关键是分别表示出第二年和第三年的销售量．
考点03 待定系数法求二次函数的表达式
【典例3】已知二次函数y＝x2+bx+c，当x＝1时y＝3；当x＝﹣1时，y＝1，求这个二次函数的解析式．
【思路点拨】根据题意，可得出抛物线过（1，3），（﹣1，1）两点，将这两点的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值．
【解析】解：将点（1，3），（﹣1，1）代入函数解析式得：
，
解得；
故此函数的解析式为y＝x2+x+1．
【点睛】本题考查的是用待定系数法求二次函数的解析式．
【即学即练2】二次函数y＝ax2+bx﹣3中的x，y满足如表
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
﹣3
m
﹣3
…
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求m的值．
【思路点拨】（1）设一般式y＝ax2+bx﹣3，再取两组对应值代入得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可；
（2）把x＝1代入二次函数的解析式求解即可．
【解析】解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx﹣3，
把（﹣1，0），（2，﹣3）代入得，
解得：，
所以解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）把x＝1代入y＝x2﹣2x﹣3，可得y＝1﹣2﹣3＝﹣4，
所以m＝﹣4．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：根据已知条件，得到关于待定系数的方程组。
解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的解析式。
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣3 B．y＝（x+1）2﹣x2 C．y＝2x（x+1） D．y＝﹣
【思路点拨】一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．根据定义进行判断即可．
【解析】解：A．不含有x的二次项，所以A不符合题意；
B．化简后y＝2x+1，不含有x的二次项，所以B不符合题意；
C．符合题意；
D．y＝﹣2x﹣2，不含有x的二次项，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式是解决本题的关键．
2．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y＝x（40﹣x） B．y＝x（18﹣x） C．y＝x（40﹣2x） D．y＝2x（40﹣2x）
【思路点拨】先用含x的代数式表示苗圃园与墙平行的一边长，再根据面积＝长×宽列出y关于x的函数关系式．
【解析】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则苗圃园与墙平行的一边长为（40﹣2x）米．
依题意可得：y＝x（40﹣2x）．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题列二次函数关系式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
3．已知函数y＝ax2+bx，当x＝1时，y＝﹣1；当x＝﹣1时，y＝2，则a，b的值分别是（ ）
A．，﹣ B．， C．1，2 D．﹣1，2
【思路点拨】把两组对应值分别代入y＝ax2+bx中得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可．
【解析】解：根据题意得，解得．
故选：A．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式
4．如果二次函数y＝ax2+bx，当x＝1时，y＝2；当x＝﹣1时，y＝4，则a，b的值是（ ）
A．a＝3，b＝﹣1 B．a＝3，b＝1 C．a＝﹣3，b＝1 D．a＝﹣3，b＝﹣1
【思路点拨】把两组对应值分别代入y＝ax2+bx得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可．
【解析】解：根据题意得，
解得．
所以抛物线解析式为y＝3x2﹣x．
故选：A．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式
5．已知二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝ 3 ，一次项系数b＝ ﹣5 ，常数项c＝ 1 ．
【思路点拨】根据二次函数的定义，可得答案．
【解析】解：二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣5，常数项c＝1，
故答案为：3，﹣5，1．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键．
6．如果函数y＝（m﹣1）x2+x（m是常数）是二次函数，那么m的取值范围是 m≠1 ．
【思路点拨】依据二次函数的二次项系数不为零求解即可．
【解析】解：∵函数y＝（m﹣1）x2+x（m为常数）是二次函数，
∴m﹣1≠0，解得：m≠1，
故答案为：m≠1．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的特点是解题的关键．
7．矩形的周长为12cm，设其一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是 y＝﹣x2+6x（0＜x＜6） ．
【思路点拨】根据矩形的周长及其中一边长度得出另外一边长度为米，再由矩形的面积公式可得函数解析式，根据长、宽均为正数可得x的取值范围．
【解析】解：根据题意知，y与x的函数关系式y＝x•＝x（6﹣x）＝﹣x2+6x，
由得0＜x＜6，
所以y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是y＝﹣x2+6x（0＜x＜6），
故答案为：y＝﹣x2+6x（0＜x＜6）．
【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
8．当系数a，b，c满足什么条件时，函数y＝ax2+bx+c是二次函数？是一次函数？是正比例函数？
【思路点拨】根据二次函数和一次函数、正比例函数定义进行解答即可．
【解析】解：函数y＝ax2+bx+c中a≠0，b和c为任意常数时是二次函数，
a＝0，b≠0，c为任意常数时是一次函数；
a＝0，b≠0，c＝0时是正比例函数．
【点睛】此题主要考查了二次函数和一次函数、正比例函数，关键是掌握三种函数定义．
9．已知二次函数y＝﹣x2+bx+3，当x＝2时，y＝3，求这个二次函数的解析式．
【思路点拨】把x＝2，y＝3代入y＝﹣x2+bx+3，可求出b的值，即可求出二次函数的解析式．
【解析】解：把x＝2，y＝3代入y＝﹣x2+bx+3，
∴3＝﹣22+2b+3，
∴b＝2，
∴y＝﹣x2+2x+3．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是求出b的值．
题组B 能力提升练
10．下列函数表达式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣5 B．y＝ax2+bx+c C．h＝ D．y＝x2+
【思路点拨】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析．
【解析】解：A、是一次函数，故此选项错误；
B、当a≠0时，是二次函数，故此选项错误；
C、是二次函数，故此选项正确；
D、含有分式，不是二次函数，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
11．已知二次函数y＝ax2+bx+1，若当x＝1时，y＝0；当x＝﹣1时，y＝4，则a、b的值分别为（ ）
A．a＝1，b＝2 B．a＝1，b＝﹣2 C．a＝﹣1，b＝2 D．a＝﹣1，b＝﹣2
【思路点拨】把两组对应值分别代入y＝ax2+bx+1得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可得到a和b的值．
【解析】解：根据题意得，
解得a＝1，b＝﹣2．
故选：B．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式
12．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2
【思路点拨】根据两年后机器价值＝机器原价值×（1﹣折旧百分比）2可得函数解析式．
【解析】解：根据题意知y＝100（1﹣x）2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
13．n个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n（n≥2）之间的函数关系是 m＝n2﹣n ．
【思路点拨】n个球队都要与除自己之外的（n﹣1）球队个打一场，因此要打n（n﹣1）场，然而有重复一半的场次，故比赛场次为n（n﹣1），得出关系式．
【解析】解：m＝n（n﹣1）＝n2﹣n，
故答案为：m＝n2﹣n．
【点睛】考查函数关系式的求法，在具体的情景中，蕴含数量之间的关系，理解和发现数量之间的关系是正确解答的关键．
14．一个二次函数y＝（k﹣1）+2x﹣1．
（1）求k值．
（2）求当x＝0.5时y的值？
【思路点拨】（1）根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得k2﹣3k+4＝2，且k﹣1≠0，再解即可；
（2）根据（1）中k的值，可得函数解析式，再利用代入法把x＝0.5代入可得y的值．
【解析】解：（1）由题意得：k2﹣3k+4＝2，且k﹣1≠0，
解得：k＝2；
（2）把k＝2代入y＝（k﹣1）+2x﹣1得：y＝x2+2x﹣1，
当x＝0.5时，y＝．
【点睛】此题主要考查了二次函数以及求函数值，关键是掌握判断函数是否是二次函数，要抓住二次项系数不为0和自变量指数为2这个关键条件．
15．y与x2成正比例，并且当x＝﹣1时，y＝﹣3．求：
（1）y与x的函数关系式；
（2）当x＝4时，y的值；
（3）当时，x的值．
【思路点拨】（1）设y＝kx2，把当x＝﹣1时，y＝﹣3代入求得k的值，则y与x的函数关系式即可求得；
（2）把x＝4代入即可求得y的值；
（3）把y＝﹣代入解析式即可求得x的值．
【解析】解：（1）设y＝kx2，
则根据题意得：k＝﹣3，
则y与x的函数关系式是y＝﹣3x2；
（2）把x＝4代入得：y＝﹣3×16＝﹣48；
（3）当y＝﹣时，﹣3x2＝﹣，
解得：x＝±．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，是一个基础题．
题组C 培优拔尖练
16．下列具有二次函数关系的是（ ）
A．正方形的周长y与边长x B．速度一定时，路程s与时间t
C．正方形的面积y与边长x D．三角形的高一定时，面积y与底边长x
【思路点拨】根据题意，列出函数解析式就可以判定．
【解析】解：A、y＝4x，是一次函数，错误；
B、s＝vt，v一定，是一次函数，错误；
C、y＝x2，是二次函数，正确；
D、y＝hx，h一定，是一次函数，错误．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的定义，掌握其定义是解决此题关键．
17．若函数y＝mx+4是二次函数，则m的值为（ ）
A．0或﹣1 B．0或1 C．﹣1 D．1
【思路点拨】利用二次函数定义可得m2+m+2＝2，且m≠0，再解即可．
【解析】解：由题意得：m2+m+2＝2，且m≠0，
解得：m＝﹣1，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
18．若y与x2成正比例，且当x＝2时，y＝4，则当x＝﹣3时，y的值为（ ）
A．4 B．9 C．12 D．﹣5
【思路点拨】根据题意设y＝kx2（k≠0），将x＝2，y＝4代入函数解析式，列出关于系数k的方程，借助于方程即可求得k的值，求得解析式，然后代入x＝﹣3求得即可．
【解析】解：∵y与x2成正比例，
∴设y＝kx2（k≠0）．
∵当x＝2时，y＝4，
∴4＝4k，
解得，k＝1，
∴该函数解析式为：y＝x2，
把x＝﹣3代入得，y＝9，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，正确设出函数关系式是解题关键．
19．一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（ ）
A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣5
【思路点拨】设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），然后由当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，得到a，b，c的三元一次方程组，解方程组确定a，b，c的值即可．
【解析】解：设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，
∴c＝﹣5①，
a﹣b+c＝﹣4②，
4a﹣2b+c＝5③，
解由①②③组成的方程组得，a＝4，b＝3，c＝﹣5，
所以二次函数的关系式为：y＝4x2+3x﹣5．
故选：A．
【点睛】本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式．设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），通过解方程组确定a，b，c的值．
20．如图，在靠墙（墙长为20m）的地方围建一个矩形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆总长为50m，设鸡场垂直于墙的一边长x（m），求鸡场的面积y（m2）与x（m）的函数关系式，并求自变量的取值范围．
【思路点拨】直接利用矩形的长乘以宽得出其y与x之间的函数关系即可．
【解析】解：由题意可得：y＝x（50﹣2x），
∵墙长为20m，
∴50﹣2x≤20，
解得：x≥15，
故自变量的取值范围是：15≤x＜25．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，正确得出y与x之间的函数关系式是解题关键．
21．在y＝ax2+bx+c中，当x＝2时y的值是﹣15，x＝1时y的值是﹣9，x＝﹣1时y的值是﹣3，求a，b、c的值．
【思路点拨】将点（2，﹣15）、（1，﹣9），（﹣1，﹣3）分别代入二次函数的解析式，列出关于a、b、c的三元一次方程组，然后解方程组即可．
【解析】解：根据题意，得
，
解得，，
∴a，b、c的值分别是：﹣1、﹣3、﹣5．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．解答该题时，利用了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上的点，一定满足该二次函数的解析式．
22．已知二次函数y＝ax2+（km+c），当x＝3时，y＝15；当x＝﹣2时，y＝5，试求y与x之间的函数关系式．
【思路点拨】由题意把km+c看为一个整体，把x＝3时，y＝15和x＝﹣2时，y＝5，代入二次函数的解析式，得到两个方程，解出x和km+c，从而求出y与x之间的函数关系式．
【解析】解：把x＝3，y＝15，x＝﹣2，y＝5，别代入y＝ax2+（km+c），
得
解得，a＝2，km+c＝﹣3，
∴y＝2x2﹣3
【点睛】此题主要考查用待定系数法求函数的解析式，整体法代入求解，也是此题的一个难点．
23．已知y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，当x＝1时，y＝6，当x＝3时，y＝8，求y关于x的解析式．
【思路点拨】根据题意设出函数关系式，把“x＝3时，y＝8；当x＝1时，y＝6”代入y与x间的函数关系式便可求出未知数的值，从而求出其解析式．
【解析】解：∵y1与x成正比例，
∴y1＝k1x（k1≠0）；
∵y2与x2成正比例，
∴y2＝k2x2（k2≠0）；
∴y＝y1+y2＝k1x+k2x2，
∵当x＝1时，y＝6； x＝3时，y＝8，
∴，
解得，，
∴y＝x﹣x2，
即y关于x的函数解析式是：y＝x﹣x2．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，设出解析式是解题的关键．
目标导航
学习目标
1.理解二次函数的概念,掌握二次函数的标准形式
2.会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围.
3.会用待定系数法求二次函数的表达式.
知识精讲
知识点01 二次函数函数的概念
1.形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数，称为二次项系数，为一次项系数，为常数项.
注意：二次项系数，而可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数．
2.二次函数的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．
⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
知识点02 根据实际问题列二次函数表达式
根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，理解题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
知识点03 待定系数法求二次函数的表达式
用待定系数法求二次函数的表达式步骤:
(1)设二次函数的表达式;
(2) 根据已知条件，得到关于待定系数的方程组。
(3)解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的解析式。
能力拓展
考点01 二次函数函数的概念
【典例1】若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1
【思路点拨】根据二次函数定义可得|a+3|＝2且a+1≠0，求解即可．
【解析】解：∵函数y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，
∴|a+3|＝2且a+1≠0，
解得a＝﹣5，
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数的定义，二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
【即学即练1】如果函数y＝（m﹣2）是二次函数，则m的值为 ﹣3 ．
【思路点拨】根据二次函数的定义，可得m2+m﹣4＝2且m﹣2≠0，然后进行计算即可解答．
【解析】解：由题意得：
m2+m﹣4＝2且m﹣2≠0，
∴m＝2或﹣3且m≠2，
∴m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
考点02 根据实际问题列二次函数表达式
【典例2】如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为便于进出，开了3道宽为1米的门．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，则S与x的之间的函数表达式为 S＝﹣3x2+24x ；自变量x的取值范围为 ≤x＜6 ．
【思路点拨】根据题意表示出长方形的长进而得出函数关系，进而结合a的最大值得出x的取值范围．
【解析】解：设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，
则S与x的之间的函数表达式为：S＝（21﹣3x+3）x＝﹣3x2+24x；
由题意可得：，
解得：≤x＜6．
故答案为：S＝﹣3x2+24x，≤x＜6．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确表示出长方形的长是解题关键．
【即学即练2】某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，第3年的销售量为y台，则y关于x的函数解析式为（ ）
A．y＝5000（1+2x） B．y＝5000（1+x）2
C．y＝5000+2x D．y＝5000x2
【思路点拨】首先表示出第二年的销售量为5000（1+x），然后表示出第三年的销售量为5000（1+x）2，从而确定答案．
【解析】解：设每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，
根据题意得：y＝5000（1+x）2，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式，解题的关键是分别表示出第二年和第三年的销售量．
考点03 待定系数法求二次函数的表达式
【典例3】已知二次函数y＝x2+bx+c，当x＝1时y＝3；当x＝﹣1时，y＝1，求这个二次函数的解析式．
【思路点拨】根据题意，可得出抛物线过（1，3），（﹣1，1）两点，将这两点的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值．
【解析】解：将点（1，3），（﹣1，1）代入函数解析式得：
，
解得；
故此函数的解析式为y＝x2+x+1．
【点睛】本题考查的是用待定系数法求二次函数的解析式．
【即学即练2】二次函数y＝ax2+bx﹣3中的x，y满足如表
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
﹣3
m
﹣3
…
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求m的值．
【思路点拨】（1）设一般式y＝ax2+bx﹣3，再取两组对应值代入得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可；
（2）把x＝1代入二次函数的解析式求解即可．
【解析】解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx﹣3，
把（﹣1，0），（2，﹣3）代入得，
解得：，
所以解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）把x＝1代入y＝x2﹣2x﹣3，可得y＝1﹣2﹣3＝﹣4，
所以m＝﹣4．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：根据已知条件，得到关于待定系数的方程组。
解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的解析式。
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣3 B．y＝（x+1）2﹣x2 C．y＝2x（x+1） D．y＝﹣
【思路点拨】一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．根据定义进行判断即可．
【解析】解：A．不含有x的二次项，所以A不符合题意；
B．化简后y＝2x+1，不含有x的二次项，所以B不符合题意；
C．符合题意；
D．y＝﹣2x﹣2，不含有x的二次项，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式是解决本题的关键．
2．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y＝x（40﹣x） B．y＝x（18﹣x） C．y＝x（40﹣2x） D．y＝2x（40﹣2x）
【思路点拨】先用含x的代数式表示苗圃园与墙平行的一边长，再根据面积＝长×宽列出y关于x的函数关系式．
【解析】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则苗圃园与墙平行的一边长为（40﹣2x）米．
依题意可得：y＝x（40﹣2x）．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题列二次函数关系式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
3．已知函数y＝ax2+bx，当x＝1时，y＝﹣1；当x＝﹣1时，y＝2，则a，b的值分别是（ ）
A．，﹣ B．， C．1，2 D．﹣1，2
【思路点拨】把两组对应值分别代入y＝ax2+bx中得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可．
【解析】解：根据题意得，解得．
故选：A．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式
4．如果二次函数y＝ax2+bx，当x＝1时，y＝2；当x＝﹣1时，y＝4，则a，b的值是（ ）
A．a＝3，b＝﹣1 B．a＝3，b＝1 C．a＝﹣3，b＝1 D．a＝﹣3，b＝﹣1
【思路点拨】把两组对应值分别代入y＝ax2+bx得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可．
【解析】解：根据题意得，
解得．
所以抛物线解析式为y＝3x2﹣x．
故选：A．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式
5．已知二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝ 3 ，一次项系数b＝ ﹣5 ，常数项c＝ 1 ．
【思路点拨】根据二次函数的定义，可得答案．
【解析】解：二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣5，常数项c＝1，
故答案为：3，﹣5，1．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键．
6．如果函数y＝（m﹣1）x2+x（m是常数）是二次函数，那么m的取值范围是 m≠1 ．
【思路点拨】依据二次函数的二次项系数不为零求解即可．
【解析】解：∵函数y＝（m﹣1）x2+x（m为常数）是二次函数，
∴m﹣1≠0，解得：m≠1，
故答案为：m≠1．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的特点是解题的关键．
7．矩形的周长为12cm，设其一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是 y＝﹣x2+6x（0＜x＜6） ．
【思路点拨】根据矩形的周长及其中一边长度得出另外一边长度为米，再由矩形的面积公式可得函数解析式，根据长、宽均为正数可得x的取值范围．
【解析】解：根据题意知，y与x的函数关系式y＝x•＝x（6﹣x）＝﹣x2+6x，
由得0＜x＜6，
所以y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是y＝﹣x2+6x（0＜x＜6），
故答案为：y＝﹣x2+6x（0＜x＜6）．
【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
8．当系数a，b，c满足什么条件时，函数y＝ax2+bx+c是二次函数？是一次函数？是正比例函数？
【思路点拨】根据二次函数和一次函数、正比例函数定义进行解答即可．
【解析】解：函数y＝ax2+bx+c中a≠0，b和c为任意常数时是二次函数，
a＝0，b≠0，c为任意常数时是一次函数；
a＝0，b≠0，c＝0时是正比例函数．
【点睛】此题主要考查了二次函数和一次函数、正比例函数，关键是掌握三种函数定义．
9．已知二次函数y＝﹣x2+bx+3，当x＝2时，y＝3，求这个二次函数的解析式．
【思路点拨】把x＝2，y＝3代入y＝﹣x2+bx+3，可求出b的值，即可求出二次函数的解析式．
【解析】解：把x＝2，y＝3代入y＝﹣x2+bx+3，
∴3＝﹣22+2b+3，
∴b＝2，
∴y＝﹣x2+2x+3．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是求出b的值．
题组B 能力提升练
10．下列函数表达式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣5 B．y＝ax2+bx+c C．h＝ D．y＝x2+
【思路点拨】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析．
【解析】解：A、是一次函数，故此选项错误；
B、当a≠0时，是二次函数，故此选项错误；
C、是二次函数，故此选项正确；
D、含有分式，不是二次函数，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
11．已知二次函数y＝ax2+bx+1，若当x＝1时，y＝0；当x＝﹣1时，y＝4，则a、b的值分别为（ ）
A．a＝1，b＝2 B．a＝1，b＝﹣2 C．a＝﹣1，b＝2 D．a＝﹣1，b＝﹣2
【思路点拨】把两组对应值分别代入y＝ax2+bx+1得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可得到a和b的值．
【解析】解：根据题意得，
解得a＝1，b＝﹣2．
故选：B．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式
12．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2
【思路点拨】根据两年后机器价值＝机器原价值×（1﹣折旧百分比）2可得函数解析式．
【解析】解：根据题意知y＝100（1﹣x）2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
13．n个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n（n≥2）之间的函数关系是 m＝n2﹣n ．
【思路点拨】n个球队都要与除自己之外的（n﹣1）球队个打一场，因此要打n（n﹣1）场，然而有重复一半的场次，故比赛场次为n（n﹣1），得出关系式．
【解析】解：m＝n（n﹣1）＝n2﹣n，
故答案为：m＝n2﹣n．
【点睛】考查函数关系式的求法，在具体的情景中，蕴含数量之间的关系，理解和发现数量之间的关系是正确解答的关键．
14．一个二次函数y＝（k﹣1）+2x﹣1．
（1）求k值．
（2）求当x＝0.5时y的值？
【思路点拨】（1）根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得k2﹣3k+4＝2，且k﹣1≠0，再解即可；
（2）根据（1）中k的值，可得函数解析式，再利用代入法把x＝0.5代入可得y的值．
【解析】解：（1）由题意得：k2﹣3k+4＝2，且k﹣1≠0，
解得：k＝2；
（2）把k＝2代入y＝（k﹣1）+2x﹣1得：y＝x2+2x﹣1，
当x＝0.5时，y＝．
【点睛】此题主要考查了二次函数以及求函数值，关键是掌握判断函数是否是二次函数，要抓住二次项系数不为0和自变量指数为2这个关键条件．
15．y与x2成正比例，并且当x＝﹣1时，y＝﹣3．求：
（1）y与x的函数关系式；
（2）当x＝4时，y的值；
（3）当时，x的值．
【思路点拨】（1）设y＝kx2，把当x＝﹣1时，y＝﹣3代入求得k的值，则y与x的函数关系式即可求得；
（2）把x＝4代入即可求得y的值；
（3）把y＝﹣代入解析式即可求得x的值．
【解析】解：（1）设y＝kx2，
则根据题意得：k＝﹣3，
则y与x的函数关系式是y＝﹣3x2；
（2）把x＝4代入得：y＝﹣3×16＝﹣48；
（3）当y＝﹣时，﹣3x2＝﹣，
解得：x＝±．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，是一个基础题．
题组C 培优拔尖练
16．下列具有二次函数关系的是（ ）
A．正方形的周长y与边长x B．速度一定时，路程s与时间t
C．正方形的面积y与边长x D．三角形的高一定时，面积y与底边长x
【思路点拨】根据题意，列出函数解析式就可以判定．
【解析】解：A、y＝4x，是一次函数，错误；
B、s＝vt，v一定，是一次函数，错误；
C、y＝x2，是二次函数，正确；
D、y＝hx，h一定，是一次函数，错误．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的定义，掌握其定义是解决此题关键．
17．若函数y＝mx+4是二次函数，则m的值为（ ）
A．0或﹣1 B．0或1 C．﹣1 D．1
【思路点拨】利用二次函数定义可得m2+m+2＝2，且m≠0，再解即可．
【解析】解：由题意得：m2+m+2＝2，且m≠0，
解得：m＝﹣1，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
18．若y与x2成正比例，且当x＝2时，y＝4，则当x＝﹣3时，y的值为（ ）
A．4 B．9 C．12 D．﹣5
【思路点拨】根据题意设y＝kx2（k≠0），将x＝2，y＝4代入函数解析式，列出关于系数k的方程，借助于方程即可求得k的值，求得解析式，然后代入x＝﹣3求得即可．
【解析】解：∵y与x2成正比例，
∴设y＝kx2（k≠0）．
∵当x＝2时，y＝4，
∴4＝4k，
解得，k＝1，
∴该函数解析式为：y＝x2，
把x＝﹣3代入得，y＝9，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，正确设出函数关系式是解题关键．
19．一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（ ）
A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣5
【思路点拨】设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），然后由当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，得到a，b，c的三元一次方程组，解方程组确定a，b，c的值即可．
【解析】解：设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，
∴c＝﹣5①，
a﹣b+c＝﹣4②，
4a﹣2b+c＝5③，
解由①②③组成的方程组得，a＝4，b＝3，c＝﹣5，
所以二次函数的关系式为：y＝4x2+3x﹣5．
故选：A．
【点睛】本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式．设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），通过解方程组确定a，b，c的值．
20．如图，在靠墙（墙长为20m）的地方围建一个矩形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆总长为50m，设鸡场垂直于墙的一边长x（m），求鸡场的面积y（m2）与x（m）的函数关系式，并求自变量的取值范围．
【思路点拨】直接利用矩形的长乘以宽得出其y与x之间的函数关系即可．
【解析】解：由题意可得：y＝x（50﹣2x），
∵墙长为20m，
∴50﹣2x≤20，
解得：x≥15，
故自变量的取值范围是：15≤x＜25．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，正确得出y与x之间的函数关系式是解题关键．
21．在y＝ax2+bx+c中，当x＝2时y的值是﹣15，x＝1时y的值是﹣9，x＝﹣1时y的值是﹣3，求a，b、c的值．
【思路点拨】将点（2，﹣15）、（1，﹣9），（﹣1，﹣3）分别代入二次函数的解析式，列出关于a、b、c的三元一次方程组，然后解方程组即可．
【解析】解：根据题意，得
，
解得，，
∴a，b、c的值分别是：﹣1、﹣3、﹣5．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．解答该题时，利用了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上的点，一定满足该二次函数的解析式．
22．已知二次函数y＝ax2+（km+c），当x＝3时，y＝15；当x＝﹣2时，y＝5，试求y与x之间的函数关系式．
【思路点拨】由题意把km+c看为一个整体，把x＝3时，y＝15和x＝﹣2时，y＝5，代入二次函数的解析式，得到两个方程，解出x和km+c，从而求出y与x之间的函数关系式．
【解析】解：把x＝3，y＝15，x＝﹣2，y＝5，别代入y＝ax2+（km+c），
得
解得，a＝2，km+c＝﹣3，
∴y＝2x2﹣3
【点睛】此题主要考查用待定系数法求函数的解析式，整体法代入求解，也是此题的一个难点．
23．已知y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，当x＝1时，y＝6，当x＝3时，y＝8，求y关于x的解析式．
【思路点拨】根据题意设出函数关系式，把“x＝3时，y＝8；当x＝1时，y＝6”代入y与x间的函数关系式便可求出未知数的值，从而求出其解析式．
【解析】解：∵y1与x成正比例，
∴y1＝k1x（k1≠0）；
∵y2与x2成正比例，
∴y2＝k2x2（k2≠0）；
∴y＝y1+y2＝k1x+k2x2，
∵当x＝1时，y＝6； x＝3时，y＝8，
∴，
解得，，
∴y＝x﹣x2，
即y关于x的函数解析式是：y＝x﹣x2．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，设出解析式是解题的关键．
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