人教版13.3.1 等腰三角形课后复习题

这是一份人教版13.3.1 等腰三角形课后复习题，文件包含八年级数学上册专题05等腰三角形的判定与性质原卷版docx、八年级数学上册专题05等腰三角形的判定与性质解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共49页， 欢迎下载使用。

2022-2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编
专题05 等腰三角形的判定与性质
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021八上·陇县期末）如图，在 中， ， ， ， ， ，则 （　　）

A．10 B．11 C．13 D．15
【答案】B
【完整解答】解：延长BE交AC于M，

∵BE⊥AE，
∴∠AEB＝∠AEM＝90°
∴∠3＝90°﹣∠1，∠4＝90°﹣∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∴AB＝AM=5，
∵BE⊥AE，
∴BM＝2BE=6，
∵∠4是△BCM的外角
∴∠4＝∠5+∠C
∵∠ABC＝3∠C，
∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5
∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C
∴∠5＝∠C
∴CM＝BM=6，
∴AC=AM+CM＝AB+2BE=11.
故答案为：B.
【思路引导】延长BE交AC于M，对图形进行角标注，根据等角的余角相等可得∠3＝∠4，由等腰三角形的性质可得BM＝2BE=6，由外角的性质可得∠4＝∠5+∠C，则∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5，推出∠5＝∠C，则CM＝BM=6，然后根据AC=AM+CM进行计算.
2．（2分）（2021八上·临沭月考）如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，P为射线OC上一点，如果射线OA上的点D，满足△OPD是等腰三角形，那么∠ODP的度数为（　　）

A．30° B．120°
C．30°或120° D．30°或75°或120°
【答案】D
【完整解答】解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝30°，
①当D在D1时，OD＝PD，
∵∠AOP＝∠OPD＝30°，
∴∠ODP＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
②当D在D2点时，OP＝OD，
则∠OPD＝∠ODP＝（180°﹣30°）＝75°；
③当D在D3时，OP＝DP，
则∠ODP＝∠AOP＝30°；
综上所述：120°或75°或30°，

故答案为：D．
【思路引导】先求出∠AOC＝30°，再分类讨论，结合图形求解即可。
3．（2分）（2021八上·东莞期中）如图， 中，点 在 上，连接BD，∠ABD=2∠DBC，∠ADB=2∠C，∠DBC=∠A，则图中共有等腰三角形（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【完整解答】解：图中共有等腰三角形3个，理由如下：
∵∠ADB＝∠C＋∠DBC，∠ADB＝2∠C，
∴∠DBC＝∠C，
∴△BCD是等腰三角形，DB＝DC，
∵∠ABD＝2∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴△ABD是等腰三角形，AB＝AD，
∵∠DBC＝∠A，
∴∠A＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形，AB＝CB，
故答案为：D．

【思路引导】根据等腰三角形的判定定理分别求出DB=DC，AB=AD，AB=CB即可。
4．（2分）（2021八上·江津期末）如图，在 中， ， ，以点 为圆心，任意长为半径画弧分别交 ， 于点 和 ，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，连接 并延长交 于点 .则下列说法中正确的个数是（　　）
① 是 的平分线；② ；③点 在 的中垂线上；④

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【完整解答】解：由题意得： 是 的平分线，故①正确；
∵ ， ，
∴∠BAC= ，
∵ 是 的平分线，
∴∠CAD=∠BAD= ，
∴ ，故②正确；
过点D作DE⊥AB于E，

∵∠BAD= ，
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰三角形，
∴AE=BE，
∴点 在 的中垂线上，故③正确；
∵ 是 的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴CD=DE，∠C=∠AED= ，
又∵AD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴S△ACD=S△AED，
∵AE=BE，DE⊥AB，
∴S△AED=S△BED，
∴ ，故④错误.
故答案为：C.
【思路引导】根据题意作图可知： 是 的平分线，由此判断①正确；
先求得∠BAC= ，由 是 的平分线，求得∠CAD=∠BAD= ，即可得到 ，判断②正确；
过点D作DE⊥AB于E，根据∠BAD= ，证得△ABD是等腰三角形，得到AE=BE，即可判断③正确；
证明Rt△ACD≌Rt△AED，得到S△ACD=S△AED，根据等底同高得到S△AED=S△BED，即可得到 ，判断④错误.
5．（2分）（2020八上·濮阳期末）如图，在中，、分别平分、，过点D作直线平行于，分别交、于点E、F，当大小变化时，线段和的大小关系是　　

A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【完整解答】解：，
，
平分，
，
，
，
同理，
，
即.
故答案为：C.
【思路引导】由平行线的性质得∠EDB=∠DBC，由角平分线的定义得∠EBD=∠DBC，从而得∠EDB=∠EBD
，利用等角对等边可得ED=BE，同理可证DF=FC，利用线段的和差即可求解.
6．（2分）（2021八上·滑县期末）如图，点 是 的 ， 的平分线的交点， 交 于点 ， 交 于点 ，若 的周长为 ，那么 的长为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【完整解答】∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ABO=∠BOD，∠ACO=∠EOC，
∵点 是 的 ， 的平分线的交点，
∴∠ABO=∠OBD，∠ACO=∠OCE；
∴∠OBD =∠BOD，∠EOC=∠OCE；
∴BD=OD，CE=OE；
∴△ODE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+EC= BC
∵ 的周长为 ，
∴BC=9cm．
故答案为：B．
【思路引导】由平行线的性质可得∠ABO=∠BOD，∠ACO=∠EOC，由角平分线的定义可得∠ABO=∠OBD，∠ACO=∠OCE；于是∠OBD =∠BOD，∠EOC=∠OCE；由等角对等边可得BD=OD，CE=OE；根据三角形的周长等于三角形的三边之和可得△ODE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+EC= BC，把△ODE的周长代入等式计算即可求解.
7．（2分）（2021八上·柯桥月考）如图，在△ABC中，AC＝BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为（　　）

A．3 B．4 C．6 D．7
【答案】C
【完整解答】解：如图所示，作AB的垂直平分线，

①作AC的垂直平分线交AB的垂直平分线于一点P，得到△ABC的外心P，为满足条件的一个点；
②以点C为圆心，以AC长为半径画圆，交AB的垂直平分线于两点，P2，P3为满足条件的点；
③分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，P4为满足条件的点；
④分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，得到P5、 P6为满足条件的点；
综上所述，满足条件的所有点P的个数有6个.
故答案为：C.

【思路引导】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出AB和AC的垂直平分线，得到△ ABC的外心满足条件；再根据圆的半径相等，以点C为圆心，以AC长为半径画圆，与AB的垂直平分线相交于两点；分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，与AB的垂直平分线相交于一点；再分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，与⊙C相交于两点，即可解答.
8．（2分）（2018八上·天台期中）如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G,过点G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：①EF=BE+CF；②∠BGC=90+ ∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD=m，AE+AF=n,则 =mn.其中正确的结论有(　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【完整解答】解：①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG．
∵EF∥BC，
∴∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，
∴∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠CGF，
∴BE=EG，GF=CF，
∴EF=EG+GF=BE+CF，故本小题正确；
②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴∠GBC+∠GCB= （∠ABC+∠ACB）= （180°-∠A），
∴∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=180°- （180°-∠A）=90°+ ∠A，故本小题正确；
③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴点G是△ABC的内心，
∴点G到△ABC各边的距离相等，故本小题正确；
④连接AG，

∵点G是△ABC的内心，GD=m，AE+AF=n，
∴S△AEF= AE•GD+ AF•GD= （AE+AF）•GD= nm，故本小题错误．
故答案为：C．
【思路引导】利用角平分线的性质可证得∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG，再根据平行线的性质，可证得∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，再证明∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠CGF，就可得出BE=EG，GF=CF，从而可证 ① 的结论；利用角平分线的定义及三角形的内角和定理，可对 ② 作出判断；BG、CG是△ABC的两个角的平分线的交点，可证得点G时内心，利用三角形角平分线上的点到角两边的距离相等，可对③作出判断；由已知条件：点G是△ABC的内心，GD=m，AE+AF=n，就可得出△AEF的面积= （AE+AF）•GD，代入计算，可对 ④ 作出判断，综上所述，可得出正确结论的个数。
9．（2分）（2018八上·江苏月考）已知：如图△ABC中，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足.下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝AE＝EC；④BA+BC＝2BF.其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【完整解答】解：①∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△EBC中，
BE＝BA∠ABE＝∠CBEBD＝BC ，
∴△ABD≌△EBC（SAS），
∴①正确；
②∵BD为△ABC的角平分线，BE=BC，BD=BA，
∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，
∵△ABD≌△EBC
∴∠BCE=∠BDA，
∴∠BDC+∠BCE=∠BDA+∠BDC=180°，
∴②正确；
③∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCE=∠BDA，
∴∠DCE=∠DAE，
∴△ACE为等腰三角形，
∴AE=EC，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD=EC，
∴AD=AE=EC，
∴③正确；
④过E作EG⊥BC于G点，

∵E是∠ABC角平分线上的点，∴EG=EF，
在Rt△BEF和Rt△BEG中，
BE＝BEEG＝EF ，
∴Rt△BEF≌Rt△BEG（HL），
∴BF=BG，
在Rt△CEG和Rt△AFE中，
EG＝EFAE＝CE ，
∴Rt△CEG≌Rt△AFE（HL），
∴AF=CG，
∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BG+BF=2BG，
∴④正确.
故答案为：D.
【思路引导】根据角平分线的定义得出∠ABD=∠CBD，从而利用SAS判断出△ABD≌△EBC；根据三角形的内角和及等边对等角得出∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，根据全等三角形的对应角相等得出∠BCE=∠BDA，从而即可根据等量代换及平角的定义得出∠BDC+∠BCE=∠BDA+∠BDC=180°；根据角的和差、三角形外角定理及等式的性质得出∠DCE=∠DAE，根据等角对等边得出AE=EC，再根据全等三角形对应边相等得出AD=EC，故AD=AE=EC；过E作EF⊥BC于F点，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出EG=EF，从而利用HL判断出Rt△BEF≌Rt△BEG，推出BF=BG，再利用HL判断出Rt△CEF≌Rt△AGE，推出AG=CF，最后根据线段的和差及等量代换得出BA+BC=BG+GA+BF-CF=BG+BF=2BG，综上所述即可得出答案。
10．（2分）（2018八上·新乡期末）如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分线AP和∠ACB外角的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA=45°；②AF-CG=CA；③DE=DC；④FH=CD+GH；⑤CF=2CD+EG．其中正确的有（　　）

A．①②④ B．①②③ C．①②④⑤ D．①②③⑤
【答案】D
【完整解答】①利用公式：∠CDA= ∠ABC=45°，①正确；
②如图：延长GD与AC交于点P'，

由三线合一可知CG=CP'，
∵∠ADC=45°，DG⊥CF，
∴∠EDA=∠CDA=45°，
∴∠ADP=∠ADF，
∴△ADP'≌△ADF（ASA），
∴AF=AP'=AC+CP'=AC+CG，故②正确；
③如图：

∵∠EDA=∠CDA，
∠CAD=∠EAD，
从而△CAD≌△EAD，
故DC=DE，③正确；
④∵BF⊥CG，GD⊥CF，
∴E为△CGF垂心，
∴CH⊥GF，且△CDE、△CHF、△GHE均为等腰直角三角形，
∴HF=CH=EH+CE=GH+CE=GH+ CD，故④错误；
⑤如图：作ME⊥CE交CF于点M，
则△CEM为等腰直角三角形，从而CD=DM，CM=2CD，EM=EC，
∵∠MFE=∠CGE，
∠CEG=∠EMF=135°，
∴△EMF≌△CEG（AAS），
∴GE=MF，
∴CF=CM+MF=2CD+GE，
故⑤正确；
故答案为：D
【思路引导】根据题意易求出∠ADC的度数，可对①作出判断；延长GD与AC交于点P'，利用等腰三角形三线合一的性质，可得出CG=CP'，再证明CG=CP，AP=AF，就可证得AF=AC+CG，可对②作出判断；证明△CAD≌△EAD，利用全等三角形的性质，就可判断△CDE的形状，可对③作出判断；易证E为△CGF垂心，就可证得△CDE、△CHF、△GHE均为等腰直角三角形，可证得HF=GH+ CD，可对④作出判断；作ME⊥CE交CF于点M，可知△CEM为等腰直角三角形，从而CD=DM，CM=2CD，EM=EC，再证明△EMF≌△CEG，利用全等三角形的性质，可证GE=MF，然后就可得出CF=2CD+EG，综上所述，可得出正确的序号。
二．填空题（共9小题，满分18分，每小题2分）
11．（2分）（2021八上·云梦期末）如图，在中，，，点在线段上运动（不与，重合），连接，作，与交于.在点的运动过程中，的度数为　 　时，的形状是等腰三角形.

【答案】或
【完整解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA=DE时，即∠DAE=∠DEA=（180°-40°）=70°，
∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，
∴∠BAD=100°-70°=30°；
∴∠BDA=180°-30°-40°=110°；
③当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°，
∴∠BAD=100°-40°=60°，
∴∠BDA=180°-60°-40°=80°；
∴当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是110°或80°，
故答案为：110°或80°.
【思路引导】利用等边对等角可求出∠C的度数，再利用等腰三角形的定义，分情况讨论：当AD=AE时，可得到∠AED=40°，利用三角形的一个外角大于和它不相邻的任意一个内角，可知此时不符合； 当DA=DE时，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠DAE的度数，利用三角形的内角和定理求出∠BAC，∠BAD的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠BDA的度数；当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°， 由此可求出∠BAD的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠BDA的度数.
12．（2分）（2021八上·武汉月考）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，ME∥AD交AC于F，交BA的延长线于E.则BE＝　 　.

【答案】5
【完整解答】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵MF∥AD，
∴∠DAC＝∠AFE，∠BAD＝∠E，
∴∠E＝∠AFE，
∴AE＝AF；
延长FM至点N，使MN＝FM， ∠BMN＝∠CMF，MB＝CM，

∴△BMN≌△CMF（SAS），
∴CF＝BN，∠N＝∠MFC，
∵∠EFA＝∠MFC，
∴∠N＝∠EFA，
∴∠N＝∠E，
∴BN＝BE，
∴AB＋AC＝AB＋AF＋FC＝AB＋AE＋FC＝BE＋FC，
∵BE＝FC，
∴2BE=10，
∴BE=5.
故答案为：5.
【思路引导】根据平行线的性质得∠DAC＝∠AFN，∠BAD＝∠E，结合角平分线的定义证出∠E＝∠AFE，根据等角对等边得出AE=AF；延长FM至点N，使MN＝FM，连接AN，证明△BMN≌△CMF，得出CF＝BN，∠N＝∠MFC，得出BN＝BE，证明得出AB＋AC＝2BE，可求出答案．
13．（2分）（2021八上·下城期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC，交AB于点F，若AF＝8，BF＝7，则CD的长度为　 　.

【答案】23
【完整解答】解：∵AF＝8，BF＝7，
∴AC=AB=AF+BF=8+7=15，
∵AB＝AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠DEC=90°，
∴∠C+∠D=∠B+∠BFE，
∴∠D=∠BFE=∠AFD，
∴AD=AF=8，
∴CD=AC+AD=15+8=23.
故答案为：23.
【思路引导】由已知条件可得AC=AB=AF+BF=15，由等腰三角形的性质可得∠B=∠C，由等角的余角相等可得∠D=∠BFE=∠AFD，则AD=AF=8，然后根据CD=AC+AD进行计算.
14．（2分）（2021八上·长沙月考）如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝7cm，DE＝3cm，求CE的长为　 　cm.

【答案】4
【完整解答】解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，
∴∠DBF=∠CBF，∠FCE=∠FCG，
∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠FCG，
∴∠DBF=∠DFB，∠FCE=∠EFC，
∴BD=FD，EF=CE，
∴EF=DF-DE=BD-DE=7-3=4，
∴CE=4cm.
故答案为：4.
【思路引导】由角平分线的定义可得∠DBF=∠CBF，∠FCE=∠FCG，由平行线的性质可得∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠FCG，从而得出∠DBF=∠DFB，∠FCE=∠EFC，根据等角对等边可得BD=FD，EF=CE，继而得出EF=DF-DE=BD-DE=4，即得结论.
15．（2分）（2020八上·兴城期末）如图， 中， ，M、N分别是 、 边上的点，连接 、 ，若 ， ，则 的度数是　 　．

【答案】40°
【完整解答】解： ， ，
根据等腰三角形的判定定理得： △AMN，△CNB 为等腰三角形，
∴∠ANM=∠AMN，∠CNB=∠CBN ，
，
，
，
故答案是： ．
【思路引导】先求出△AMN，△CNB 为等腰三角形，再求出 ，最后计算求解即可。
16．（2分）（2020八上·天津月考）如图，在 中， 与 的平分线交于点 ，过点 作 ，分别交 、 于点 、 ．若 的周长为7， 的周长是12，则 的长度为　 　．

【答案】5
【完整解答】∵DE∥BC，
∴∠DOB=∠OBC，
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠OBC，
∴∠DOB=∠DBO，
∴OD=DB，
同理OE=EC，
∴AD+DE+AE=AD+DO+OE+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC
∵ 的周长为7， 的周长是12
∴AD+DE+AE=7，AB+BC+AC=12
∴AB+AC=7
∴BC=5
故答案为：5．

【思路引导】根据角平分线及平行线的性质得到DO=DB，OE=EC，再利用三角形的周长计算即可。
17．（2分）（2020八上·濉溪期末）如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACF，直线DE过点I，且DE∥BC，BD＝8 cm，CE＝5 cm，则DE＝　 　．

【答案】3cm
【完整解答】解：∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，
∴∠ABI=∠CBI，∠ECI=∠ICF．
∵DE∥BC，
∴∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠ICF，
∴∠ABI=∠DIB，∠ECI=∠EIC，
∴DI=BD=8cm，EI=CE=5cm，
∴DE=DI﹣EI=3（cm）．
故答案为3cm．
【思路引导】根据角平分线的定义，可得∠ABI=∠CBI，∠ECI=∠ICF，根据平行线的性质，可得∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠ICF，利用等量代换可得∠ABI=∠DIB，∠ECI=∠EIC，由等角对等边可得DI=BD=8cm，EI=CE=5cm，利用DE=DI﹣EI即可求出结论.
18．（2分）（2021八上·咸安期末）如图，在 中， 和 的平分线相交于点O，过点O作 交 于E，交 于F，过点O作 于D，有下列结论：① ；②点O到 各边的距离相等；③ ；④ .其中正确的结论是　 　（把你认为正确结论的序号都填上）.

【答案】①②③④
【完整解答】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90° ∠A，
∴∠BOC=180° （∠OBC+∠OCB）=90°+ ∠A；故③正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，
∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，
∴BE=OE，CF=OF，
∴EF=OE+OF=BE+CF，
故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到△ABC各边的距离相等，故②正确.
在Rt△AMO与Rt△ADO中，
∵OM=OD，AO=AO，
∴Rt△AMO≌Rt△ADO
∴AM=AD，
同理BM=BN，CD=CN，
∵AM+BM=AB，AD+CD=AC，BN+CN=BC，
∴AD= （AB+AC BC）故④正确，
故答案为：①②③④.
【思路引导】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得③ 正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故②正确；根据HL可以证出△AMO与△ADO全等，根据全等三角形的对应边相等得出AM=AD，同理BM=BN，CD=CN，最后算 （AB+AC BC）即可得出判断出④.
19．（2分）（2020八上·汉阳期中）如图， 为 的角平分线，且 ， 为 延长线上一点， ，过 作 于 ，下列结论：
① ；② ；③ ；④ .
其中正确的序号是　 　.

【答案】①②④
【完整解答】解：① 为 的角平分线，
，
又 ， ，
，
，
，即①正确；
②在 中， ，
，
在 中， ，
，
，
，
， ， ，
，
为等腰三角形，
，
，
，
，即②正确；
③根据已知条件，可得 不一定成立，故③错误；
④如图，过 作 于 点，

是 上的点，
，
在 和 中，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，即④正确.
故答案为：①②④.
【思路引导】由角平分线的概念可得∠ABD=∠CBD，证明△ABD≌△EBC，得到∠BCE=∠BDA，据此判断①；根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠BEA=(180°-∠ABE)，∠BDC=(180°-∠CBD)，推出∠BDC=∠AEB，得到△ACE为等腰三角形，则AE=EC，由全等三角形的性质可得AD=EC，据此判断②；无法得到AB∥CE，过E作EG⊥BC于G点，证明△BEG≌△BEF，△CEG≌△AEF，得到AF=CG，据此判断④.
20．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：
①EF=BE+CF；
②∠BGC=90°+ ∠A；
③点G到△ABC各边的距离相等；
④设GD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn．
其中正确的结论是　 　．

【答案】①②③
【完整解答】解：①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG．
∵EF∥BC，
∴∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，
∴∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠CGF，
∴BE=EG，GF=CF，
∴EF=EG+GF=BE+CF，故本小题正确；
②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴∠GBC+∠GCB= （∠ABC+∠ACB）= （180°﹣∠A），
∴∠BGC=180°﹣（∠GBC+∠GCB）=180°﹣ （180°﹣∠A）=90°+ ∠A，故本小题正确；
③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴点G是△ABC的内心，
∴点G到△ABC各边的距离相等，故本小题正确；
④连接AG，
∵点G是△ABC的内心，GD=m，AE+AF=n，
∴S△AEF= AE•GD+ AF•GD= （AE+AF）•GD= nm，故本小题错误．
故答案为：①②③．

【思路引导】①根据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G可得出∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG，再由EF∥BC可知∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，故可得出BE=EG，GF=CF，由此可得出结论；
②先根据角平分线的性质得出∠GBC+∠GCB= （∠ABC+∠ACB），再由三角形内角和定理即可得出结论；
③根据三角形内心的性质即可得出结论；
④连接AG，根据三角形的面积公式即可得出结论．
三、解答题(共8题；共60分)
21．（5分）（22021八上·东莞期末）已知：如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，DE∥AB，交AC于点E．求证：△AED是等腰三角形．

【答案】证明：∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是底边BC上的中线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE∥AB，
∴∠ADE=∠BAD，
∴∠ADE=∠CAD，
∴AE=ED，
∴△AED是等腰三角形．
【思路引导】根据等腰三角形的判定与性质即可得出结论。
22．（5分）（2021八上·沿河期末）已知在 中， ， 在 上， 在 的延长线上， 交 于 ，且 ，求证： ．

【答案】证明：过 点作 交 于 点，如图，

， ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
．
【思路引导】（1） 过D点作DG∥AE交BC于点G， 根据平行线的性质额等腰三角形的性质得出∠4=∠3，∠B=∠1，从而得出BD=DG，再利用AAS证出△DFG≌△EFC，得出DG=CE，即可得出BD=CE.
23．（5分）（2020八上·安丘月考）如图， 的平分线 与 的平分线 相交于点 ，过点 作 交 于 ，若 ， ，求 的长

【答案】解： BE平分 ABC，
DBE= EBC，
DE BC，
EBC= DEB，
DEB= DBE，
DE=BD，
同理可证：EF=CF，
BD=8，
DE=8，
DF=3，
EF=5，
CF=5．
【思路引导】由BE平分 ABC可得 DBE= EBC，由DE ∥ BC可得 EBC= DEB，所以 DEB= DBE，所以DE=BD，同理可证EF=CF，由已知线段的长度求解即可．
24．（6分）（2021八上·汉阴期末）如图，在 中， ， 于点D，点E在边 上， 交 的延长线于点F.

（1）（3分）若 ，求 的度数；
（2）（3分）求证： .
【答案】（1）解： ，




.
（2）证明： ， 于点




.
【思路引导】（1）利用等边对等角可求出∠B的度数，利用三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，利用平行线的性质可求出∠AEF的度数；
（2）利用等腰三角形三线合一的性质得∠BAD=∠CAD，再利用平行线的性质得∠F=∠CAD，由此可推出∠BAD=∠F，利用等角对等边，可证得结论.
25．（9分）（2018八上·长春期末）

（1）（3分）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE）
（2）（3分）如图2，当∠C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明．
（3）（3分）如图3，当∠ACB≠90°，∠ACB＝2∠B ，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段 AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．
【答案】（1）证明：在AB上取一点E，使AE=AC

∵AD为∠BAC的平分线
∴∠BAD=∠CAD．
在△ACD和△AED中，

∴△ACD≌△AED（SAS）．
∴∠AED=∠C=90°，CD=ED，
又∵∠ACB=2∠B，∠C=90°，
∴∠B=45°．
∴∠EDB=∠B=45°．
∴DE=BE，
∴CD=BE．
∵AB=AE＋BE，
∴AB=AC＋CD．
（2）证明：在AB取一点E使AC=AE，

在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED，
∴∠C=∠AED，CD=DE，
又∵∠C=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
∵∠AED是△EDC的外角，
∴∠EDB=∠B，
∴ED=EB，
∴CD=EB，
∴AB=AC+CD；
（3）解：猜想：AB=CD﹣AC
证明：在BA的延长线上取一点E，使得AE=AC，连接DE，

在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴∠ACD=∠AED，CD=DE，
∴∠ACB=∠FED，
又∵∠ACB=2∠B
∴∠FED=2∠B，
又∵∠FED=∠B＋∠EDB，
∴∠EDB=∠B，
∴DE=BE，
∴BE=CD，
∵AB=BE-AE
∴AB=CD﹣AC．
【思路引导】（1）证明线段和差可转化为证线段相等，本题采取截长法，利用全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质即可获得证明；（2）尽管弱化了条件∠ACB≠90°，类比（1）的转化方法不难得到同样的结论；（3）尽管与（1）相比弱化了条件，同时改变了AD由内角平分线变为外角平分线，但受（1）的思路启发，同样可采用截长法，利用全等三角形判定和性质、等腰三角形判定和性质、三角形外角性质，即可找到三条线段的数量关系。本题充分利用角平分线构造全等三角形从而把问题进行转化是解题的关键，同时要善于把问题前后联系起来，学会类比思考分析。
26．（10分）（2021八上·崇阳期中）
（1）（5分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180°−α，BD平分∠ABC.
①如图1，若α=90°，请直接写出AD与CD之间的数量关系_▲_；
②在图2中，①中结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（2）（5分）根据（1）的解题经验，请解决如下问题：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD=BC.
【答案】（1）解：①AD=CD
②成立，理由如下：
在BC截取BE=BA，连接DE，

∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
又BE=BA，BD=BD，
∴△ABD≌△EBD(SAS)，
∴AD=ED，∠BAD=∠BED，
∵∠BCD=180°−∠BAD，
∴∠BCD=180°−∠BED=∠DEC，
∴CD=ED，
∴AD=CD；
（2）证明：∵在等腰△ABC中，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C= ，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC=20°，
在BC截取BE=BA，在BC截取BF=BD，连接DE、DF，

∴∠BDF=∠BFD= 80°，
∵∠C=40°，
∴∠CDF=80°-40°=40°，
∴DF=FC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
又BE=BA，BD=BD，
∴△ABD≌△EBD(SAS)，
∴AD=ED，∠BAD=∠BED=100°，
∵∠DEF=180°−∠BED=180°−100°=80°，
∴∠DEF=∠DFE=80°，
∴DE=DF，
∴AD=DE=DF=CF；
∴BD+AD=BF+FC=BC.
【完整解答】解：（1）①∵∠BAD=90°，∠BCD=180°−90°=90°，BD平分∠ABC，
∴AD=CD；
故答案为：AD=CD；
【思路引导】（1）①易得∠BAD=∠BCD=90°，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得结论；
②在BC截取BE=BA，连接DE，由角平分线的概念可得∠ABD=∠EBD，利用SAS证△ABD≌△EBD，得AD=ED，∠BAD=∠BED，结合∠BCD=180°-∠BAD可得∠BCD=∠DEC，推出CD=ED，据此解答；
（2）根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠B=∠C=40°，由角平分线的概念可得∠ABD=∠CBD=20°，在BC截取BE=BA，在BC截取BF=BD，连接DE、DF，由等腰三角形的性质得∠BDF=∠BFD=80°，结合外角的性质求出∠CDF的度数，推出DF=FC，然后证明△ABD≌△EBD，得到AD=ED，∠BAD=∠BED=100°，由邻补角的性质可得∠DEF=80°，推出AD=DE=DF=CF，据此证明.
27．（10分）（2020八上·石阡月考）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD.

（1）（5分）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；
（2）（5分）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明.
【答案】（1）猜想： .
证明：如图②，在 上截取 ，连结 ，

∵ 为 的角平分线时，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，∴ .
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ .
（2）解：猜想： .
证明：在 的延长线上截取 ，连结 .

∵ 平分 ，∴ .
在 与 中， ， ， ，
∴ .
∴ ， .
∴ .
又 ， ， .
∴ .
∴ .
∴ .
【思路引导】（1）在AB上截取AE=AC，连接DE，根据角平分线的概念可得∠BAD=∠CAD，利用“SAS”证明△ADE≌△ADC，得到∠AED=∠C，ED=CD，结合∠ACB=2∠B可得∠AED=2∠B，结合外角的性质可得∠B=∠EDB，推出EB=ED，据此解答；
（2）在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED，利用“SAS”可证明△ADE≌△ADC，得到∠AED=∠ACD，ED=CD，推出EB=ED，根据线段的和差关系可得EA+AB=EB=ED=CD，据此解答.
28．（10分）（2021八上·长沙期末）（概念学习）①我们规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”；
②从三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中：一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这线段叫做这个三角形的“等角分割线”.

（概念理解）（1）如图1，在RtABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”.
（1）（5分）如图2，在ABC中，CD为角平分线，∠A=30°，∠B=50°. 求证：CD为ABC的“等角分割线”.
（2）（5分）若在ABC中，∠A=45°，CD是ABC的“等角分割线”，请直接写出所有符合题意的∠ACB的度数.
【答案】（1）证明：∵在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=100°
∵CD为角平分线，
∴∠ACD=∠DCB=∠ACB=50°，
∴∠BCD=∠B，∠DCA=∠B，
∴CD=BD，∴△BCD为等腰三角形
又∵∠ACD=50°，∠B=50°，
∴∠ADC=180°-∠A-∠ACD=100°，
∠ACB=180°-∠A-∠B=100°
∴∠ADC=∠ACB，∠A=∠A，∠ACD=∠B
∴CD为△ABC的等角分割线；
（2）解：当△ACD是等腰三角形，如图2，DA=DC时，∠ACD=∠A=45°，
∴∠ACB=∠BDC=45°+45°=90°，
当△ACD是等腰三角形，如图3，

DA=AC时，∠ACD=∠ADC=，∠BCD=∠A=45°，
∴∠ACB=67.5°+45°=112.5°，
当△ACD是等腰三角形，CD=AC的情况不存在，
当△BCD是等腰三角形，
如图4，

DC=BD时，∠ACD=∠BCD=∠B，
又∵∠BDC=∠A+∠ACD，设，
由内角和解得∴∠ACB=90°，
当△BCD是等腰三角形，如图5，

DB=BC时，∠BDC=∠BCD，
设∠BDC=∠BCD=x，则∠B=180°-2x，则∠ACD=∠B=180°-2x，
由题意得，180°-2x+45°=x，解得，x=75°，
∴∠ACD=180°-2x=30°，
∴∠ACB=105°，
当△BCD是等腰三角形，CD=CB的情况不存在，
综上所述∴∠ACB的度数为112.5°或105°或90°.
【完整解答】（3）解：∠ACB的度数为112.5°或105°或90°.
【思路引导】（1） 根据“等角三角形”的定义求解即可；
（2） 易求出△BCD为等腰三角形，再求出∠ADC=∠ACB，∠A=∠A，∠ACD=∠B ，根据“等角分割线” 的定义即证；
（3） 当△ACD是等腰三角形，有①AD=CD； ②AD=CA； ③CD=AC的情况不存在 ，据此分别求解； 当△BCD是等腰三角形，有①DC=BD时，②DB=BC时，③CD=CB的情况不存在 ，据此分别求解即可.