2023年山西省中考数学试卷

这是一份2023年山西省中考数学试卷，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年山西省中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3分）计算（﹣1）×（﹣3）的结果为（　　）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣4
2．（3分）全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是我省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．（﹣a3b）2＝﹣a6b2
C．a6÷a3＝a2 D．（a2）3＝a6
4．（3分）山西是全国电力外送基地，2022年山西省全年外送电量达到1464亿千瓦时，同比增长18.55%．数据1464亿千瓦时用科学记数法表示为（　　）

A．1.464×108千瓦时 B．1464×108千瓦时
C．1.464×1011千瓦时 D．1.464×1012千瓦时
5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O．若∠BAC＝40°，则∠DBC的度数为（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
6．（3分）一种弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为（　　）

A．y＝12﹣0.5x B．y＝12+0.5x C．y＝10+0.5x D．y＝0.5x
7．（3分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠2＝30°，则∠3的度数为（　　）

A．45° B．50° C．55° D．60°
8．（3分）若点A（﹣3，a），B（﹣1，b），C（2，c）都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系用“＜”连接的结果为（　　）
A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b
9．（3分）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°．若圆曲线的半径OA＝1.5km，则这段圆曲线的长为（　　）

A． B． C． D．
10．（3分）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），则点M的坐标为（　　）

A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：的结果为 　 　．
12．（3分）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有 　 　个白色圆片（用含n的代数式表示）．
​​
13．（3分）如图，在▱ABCD中，∠D＝60°．以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE．分别以点A，E为圆心，以大于AE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD于点F，则的值为 　 　．

14．（3分）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是 　 　．

15．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，对角线AC，BD相交于点O．若AB＝AC＝5，BC＝6，∠ADB＝2∠CBD，则AD的长为 　 　．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：；
（2）计算：x（x+2）+（x+1）2﹣4x．
17．（7分）解方程：．
18．（9分）为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按4：4：2的比例计算出每人的总评成绩．

小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如表，这20名学生的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如图．
选手
测试成绩/分
总评成绩/分
采访
写作
摄影
小悦
83
72
80
78
小涵
86
84
▲
▲
（1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是 　 　分，众数是 　 　分，平均数是 　 　分；
（2）请你计算小涵的总评成绩；
（3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由．
19．（9分）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．
（1）求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；
（2）该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，一次最多可运输多少套这种设备．

20．（8分）2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022﹣2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选，在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算BC和AB的长度（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73，≈1.41 ）．
课题
母亲河驳岸的调研与计算
调查方式
资料查阅、水利部门走访、实地查看了解
调查内容
功能
驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌成冲刷的构筑物
材料
所需材料为石料、混凝土等
驳岸时剖面图

相关数据及说明：图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，AE和CD均与地面平行，岸墙AB⊥AE于点A，∠BCD＝135°，∠EDC＝60°，ED＝6m，AE＝1.5m，CD＝3.5m．
计算结果
…
交通展示
…

21．（7分）阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
瓦里尼翁平行四边形
我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形EFGH是平行四边形．
我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（Varingnon，Pierte 1654﹣1722）是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：
证明：如图2，连接AC，分别交EH，FG于点P，Q，过点D作DM⊥AC于点M，交HG于点N．
∵H，G分别为AD，CD的中点，∴HG∥AC，HG＝AC．（依据1）
∴．∵DG＝GC，∴DN＝NM＝DM．
∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，∴HE∥GF，即HP∥GQ．
∵HG∥AC，即HG∥PQ，
∴四边形HPQG是平行四边形，（依据2）∴S▱HPQG＝HG•MN＝．
∵S△ADC＝AC•DM＝HG•DM，∴S▱HPQG＝S△ADC．同理，…

任务：（1 ）填空：材料中的依据1是指：　 　．
依据2是指：　 　．
（2）请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH、使得四边形EFGH为矩形；（要求同时画出四边形ABCD的对角线）
（3）在图1中，分别连接AC，BD得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC，BD长度的关系，并证明你的结论．
22．（12分）综合与实践
问题情境：“综与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△DFE，其中∠ACB＝∠DEF＝90°，∠A＝∠D，将△ABC和△DFE按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当∠ABE＝∠A时，延长DE交AC于点G，试判断四边形BCGE的形状，并说明理由．

数学思考：（1）请你解答老师提出的问题；
深入探究：（2）老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部，并让同学们提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE＝∠BAC时，过点A作AM⊥BE交BE的延长线于点M，BM与AC交于点N．试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE＝∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若BC＝9，AC＝12，求AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．
23．（13分）综合与探究
如图，二次函数y＝﹣x2+4x的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点B（1，3），与y轴交于点C．
（1）求直线AB的函数表达式及点C的坐标；
（2）点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．
①当时，求m的值；
②当点P在直线AB上方时，连接OP，过点B作BQ⊥x轴于点Q，BQ与OP交于点F，连接DF．设四边形FQED的面积为S，求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值．


2023年山西省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3分）计算（﹣1）×（﹣3）的结果为（　　）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣4
【分析】根据有理数乘法的计算得出结论即可．
【解答】解：（﹣1）×（﹣3）
＝1×3
＝3，
故选：A．
【点评】本题主要考查有理数乘法的计算，熟练掌握有理数乘法的计算方法是解题的关键．
2．（3分）全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是我省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、B，D选项中的图书馆标志都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图书馆标志能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．（﹣a3b）2＝﹣a6b2
C．a6÷a3＝a2 D．（a2）3＝a6
【分析】选项A根据同底数幂的乘法法则判断即可；选项B根据积的乘方运算法则判断即可；选项C根据同底数幂的除法法则判断即可；选项D根据幂的乘方运算法则判断即可．
【解答】解：A．a2•a3＝a5，故选项不符合题意；
B．（﹣a3b）2＝a6b2，故选项不符合题意；
C．a6÷a3＝a3，故选项不符合题意；
D．（a2）3＝a6，故选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
4．（3分）山西是全国电力外送基地，2022年山西省全年外送电量达到1464亿千瓦时，同比增长18.55%．数据1464亿千瓦时用科学记数法表示为（　　）

A．1.464×108千瓦时 B．1464×108千瓦时
C．1.464×1011千瓦时 D．1.464×1012千瓦时
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1464亿千瓦时＝146400000000千瓦时＝1.464×1011千瓦时，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O．若∠BAC＝40°，则∠DBC的度数为（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】由圆周角定理可得∠BCD＝90°，∠BDC＝∠BAC＝40°，再利用直角三角形的性质可求解．
【解答】解：∵BD经过圆心O，
∴∠BCD＝90°，
∵∠BDC＝∠BAC＝40°，
∴∠DBC＝90°﹣∠BDC＝50°，
故选：B．
【点评】本题主要考查圆周角定理，直角三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键．
6．（3分）一种弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为（　　）

A．y＝12﹣0.5x B．y＝12+0.5x C．y＝10+0.5x D．y＝0.5x
【分析】根据不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，可得在弹性限度内，y与x的函数关系式．
【解答】解：根据题意，得y＝12+0.5x（0≤x≤10），
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的应用，理解题意并根据题意建立函数关系式是解题的关键．
7．（3分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠2＝30°，则∠3的度数为（　　）

A．45° B．50° C．55° D．60°
【分析】由平行线的性质求出∠OFB＝25°，由对顶角的性质得到∠POF＝∠2＝30°，由三角形外角的性质即可求出∠3的度数．
【解答】解：∵AB∥OF，
∴∠1+∠OFB＝180°，
∵∠1＝155°，
∴∠OFB＝25°，
∵∠POF＝∠2＝30°，
∴∠3＝∠POF+∠OFB＝30°+25°＝55°．
故选：C．

【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质求出∠OFB的度数，由对顶角的性质得到∠POF的度数，由三角形外角的性质即可解决问题．
8．（3分）若点A（﹣3，a），B（﹣1，b），C（2，c）都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系用“＜”连接的结果为（　　）
A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b
【分析】反比例函数y＝（k≠0，k为常数）中，当k＜0时，双曲线在第二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．根据这个判定则可．
【解答】解：∵k＜0，点A，B同象限，y随x的增大而增大，
∵﹣3＜﹣1，
∴0＜a＜b，
又∵C（2，c）都在反比例函数的图象上，
∴c＜0，
∴c＜a＜b．
故选：D．
【点评】本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，同学们应重点掌握．
9．（3分）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°．若圆曲线的半径OA＝1.5km，则这段圆曲线的长为（　　）

A． B． C． D．
【分析】由圆的切线可得∠OAC＝∠OBC＝90°，进而可证明A、O、B、C四点共圆，利用圆内接四边形的性质可求得∠AOB＝60°，再根据弧长公式计算可求解．
【解答】解：∵过点A，B的两条切线相交于点C，
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，
∴A、O、B、C四点共圆，
∴∠AOB＝α＝60°，
∴圆曲线的长为：（km）．
故选：B．
【点评】本题主要考查圆的切线的性质，点与圆的位置关系，圆内接四边形的性质，弧长的计算，证明A、O、B、C四点共圆求解∠AOB的度数是解题的关键．
10．（3分）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），则点M的坐标为（　　）

A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
【分析】设中间正六边形的中心为D，连接DB．判断出OC，CM的长，可得结论．
【解答】解：设中间正六边形的中心为D，连接DB．

∵点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），图中是7个全等的正六边形，
∴AB＝BC＝2，OQ＝3，
∴OA＝OB＝，
∴OC＝3，
∵DQ＝DB＝2OD，
∴OD＝1，QD＝DB＝CM＝2，
∴M（3，﹣2），
故选：A．
【点评】本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：的结果为 　3　．
【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．
【解答】解：原式＝（）2﹣（）2
＝6﹣3
＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用平方差公式是解题关键．
12．（3分）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有 　（2+2n）　个白色圆片（用含n的代数式表示）．
​​
【分析】每增加一个图案增加2个白色圆片，据此解答．
【解答】解：第1个图形中有2+2×1＝4个白色圆片；
第2个图形中有2+2×2＝6个白色圆片；
第3个图形中有2+2×3＝8个白色圆片；
•••••
第n个图形中有（2+2n）个白色圆片；
故答案为：（2+2n）．
【点评】本题考查了图形的变化类问题，找到图形变化的规律是解答本题的关键．
13．（3分）如图，在▱ABCD中，∠D＝60°．以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE．分别以点A，E为圆心，以大于AE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD于点F，则的值为 　　．

【分析】证明△ABE是等边三角形，推出BO⊥AE，AE＝OE，可得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠D＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝180°﹣60°＝120°，
∵BA＝BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝60°，
∵BF平分∠ABE，
∴AO＝OE，BO⊥AE，
∵∠OAF＝∠BAD﹣∠BAE＝120°﹣60°＝60°，
∴tan∠OAF＝＝，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14．（3分）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是 　　．

【分析】画树状图，共有12种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：

共有12种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的结果有2种，即AC、CA，
∴抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是＝，
故答案为：．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，对角线AC，BD相交于点O．若AB＝AC＝5，BC＝6，∠ADB＝2∠CBD，则AD的长为 　　．

【分析】过A作AH⊥BC于H，延长AD，BC于E，根据等腰三角形的性质得出BH＝HC＝BC＝3，根据勾股定理求出AH＝＝4，证明∠CBD＝∠CED，得到DB＝DE，根据等腰三角形的性质得出CE＝BC＝6，证明CD∥AH，得到＝，求出CD＝，根据勾股定理求出DE＝＝＝，根据CD∥AH，得到＝，即＝，求出结果即可．
【解答】解：过A作AH⊥BC于H，延长AD，BC于E，如图所示：
则∠AHC＝∠AHB＝90°，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BH＝HC＝BC＝3，
∴AH＝＝4，
∵∠ADB＝∠CBD+∠CEH，∠ADB＝2∠CBD，
∴∠CBD＝∠CED，
∴DB＝DE，
∵∠BCD＝90°，
∴DC⊥BE，
∴CE＝BC＝6，
∴EH＝CE+CH＝9，
∵DC⊥BE，AH⊥BC，
∴CD∥AH，
∴△ECD∽△EHA，
∴＝，
即＝，
∴CD＝，
∴DE＝＝＝，
∵CD∥AH，
∴＝，
即＝，
解得AD＝．
故答案为：．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：；
（2）计算：x（x+2）+（x+1）2﹣4x．
【分析】（1）根据绝对值，指数幂及单项式乘多项式的计算得出结论即可；
（2）根据指数幂及单项式乘多项式的计算得出结论即可．
【解答】解：（1）
＝8×﹣2×
＝2﹣1
＝1；
（2）x（x+2）+（x+1）2﹣4x
＝x2+2x+x2+2x+1﹣4x
＝2x2+1．
【点评】本题主要考查绝对值，指数幂及单项式乘多项式的计算，熟练掌握绝对值，指数幂及单项式乘多项式的计算方法是解题的关键．
17．（7分）解方程：．
【分析】由题意，根据分式方程的解题步骤先找出最简公分母，化为整式方程，解方程后检验即可得结果．
【解答】解：由题意得最简公分母为2（x﹣1），
∴原方程可化为：
2+2x﹣2＝3．
∴x＝．
检验：把x＝代入2（x﹣1）＝1≠0，且原方程左边＝右边．
∴原方程的解为x＝．
【点评】本题主要考查了分式方程的解法，解题时要能找准最简公分母进行变形化为整式方程是关键，同时注意检验．
18．（9分）为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按4：4：2的比例计算出每人的总评成绩．

小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如表，这20名学生的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如图．
选手
测试成绩/分
总评成绩/分
采访
写作
摄影
小悦
83
72
80
78
小涵
86
84
▲
▲
（1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是 　69　分，众数是 　69　分，平均数是 　70　分；
（2）请你计算小涵的总评成绩；
（3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由．
【分析】（1）分别根据中位数、众数和平均数的定义即可求出答案；
（2）根据加权平均数公式计算即可；
（3）根据20名学生的总评成绩频数分布直方图即可得出答案．
【解答】解：（1）七位评委给小涵打出的分数从小到大排列为：67，68，69，69，71，72，74，
所以这组数据的中位数是69（分），众数是69（分），平均数是＝70（分）；
故答案为：69，69，70；
（2）＝82（分），
答：小涵的总评成绩为82分；
（3）不能判断小悦能否入选，但是小涵能入选，
理由：由20名学生的总评成绩频数分布直方图可知，小于80分的有10人，因为小悦78分、小涵82分，
所以不能判断小悦能否入选，但是小涵能入选．
【点评】本题考查了频数（率）分布直方图，加权平均数，中位数和众数，解题的关键在于熟练掌握加权平均数，中位数和众数的计算方法．
19．（9分）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．
（1）求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；
（2）该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，一次最多可运输多少套这种设备．

【分析】设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨，根据1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：（1）设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨，
由题意得：，
解得：，
答：1个A部件的质量为1.2吨，1个B部件的质量为0.8吨．
（2）解：设该卡车一次可运输m套这种设备通过此大桥．
根据题意得：（1.2+0.8×3）•m+8≤30，
解得：m≤．
∵m为整数，
∴m取最大值，
∴m＝6．
答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
20．（8分）2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022﹣2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选，在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算BC和AB的长度（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73，≈1.41 ）．
课题
母亲河驳岸的调研与计算
调查方式
资料查阅、水利部门走访、实地查看了解
调查内容
功能
驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌成冲刷的构筑物
材料
所需材料为石料、混凝土等
驳岸时剖面图

相关数据及说明：图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，AE和CD均与地面平行，岸墙AB⊥AE于点A，∠BCD＝135°，∠EDC＝60°，ED＝6m，AE＝1.5m，CD＝3.5m．
计算结果
…
交通展示
…

【分析】过E作EF⊥CD于F，延长AB，CD交于H，得到∠EFD＝90°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过E作EF⊥CD于F，延长AB，CD交于H，
∴∠EFD＝90°，
由题意得，在Rt△EFD中，，cos，
∴（m），
∴FD＝ED•cos∠EDF＝6×cos60°＝6×＝3（m），
由题意得，∠H＝90°，四边形AEFH是矩形，
∴，HF＝AE＝1.5m，
∵CF＝CD﹣FD＝3.5﹣3＝0.5（m），
∴CH＝HF﹣CF＝1.5﹣0.5＝1（m），
在Rt△BCH中，∠H＝90°，∠BCH＝180°﹣∠BCD＝180°﹣135°＝45°，
∵，
∴1.4（m），
∴BH＝CH•tan∠BCH＝1×tan45°＝1（m），
∴AB＝AH﹣BH＝3．
答：BC的长度约为1.4m，AB的长度约为4.2m．

【点评】本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（7分）阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
瓦里尼翁平行四边形
我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形EFGH是平行四边形．
我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（Varingnon，Pierte 1654﹣1722）是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：
证明：如图2，连接AC，分别交EH，FG于点P，Q，过点D作DM⊥AC于点M，交HG于点N．
∵H，G分别为AD，CD的中点，∴HG∥AC，HG＝AC．（依据1）
∴．∵DG＝GC，∴DN＝NM＝DM．
∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，∴HE∥GF，即HP∥GQ．
∵HG∥AC，即HG∥PQ，
∴四边形HPQG是平行四边形，（依据2）∴S▱HPQG＝HG•MN＝．
∵S△ADC＝AC•DM＝HG•DM，∴S▱HPQG＝S△ADC．同理，…

任务：（1 ）填空：材料中的依据1是指：　三角形中位线定理　．
依据2是指：　两组对边分别平行的四边形是平行四边形　．
（2）请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH、使得四边形EFGH为矩形；（要求同时画出四边形ABCD的对角线）
（3）在图1中，分别连接AC，BD得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC，BD长度的关系，并证明你的结论．
【分析】（1）由三角形中位线定理和平行四边形的判定可求解；
（2）画四边形ABCD，且AC⊥BD于O，点E，H，G，F分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH为所求；
（3）由三角形中位线定理可得EF＝BD，GH＝BD，EH＝AC，FG＝AC，即可求解．
【解答】解：（1）证明：如图2，连接AC，分别交EH，FG于点P，Q，过点D作DM⊥AC于点M，交HG于点N．
∵H，G分别为AD，CD的中点，
∴HG∥AC，HG＝AC，（三角形中位线定理），
∴，
∵DG＝GC，
∴DN＝NM＝DM，
∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，
∴HE∥GF，即HP∥GQ．
∵HG∥AC，即HG∥PQ，
∴四边形HPQG是平行四边形，（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∴S▱HPQG＝HG•MN＝HG•DM，
∵S△ADC＝AC•DM＝HG•DM，
∴S▱HPQG＝S△ADC，
同理可得，S▱EFQP＝S△ABC，
∴S▱HEFG＝S四边形ABCD，
故答案为：三角形中位线定理，两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）如图，画四边形ABCD，且AC⊥BD于O，点E，H，G，F分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH为所求；

理由如下：∵点E，H，G，F分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF∥BD，HG∥BD，EH∥AC，FG∥AC，
∴EF∥HG，EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，EF∥BD，
∴AC⊥EF，
∵FG∥AC，
∴EF⊥FG，
∴平行四边形EFGH是矩形；
（3）瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于AC+BD，理由如下：
∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，
∴点E，H，G，F分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF＝BD，GH＝BD，EH＝AC，FG＝AC，
∴瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长＝EF+GF+GH+EH＝BD+BD+AC+AC＝AC+BD．
【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，矩形的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
22．（12分）综合与实践
问题情境：“综与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△DFE，其中∠ACB＝∠DEF＝90°，∠A＝∠D，将△ABC和△DFE按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当∠ABE＝∠A时，延长DE交AC于点G，试判断四边形BCGE的形状，并说明理由．

数学思考：（1）请你解答老师提出的问题；
深入探究：（2）老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部，并让同学们提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE＝∠BAC时，过点A作AM⊥BE交BE的延长线于点M，BM与AC交于点N．试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE＝∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若BC＝9，AC＝12，求AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．
【分析】（1）先证明四边形BCGE是矩形，再由△ACB＝△DEB 可得 BC＝BE，从而得四边形BCGE是 正方形；
（2）①由已知∠ABE＝∠BAC 可得 AN＝BN，再由等积方法 ，再结 合已知即可证明结论；
②设AB，DE的交点为M，过M作 MG⊥BD 于G，则易得MD＝MB，点G是BD的中点；利用三角函数知识可求得DM的长，进而求得AM的长，利用相似三角形的性质即可求得结果．
【解答】解：（1）结论：四边形BCGE为正方形．理由如下：
∵∠BED＝90°，
∴∠BEG＝180°﹣BED＝90°，
∵∠ABE＝∠A，
∴AC∥BE，
∴∠CGE＝∠BED＝90°，
∵∠C＝90°，
∴四边形BCGE为矩形．
∵△ACB≌△DEB，
∴BC＝BE．
∴矩形BCGE为正方形；

（2）①结论：AM＝BE．
理由：∵∠ABE＝∠BAC，
∴AN＝BN，
∵∠C＝90°，
∴BC⊥AN，
∵AM⊥BE，即AM⊥BN，
∴，
∵AN＝BN，
∴BC＝AM．由（1）得BE＝BC，
∴AM＝BE．
②解：如图：设AB，DE的交点为M，过M作MG⊥BD于G，
∵△ACB≌△DEB，
∴BE＝BC＝9，DE＝AC＝12，∠A＝∠D，∠ABC＝∠DBE，
∴∠CBE＝∠DBM，
∵∠CBE＝∠BAC，
∴∠D＝∠BAC，
∴MD＝MB，
∵MG⊥BD，
∴点G是BD的中点，
由勾股定理得 ，
∴，
∵，
∴DM＝＝＝，即 ，
∴，
∵AH⊥DE，BE⊥DE，∠AMH＝∠BME，
∴△AMH∽△BME，
∴，
∴，即AH的长为 ．

【点评】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定 与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形 是解题的关键．
23．（13分）综合与探究
如图，二次函数y＝﹣x2+4x的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点B（1，3），与y轴交于点C．
（1）求直线AB的函数表达式及点C的坐标；
（2）点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．
①当时，求m的值；
②当点P在直线AB上方时，连接OP，过点B作BQ⊥x轴于点Q，BQ与OP交于点F，连接DF．设四边形FQED的面积为S，求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值．

【分析】（1）利用待定系数法可求得直线AB的函数表达式，再求得点C的坐标即可；
（2）①分当点P在直线AB上方和点P在直线AB下方时，两种情况讨论，根据 PD＝2 列一元二次方程 求解即可；
②证明△FOQ∽△POE，推出 FQ＝﹣m+4，再证明四边形FQED为矩形，利用矩形面积公式得到二次 函数的表达式，再利用二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）由 y＝﹣x2+4x 得，当 y＝0 时，﹣x2+4x＝0，
解得 x1＝0，x2＝4，
∵点A在x轴正半轴上．
∴点A的坐标为（4，0）．
设直线AB的函数表达式为 y＝kx+b（k≠0）．
将A，B两点的坐标 （4，0），（1，3）分别代入 y＝kx+b，
得 ，
解得，
∴直线AB的函数表达式为 y＝﹣x+4．
将x＝0代入 y＝﹣x+4，得 y＝4．
∴点C的坐标为（0，4）；

（2）①解：∵点P在第一象限内二次函数 y＝﹣x2+4x 的图象上，且PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，其横坐标为m．
∴点P，D的坐标分别为 P（m，﹣m2+4m），D（m，﹣m+4），
∴PE＝﹣m2+4m．DE＝﹣m+4，OE＝m，
∵点C的坐标为（0，4），
∴OC＝4． ，
∴PD＝2．
如图1，当点P在直线AB上方时，PD＝PE﹣DE＝﹣m2+4m﹣（﹣m+4）＝﹣m2+5m﹣4，

∵PD＝2，
∴﹣m2+5m﹣4＝2，
解得 m1＝2．m2＝3．
如图2，当点P在直线AB下方时，PD＝DE﹣PE＝﹣m+4﹣（﹣m2+4m）＝m2﹣5m+4，

∵PD＝2，
∴m2﹣5m+4＝2，
解得 ，
∵0＜m＜1，．
综上所述，m的值为2或3或；

②解：如图3，

由（1）得，OE＝m，PE＝﹣m2+4m，DE＝﹣m+4．
∵BQ⊥x 轴于点Q，交OP于点F，点B的坐标为（1，3），
∴OQ＝1，
∵点P在直线AB上方，
∴EQ＝m﹣1．
∵PE⊥x 轴于点E，
∴∠OQF＝∠OEP＝90°，
∴FQ∥DE，∠FOQ＝∠POE，
∴△FOQ∽△POE，
∴，
∴，
∴，
∴FQ＝DE，
∴四边形FQED为平行四边形，
∵PE⊥x 轴，
∴四边形FQED为矩形．
∴S＝EQ+FQ＝（m﹣1）（﹣m+4），即S＝﹣m2+5m﹣4 ，
∵﹣1＜0，1＜m＜4，
∴当m＝时，s的最大值为；
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，特殊四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建二次函数解决问题，属于中考压轴题．
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