2023年山西省中考数学试卷（含解析）

2023年山西省中考数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量图书馆是开展全民阅读的重要场所以下是我省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  山西是全国电力外送基地，年山西省全年外送电量达到亿千瓦时，同比增长数据亿千瓦时用科学记数法表示为(    )

A. 千瓦时
B. 千瓦时
C. 千瓦时
D. 千瓦时

5.  如图，四边形内接于，，为对角线，经过圆心若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点若，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线即圆弧，高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点，的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为(    )

 

A.  B.  C.  D.

10.  蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形如图是部分巢房的横截面图，图中个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点，，均为正六边形的顶点若点，的坐标分别为，，则点的坐标为(    )

 

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  计算：的结果为______ ．

12.  如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成第个图案中有个白色圆片，第个图案中有个白色圆片，第个图案中有个白色圆片，第个图案中有个白色圆片，依此规律，第个图案中有______ 个白色圆片用含的代数式表示．

 

13.  如图，在▱中，以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为______ ．

14.  中国古代的“四书”是指论语孟子大学中庸，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分若从这四部著作中随机抽取两本先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本，则抽取的两本恰好是论语和大学的概率是______ ．

15.  如图，在四边形中，，对角线，相交于点若，，，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
计算：．

17.  本小题分
解方程：．

18.  本小题分
为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有名学生报名参加选拔报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分满分分，取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按：：的比例计算出每人的总评成绩．

小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如表，这名学生的总评成绩频数分布直方图每组含最小值，不含最大值如图．

在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：，，，，，，这组数据的中位数是______ 分，众数是______ 分，平均数是______ 分；
请你计算小涵的总评成绩；
学校决定根据总评成绩择优选拔名小记者试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由．

19.  本小题分
风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过吨的车辆禁止通行现有一辆自重吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由个部件和个部件组成，这种设备必须成套运输已知个部件和个部件的总质量为吨，个部件和个部件的质量相等．
求个部件和个部件的质量各是多少；
该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，一次最多可运输多少套这种设备．

20.  本小题分
年月，水利部印发母亲河复苏行动河湖名单年，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选，在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸也叫护坡某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告请根据活动报告计算和的长度结果精确到，参考数据：，．

21.  本小题分
阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．

任务：填空：材料中的依据是指：______ ．
依据是指：______ ．
请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形及它的瓦里尼翁平行四边形、使得四边形为矩形；要求同时画出四边形的对角线
在图中，分别连接，得到图，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线，长度的关系，并证明你的结论．

22.  本小题分
综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，，将和按图所示方式摆放，其中点与点重合标记为点当时，延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由．

数学思考：请你解答老师提出的问题；
深入探究：老师将图中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．
“善思小组”提出问题：如图，当时，过点作交的延长线于点，与交于点试猜想线段和的数量关系，并加以证明请你解答此问题；
“智慧小组”提出问题：如图，当时，过点作于点，若，，求的长请你思考此问题，直接写出结果．

23.  本小题分
综合与探究
如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，经过点的直线与该函数图象交于点，与轴交于点．
求直线的函数表达式及点的坐标；
点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
当时，求的值；
当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：

，
故选：．
根据有理数乘法的计算得出结论即可．
本题主要考查有理数乘法的计算，熟练掌握有理数乘法的计算方法是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，选项中的图书馆标志都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图书馆标志能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故选项不符合题意；
B.，故选项不符合题意；
C.，故选项不符合题意；
D.，故选项符合题意．
故选：．
选项A根据同底数幂的乘法法则判断即可；选项B根据积的乘方运算法则判断即可；选项C根据同底数幂的除法法则判断即可；选项D根据幂的乘方运算法则判断即可．
本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：亿千瓦时千瓦时千瓦时，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

5.【答案】 

【解析】解：经过圆心，
，
，
，
故选：．
由圆周角定理可得，，再利用直角三角形的性质可求解．
本题主要考查圆周角定理，直角三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意，得，
故选：．
根据不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长，可得在弹性限度内，与的函数关系式．
本题考查了一次函数的应用，理解题意并根据题意建立函数关系式是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
．
故选：．
由平行线的性质求出，由对顶角的性质得到，由三角形外角的性质即可求出的度数．
本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质求出的度数，由对顶角的性质得到的度数，由三角形外角的性质即可解决问题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，点，同象限，随的增大而增大，
，
，
又都在反比例函数的图象上，
，
．
故选：．
反比例函数为常数中，当时，双曲线在第二，四象限，在每个象限内，随的增大而增大．根据这个判定则可．
本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，同学们应重点掌握．
 

9.【答案】 

【解析】解：过点，的两条切线相交于点，
，
、、、四点共圆，
，
圆曲线的长为：．
故选：．
由圆的切线可得，进而可证明、、、四点共圆，利用圆内接四边形的性质可求得，再根据弧长公式计算可求解．
本题主要考查圆的切线的性质，点与圆的位置关系，圆内接四边形的性质，弧长的计算，证明、、、四点共圆求解的度数是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设中间正六边形的中心为，连接．

点，的坐标分别为，，图中是个全等的正六边形，
，，
，
，
，
，，
，
故选：．
设中间正六边形的中心为，连接判断出，的长，可得结论．
本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为：．
直接利用平方差公式计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用平方差公式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：第个图形中有个白色圆片；
第个图形中有个白色圆片；
第个图形中有个白色圆片；

第个图形中有个白色圆片；
故答案为：．
每增加一个图案增加个白色圆片，据此解答．
本题考查了图形的变化类问题，找到图形变化的规律是解答本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
是等边三角形，
，
平分，
，，
，
，
，
故答案为：．
证明是等边三角形，推出，，可得结论．
本题考查作图基本作图，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

14.【答案】 

【解析】解：把论语孟子大学中庸分别记为、、、，
画树状图如下：

共有种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是论语和大学的结果有种，即、，
抽取的两本恰好是论语和大学的概率是，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是论语和大学的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

15.【答案】 

【解析】解：过作于，延长，于，如图所示：
则，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
∽，
，
即，
，
，
，
，
即，
解得．
故答案为：．
过作于，延长，于，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理求出，证明，得到，根据等腰三角形的性质得出，证明，得到，求出，根据勾股定理求出，根据，得到，即，求出结果即可．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

16.【答案】解：


；


． 

【解析】根据绝对值，指数幂及单项式乘多项式的计算得出结论即可；
根据指数幂及单项式乘多项式的计算得出结论即可．
本题主要考查绝对值，指数幂及单项式乘多项式的计算，熟练掌握绝对值，指数幂及单项式乘多项式的计算方法是解题的关键．
 

17.【答案】解：由题意得最简公分母为，
原方程可化为：
．
．
检验：把代入，且原方程左边右边．
原方程的解为． 

【解析】由题意，根据分式方程的解题步骤先找出最简公分母，化为整式方程，解方程后检验即可得结果．
本题主要考查了分式方程的解法，解题时要能找准最简公分母进行变形化为整式方程是关键，同时注意检验．
 

18.【答案】     

【解析】解：七位评委给小涵打出的分数从小到大排列为：，，，，，，，
所以这组数据的中位数是分，众数是分，平均数是分；
故答案为：，，；
分，
答：小涵的总评成绩为分；
不能判断小悦能否入选，但是小涵能入选，
理由：由名学生的总评成绩频数分布直方图可知，小于分的有人，因为小悦分、小涵分，
所以不能判断小悦能否入选，但是小涵能入选．
分别根据中位数、众数和平均数的定义即可求出答案；
根据加权平均数公式计算即可；
根据名学生的总评成绩频数分布直方图即可得出答案．
本题考查了频数率分布直方图，加权平均数，中位数和众数，解题的关键在于熟练掌握加权平均数，中位数和众数的计算方法．
 

19.【答案】解：设个部件的质量为吨，个部件的质量为吨，
由题意得：，
解得：，
答：个部件的质量为吨，个部件的质量为吨．
解：设该卡车一次可运输套这种设备通过此大桥．
根据题意得：，
解得：．
为整数，
取最大值，
．
答：该卡车一次最多可运输套这种设备通过此大桥． 

【解析】设个部件的质量为吨，个部件的质量为吨，根据个部件和个部件的总质量为吨，个部件和个部件的质量相等．列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

20.【答案】解：过作于，延长，交于，
，
由题意得，在中，，，
，
，
由题意得，，四边形是矩形，
，，
，
，
在中，，，
，
，
，
．
答：的长度约为，的长度约为． 

【解析】过作于，延长，交于，得到，解直角三角形即可得到结论．
本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

21.【答案】三角形中位线定理  两组对边分别平行的四边形是平行四边形 

【解析】解：证明：如图，连接，分别交，于点，，过点作于点，交于点．
，分别为，的中点，
，，三角形中位线定理，
，
，
，
四边形是瓦里尼翁平行四边形，
，即．
，即，
四边形是平行四边形，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
，
，
，
同理可得，，
，
故答案为：三角形中位线定理，两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
如图，画四边形，且于，点，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，则四边形为所求；

理由如下：点，，，分别是边，，，的中点，
，，，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
平行四边形是矩形；
瓦里尼翁平行四边形的周长等于，理由如下：
四边形是瓦里尼翁平行四边形，
点，，，分别是边，，，的中点，
，，，，
瓦里尼翁平行四边形的周长．
由三角形中位线定理和平行四边形的判定可求解；
画四边形，且于，点，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，则四边形为所求；
由三角形中位线定理可得，，，，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，矩形的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

22.【答案】解：结论：四边形为正方形．理由如下：
，
，
，
，
，
，
四边形为矩形．
≌，
．
矩形为正方形；

结论：．
理由：，
，
，
，
，即，
，
，
由得，
．
解：如图：设，的交点为，过作于，
≌，
，，，，
，
，
，
，
，
点是的中点，
由勾股定理得，
，
，
，即，
，
，，，
∽，
，
，即的长为． 

【解析】先证明四边形是矩形，再由可得，从而得四边形是正方形；
由已知可得，再由等积方法，再结合已知即可证明结论；
设，的交点为，过作于，则易得，点是的中点；利用三角函数知识可求得的长，进而求得的长，利用相似三角形的性质即可求得结果．
本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键．
 

23.【答案】解：由得，当时，，
解得，，
点在轴正半轴上．
点的坐标为．
设直线的函数表达式为．
将，两点的坐标，分别代入，
得，
解得，
直线的函数表达式为．
将代入，得．
点的坐标为；

解：点在第一象限内二次函数的图象上，且轴于点，与直线交于点，其横坐标为．
点，的坐标分别为，，
，，
点的坐标为，
．，
．
如图，当点在直线上方时，，

，
，
解得．
如图，当点在直线下方时，，

，
，
解得，
，．
综上所述，的值为或或；

解：如图，

由得，，，．
轴于点，交于点，点的坐标为，
，
点在直线上方，
．
轴于点，
，
，，
∽，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
轴，
四边形为矩形．
，即，
，，
当时，的最大值为； 

【解析】利用待定系数法可求得直线的函数表达式，再求得点的坐标即可；
分当点在直线上方和点在直线下方时，两种情况讨论，根据列一元二次方程求解即可；
证明∽，推出，再证明四边形为矩形，利用矩形面积公式得到二次函数的表达式，再利用二次函数的性质即可求解．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，特殊四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建二次函数解决问题，属于中考压轴题．