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初中数学青岛版九年级上册4.2 用配方法解一元二次方程当堂检测题
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这是一份初中数学青岛版九年级上册4.2 用配方法解一元二次方程当堂检测题，共26页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题2.5 用配方法解一元二次方程（分层练习）
一、单选题
1．把化成（其中是常数）形式的结果为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，(m为任意实数)，则M、N的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
3．对于任意的实数，代数式的值是一个（ ）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．无法确定
4．在平面直角坐标系中，若已知点，则下列结论一定不成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知点，点，下列关于点P与点Q的位置关系说法正确的是（ ）
A．点P在点Q的右边 B．点P在点Q的左边
C．点P与点Q重合 D．点P与点Q的位置关系无法确定
6．用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．在用配方法解方程时，可以将方程转化为其中所依据的一个数学公式是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知、、是的三边且满足，则的面积是（ ）
A．60 B．30 C．65 D．32.5
9．在平面直角坐标系xOy中，若已知点，则下列结论一定不成立的是
A． B． C． D．
10．已知点为平面直角坐标系中一点，若为原点，则线段的最小值为（ ）
A．2 B．2.4 C．2.5 D．3
11．P（x．y）为第二象限上的点．且x+y＝﹣．已知OP=1．则的值为（ ）
A． B． C． D．或
12．已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．不确定
13．多项式的最小值为（ ）
A． B． C． D．
14． 如图，点A的坐标为(1，0)，点B在直线y=－x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为 （ ）
A．（0，0） B．（－，） C．（，－） D．（，－）
15．新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（ ）
A．2011 B．2013 C．2018 D．2023
二、 填空题
16．若用配方法解方程时，将其配方为的形式，则___________．
17．一元二次方程﹣4x＋m＝0配方后得＝n，则m＋n的值为________．
18．已知点在一次函数图象上，则的最小值为______．
19．的最大值为______．
20．已知多项式A＝x2﹣x+(3)，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是________．
21．将改写成的形式为______．
22．已知等腰三角形的一边长为6，另一边长为方程x2﹣6x+9＝0的根，则该等腰三角形的周长为 _____．
23．当x满足时，方程x2﹣2x﹣5＝0的根是__．
24．若实数，满足等式，则_____．
25．如图，矩形，，的4个顶点都落在矩形边上，且有，设的面积为，矩形的面积为，则的最大值为__________．
26．若，满足，则的值为 ___________．
27．已知a、b、c满足，，，则_______．
28．已知a、b、c为的三边长，且a、b满足，c为奇数，则的周长为______．
29．在平面直角坐标系中，点C、B分别在x轴、y轴上，是等腰直角三角形，，已知．M为BC的中点，当PM最短时，则M的坐标为 _____．
30．有下列四个结论：
①；
②某商品单价为元．甲商店连续降价两次，每次都降10%．乙商店直接降20%．顾客选择甲或乙商店购买同样数量的此商品时，获得的优惠是相同的；
③若，则的值为；
④关于的分式方程的解为正数，则＞1．
请在正确结论的题号后的空格里填“√” ，在错误结论的题号后空格里填“×”：
①______； ②______； ③______； ④______
三、解答题
31．用配方法解下列方程：
（1）4x2 -4x -1 = 0； （2）7x2 -23x +6 = 0.
32．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题．
求代数式y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4∵（y+2）2≥0，
∴（y+2）2+4≥4
∴y2+4y+8的最小值是4．
（1）求代数式m2+m+1的最小值；
（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值．
33．已知与互为相反数．
(1)求m，n的值．
(2)解关于x的方程：．
34．阅读材料：
①用配方法因式分解：．
解：原式
．
②若，利用配方法求M的最小值．
解：．
∵，，
∴当时，M有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之称为完全平方式：_____=______．
(2)用配方法因式分解：．
(3)若，求M的最大值．
35．阅读材料：选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如
①选取二次项和一次项配方：；
②选取二次项和常数项配方：，或
③选取一次项和常数项配方：
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方；
(2)已知，求的值
(3)当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？
36．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：
当a＞0，b＞0时：
∵（）2=a﹣2+b≥0
∴a+b≥2，当且仅当a=b时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
（1）请直接写出答案：当x＞0时，x+的最小值为 ．当x＜0时，x+的最大值为 ；
（2）若y=，（x＞﹣1），求y的最小值；
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．
参考答案
1．A
【分析】利用配方法进行求解即可．
【详解】解：
，
故选A．
【点拨】本题主要考查了配方法的应用，熟知完全平方公式是解题的关键．
2．B
【分析】求出的结果，再判断即可．
【详解】根据题意，可知，
所以．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了整式的加减运算，配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．
3．B
【分析】原式配方后，利用正负数的性质判断即可．
【详解】解：原式
，
则原代数式的值是一个负数，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了配方法的应用：通过配方法把一个代数式变形为完全平方式，然后利用其正负性解决问题．
4．A
【分析】勾股定理可得： ，再利用配方法求解的最小值，再求解 的最小值，从而可得答案．
【详解】由勾股定理可得：
当时， 有最小值2
∴的最小值为
所以A不符合题意，B，C，D都有可能，符合题意
故选A
【点拨】本题考查的是配方法的应用，利用平方根解方程，掌握“配方法的应用”是解本题的关键．
5．A
【分析】由m2-（4m-5）=（m-2）2+1≥1，可得m2＞4m-5，由于点P、Q两点的纵坐标相同，所以点P在点Q的右边．
【详解】解：∵m2-（4m-5）=（m-2）2+1≥1，
∴m2＞4m-5，
∴点P（m2，n）在点Q（4m-5，n）的右边．
故选：A．
【点拨】本题考查了点的坐标，坐标与图形，掌握完全平方公式以及配方法是解答本题的关键．
6．C
【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【详解】解：方程2x2-2x-1=0，
整理得：x2-x=，
配方得：x2-x+=，即（x-）2=．
故选：C．
【点拨】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．B
【分析】根据配方法解方程的基本步骤去判断依据即可．
【详解】用配方法解方程时，可以将方程转化为，
其中所依据的一个数学公式是．
故选：B．
【点拨】本题考查了配方法解方程的基本依据,熟练掌握配方的依据是完全平方公式是解题的依据．
8．B
【分析】将a2+b2+c2=10a+24b+26c﹣338进行配方，求出a，b，c，根据勾股定理的逆定理判断△ABC的形状．
【详解】△ABC是直角三角形．理由是：
∵a2+b2+c2=10a+24b+26c﹣338，∴a2﹣10a+25+b2﹣24b+144+c2﹣26c+169=0，∴（a﹣5）2+（b﹣12）2+（c﹣13）2=0，∴a﹣5=0，b﹣12=0，c﹣13=0，即a=5，b=12，c=13．
∵52+122=132，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积是×5×12=30．
故选B．
【点拨】本题考查了配方法的应用及勾股定理逆定理的应用，是基础知识，比较简单．
9．A
【分析】由勾股定理可得：，再利用配方法求解的最小值，再求解的最小值，从而可得答案．
【详解】解：由勾股定理可得：
当时，有最小值
∴的最小值为
所以A不符合题意，B，C，D都有可能，符合题意；
故选A
【点拨】本题考查的是配方法的应用，利用平方根解方程，掌握“配方法的应用”是解本题的关键．
10．B
【分析】利用勾股定理求出两点的距离OP=配方得，当时，OP最小即可．
【详解】，
OP=，
，
，
∴，OP最小，
故选择：B．
【点拨】本题考查勾股定理求两点距离问题，掌握勾股定理两点距离公式，会用配方法求最值是解题关键．
11．C
【分析】根据P（x．y）为第二象限上的点，可知0，y＞0，根据OP=1，可知，则，根据x+y＝﹣，可得，且x＝﹣y﹣进而可得，则，则，
解得：或（舍去），进而可知，则可求出的值．
【详解】解：∵P（x．y）为第二象限上的点，
∴x＜0，y＞0，
∵OP=1，
∴，则，
∵x+y＝﹣，
∴，且x＝﹣y﹣
∴，
∴，
∴，化简得：，
则，解得：或（舍去），
∴，
∴，
故选：C．
【点拨】本题查平面直角坐标系中点的坐标特征，点到原点的距离，完全平方公式的变形，解一元二次方程，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键 ．
12．A
【分析】把x=a代入3个方程得出a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，3个方程相加即可得出（a+b+c）（a2+a+1）=0，即可求出答案．
【详解】把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0得：a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，相加得：（a+b+c）a2+（b+c+a）a+（a+b+c）=0，
∴（a+b+c）（a2+a+1）=0．
∵a2+a+1=（a+）2+＞0，
∴a+b+c=0．
故选A．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．
13．C
【分析】先将多项式2x2﹣2xy+5y2+12x﹣24y+51分组配方，根据偶次方的非负性可得答案．
【详解】2x2﹣2xy+5y2+12x﹣24y+51
=x2﹣4xy+4y2+12x﹣24y+36+x2+2xy+y2+15
=(x﹣2y)2+12(x﹣2y)+36+(x+y)2+15
=(x﹣2y+6)2+(x+y)2+15
∵(x﹣2y+6)2≥0，(x+y)2≥0，
∴(x﹣2y+6)2+(x+y)2+15≥15．
故选：C．
【点拨】本题考查了配方法在多项式最值中的应用，熟练掌握配方法并灵活运用及恰当分组，是解答本题的关键．
14．D
【详解】∵B在直线y=-x上，∴设B坐标为（a，-a），
则
所以，当 a=即B（，）时，AB最短,故选D.
15．B
【分析】根据同族二次方程的定义，可得出a和b的值，从而解得代数式的最小值．
【详解】解：与为同族二次方程．
，
，
∴，
解得：．
，
当时，取最小值为2013.
故选：B.
【点拨】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的定义是解答本题的关键．
16．
【分析】根据配方法进行计算即可求解．
【详解】解：
∴
即
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
17．4
【分析】把﹣4x＋m＝0配方得到，比较得到4-m=n，整理计算即可得到答案．
【详解】因为﹣4x＋m＝0配方得到，且＝n，
所以4-m=n，
解得m+n=4，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．
18．
【分析】将点代入一次函数解析式得出，，代入代数式，根据配方法即可求解．
【详解】解：∵点在一次函数图象上，
∴
∴
故答案为：．
【点拨】本题考查了一次函数的性质，配方法的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
19．
【分析】将式子配方成完全平方式即可得出答案．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴当时，原式取得最大值，
故答案为：．
【点拨】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解本题的关键．
20．
【分析】根据配方法可进行求解．
【详解】解：∵A＝x2﹣x+（3）＝x2﹣x+（3）＝（x）2（3），
若x取任何实数，A的值都不是负数，
∴（3）≥0，
解得：；
故答案为：．
【点拨】本题主要考查配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．
21．
【分析】先移项得到x2+6x=-1，再把方程两边加上9，然后利用完全平方公式即可得到（x+3）2=8．
【详解】解：方程，
移项：，
配方得：x2+6x+9=-1+9=8，即（x+3）2=8，
故答案为：．
【点拨】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．注意方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
22．15
【分析】先利用配方法解方程得到x1＝x2＝3，再根据等腰三角形的性质和三角形三边的关系得到等腰三角形的腰为6，底边长为3，然后计算三角形的周长．
【详解】解：x2﹣6x+9＝0，
（x﹣3）2＝0，
解得x1＝x2＝3，
因为3+3＝6，不能构成三角形，
所以等腰三角形的腰为6，底边长为3，
所以三角形的周长＝6+6+3＝15．
故答案为：15．
【点拨】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了等腰三角形的性质和三角形三边的关系．
23．1
【分析】先求出不等式组的解集，然后解一元二次方程，结合不等式的解集即可得到答案．
【详解】解：解不等式组，
得：2＜x＜4，
∵x2﹣2x＝5，
x2﹣2x+1＝6，
（x﹣1）2＝6，
x﹣1＝±，
∴x1＝1，x2＝1．
而2＜x＜4，
∴x＝1．
故答案为：1．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，解不等式组，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
24．
【分析】利用因式分解法解，求出，进而求出，再代入代数式求值即可．
【详解】解：
，
∵
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【点拨】本题考查利用因式分解法解方程，以及根据字母的值，求代数式的值．通过因式分解法求出的值是解题的关键．
25．
【分析】设，由矩形和平行四边形的性质，易得△AFE≌△CHG，△BFG≌△DHE；的面积等于矩形的面积减去△AFE、△CHG、△BFG、△DHE，据此计算得解．
【详解】设，则，
，∴当时，的最大值为
∴的最大值为：．
【点拨】本题考查矩形中平行四边形面积的最大值，关键是设未知数，建立代数关系，运用配方法求最值．
26．
【分析】已知等式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出，的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：已知等式变形得：，
即，
∵，，
∴，，
解得：，，
则．
故答案为：．
【点拨】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
27．3
【分析】题中三个等式左右两边分别相加后再移项，可以通过配方法得到三个平方数的和为0.然后根据非负数的性质可以得到a、b、c的值，从而求得a+b+c的值．
【详解】解：题中三个等式左右两边分别相加可得：
，
即，
∴，
∴a=3,b=-1,c=1，
∴a+b+c=3-1+1=3，
故答案为3．
【点拨】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法的方法和步骤并灵活运用是解题关键．
28．8
【分析】利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可．
【详解】，
，
，
，，
边长c的范围为．
边长c的值为奇数，
，
的周长为．
故答案为8．
【点拨】本题考查的是配方法的应用和三角形三边关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边关系是解题的关键．
29．（，）
【分析】设，过A作轴于点D，过C作轴，交AD于点E，证明，进而用b表示C点坐标，再由中点公式求得M点的坐标．
【详解】解：过A作轴于点D，过C作轴，交AD于点E，如图所示，
∵，
∴，
设，则，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵M为BC的中点，
∴，
∴，
当时，PM有最小值，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
30． × × √ ×
【分析】①根据异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减，即可得出答案；②根据题意，即可得出答案；③将多项式通过配方法化为平方和的形式，即可解出的值，然后再根据负指数幂的性质，即可得出答案；④首先解出分式方程的解，得出，再根据为正数，得出的取值范围，再根据分式的意义，得出，进而得出，即可得出的取值范围．
【详解】①∵，故错误；
②由题意得甲商店优惠： 元，乙商店优惠为：元，故错误；
③，
，
即，
解得：，
∴，故正确；
④由题意得：，
解得：，
∵为正数，
∴，
又∵，
∴，
即的范围为：且，故错误．
【点拨】本题属于综合题，考查了异分母分式相加减、配方法、负整数指数幂、解分式方程，解本题的关键在熟练掌握相关方法和性质．
31．（1），（2）3,；
【分析】移项、然后二次项系数化成1，配方、根据平方根的定义转化为两个一元一次方程，即可求解．
【详解】(1) 移项,得：
二次项系数化成1得：
配方,
即,则
解得：
(2)方程变形得：
配方得：
即
开方得：
解得：
【点拨】考查配方法解一元二次方程，解题的关键是把方程的左边化成含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数的性质，根据平方根的定义，直接开方即可.
32．（1）；（2）5．
【分析】（1）根据题中的解法即可得到答案；
（2）同理（1）.
【详解】（1）m2+m+1=m2+m++=（m+）2+≥，
则m2+m+1的最小值是；
（2）4﹣x2+2x=﹣x2+2x﹣1+5=﹣（x﹣1）2+5≤5，
则4﹣x2+2x的最大值是5．
【点拨】本题主要考查了配方法与偶次方的非负性，解此题的关键在于利用配方法得到完全平方式，再利用非负数的性质即可得解.
33．(1) (2)
【分析】（1）根据相反数的定义得到，利用非负性得到，即可求出m，n的值；
（2）将m，n的值代入方程，利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：∵与互为相反数，
∴，
又∵，
∴，
解得；
（2）∵，
∴方程为，
∴．
【点拨】此题考查了解一元二次方程，绝对值的非负性及二次根式的非负性，相反数的定义，正确掌握非负性求出m，n的值是解题的关键．
34．(1)4； (2) (3)M的最大值3
【分析】（1）根据常数项等于一次项系数的一半的平方进行配方即可求解；
（2）将143化成，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解；
（3）先提取，将二次项系数化为1，再配成完全平方，即可得答案．
【详解】（1）解：∵，
故答案为：4；
（2）解：
；
（3）解：
，
∵，
∴当时，M有最大值，最大值为3．
【点拨】本题考查了配方法在代数式求值中的应用，明确如何配方及偶次方的非负性，是解题的关键．
35．(1)见解析 (2) (3)当，时，取得最小值，最小值为
【分析】（1）根据配方的定义，分别选取二次项、一次项、常数项中的两项，进行配方即可得出三种形式；
（2）首先根据配方法把变形为，再根据偶次方的非负性，得出，，解出、的值，然后将、的值代入代数式，计算即可得出结果；
（3）首先根据配方法把代数式变形为，再根据偶次方的非负性，得出，进而得出当，时，取得最小值，再进行计算即可得出结果．
【详解】（1）解：第一种形式：选取二次项和一次项配方，
；
第二种形式：选取二次项和常数项配方，
；
或
；
第三种形式：选取一次项和常数项配方，
；
（2）解：，
配方，得：，
即，
∵，，
∴，，
解得：，，
∴；
（3）解：
，
∵，
∴，
当，时，取得最小值，
即当，时，取得最小值，最小值为．
【点拨】本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤和完全平方公式进行配方是解本题的关键．
36．（1）2；﹣2．（2）y的最小值为9；（3）四边形ABCD面积的最小值为25．
【分析】（1）当x＞0时，按照公式a+b≥2（当且仅当a=b时取等号）来计算即可；当x＜0时，﹣x＞0，0，则也可以按公式a+b≥2（当且仅当a=b时取等号）来计算；
（2）将y的分子变形，分别除以分母，展开，将含x的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；
（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9，由三角形面积公式可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，用含x的式子表示出S△AOD，再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可．
【详解】（1）当x＞0时，x22；
当x＜0时，﹣x＞0，0．
∵﹣x22，∴则x（﹣x）≤﹣2，∴当x＞0时，x的最小值为 2．当x＜0时，x的最大值为﹣2．
故答案为2，﹣2．
（2）∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴y=（x+1）5≥25=4+5=9，∴y的最小值为9．
（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9
则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，∴x：9=4：S△AOD，∴S△AOD，∴四边形ABCD面积=4+9+x13+225．
当且仅当x=6时，取等号，∴四边形ABCD面积的最小值为25．
【点拨】本题考查了配方法在最值问题中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用
专题2.5 用配方法解一元二次方程（分层练习）
一、单选题
1．把化成（其中是常数）形式的结果为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，(m为任意实数)，则M、N的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
3．对于任意的实数，代数式的值是一个（ ）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．无法确定
4．在平面直角坐标系中，若已知点，则下列结论一定不成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知点，点，下列关于点P与点Q的位置关系说法正确的是（ ）
A．点P在点Q的右边 B．点P在点Q的左边
C．点P与点Q重合 D．点P与点Q的位置关系无法确定
6．用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．在用配方法解方程时，可以将方程转化为其中所依据的一个数学公式是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知、、是的三边且满足，则的面积是（ ）
A．60 B．30 C．65 D．32.5
9．在平面直角坐标系xOy中，若已知点，则下列结论一定不成立的是
A． B． C． D．
10．已知点为平面直角坐标系中一点，若为原点，则线段的最小值为（ ）
A．2 B．2.4 C．2.5 D．3
11．P（x．y）为第二象限上的点．且x+y＝﹣．已知OP=1．则的值为（ ）
A． B． C． D．或
12．已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．不确定
13．多项式的最小值为（ ）
A． B． C． D．
14． 如图，点A的坐标为(1，0)，点B在直线y=－x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为 （ ）
A．（0，0） B．（－，） C．（，－） D．（，－）
15．新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（ ）
A．2011 B．2013 C．2018 D．2023
二、 填空题
16．若用配方法解方程时，将其配方为的形式，则___________．
17．一元二次方程﹣4x＋m＝0配方后得＝n，则m＋n的值为________．
18．已知点在一次函数图象上，则的最小值为______．
19．的最大值为______．
20．已知多项式A＝x2﹣x+(3)，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是________．
21．将改写成的形式为______．
22．已知等腰三角形的一边长为6，另一边长为方程x2﹣6x+9＝0的根，则该等腰三角形的周长为 _____．
23．当x满足时，方程x2﹣2x﹣5＝0的根是__．
24．若实数，满足等式，则_____．
25．如图，矩形，，的4个顶点都落在矩形边上，且有，设的面积为，矩形的面积为，则的最大值为__________．
26．若，满足，则的值为 ___________．
27．已知a、b、c满足，，，则_______．
28．已知a、b、c为的三边长，且a、b满足，c为奇数，则的周长为______．
29．在平面直角坐标系中，点C、B分别在x轴、y轴上，是等腰直角三角形，，已知．M为BC的中点，当PM最短时，则M的坐标为 _____．
30．有下列四个结论：
①；
②某商品单价为元．甲商店连续降价两次，每次都降10%．乙商店直接降20%．顾客选择甲或乙商店购买同样数量的此商品时，获得的优惠是相同的；
③若，则的值为；
④关于的分式方程的解为正数，则＞1．
请在正确结论的题号后的空格里填“√” ，在错误结论的题号后空格里填“×”：
①______； ②______； ③______； ④______
三、解答题
31．用配方法解下列方程：
（1）4x2 -4x -1 = 0； （2）7x2 -23x +6 = 0.
32．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题．
求代数式y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4∵（y+2）2≥0，
∴（y+2）2+4≥4
∴y2+4y+8的最小值是4．
（1）求代数式m2+m+1的最小值；
（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值．
33．已知与互为相反数．
(1)求m，n的值．
(2)解关于x的方程：．
34．阅读材料：
①用配方法因式分解：．
解：原式
．
②若，利用配方法求M的最小值．
解：．
∵，，
∴当时，M有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之称为完全平方式：_____=______．
(2)用配方法因式分解：．
(3)若，求M的最大值．
35．阅读材料：选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如
①选取二次项和一次项配方：；
②选取二次项和常数项配方：，或
③选取一次项和常数项配方：
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方；
(2)已知，求的值
(3)当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？
36．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：
当a＞0，b＞0时：
∵（）2=a﹣2+b≥0
∴a+b≥2，当且仅当a=b时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
（1）请直接写出答案：当x＞0时，x+的最小值为 ．当x＜0时，x+的最大值为 ；
（2）若y=，（x＞﹣1），求y的最小值；
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．
参考答案
1．A
【分析】利用配方法进行求解即可．
【详解】解：
，
故选A．
【点拨】本题主要考查了配方法的应用，熟知完全平方公式是解题的关键．
2．B
【分析】求出的结果，再判断即可．
【详解】根据题意，可知，
所以．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了整式的加减运算，配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．
3．B
【分析】原式配方后，利用正负数的性质判断即可．
【详解】解：原式
，
则原代数式的值是一个负数，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了配方法的应用：通过配方法把一个代数式变形为完全平方式，然后利用其正负性解决问题．
4．A
【分析】勾股定理可得： ，再利用配方法求解的最小值，再求解 的最小值，从而可得答案．
【详解】由勾股定理可得：
当时， 有最小值2
∴的最小值为
所以A不符合题意，B，C，D都有可能，符合题意
故选A
【点拨】本题考查的是配方法的应用，利用平方根解方程，掌握“配方法的应用”是解本题的关键．
5．A
【分析】由m2-（4m-5）=（m-2）2+1≥1，可得m2＞4m-5，由于点P、Q两点的纵坐标相同，所以点P在点Q的右边．
【详解】解：∵m2-（4m-5）=（m-2）2+1≥1，
∴m2＞4m-5，
∴点P（m2，n）在点Q（4m-5，n）的右边．
故选：A．
【点拨】本题考查了点的坐标，坐标与图形，掌握完全平方公式以及配方法是解答本题的关键．
6．C
【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【详解】解：方程2x2-2x-1=0，
整理得：x2-x=，
配方得：x2-x+=，即（x-）2=．
故选：C．
【点拨】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．B
【分析】根据配方法解方程的基本步骤去判断依据即可．
【详解】用配方法解方程时，可以将方程转化为，
其中所依据的一个数学公式是．
故选：B．
【点拨】本题考查了配方法解方程的基本依据,熟练掌握配方的依据是完全平方公式是解题的依据．
8．B
【分析】将a2+b2+c2=10a+24b+26c﹣338进行配方，求出a，b，c，根据勾股定理的逆定理判断△ABC的形状．
【详解】△ABC是直角三角形．理由是：
∵a2+b2+c2=10a+24b+26c﹣338，∴a2﹣10a+25+b2﹣24b+144+c2﹣26c+169=0，∴（a﹣5）2+（b﹣12）2+（c﹣13）2=0，∴a﹣5=0，b﹣12=0，c﹣13=0，即a=5，b=12，c=13．
∵52+122=132，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积是×5×12=30．
故选B．
【点拨】本题考查了配方法的应用及勾股定理逆定理的应用，是基础知识，比较简单．
9．A
【分析】由勾股定理可得：，再利用配方法求解的最小值，再求解的最小值，从而可得答案．
【详解】解：由勾股定理可得：
当时，有最小值
∴的最小值为
所以A不符合题意，B，C，D都有可能，符合题意；
故选A
【点拨】本题考查的是配方法的应用，利用平方根解方程，掌握“配方法的应用”是解本题的关键．
10．B
【分析】利用勾股定理求出两点的距离OP=配方得，当时，OP最小即可．
【详解】，
OP=，
，
，
∴，OP最小，
故选择：B．
【点拨】本题考查勾股定理求两点距离问题，掌握勾股定理两点距离公式，会用配方法求最值是解题关键．
11．C
【分析】根据P（x．y）为第二象限上的点，可知0，y＞0，根据OP=1，可知，则，根据x+y＝﹣，可得，且x＝﹣y﹣进而可得，则，则，
解得：或（舍去），进而可知，则可求出的值．
【详解】解：∵P（x．y）为第二象限上的点，
∴x＜0，y＞0，
∵OP=1，
∴，则，
∵x+y＝﹣，
∴，且x＝﹣y﹣
∴，
∴，
∴，化简得：，
则，解得：或（舍去），
∴，
∴，
故选：C．
【点拨】本题查平面直角坐标系中点的坐标特征，点到原点的距离，完全平方公式的变形，解一元二次方程，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键 ．
12．A
【分析】把x=a代入3个方程得出a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，3个方程相加即可得出（a+b+c）（a2+a+1）=0，即可求出答案．
【详解】把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0得：a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，相加得：（a+b+c）a2+（b+c+a）a+（a+b+c）=0，
∴（a+b+c）（a2+a+1）=0．
∵a2+a+1=（a+）2+＞0，
∴a+b+c=0．
故选A．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．
13．C
【分析】先将多项式2x2﹣2xy+5y2+12x﹣24y+51分组配方，根据偶次方的非负性可得答案．
【详解】2x2﹣2xy+5y2+12x﹣24y+51
=x2﹣4xy+4y2+12x﹣24y+36+x2+2xy+y2+15
=(x﹣2y)2+12(x﹣2y)+36+(x+y)2+15
=(x﹣2y+6)2+(x+y)2+15
∵(x﹣2y+6)2≥0，(x+y)2≥0，
∴(x﹣2y+6)2+(x+y)2+15≥15．
故选：C．
【点拨】本题考查了配方法在多项式最值中的应用，熟练掌握配方法并灵活运用及恰当分组，是解答本题的关键．
14．D
【详解】∵B在直线y=-x上，∴设B坐标为（a，-a），
则
所以，当 a=即B（，）时，AB最短,故选D.
15．B
【分析】根据同族二次方程的定义，可得出a和b的值，从而解得代数式的最小值．
【详解】解：与为同族二次方程．
，
，
∴，
解得：．
，
当时，取最小值为2013.
故选：B.
【点拨】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的定义是解答本题的关键．
16．
【分析】根据配方法进行计算即可求解．
【详解】解：
∴
即
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
17．4
【分析】把﹣4x＋m＝0配方得到，比较得到4-m=n，整理计算即可得到答案．
【详解】因为﹣4x＋m＝0配方得到，且＝n，
所以4-m=n，
解得m+n=4，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．
18．
【分析】将点代入一次函数解析式得出，，代入代数式，根据配方法即可求解．
【详解】解：∵点在一次函数图象上，
∴
∴
故答案为：．
【点拨】本题考查了一次函数的性质，配方法的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
19．
【分析】将式子配方成完全平方式即可得出答案．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴当时，原式取得最大值，
故答案为：．
【点拨】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解本题的关键．
20．
【分析】根据配方法可进行求解．
【详解】解：∵A＝x2﹣x+（3）＝x2﹣x+（3）＝（x）2（3），
若x取任何实数，A的值都不是负数，
∴（3）≥0，
解得：；
故答案为：．
【点拨】本题主要考查配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．
21．
【分析】先移项得到x2+6x=-1，再把方程两边加上9，然后利用完全平方公式即可得到（x+3）2=8．
【详解】解：方程，
移项：，
配方得：x2+6x+9=-1+9=8，即（x+3）2=8，
故答案为：．
【点拨】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．注意方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
22．15
【分析】先利用配方法解方程得到x1＝x2＝3，再根据等腰三角形的性质和三角形三边的关系得到等腰三角形的腰为6，底边长为3，然后计算三角形的周长．
【详解】解：x2﹣6x+9＝0，
（x﹣3）2＝0，
解得x1＝x2＝3，
因为3+3＝6，不能构成三角形，
所以等腰三角形的腰为6，底边长为3，
所以三角形的周长＝6+6+3＝15．
故答案为：15．
【点拨】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了等腰三角形的性质和三角形三边的关系．
23．1
【分析】先求出不等式组的解集，然后解一元二次方程，结合不等式的解集即可得到答案．
【详解】解：解不等式组，
得：2＜x＜4，
∵x2﹣2x＝5，
x2﹣2x+1＝6，
（x﹣1）2＝6，
x﹣1＝±，
∴x1＝1，x2＝1．
而2＜x＜4，
∴x＝1．
故答案为：1．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，解不等式组，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
24．
【分析】利用因式分解法解，求出，进而求出，再代入代数式求值即可．
【详解】解：
，
∵
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【点拨】本题考查利用因式分解法解方程，以及根据字母的值，求代数式的值．通过因式分解法求出的值是解题的关键．
25．
【分析】设，由矩形和平行四边形的性质，易得△AFE≌△CHG，△BFG≌△DHE；的面积等于矩形的面积减去△AFE、△CHG、△BFG、△DHE，据此计算得解．
【详解】设，则，
，∴当时，的最大值为
∴的最大值为：．
【点拨】本题考查矩形中平行四边形面积的最大值，关键是设未知数，建立代数关系，运用配方法求最值．
26．
【分析】已知等式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出，的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：已知等式变形得：，
即，
∵，，
∴，，
解得：，，
则．
故答案为：．
【点拨】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
27．3
【分析】题中三个等式左右两边分别相加后再移项，可以通过配方法得到三个平方数的和为0.然后根据非负数的性质可以得到a、b、c的值，从而求得a+b+c的值．
【详解】解：题中三个等式左右两边分别相加可得：
，
即，
∴，
∴a=3,b=-1,c=1，
∴a+b+c=3-1+1=3，
故答案为3．
【点拨】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法的方法和步骤并灵活运用是解题关键．
28．8
【分析】利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可．
【详解】，
，
，
，，
边长c的范围为．
边长c的值为奇数，
，
的周长为．
故答案为8．
【点拨】本题考查的是配方法的应用和三角形三边关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边关系是解题的关键．
29．（，）
【分析】设，过A作轴于点D，过C作轴，交AD于点E，证明，进而用b表示C点坐标，再由中点公式求得M点的坐标．
【详解】解：过A作轴于点D，过C作轴，交AD于点E，如图所示，
∵，
∴，
设，则，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵M为BC的中点，
∴，
∴，
当时，PM有最小值，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
30． × × √ ×
【分析】①根据异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减，即可得出答案；②根据题意，即可得出答案；③将多项式通过配方法化为平方和的形式，即可解出的值，然后再根据负指数幂的性质，即可得出答案；④首先解出分式方程的解，得出，再根据为正数，得出的取值范围，再根据分式的意义，得出，进而得出，即可得出的取值范围．
【详解】①∵，故错误；
②由题意得甲商店优惠： 元，乙商店优惠为：元，故错误；
③，
，
即，
解得：，
∴，故正确；
④由题意得：，
解得：，
∵为正数，
∴，
又∵，
∴，
即的范围为：且，故错误．
【点拨】本题属于综合题，考查了异分母分式相加减、配方法、负整数指数幂、解分式方程，解本题的关键在熟练掌握相关方法和性质．
31．（1），（2）3,；
【分析】移项、然后二次项系数化成1，配方、根据平方根的定义转化为两个一元一次方程，即可求解．
【详解】(1) 移项,得：
二次项系数化成1得：
配方,
即,则
解得：
(2)方程变形得：
配方得：
即
开方得：
解得：
【点拨】考查配方法解一元二次方程，解题的关键是把方程的左边化成含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数的性质，根据平方根的定义，直接开方即可.
32．（1）；（2）5．
【分析】（1）根据题中的解法即可得到答案；
（2）同理（1）.
【详解】（1）m2+m+1=m2+m++=（m+）2+≥，
则m2+m+1的最小值是；
（2）4﹣x2+2x=﹣x2+2x﹣1+5=﹣（x﹣1）2+5≤5，
则4﹣x2+2x的最大值是5．
【点拨】本题主要考查了配方法与偶次方的非负性，解此题的关键在于利用配方法得到完全平方式，再利用非负数的性质即可得解.
33．(1) (2)
【分析】（1）根据相反数的定义得到，利用非负性得到，即可求出m，n的值；
（2）将m，n的值代入方程，利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：∵与互为相反数，
∴，
又∵，
∴，
解得；
（2）∵，
∴方程为，
∴．
【点拨】此题考查了解一元二次方程，绝对值的非负性及二次根式的非负性，相反数的定义，正确掌握非负性求出m，n的值是解题的关键．
34．(1)4； (2) (3)M的最大值3
【分析】（1）根据常数项等于一次项系数的一半的平方进行配方即可求解；
（2）将143化成，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解；
（3）先提取，将二次项系数化为1，再配成完全平方，即可得答案．
【详解】（1）解：∵，
故答案为：4；
（2）解：
；
（3）解：
，
∵，
∴当时，M有最大值，最大值为3．
【点拨】本题考查了配方法在代数式求值中的应用，明确如何配方及偶次方的非负性，是解题的关键．
35．(1)见解析 (2) (3)当，时，取得最小值，最小值为
【分析】（1）根据配方的定义，分别选取二次项、一次项、常数项中的两项，进行配方即可得出三种形式；
（2）首先根据配方法把变形为，再根据偶次方的非负性，得出，，解出、的值，然后将、的值代入代数式，计算即可得出结果；
（3）首先根据配方法把代数式变形为，再根据偶次方的非负性，得出，进而得出当，时，取得最小值，再进行计算即可得出结果．
【详解】（1）解：第一种形式：选取二次项和一次项配方，
；
第二种形式：选取二次项和常数项配方，
；
或
；
第三种形式：选取一次项和常数项配方，
；
（2）解：，
配方，得：，
即，
∵，，
∴，，
解得：，，
∴；
（3）解：
，
∵，
∴，
当，时，取得最小值，
即当，时，取得最小值，最小值为．
【点拨】本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤和完全平方公式进行配方是解本题的关键．
36．（1）2；﹣2．（2）y的最小值为9；（3）四边形ABCD面积的最小值为25．
【分析】（1）当x＞0时，按照公式a+b≥2（当且仅当a=b时取等号）来计算即可；当x＜0时，﹣x＞0，0，则也可以按公式a+b≥2（当且仅当a=b时取等号）来计算；
（2）将y的分子变形，分别除以分母，展开，将含x的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；
（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9，由三角形面积公式可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，用含x的式子表示出S△AOD，再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可．
【详解】（1）当x＞0时，x22；
当x＜0时，﹣x＞0，0．
∵﹣x22，∴则x（﹣x）≤﹣2，∴当x＞0时，x的最小值为 2．当x＜0时，x的最大值为﹣2．
故答案为2，﹣2．
（2）∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴y=（x+1）5≥25=4+5=9，∴y的最小值为9．
（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9
则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，∴x：9=4：S△AOD，∴S△AOD，∴四边形ABCD面积=4+9+x13+225．
当且仅当x=6时，取等号，∴四边形ABCD面积的最小值为25．
【点拨】本题考查了配方法在最值问题中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用
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