2014年全国初中数学联合竞赛试题及详细解答(含一试二试)

2014年全国初中数学联合竞赛试题

第一试

考试时间  2014年3月23日 上午8:30—9:30  满分70分

考生注意：1 本试卷两个大题共10个小题，全卷满分70分。

          2 用圆珠笔或钢笔作答。

          3 解题书写不要超出装订线。

一、    选择题：（本题满分42分，每小题7分）

本题共有6个小题，每题均给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的。将你所选择的答案的代号填在题后的括号内，每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不伦是否写在括号内），一律得0分。

1．已知为整数，且满足，则的可能的值有（  ）

A. 1个               B. 2个              C. 3个               D. 4个

2．已知非负实数满足，则的最大值为          （   ）

A．               B．              C．              D．

3．在△中，，为的中点，于，交于，已知，，则＝                                                                         （  ）

A．             B．             C．              D．

4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是                                                  （   ）

A．             B．             C．              D．

5．设表示不超过实数的最大整数，令.已知实数满足，则

                                                             （   ）

A．           B．           C．         D．1

6．在△中，，，，在上，在上，使得△为等腰直角三角形, ,则的长为                                       （   ）

A．　　　B．　　　    C．　　　　 D．

二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）

本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上。

1．已知实数满足，，则__ __．

2．使得不等式对唯一的整数成立的最大正整数为      ．

3．已知为等腰△内一点，，，为的中点，与交于点，如果点为△的内心，则        ．

4．已知正整数满足:，，，则      ．

2014年全国初中数学联合竞赛试题

第二试

考试时间  2014年3月23日 上午9:50—11:20  满分70分

考生注意：本试题共三个大题，第一题20分，第二、三题各25分，满分70分。

一、（本题满分20分）

设实数满足，，求的值．

二．（本题满分25分）

如图，在平行四边形中，为对角线上一点，且满足, 的延长线与△的外接圆交于点. 证明：．

三．（本题满分25分）设是整数，如果存在整数满足，则称具有性质.在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质，哪些数不具有性质？并说明理由.

2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

说明：第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.

第一试

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）

1．已知为整数，且满足，则的可能的值有（    ）

A. 1个               B. 2个              C. 3个               D. 4个

【答】 C.

由已知等式得，显然均不为0，所以＝0或.

若，则.又为整数，可求得或所以或.

因此，的可能的值有3个.

2．已知非负实数满足，则的最大值为         （    ）

A．               B．              C．              D．

【答】 A.

，

易知：当，时，取得最大值.

3．在△中，，为的中点，于，交于，已知，，则＝                                                                       （    ）

A．             B．             C．              D．

【答】 B.

因为，，所以四点共圆，所以，又，所以，所以.

又易知△∽△，所以，从而可得.

4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是                                                （    ）

A．             B．             C．              D．

【答】  B.

若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.

要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8种.

因此，所求概率为.

5．设表示不超过实数的最大整数，令.已知实数满足，则

                                                            （    ）

A．           B．           C．         D．1

【答】 D.

设，则，所以，因式分解得，所以.

由解得，显然，所以1.

6．在△中，，，，在上，在上，使得△为等腰直角三角形, ,则的长为                                     （    ）

A．　　　B．　　　    C．　　　　 D．

【答】 A.

过作于，易知△≌△，△∽△.

设，则，，，，故，即.又，故可得.

故.

二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）

1．已知实数满足，，则____．

【答】 0.

由题意知，所以

整理得，所以0.

2．使得不等式对唯一的整数成立的最大正整数为       ．

【答】144.

由条件得，由的唯一性，得且，所以，所以.

当时，由可得，可取唯一整数值127.

故满足条件的正整数的最大值为144.

3．已知为等腰△内一点，，，为的中点，与交于点，如果点为△的内心，则       ．

【答】.

由题意可得，

而，

所以，

从而可得.

又，所以，从而.

所以，

 ，

所以.

4．已知正整数满足:，，，则       ．

【答】36.

设的最大公约数为，，，均为正整数且，，则，所以，从而，设（为正整数），则有，而，所以均为完全平方数，设，则，均为正整数，且，.

又，故，即.

注意到，所以或.

若，则，验算可知只有满足等式，此时，不符合题意，故舍去.

若，则，验算可知只有满足等式，此时，符合题意.

因此，所求的.

第二试

一、（本题满分20分）设实数满足，，求的值．

解  由已知条件可得，.

设，，则有，，           

联立解得或.                        

若，即，，则是一元二次方程的两根，但这个方程的判别式，没有实数根；                    

若，即，，则是一元二次方程的两根，这个方程的判别式，它有实数根.所以

.              

二．（本题满分25分）如图，在平行四边形中，为对角线上一点，且满足, 的延长线与△的外接圆交于点. 证明：．

证明  由是平行四边形及已知条件知.

又A、B、F、 D四点共圆，所以，所以△∽△，                             

所以.                

又，所以△∽△，故

.                   

三．（本题满分25分）设是整数，如果存在整数满足，则称具有性质.在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质，哪些数不具有性质？并说明理由.

解  取，，可得，所以1具有性质.

取，，可得，所以5具有性质.

为了一般地判断哪些数具有性质，记，则

＝

.

即                 ①

不妨设，

如果，即，则有；

如果，即，则有；

如果，即，则有；

由此可知，形如或或（为整数）的数都具有性质.

因此，1，5和2014都具有性质.                             

若2013具有性质，则存在整数使得.注意到，从而可得，故，于是有，即，但2013＝9×223＋6，矛盾，所以2013不具有性质. 

第二试 （B）

一．（本题满分20分）同（A）卷第一题.

二．（本题满分25分）如图，已知为△的外心，，为△的外接圆上一点，过点作直线的垂线，垂足为.若，，求.

解  延长交⊙于点，延长交⊙于点，由题意得，所以为的平分线.                                   ……………………5分

又点在⊙的半径上，点、在⊙上，所以点、关于直线对称，.               ……………………10分

延长交⊙于点，因为为圆心，，所以点、关于直线对称，.因此.

……………………15分

又，，所以△≌△，所以，.               ……………………20分

因此， ，即，所以.  ……………………25分

三．（本题满分25分）

设是整数，如果存在整数满足，则称具有性质.

（1）试判断1，2，3是否具有性质；

（2）在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质的数有多少个？

解  取，，可得，所以1具有性质；

取，，可得，所以2具有性质；…………………5分

若3具有性质，则存在整数使得，从而可得，故，于是有，即，这是不可能的，所以3不具有性质.                                      ……………………10分

（2）记，则

＝

.

即                 ①

……………………15分

不妨设，

如果，即，则有；

如果，即，则有；

如果，即，则有；

由此可知，形如或或（为整数）的数都具有性质.……………………20分

又若，则，从而，进而可知.

综合可知：当且仅当或（为整数）时，整数不具有性质.

又2014＝9×223＋7，所以，在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质的数共有224×2＝448个.                                              ……………………25分