2010年全国初中数学联合竞赛试题及详细解答(含一试二试)

2010年全国初中数学联合竞赛试题

亲爱的同学们，你们好!

又是一年的全国数学联赛题，请同学们放松心态，以你们最佳状态参加考试，相信你们是最棒的！

好了，下面让我们一起遨游在数学的世界中吧！.

第一试

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）

1. 若均为整数且满足，则        （    ）

A．1.          B．2.     C．3.       D．4..

2．若实数满足等式，，则可能取的最大值为     （    ）

A．0.          B．1.     C．2.       D．3.

3．若是两个正数，且 则                                  （    ）

4．若方程的两根也是方程的根，则的值为 （    ）

A．－13.          B．－9.     C．6.       D． 0.

5．在△中，已知，D，E分别是边AB，AC上的点，且，，,则                                                        (    )

A．15°.          B．20°.     C．25°.       D．30°.

6．对于自然数，将其各位数字之和记为，如，，则                                                      （    ）

A．28062.          B．28065.     C．28067.       D．28068.

二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）

1．已知实数满足方程组则        .

2．二次函数的图象与轴正方向交于A，B两点，与轴正方向交于点C．已知，，则        ．

3．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA＝，PC＝5，则PB＝______．

4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放_______个球.

第二试 （A）

一．（本题满分20分）设整数（）为三角形的三边长，满足，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.

二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平分线与AB边交于点P，M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点，作MD//AC，交⊙I于点D.证明：PD是⊙I的切线.

三．（本题满分25分）已知二次函数的图象经过两点P，Q.

（1）如果都是整数，且，求的值.

（2）设二次函数的图象与轴的交点为A、B，与轴的交点为C.如果关于的方程的两个根都是整数，求△ABC的面积.

第二试 （B）

一．（本题满分20分）设整数为三角形的三边长，满足，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.

二．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.  

三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.  

第二试 （C）

一．（本题满分20分）题目和解答与（B）卷第一题相同.

二．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.

三．（本题满分25分）设是大于2的质数，k为正整数．若函数的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k的值．

2010年全国初中数学联合竞赛试题及详解

第一试

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）

1. 若均为整数且满足，则        （  B  ）

A．1.       B．2.       C．3.       D．4.

    解： 由已知可推得 或 ，分别代入即得。

2．若实数满足等式，，则可能取的最大值为     （  C ）

A．0.          B．1.       C．2.       D．3.

解：由已知，，∴.

3．若是两个正数，且 则                                  （  C  ）

A．.    B．.    C．.  D．.

解：当时，可计算得，从而。观察4个选项，只能选C.

4．若方程的两根也是方程的根，则的值为 （  A  ）

A．－13.          B．－9.         C．6.         D． 0.

解：由已知：一定能被整除。

∵

∴，故

5．在△中，已知，D，E分别是边AB，AC上的点，且，，,则                              (  B  )

A．15°.          B．20°.     C．25°.       D．30°.

解：如图，由已知，ADE是正三角形。作BF∥DE交

AC于F，则BD＝EF，从而EC＝DE+BD＝AB＝BF，DE＝FC，

又∠1＝∠2＝120○，故ΔEDC≌ΔFCB.故.

∵∠CDB＝2，∠BDE＝120○，∴，故

由，得：.

6．对于自然数，将其各位数字之和记为，如，，则                                      （  D  ）

A．28062.          B．28065.     C．28067.       D．28068.

解：将0，1，2，…，999这1000个自然数分为500个数组：（0，999）、（1，998）、

（2，997）、…、（499，500）.注意到：这500个数组中，每个数组的两个自然数各位数字之和均为9＋9＋9＝27，故0，1，2，…，999这1000个自然数各位数字之和等于.

于是，1000，1001，1002，…，1999这1000个自然数各位数字之和等于13500＋1000

＝14500.

从而.

显然：，故：.

二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）

1．已知实数满足方程组则   13    。

解：

2．二次函数的图象与轴正方向交于A，B两点，与轴正方向交于点C．已知，，则．

解：如图，由已知可推得：

，设，则，

由.

3．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA＝，PC＝5，则PB＝．

解：见上图。

4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放    15   个球.

解：先画一个“初始图”：        ○  A  B  C  D  E  ○  A  B  C  D  E  ○

按照题目要求，逐一确定各个字母的颜色，得到：

        ○  ○  ○  ○  D  ○  ○  ○  ○  ○  D  ○  

显然，D应为黑色。即：

        ○  ○  ○  ○  ●  ○  ○  ○  ○  ○  ●  ○

再按要求尝试增加小球，确定最后结果如下：

        ○  ○  ○  ○  ●  ○  ○  ○  ○  ○  ●  ○  ○  ○  ○

第二试 （A）

一．（本题满分20分）设整数（）为三角形的三边长，满足，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.

解  由已知等式可得

                                            ①

令，则，其中均为自然数.

于是，等式①变为，即

                                                         ②

由于均为自然数，判断易知，使得等式②成立的只有两组：和

（1）当时，，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角形的周长不超过30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.

（2）当时，，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角形的周长不超过30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.

综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.

二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平分线与AB边交于点P，M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点，作MD//AC，交⊙I于点D.证明：PD是⊙I的切线.

证明  过点P作⊙I的切线PQ（切点为Q）并延长，交BC于点N.

因为CP为∠ACB的平分线，所以∠ACP＝∠BCP.

又因为PA、PQ均为⊙I的切线，所以∠APC＝∠NPC.

又CP公共，所以△ACP≌△NCP，所以∠PAC＝∠PNC.

由NM＝QN，BA＝BC，所以△QNM∽△BAC，故∠NMQ＝∠ACB，所以MQ//AC.

又因为MD//AC，所以MD和MQ为同一条直线.

又点Q、D均在⊙I上，所以点Q和点D重合，故PD是⊙I的切线.

三．（本题满分25分）已知二次函数的图象经过两点P，Q.

（1）如果都是整数，且，求的值.

（2）设二次函数的图象与轴的交点为A、B，与轴的交点为C.如果关于的方程的两个根都是整数，求△ABC的面积.

解  点P、Q在二次函数的图象上，故，，

解得，.

（1）由知解得.

又为整数，所以，，.

(2) 设是方程的两个整数根，且.

由根与系数的关系可得，，消去，得，

两边同时乘以9，得，分解因式，得.

所以或或或

解得或或或

又是整数，所以后面三组解舍去，故.

因此，，，二次函数的解析式为.

易求得点A、B的坐标为（1,0）和（2,0），点C的坐标为（0,2），所以△ABC的面积为.

第二试 （B）

一．（本题满分20分）设整数为三角形的三边长，满足，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.

解  不妨设，由已知等式可得

                                            ①

令，则，其中均为自然数.

于是，等式①变为，即

                                                         ②

由于均为自然数，判断易知，使得等式②成立的只有两组：和

（1）当时，，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角形的周长不超过30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.

（2）当时，，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角形的周长不超过30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.

综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.

二．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.  

三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.  

第二试 （C）

一．（本题满分20分）题目和解答与（B）卷第一题相同.

二．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.

三．（本题满分25分）设是大于2的质数，k为正整数．若函数的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k的值．

解  由题意知，方程的两根中至少有一个为整数．

由根与系数的关系可得，从而有

                   ①

（1）若，则方程为，它有两个整数根和．

（2）若，则.

因为为整数，如果中至少有一个为整数，则都是整数.

又因为为质数，由①式知或．

不妨设，则可设（其中m为非零整数），则由①式可得，

故，即．

又，所以，即

                                            ②

如果m为正整数，则，，从而，与②式矛盾.

如果m为负整数，则，，从而，与②式矛盾.

因此，时，方程不可能有整数根．

综上所述，．