【同步讲义】苏科版数学八年级下册：第十二章 二次根式（题型过关）

第十二章 二次根式

【题型一】求二次根式有意义的条件

典例1．已知实数x，y满足y5，求：

(1)x与y的值；

(2)x2﹣y2的平方根．

1．（1）已知某数的平方根是和，的立方根是，求的平方根．

（2）已知，求的值．

2．已知a满足．

(1)有意义，a的取值范围是______；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得______．

(2)根据（1）的分析，求的值．

3．先阅读所给材料，再解答下列问题：若与同时成立，求x的值？

解：和都是算术平方根，故两者的被开方数x﹣1≥0，且1﹣x≥0，而x﹣1和1﹣x是互为相反数．两个非负数互为相反数，只有一种情形成立，那就是它们都等于0，即x﹣1＝0，1﹣x＝0，故x＝1．

解答问题：已知y2，求xy的值．

4．已知实数，，满足，求的值．

【题型二】利用二次根式的性质化简

典例2．计算：

1．计算

(1)(2)

2．是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答以下问题：

(1)化简：______，______；

(2)已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简．

3．请阅读下列材料：

问题：已知，求代数式的值．

小明的做法是：根据得，∴，．把作为整体代入，得：．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．

仿照上述方法解决问题：

(1)已知，求代数式的值；

(2)已知，求代数式的值．

4．求代数式的值，其中a＝﹣2021．如图是小扣和小芳的解答过程．

（1）　　　的解法是错误的；

（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：　　　；

（3）求代数式的值，其中a＝﹣2022．

【题型三】二次根式的乘除混合运算

典例3．已知x=3+2，y＝3﹣2，求的值．

1．计算：

(1)；(2)．

2．化简：．

3．化简：．

【题型四】二次根式的加减运算

典例4．计算

(1) ；(2)

1．计算：

(1)(2)

2．计算与化简：

(1)化简(2)化简

(3)计算(4)计算

【题型五】二次根式的混合运算

典例5．先化简再求值：，其中．

1．计算：

(1)；(2)．

2．先化简，再求值：，其中

3．计算：

(1)(2)

【题型六】二次根式的应用

典例6．先阅读，后解答：

，；像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．

(1)的有理化因式是______；的有理化因式是______．

(2)（4）分将下列式子进行分母有理化：

①______；        ②______．

(3)类比（2）中②的计算结果，计算：

．

1．小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．

下面是小石的探究过程，请补充完整：

（1）具体运算，发现规律．

特例1：，

特例2：，

特例3：，

特例4：，

特例5：______（填写运算结果）．

（2）观察、归纳，得出猜想．

如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______．

（3）证明你的猜想．

（4）应用运算规律．

①化简：______；

②若（a，b均为正整数），则的值为______．

2．已知三条边的长度分别是记的周长为．

(1)当时，的最长边的长度是___________（请直接写出答案）．

(2)请求出（用含x的代数式表示，结果要求化简）．

(3)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：．其中三角形边长分别为a，b，c，三角形的面积为S．若x为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积．

3．（1）用“”、“”、“”填空： ， ， ．

（2）由（1）中各式猜想与的大小关系，并说明理由．

（3）请利用上述结论解决下面问题：

某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少是多少米？

4．探究过程：观察下列各式及其验证过程.

（1）；（2）

验证：（1）

；

（2）

.

(1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想： =___________； =___________；

(2)通过上述探究你能猜测出： =___________（n>0），并验证你的结论．