【同步讲义】苏科版数学八年级下册：第九章 中心对称图形-平行四边形（题型过关）

第九章 中心对称图形-平行四边形 

【题型一】利用旋转的性质求解

典例1．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，已知△ABC是等边三角形，在△ABC外有一点D，连接AD，BD，CD，将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，AD与BE交于点F，∠BFD＝97°．

（1）求∠ADC的大小；

（2）若∠BDC＝7°，BD＝2，BE＝4，求AD的长．

变式1-1．（2022春·山东聊城·八年级统考期末）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°．将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°<α<180°）得到△ADE，BD，CE交于点F．

(1)求证：△AEC≌△ADB；

(2)求∠CFB的度数．

变式1-2．（2022秋·山东济南·八年级统考期中）综合与实践

某学校的数学兴趣小组发现这样一个模型，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，会形成一组全等的三角形，具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．

(1)[材料理解]如图1，在中，分别以，为边向外作等腰和等腰．，，，连接，，试猜想与的大小关系，并说明理由；

(2)[深入探究]如图2，在中，，，，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，求的长．

(3)[延伸应用]如图3，在中，，点D为平面内一点，连接，，满足，，，，求的长．

变式1-3．（2022秋·四川成都·八年级统考期末）如图，AB=AC=3，∠BAC=α，连接BC，点D在边BC上（点D不与B，C重合），连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，连接CE，DE．

(1)求证：△ABD≌△ACE；

(2)若α＝90°，且AD与BD的数量关系满足AD＝BD＋2，求△DCE的面积；

(3)若α＝60°，连接BE，试说明△ABE的面积是一个定值，并求出该定值．

【题型二】画已知图形关于某点中心对称的图形

典例2．（2022春·江苏苏州·八年级苏州市景范中学校校考期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．

(1)将向左平移6个单位长度得到，请画出；

(2)画出关于点的中心对称图形；

(3)若将绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为___________，旋转角度为__________°．

变式2-1．（2022春·四川巴中·八年级期中）如图，平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣4），C（﹣4，﹣1）．

（1）在平面直角坐标系中画出与△ABC关于点P（1，0）成中心对称的△A'B'C'，并分别写出点A'，B'，C'的坐标；

（2）如果点M（a，b）是△ABC边上（不与A，B，C重合）任意一点，请写出在△A'B'C'上与点M对应的点M'的坐标．

变式2-2．（2022春·福建宁德·八年级校联考期中）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，4）．

(1)请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；

(2)请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；

(3)在x轴上求作一点P，使△PAB周长最小，请画出△PAB，并直接写出点P的坐标，并求△PAB周长的最小值．

变式2-3．（2022春·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为．

(1)平移到，其中点A的对应点的坐标为，请在图中画出；

(2)以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得，请在图中画出；

(3)与关于某点成中心对称，请直接写出该点的坐标为____________．

【题型三】利用平行四边形的性质与判定求解

典例3（2022春·重庆·八年级校考期中）如图，在ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连结DE，CF．

（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；

（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．

变式3-1．（2022春·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC．

(1)求证：

①△AOE≌△COF；

②四边形ABCD为平行四边形；

(2)过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝32°，求∠ABE的度数．

变式3-2．（2022春·湖北武汉·八年级校联考期中）如图在平面直角坐标系中，，，轴且，点从点出发，以1个单位长度的速度向点运动；点从点同时出发，以2个单位长度的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为秒．

(1)当四边形是平行四边形时，求的值；

(2)当时，求的值；

(3)当恰好垂直平分时，求的值．

变式3-3．（2022春·西藏日喀则·八年级校考期中）如图, 在四边形ABCD中，∠ADB=90°，AD=12，DO=OB=5，AC=26，

(1)求BC的长；

(2)求四边形ABCD的面积．

【题型四】利用矩形的性质与判定求解

典例4．（2022春·广西崇左·八年级统考期末）如图，的对角线，相交于点，是等边三角形，．

（1）求证：是矩形；

（2）求的长．

变式4-1．（2022春·广西河池·八年级统考期中）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，其中AD∥BC，AD＝BC，AC＝2OB，AE平分∠BAD交CD于点E，连接OE．

(1)求证：四边形ABCD是矩形；

(2)若∠OAE＝15°，

①求证：DA＝DO＝DE；

②直接写出∠DOE的度数．

变式4-2．（2022春·湖北咸宁·八年级湖北省崇阳县第一中学校考期中）如图，在矩形ABCD中，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，AB＝3，AD＝4．

(1)如图1，当∠DAG＝30°时，求BE的长；

(2)如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长；

(3)如图3，点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时，直接写出BE的长．

变式4-3．（2022春·湖南长沙·八年级统考期末）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别过A、D两点作AO、DO的垂线，两垂线交于点E．

（1）求证：四边形AODE是矩形；

（2）若四边形AODE的面积为12，AD＝5，求四边形AODE的周长．

变式4-4．（2022春·广东肇庆·八年级校考期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝6厘米．点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么：

(1)如图1，当t＝  　　 秒时，线段AQ＝AP（即△QAP为等腰直角三角形）；

(2)如图2，当t＝  　　 秒时，△QAB的面积等于长方形ABCD的面积的；（温馨提示：此时点P的运动可暂且不考虑哦！）

(3)如图3，P到达B，Q到达A后继续运动，直到P点到达C点后都停止运动．那么当t为何值时，线段AQ的长等于线段CP的长的一半．写出计算过程．

【题型五】利用正方形的性质与判定求解

典例5．（2022春·河南开封·八年级统考期末）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．

变式5-1．（2022春·北京朝阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，BC的中点，，．

(1)求证：四边形BDEF是菱形；

(2)连接DF交BC于点M，连接CD，若BE＝4，，求DM，CD的长．

变式5-2．（2022春·山东聊城·八年级统考期末）如图，平行四边形ABCD中，．对角线相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交于点E，F．

(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；

(2)证明：在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；

(3)在旋转过程中，当AC绕点O顺时针旋转多少度时，四边形BEDF是菱形，请给出证明．

变式5-3．（2022春·山西临汾·八年级校联考期末）如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于、．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，求菱形的周长．

变式5-4．（2022秋·黑龙江绥化·八年级统考期末）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF

（1）求证：▱ABCD是菱形；

（2）若AB=5，AC=6，求▱ABCD的面积．

【题型六】中点四边形

典例6．（2022春·河南开封·八年级统考期末）如图①，P是菱形对角线上的一点，点在的延长线上，且．

(1)求证：；

(2)求证：；

(3)如图②，当四边形为正方形时，连接，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由．

变式6-1．（2022春·福建龙岩·八年级统考期中）如图是直角三角尺（）和等腰直角三角尺（）放置在同一平面内，斜边BC重合在一起，，，．交AB于点E；作交AC的延长线于点F．

(1)求证：四边形AEDF是正方形．

(2)当时，求正方形AEDF的边长．

变式6-2．（2022春·新疆省直辖县级单位·八年级校联考期末）如图，点是正方形的边上的任意一点（不与、重合），与正方形的外角的角平分线交于点．

(1)求证：．

(2)将图放在平面直角坐标系中，如图，连、，与交于点，若正方形的边长为，则四边形的面积是否随点位置的变化而变化？若不变，请求出四边形的面积．

(3)在的（2）条件下，若，求四边形的面积．

变式6-3．（2022春·广东广州·八年级广东实验中学校考期中）如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于点G，连接DG．

(1)填空，∠EDG=_________°．

(2)如图2，若正方形边长为6，点E为BC的中点，连接BF．

①求线段AG的长；

②求△BEF的面积；

(3)填空：当DE=DG时，若令CE=a，则BF=_________（用含a的式子表示）．

变式6-4．（2022春·广东阳江·八年级校考期中）四边形 ABCD 为正方形，点 E 为线段 AC 上一点，连接 DE，过点 E 作 EF ⊥DE，交射线 BC 于点 F，以 DE、EF 为邻边作矩形 DEFG，连接 CG．

(1)如图，求证：矩形 DEFG 是正方形；

(2)若 AB＝，CE＝2，求 CG 的长；

(3)当线段 DE 与正方形 ABCD 的某条边的夹角是 40°时，直接写出∠EFC 的度数．

【题型七】与三角形中位线有关的计算

典例7．（2022春·江苏苏州·八年级校考期末）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．

（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；

（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想．

变式7-1．（2022春·江苏南京·八年级统考期末）如图，四边形ABCD是菱形，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE．求证：四边形EFGH是矩形．

变式7-2．（2022春·江苏盐城·八年级统考期末）定义：对角线相等且所夹锐角为60°的四边形叫“60°等角线四边形”．

如图1，四边形ABCD为“60°等角线四边形”，即AC＝BD，∠AOB＝60°．

判定探究：

(1)下列语句能判断四边形是“60°等角线四边形”的是       ．（填序号）

①对角线所夹锐角为60°的平行四边形；

②对角线所夹锐角为60°的矩形；

③对角线所夹锐角为60°，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形．

(2)性质探究：以AC为边，向下构造等边三角形△ACE，连接BE，如图2，请直接写出AB＋CD与AC的大小关系；

(3)请判断AD＋BC与AC的大小关系，并说明理由；

(4)学习应用：若“60°等角线四边形”的对角线长为4，则该四边形周长的最小值为       ．

典例8．（2022春·江苏盐城·八年级统考期中）如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．

(1)求证：BC＝DF；

(2)连接CD、AF，当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形，请说明理由．

变式8-1．（2022春·江苏扬州·八年级统考期中）如图，在中，∠BAC＝90°，DE是的中位线，AF是的中线．求证DE＝AF．

证法1：∵DE是的中位线，

∴DE＝     ．

∵AF是的中线，∠BAC＝90°，

∴AF＝      ，

∴DE＝AF．

请把证法1补充完整，连接EF，DF，试用不同的方法证明DE＝AF

证法2：

变式8-2．（2022秋·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）公股定理神奇而美丽，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图拼图：两个全等的直角三角板 和直角三角板 ，顶点F在边止，项点C、D重合，连接 、．设、交于点G．， ， （ ），． 请你回答以下问题：

(1)请猜想与的位置关系，并加以证明．

(2)填空：  =___________（用含有c的代数式表示）

(3)请尝试利用此图形证明勾股定理．

变式8-3．（2022春·江苏苏州·八年级校联考期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．

（1）求证：BM=MN；

（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．

变式8-4．（2022春·江苏苏州·八年级苏州市胥江实验中学校校考期中）如图，线段是的角平分线，取中点，连接，过点作的垂线段垂足为．

(1)求证．

(2)若，，求的长度．

变式8-5．（2022春·江苏南京·八年级校联考期中）点 E．F 分别为正方形 ABCD 边 AD．AB 上的点，连接 CE，DF 交于点 P．

(1)如图 1，若 DE=AF，则线段 DF 与 CE 具有怎样的数量和位置关系？说明理由．

(2)如图 2，若 E 为 AD 中点，F 为 AB 中点，求证 BP=BC．

(3)若将正方形 ABCD 折叠，使得 A 点的对应点 A'落在 BC 边上，折痕 MN 分别交 AB，CD 于 M，N．若正方形的的边长为 6，线段 A'B=2，则 DN 的长为             ．

变式8-6．（2022秋·江西宜春·八年级统考期末）如图，和是全等的等边三角形，点A，C，D在一条直线上，请仅用无刻度直尺，完成以下作图（保留作图痕迹）．

(1)在图1中，以AD为边作一个直角三角形；

(2)在图2中，作出AD的平行线段．