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数学6.1 线段 射线 直线优秀练习
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这是一份数学6.1 线段 射线 直线优秀练习，文件包含同步讲义苏科版数学七年级上册61线段射线直线原卷版docx、同步讲义苏科版数学七年级上册61线段射线直线解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
线段、射线、直线
知识点一、线段
1. 线段：直线上两点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点.
2. 线段的特征：有两个端点，有长度，无方向.
3. 线段的表示方法：
（1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA；
（2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图2所示，记作：线段a.
4. 线段基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短.
5. 线段没有方向，但线段的延长线和反向延长线是有方向的，如“线段AB的延长线”和“线段BA的延长线”表示的方向是不同的.（延长线一般用虚线）.
6. 线段的中点：如图所示，点C把线段AB分成两条相等的线段AC和CB，点C就叫做线段AB的中点.
（1）线段的中点只有一个，且线段的中点一定在这条线段上；
（2）若点C是线段AB的中点，则AC＝BC，；反过来，若AC＝BC，则点C不一定是线段AB的中点（点C可能在线段AB外）.
例：如图，从A地到B地有四条路线，由上到下依次记为路线①、②、③、④，则从A地到B地的最短路线是路线（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【解答】C
【解析】根据两点之间线段最短可得，从A地到B地的最短路线是路线③．
故选C．
知识点二、射线
1. 射线的概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点.
2. 射线的特点：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长，可以向一个方向无限延伸.
3. 射线的表示方法：
（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图1所示，可记为射线AB；
（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，也可记为射线a.
在用两个大写字母表示射线时，两个字母的顺序不能写反了，首字母表示射线的端点；端点不同，所表示的射线也不同.
若一条直线上有n个点，则有2n条射线，其中有（2n－2）条射线可以用表示这些点的字母表示出来.
例：手电筒发射出来的光线，类似于几何中的（ ）
A．线段 B．射线 C．直线 D．折线
【解答】B
【解析】手电筒发射出来的光线，给我们的感觉是手电筒是射线的端点，光的传播方向是射线的方向，故给我们的感觉是射线．
故选B．
知识点三、直线
1. 直线：把线段向两方无限延伸所形成的图形叫做直线.
直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述；
直线没有端点，可以向两端无限延伸，不可度量.
2. 直线的表示方法：
（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)；
（2）直线也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线a.
3. 直线的性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线.
4. 点与直线的位置关系
（1）点在直线上，如图1所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A；
（2）点在直线外，如图2，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B.
5. 线段、射线、直线的区别与联系
线段
射线
直线
图形
表示方法
线段AB或线段BA或线段a
射线AB或射线a
直线AB或直线BA或直线a
端点个数
2
1
0
延伸情况
不能延伸
向一方无限延伸
向两方无限延伸
度量情况
能度量
不能度量
不能度量
联系
射线和线段都是直线的一部分，线段向一方无限延伸就成为射线，向两方无限延伸就成为了直线，射线向反方向无限延伸就成为直线
例：平面上有A、B、C三点，经过任意两点画一条直线，可以画出直线的数量为（ ）
A．1条 B．3条 C．1条或3条 D．无数条
【解答】C
【解析】①如果三点共线，过其中两点画直线，共可以画1条；
②如果任意三点不共线，过其中两点画直线，共可以画3条．
故选C．
知识点四、线段的画法及长短比较
1. 尺规作图：在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图.
2. 画一条线段等于已知线段
（1）可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段；
（2）如图所示，先用直尺画一条射线，再用圆规在射线上截取一条线段使其等于已知线段.
3. 线段长短的比较
（1）度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短；
（2）叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短.
例：体育课上，小悦在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示他最好成绩的点是（ ）
A．M B．N C．P D．Q
【解答】C
【解析】如图所示，OP＞ON＞OQ＞OM，
∴表示他最好成绩的点是点P，
故选C．
巩固练习
一．选择题（共8小题）
1．如果线段AB＝10cm，MA+MB＝13cm，那么下面说法中正确的是（ ）
A．M点在线段AB上
B．M点在直线AB上
C．M点可能在直线AB上也可能在AB外
D．M点在直线AB外
【分析】根据AB＝10cm，若点M是线段AB上，则MA+MB＝10cm，点M在直线AB外或点M在直线AB上都可能MA+MB＝13cm．
【解答】解：如图1：点M在直线AB外时，MA+MB＝13cm，
如图2，点M在直线AB上时，MA+MB＝13cm，
根据以上两个图形得出M可以在直线AB上，也可以在直线AB外，
故选：C．
【点评】本题考查了求两点间的距离的应用，主要考查学生的画图能力和理解能力．
2．如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，AB＝10，AC＝6，则线段BD的长是（ ）
A．6 B．2 C．8 D．4
【分析】因为点D是线段BC的中点，所以BD=12BC，而BC＝AB﹣AC＝10﹣6＝4，即可求得．
【解答】解：∵AB＝10，AC＝6，
∴BC＝AB﹣AC＝10﹣6＝4，
又∵点D是线段BC的中点，
∴BD=12BC=12×4＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了两点间的距离，准确解决此类问题的关键是数形结合，提高读图能力和分析能力．
3．如图，点C是线段AB的中点，CD=13AC，若AD＝2cm，则AB＝（ ）
A．3cm B．2.5cm C．4cm D．6cm
【分析】根据CD=13AC，得AD与AC的关系，代入已知线段求得AC，最后根据中点定义求得AB．
【解答】解：∵CD=13AC，AD+CD＝AC，
∴AD+13AC=AC，
∴AD=23AC，
∵AD＝2cm，
∴AC＝3cm，
∵点C是线段AB的中点，
∴AB＝2AC＝6cm，
故选：D．
【点评】本题考查了两点的距离，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
4．如图各图中所给的射线、直线能相交的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】依据图形中的直线、射线或线段有无交点，即可得到结论．
【解答】解：A选项中，直线AB与射线EF无交点，不合题意；
B选项中，直线AB与射线EF有交点，符合题意；
C选项中，直线AB与射线EF无交点，不合题意；
D选项中，直线AB与射线EF无交点，不合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了直线、射线或线段，掌握直线以及射线的延伸性是解决问题的关键．
5．已知A、B、C三点在同一条直线上，线段AB＝2022cm，线段BC＝1000cm，若M是线段AC的中点，N是线段BC的中点，则线段MN的长度是（ ）
A．511cm或1511cm B．511cm
C．1511cm D．1011cm
【分析】本题需要分两种情况讨论，①当点C在线段AB上时，②当点C在线段AB的延长线上时，根据线段中点的定义，计算即可．
【解答】解：①当点C在线段AB上时，AB＝2022cm，BC＝1000cm，
∵M是AC的中点，N是BC的中点，
∴AC＝2022﹣1000＝1022cm，
则MN＝MC+CN=12AC+12BC＝511+500＝1011cm；
②当点C在线段AB的延长线上时，AC＝2022+1000＝3022cm，
MN＝MC﹣CN=12AC-12BC＝1511﹣500＝1011cm．
∴线段MN的长度是1011cm．
故选：D．
【点评】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，关键是要分两种情况讨论．
6．现实生活中有人乱穿马路，却不愿从天桥或斑马线通过．请用数学知识解释这一现象，其原因为（ ）
A．两点确定一条直线
B．过一点有无数条直线
C．两点之间，线段最短
D．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
【分析】根据两点之间，线段最短解答即可．
【解答】解：现实生活中有人乱穿马路，却不愿从天桥或斑马线通过．请用数学知识解释这一现象，其原因是两点之间，线段最短，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的性质，掌握两点之间，线段最短是解题的关键．
7．1883年，康托尔用以下的方法构造的这个分形，称做康托尔集．如图，取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，这称为第一阶段；然后将剩下的两段再三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，这称为第二阶段…将这样的操作无限地重复下去，余下的无穷点就称做康托尔集．那么经过第四个阶段后，留下的线段的长度之和为（ ）
A．427 B．1681 C．8243 D．16243
【分析】根据题意具体表示出前几个式子，然后推而广之发现规律．
【解答】解：根据题意知：第一阶段时，余下的线段的长度之和为23，
第二阶段时，余下的线段的长度之和为 23×23=(23)2，
第三阶段时，余下的线段的长度之和为 23×23×23=(23)3，
第四阶段时，余下的线段的长度之和为 23×23×23×23=(23)4=1681，
故选：B．
【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出规律，解决问题．
8．如图，点C，D为线段AB上两点，AC+BD＝10，AD+BC=65AB，设CD＝t，则方程3x﹣7（x﹣1）＝2t﹣2（x+3）的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
【分析】根据线段和差的关系先表示出AB＝10+CD，AD+BC＝10+2CD，再根据AD+BC=65AB，设CD＝t，列出方程求出t，把t＝2.5代入3x﹣7（x﹣1）＝2t﹣2（x+3），求出x．
【解答】解：∵AD+BC＝AC+CD+CD+BD＝AC+BD+2CD，
AB＝AC+CD+BD，
AC+BD＝10．
∴AB＝10+CD，AD+BC＝10+2CD，
∵AD+BC=65AB，设CD＝t，
∴10+2t=65（10+t），
解得t＝2.5，
把t＝2.5代入3x﹣7（x﹣1）＝2t﹣2（x+3），
3x﹣7x+7＝2×2.5﹣2x﹣6，
3x﹣7x+2x＝5﹣6﹣7，
﹣2x＝﹣8，
x＝4，
故选：D．
【点评】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌线段之间的数量转化，并根据给出的条件列出方程是解题关键．
二．填空题（共8小题）
9．如图，线段共有 3 条，射线共有 6 条，射线AB与射线 AC 是同一条射线．
【分析】根据射线、线段的定义解答即可．
【解答】解：线段共有3条，即线段AB、BC、AC，射线共有6条，即以A为端点的射线两条、以B为端点的射线两条、以C为端点的射线两条，射线AB与射线AC是同一条射线．
故答案为：3，6，AC．
【点评】本题考查了直线、射线、线段，解决本题的关键是掌握直线、射线、线段的定义．
10．如图，BC＝4cm，BD＝7cm，点D是AC的中点，则AC＝ 6 cm．
【分析】结合题意和图形，可知CD为3cm，再根据D是AC的中点，即可求出AC．
【解答】解：∵BC＝4cm，BD＝7cm，
∴DC＝BD﹣BC＝7﹣4＝3（cm），
又∵D是AC的中点，
∴AC＝2CD＝2×3＝6（cm）．
故答案为：6．
【点评】本题考查了两点间的距离，解题的关键是弄清题意，结合图形，理解中点的含义，难度适中．
11．如图，已知线段AB长度为x，CD长度为y，则图中所有线段的长度和为 3x+y ．
【分析】依据线段AB长度为x，可得AB＝AC+CD+DB＝x，依据CD长度为y，可得AD+CB＝x+y，进而得出所有线段的长度和．
【解答】解：∵线段AB长度为x，
∴AB＝AC+CD+DB＝x，
又∵CD长度为y，
∴AD+CB＝x+y，
∴图中所有线段的长度和为：AB+AC+CD+DB+AD+CB＝x+x+x+y＝3x+y，
故答案为：3x+y．
【点评】本题考查了两点间的距离，线段的长度和有关计算，主要考查学生能否求出线段的长度和知道如何数图形中的线段．
12．如图，点C是AB的中点，点D是BC的中点，则下列等式中成立的有 ② （填写序号）
①CD＝AD﹣DB；
②CD＝AD﹣BC；
③CD＝2AD﹣AB；
④CD=13AB．
【分析】根据线段中点的性质，结合图形解答即可．
【解答】解：∵点C是AB的中点，点D是BC的中点，
∴AC＝BC=12AB，CD＝BD=12BC，
则CD＝AD﹣AC＝AD﹣BC，①错误；②正确；
2AD﹣AB＝2AC+2CD﹣AB＝2CD，③错误；
∵点C是AB的中点，点D是BC的中点，
CD=12CB=14AB，④错误，
故答案为：②．
【点评】本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的概念和性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
13．如图，C，D是线段AB上的两个点，M，N分别是线段AC，BD的中点．CD＝5cm，MN＝8cm，则AB＝ 11 cm．
【分析】先利用线段中点的定义得到MC=12AC，DN=12BD，再利用MC+CD+DN＝MN可得AC+BD＝6，然后根据AB＝AC+CD+BD进行计算即可．
【解答】解：M、N分别是线段AC，BD的中点，
∴MC=12AC，DN=12BD，
∵MC+CD+DN＝MN＝8（cm），
∴MC+DN＝8﹣5＝3（cm），
∴AC+BD＝2MC+2DN＝2×3＝6（cm），
∴AB＝AC+CD+BD＝AC+BD+CD＝6+5＝11（cm），
即线段AB的长为11cm．
故答案为：11．
【点评】本题考查了两点间的距离的求法，解题时利用了线段的和差，线段中点的性质，解决此类问题的关键是找出各个线段间的关系．
14．如图，AB＝17cm，点C是线段AB延长线上一动点，在线段BC上取一点N，使BN＝2CN，点M为线段AC的中点，则MN-14BN＝ 8.5 ．
【分析】首先设CN＝xcm，根据BN＝2CN＝2x（cm），进而表示出AC＝（17+3x）cm，根据点M为线段AC的中点，得MC＝（8.5+0.5）cm，再根据线段的和差关系求出MN-14BN的结果．
【解答】解：设CN＝xcm，
∴BN＝2CN＝2xcm，
∴AC＝AB+BN+NC＝（17+3x）cm，
∵点M为线段AC的中点，
∴MC=12AC＝（8.5+1.5x）cm，
∴MN＝MC﹣NC＝（8.5+0.5x）cm，
14BN＝0.5x（cm），
∴MN-14BN＝8.5+0.5x﹣0.5x＝8.5（cm），
故答案为：8.5 cm．
【点评】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握线段中点定义的应用，线段之间的数量转化是解题关键．
15．已知线段AB＝4cm，点O在直线AB上，线段OB＝6cm，且E，F分别是OA，AB的中点，则线段EF＝ 3 cm．
【分析】根据题意，画出图形，此题分两种情况：
（1）点O在点A和点B之间（如图①），则EF=12OA+12OB；
（2）点O在点A和点B外（如图②），则EF=12OB-12OA．
【解答】解：如图，（1）点O在点A和点B之间，如图①，
则EF=12OA+12OB＝5cm；
∵OB＝6cm，AB＝4cm，
∴点O不能在AB之间，EF＝5（舍去）
（2）点O在点A和点B外，如图②，
则EF=12OB-12OA＝3cm．
∴线段EF的长度为3cm．
故答案为：3．
【点评】此题考查线段中点的定义及线段长的求法．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．
16．已知线段MN，在MN上逐一画点（所画点与M、N不重合），当线段上有1个点时，共有3条线段，当线段上有2个点时，共有6条线段；当线段上有3个点时，共有10条线段；直接写出当线段上有20个点时，共有线段 231 条．
【分析】根据题意在MN上1个点有1+2＝3条线段，2个点可组成1+2+3＝6条线段，进而可得答案．
【解答】解：由题意可得：当在MN上有20个点时，共有线段：1+2+3+…+20+21=12（1+21）×21＝231，
故答案为：231．
【点评】本题考查了直线、射线、线段，任意两点有一条线段，根据规律是解题关键．
三．解答题（共9小题）
17．如图是一种盛装葡萄酒的瓶子，已量得瓶塞AB与标签CD的高度之比为2：3，且标签底部DE=12AB，C是BD的中点，又量得AE＝330mm，求标签CD的高度．
【分析】设DE的长为xmm，得到AB＝2DE＝2xmm，根据线段中点的定义得到BC＝CD＝3xmm，根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：设DE的长为xmm，
∵DE=12AB，得AB＝2DE＝2xmm，
由AB：CD＝2：3，AB＝2xmm，得CD＝3xmm，
∵C是BD的中点，
∴BC＝CD＝3xmm，
∵AE＝330mm，
∴AB+BC+CD+DE＝2x+3x+3x+x＝330，
∴x=1103，
∴标签CD的高度为110mm．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差．
18．如图，延长线段AB到C，使BC＝4AB，点D是线段BC的中点，如果CD＝4cm．
（1）求AC的长度；
（2）若点E是线段AC的中点，求ED的长度．
【分析】（1）先根据点D是线段BC的中点，如果CD＝4cm，求出BC的长，再根据BC＝4AB求出AB的长，由AC＝AB+BC即可得出结论；
（2）先根据线段的中点可得EC的长，再根据线段的差可得结论．
【解答】解：（1）因为点D为线段BC的中点，CD＝4cm，
所以BC＝2CD＝8cm，
因为BC＝4AB＝8cm，
所以AB＝2cm，
所以AC＝AB+BC＝10cm，即AC的长度为10cm．
（2）因为E是AC中点，所以EC=12AC＝5cm，
所以ED＝EC﹣DC＝5﹣4＝1cm，
即ED的长度是1cm．
【点评】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
19．如图，已知点C在线段AB上，且AM=13AC，BN=13BC．
（1）若AC＝12，CB＝6，求线段MN的长．
（2）若C为线段AB上任意一点，且满足AC+BC＝a，其他条件不变，求线段MN的长．
【分析】（1）由AC＝12及AM=13AC可求解CM的长，由BN=13BC及BC＝6可求得CN的长，再利用MN＝CM+CN可求解；
（2）AM=13AC，BN=13BC，可得AM+BN=13AC+13BC=13（AC+BC），所以MN＝MC+NC=23（AC+BC），根据AC+BC＝a即可求出线段MN的长．
【解答】解：（1）∵AM=13AC，
∴CM=23AC，
∵AC＝12，
∴CM＝8，
∵BN=13BC，
∴CN=23BC，
∵BC＝6，
∴CN=23×6＝4，
∴MN＝CM+CN＝8+4＝12；
（2）∵AM=13AC，BN=13BC，
∴AM+BN=13AC+13BC=13（AC+BC），
∴MN＝MC+NC=23（AC+BC），
∵AC+BC＝a，
∴MN=23a，
即线段MN的长为23a．
【点评】本题考查了两点间的距离，解题的关键是理解两点间的距离的概念，会用和差法计算线段的长度．
20．（1）如图，点C在线段AB上，点M在线段AC上，点N在线段BC上．
①已知AC＝13，CB＝8，若点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长；
②已知AC＝13，CB＝8，若点M是AC的中点，BN=34BC，求线段MN的长；
③已知AC＝a，CB＝b，若AM=23AC，BN=13BC，请直接写出线段MN的长（用含a，b的式子表示）；
（2）若点C在直线AB上，（1）中其他条件不变，已知AC＝a，CB=35a，5AM＝3CM，3BN＝2CN，请直接写出线段MN的长．
【分析】（1）①根据线段中点的性质可得，CM=12AC，CN=12BC，由MN＝CM+CN，代入计算即可得出答案；
②由点M是AC的中点，BN=34BC，可得CM=12AC，CN=14BC，由MN＝CM+CN，代入计算即可得出答案；
③由已知AM=23AC，BN=13BC，可得CM=13AC，CN=23BC，由MN＝CM+CN，代入计算即可得出答案；
（2）由已知5AM＝3CM，3BN＝2CN，可得CM=38AC，CN=25BC，由MN＝CM+CN，代入计算即可得出答案．
【解答】解：（1）①∵点M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM=12AC=12×13=6.5，CN=12BC=12×8=4，
∴MN＝CM+CN＝6.5+4＝10.5；
②∵点M是AC的中点，BN=34BC，
∴CM=12AC=12×13=6.5，CN=14BC=14×8=2，
∴MN＝CM+CN＝6.5+2＝8.5；
③MN=13a+23b；
∵AM=23AC，BN=13BC，
∴CM=13AC=13a，CN=23BC=23b，
∴MN＝CM+CN=13a+23b；
（2）MN＝（38+625）a．
∵5AM＝3CM，3BN＝2CN，
∴CM=58AC=58a，CN=25BC=35×35a=925a，
若点C在线段AB上时，
∴MN＝CM+CN＝（58+925）a．
若点B在线段AC上时，MN＝AC﹣AM﹣CN＝a-38a-625a＝（58-925）a．
【点评】本题主要考查了两点的距离，熟练掌握两点间的距离计算方法进行求解是解决本题的关键．
21．如图，P是线段AB上一点，AB＝18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线BA向左运动，到达点A处即停止运动．
（1）若点C，D的速度分别是1cm/s，2cm/s．
①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段PB上时，AC+PD＝ 12 cm；
②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，则AP：PB＝ 1：2 ；
（2）若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD＝3AC，求AP的长度．
【分析】（1）①先计算BD，PC，再计算AC+PD．
②利用中点的性质求解．
（2）将AP用其它线段表示即可．
【解答】解：（1）①由题意得：BD＝2×2＝4（cm），PC＝1×2＝2（cm）．
∴AC+PD＝AB﹣PC﹣BD＝18﹣2﹣4＝12（cm）．
故答案为：12．
②∵点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，设运动时间为t，
则：AP＝2PC＝2t，BP＝2BD＝4t，
∴AP：PB＝2t：4t＝1：2．
故答案为：1：2．
（2）设运动时间为t，则PC＝t，BD＝3t，
∴BD＝3PC，
∵PD＝3AC．
∴PB＝PD+BD＝3PC+3AC＝3（PC+AC）＝3AP．
∴AP=14AB=92（cm）．
【点评】本题考查求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是求解本题的关键．
22．如图，数轴上点A，B分别表示数﹣6，12，C为AB中点．
（1）求点C表示的数．
（2）若点P为线段AB上一点，PC＝2，求点P表示的数．
（3）若点D为线段AB上一点，在线段AB上有两个动点M，N，分别同时从点A，D出发，沿数轴正方向运动，点M的速度为4个单位每秒，点N的速度为3个单位每秒，当MN＝1，NC＝2时，求点D表示的数．
【分析】（1）根据数轴上两点所表示的数与它们的中点所表示的数之间的关系进行计算即可；
（2）分两种情况进行解答，即点P在点C的左侧或右侧，根据两点距离的计算方法进行计算即可；
（3）设出各个点所表示的数，根据运动后线段长度的计算方法，列方程组解答即可．
【解答】解：（1）点C表示的数为：-6+122=3；
（2）点C所表示的数为3，设点P所表示的数为p，则|p﹣3|＝2，
解得p＝5或p＝1，
答：点P所表示的数为1或5；
（3）设点D在数轴上所表示的数为d，运动的时间为ts，
则点M所表示的数为﹣6+4t，点N所表示的数为d+3t，
①当点M在点N的左侧，点N在点C的左侧，
MN＝d+3t﹣（﹣6+4t）＝d﹣t+6＝1，
即d﹣t＝﹣5，
NC＝3﹣d﹣3t＝2，
即d+3t＝1，
由d-t=-5d+3t=1可解得d=-72；
②当点M在点N的左侧，点N在点C的右侧，
MN＝d+3t﹣（﹣6+4t）＝d﹣t+6＝1，
即d﹣t＝﹣5，
NC＝d+3t﹣3＝2，
即d+3t＝5，
由d-t=-5d+3t=5可解得d=-52；
③当点M在点N的右侧，点N在点C的左侧，
MN＝﹣6+4t﹣（d+3t）＝﹣6+t﹣d＝1，
即d﹣t＝﹣7，
NC＝3﹣d﹣3t＝2，
即d+3t＝1，
由d-t=-7d+3t=1可解得d＝﹣5；
④当点M在点N的右侧，点N在点C的右侧，
MN＝﹣6+4t﹣（d+3t）＝﹣6+t﹣d＝1，
即d﹣t＝﹣7，
NC＝d+3t﹣3＝2，
即d+3t＝5，
由d-t=-7d+3t=5可解得d＝﹣4；
综上所述，点D所表示的数为-72或-52或﹣5或﹣4．
【点评】本题考查直线、射线、线段以及数轴表示数，掌握数轴表示数的方法以及数轴上两点距离的计算方法是解决问题的前提，分类讨论是正确解答的关键．
23．已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）
（1）若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．
（2）若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝ 13 BM．
（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求2MN3AB的值．
【分析】（1）计算出CM及BD的长，进而可得出答案；
（2）根据图形即可直接解答；
（3）分两种情况讨论，①当点N在线段AB上时，②当点N在线段AB的延长线上时，然后根据数量关系即可求解．
【解答】解：（1）当点C、D运动了1s时，CM＝1cm，BD＝3cm
∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm
∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm；
（2）设运动时间为t，
则CM＝t，BD＝3t，
∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t，
又MD＝3AC，
∴BM﹣3t＝3AM﹣3t，
即BM＝3AM，
∵BM＝AB﹣AM
∴AB﹣AM＝3AM，
∴AM=14AB，
∴AM=13BM，
故答案为：13；
（3）当点N在线段AB上时，如图
∵AN﹣BN＝MN，AN﹣AM＝MN，
∴BN＝AM=14AB，
∴MN=12AB，
即2MN3AB=13．
当点N在线段AB的延长线上时，如图
∵AN﹣BN＝MN，AN﹣BN＝AB
∴MN＝AB，
∴MNAB=1，
即2MN3AB=23．
综上所述2MN3AB=13或23．
【点评】本题考查求线段的长短的知识，有一定难度，关键是细心阅读题目，理清题意后再解答．
24．如图，已知数轴上的点A对应的数为6，B是数轴上的一点，且AB＝10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）数轴上点B对应的数是 ﹣4 ，点P对应的数是 6﹣6t （用t的式子表示）；
（2）动点Q从点B与点P同时出发，以每秒4个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，试问：运动多少时间点P可以追上点Q？
（3）M是AP的中点，N是PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若有变化，说明理由；若没有变化，请你画出图形，并求出MN的长．
【分析】（1）根据点A对应的数为6，B是数轴上的一点，且AB＝10，可得B点表示的数为6﹣10＝﹣4；点P表示的数为6﹣6t；
（2）点P运动x秒时，在点C处追上点Q，然后建立方程6x﹣4x＝10，解方程即可；
（3）分类讨论：①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差易求出MN．
【解答】解：（1）由题可得，
B点表示的数为6﹣10＝﹣4；
点P表示的数为6﹣6t；
故答案为：﹣4，6﹣6t；
（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q（如图），则AC＝6x，BC＝4x，
∵AC﹣BC＝AB，
∴6x﹣4x＝10，
解得：x＝5，
∴点P运动5秒时，在点C处追上点Q；
（3）线段MN的长度不发生变化，等于5．
理由如下：
分两种情况：
①当点P在点A、B两点之间运动时：
MN＝MP+NP=12AP+12BP=12（AP+BP）=12AB＝5；
②当点P运动到点B的左侧时：
MN＝MP﹣NP=12AP-12BP=12（AP﹣BP）=12AB＝5，
∴综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为5．
【点评】本题考查了数轴：数轴的三要素（正方向、原点和单位长度），也考查了一元一次方程的应用以及数轴上两点之间的距离．解题时注意分类讨论的运用．
25．如图1，将一段长为60厘米绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．
若将绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A'，B'处．
（1）如图2，若A'，B'恰好重合于点O处，MN＝ 30 cm；
（2）如图3，若点A'落在B'的左侧，且A'B'＝20cm，求MN的长度；
（3）若A'B'＝ncm，求MN的长度．（用含n的代数式表示）
【分析】（1）由题意可得：AM＝MO=12AO，ON＝BN=12OB，再结合图形可求得答案；
（2）先结合图形可求得AA′+BB′＝40cm，再根据中点性质和线段和差关系计算即可；
（3）分两种情况分别计算即可：当点A′落在点B′的左侧时，当点A′落在点B′的右侧时．
【解答】解：（1）∵绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A'、B'处，A'、B'恰好重合于点O处，
∴AM＝MO=12AO，ON＝BN=12OB，
∴MN＝MO+ON=12（AO+OB）=12AB＝30（cm）；
故答案为：30．
（2）∵AB＝60 cm，A′B′＝20cm，
∴AA′+BB′＝AB﹣A′B′＝60﹣20＝40（cm）．
根据题意得，M、N分别为AA′、BB′的中点，
∴AM=12AA′，BN=12BB′，
∴AM+BN=12AA′+12BB′=12（AA′+BB′）=12×40＝20cm，
∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝60﹣20＝40（cm）；
（3）∵M、N分别为AA′、BB′的中点，
∴AM＝MA′=12AA′，BN＝B′N=12BB′．
当点A′落在点B′的左侧时，
∴MN＝MA′+A′B′+B′N=12AA′+A′B′+12B′B=12（AA′+A′B′+B′B）+12A′B′=12（AB+A′B′）＝（30+12n）（cm）；
当点A′落在点B′的右侧时，
∵AA′+BB′＝AB+A′B′＝（60+n）cm，
∴AM+BN=12AA′+12BB′=12（AA′+BB′）=12×（60+n）＝（30+12n）cm．
∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝60−（30+12n）＝（30−12n）（cm）．
综上，MN的长度为（30+12n）cm或（30−12n）cm．
【点评】本题考查了中点定义，折叠性质，两点间距离，线段和差倍分计算，一元一次方程的应用和图形的剪拼等，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．注意分类思想的运用．
线段、射线、直线
知识点一、线段
1. 线段：直线上两点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点.
2. 线段的特征：有两个端点，有长度，无方向.
3. 线段的表示方法：
（1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA；
（2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图2所示，记作：线段a.
4. 线段基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短.
5. 线段没有方向，但线段的延长线和反向延长线是有方向的，如“线段AB的延长线”和“线段BA的延长线”表示的方向是不同的.（延长线一般用虚线）.
6. 线段的中点：如图所示，点C把线段AB分成两条相等的线段AC和CB，点C就叫做线段AB的中点.
（1）线段的中点只有一个，且线段的中点一定在这条线段上；
（2）若点C是线段AB的中点，则AC＝BC，；反过来，若AC＝BC，则点C不一定是线段AB的中点（点C可能在线段AB外）.
例：如图，从A地到B地有四条路线，由上到下依次记为路线①、②、③、④，则从A地到B地的最短路线是路线（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【解答】C
【解析】根据两点之间线段最短可得，从A地到B地的最短路线是路线③．
故选C．
知识点二、射线
1. 射线的概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点.
2. 射线的特点：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长，可以向一个方向无限延伸.
3. 射线的表示方法：
（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图1所示，可记为射线AB；
（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，也可记为射线a.
在用两个大写字母表示射线时，两个字母的顺序不能写反了，首字母表示射线的端点；端点不同，所表示的射线也不同.
若一条直线上有n个点，则有2n条射线，其中有（2n－2）条射线可以用表示这些点的字母表示出来.
例：手电筒发射出来的光线，类似于几何中的（ ）
A．线段 B．射线 C．直线 D．折线
【解答】B
【解析】手电筒发射出来的光线，给我们的感觉是手电筒是射线的端点，光的传播方向是射线的方向，故给我们的感觉是射线．
故选B．
知识点三、直线
1. 直线：把线段向两方无限延伸所形成的图形叫做直线.
直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述；
直线没有端点，可以向两端无限延伸，不可度量.
2. 直线的表示方法：
（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)；
（2）直线也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线a.
3. 直线的性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线.
4. 点与直线的位置关系
（1）点在直线上，如图1所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A；
（2）点在直线外，如图2，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B.
5. 线段、射线、直线的区别与联系
线段
射线
直线
图形
表示方法
线段AB或线段BA或线段a
射线AB或射线a
直线AB或直线BA或直线a
端点个数
2
1
0
延伸情况
不能延伸
向一方无限延伸
向两方无限延伸
度量情况
能度量
不能度量
不能度量
联系
射线和线段都是直线的一部分，线段向一方无限延伸就成为射线，向两方无限延伸就成为了直线，射线向反方向无限延伸就成为直线
例：平面上有A、B、C三点，经过任意两点画一条直线，可以画出直线的数量为（ ）
A．1条 B．3条 C．1条或3条 D．无数条
【解答】C
【解析】①如果三点共线，过其中两点画直线，共可以画1条；
②如果任意三点不共线，过其中两点画直线，共可以画3条．
故选C．
知识点四、线段的画法及长短比较
1. 尺规作图：在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图.
2. 画一条线段等于已知线段
（1）可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段；
（2）如图所示，先用直尺画一条射线，再用圆规在射线上截取一条线段使其等于已知线段.
3. 线段长短的比较
（1）度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短；
（2）叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短.
例：体育课上，小悦在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示他最好成绩的点是（ ）
A．M B．N C．P D．Q
【解答】C
【解析】如图所示，OP＞ON＞OQ＞OM，
∴表示他最好成绩的点是点P，
故选C．
巩固练习
一．选择题（共8小题）
1．如果线段AB＝10cm，MA+MB＝13cm，那么下面说法中正确的是（ ）
A．M点在线段AB上
B．M点在直线AB上
C．M点可能在直线AB上也可能在AB外
D．M点在直线AB外
【分析】根据AB＝10cm，若点M是线段AB上，则MA+MB＝10cm，点M在直线AB外或点M在直线AB上都可能MA+MB＝13cm．
【解答】解：如图1：点M在直线AB外时，MA+MB＝13cm，
如图2，点M在直线AB上时，MA+MB＝13cm，
根据以上两个图形得出M可以在直线AB上，也可以在直线AB外，
故选：C．
【点评】本题考查了求两点间的距离的应用，主要考查学生的画图能力和理解能力．
2．如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，AB＝10，AC＝6，则线段BD的长是（ ）
A．6 B．2 C．8 D．4
【分析】因为点D是线段BC的中点，所以BD=12BC，而BC＝AB﹣AC＝10﹣6＝4，即可求得．
【解答】解：∵AB＝10，AC＝6，
∴BC＝AB﹣AC＝10﹣6＝4，
又∵点D是线段BC的中点，
∴BD=12BC=12×4＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了两点间的距离，准确解决此类问题的关键是数形结合，提高读图能力和分析能力．
3．如图，点C是线段AB的中点，CD=13AC，若AD＝2cm，则AB＝（ ）
A．3cm B．2.5cm C．4cm D．6cm
【分析】根据CD=13AC，得AD与AC的关系，代入已知线段求得AC，最后根据中点定义求得AB．
【解答】解：∵CD=13AC，AD+CD＝AC，
∴AD+13AC=AC，
∴AD=23AC，
∵AD＝2cm，
∴AC＝3cm，
∵点C是线段AB的中点，
∴AB＝2AC＝6cm，
故选：D．
【点评】本题考查了两点的距离，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
4．如图各图中所给的射线、直线能相交的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】依据图形中的直线、射线或线段有无交点，即可得到结论．
【解答】解：A选项中，直线AB与射线EF无交点，不合题意；
B选项中，直线AB与射线EF有交点，符合题意；
C选项中，直线AB与射线EF无交点，不合题意；
D选项中，直线AB与射线EF无交点，不合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了直线、射线或线段，掌握直线以及射线的延伸性是解决问题的关键．
5．已知A、B、C三点在同一条直线上，线段AB＝2022cm，线段BC＝1000cm，若M是线段AC的中点，N是线段BC的中点，则线段MN的长度是（ ）
A．511cm或1511cm B．511cm
C．1511cm D．1011cm
【分析】本题需要分两种情况讨论，①当点C在线段AB上时，②当点C在线段AB的延长线上时，根据线段中点的定义，计算即可．
【解答】解：①当点C在线段AB上时，AB＝2022cm，BC＝1000cm，
∵M是AC的中点，N是BC的中点，
∴AC＝2022﹣1000＝1022cm，
则MN＝MC+CN=12AC+12BC＝511+500＝1011cm；
②当点C在线段AB的延长线上时，AC＝2022+1000＝3022cm，
MN＝MC﹣CN=12AC-12BC＝1511﹣500＝1011cm．
∴线段MN的长度是1011cm．
故选：D．
【点评】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，关键是要分两种情况讨论．
6．现实生活中有人乱穿马路，却不愿从天桥或斑马线通过．请用数学知识解释这一现象，其原因为（ ）
A．两点确定一条直线
B．过一点有无数条直线
C．两点之间，线段最短
D．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
【分析】根据两点之间，线段最短解答即可．
【解答】解：现实生活中有人乱穿马路，却不愿从天桥或斑马线通过．请用数学知识解释这一现象，其原因是两点之间，线段最短，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的性质，掌握两点之间，线段最短是解题的关键．
7．1883年，康托尔用以下的方法构造的这个分形，称做康托尔集．如图，取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，这称为第一阶段；然后将剩下的两段再三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，这称为第二阶段…将这样的操作无限地重复下去，余下的无穷点就称做康托尔集．那么经过第四个阶段后，留下的线段的长度之和为（ ）
A．427 B．1681 C．8243 D．16243
【分析】根据题意具体表示出前几个式子，然后推而广之发现规律．
【解答】解：根据题意知：第一阶段时，余下的线段的长度之和为23，
第二阶段时，余下的线段的长度之和为 23×23=(23)2，
第三阶段时，余下的线段的长度之和为 23×23×23=(23)3，
第四阶段时，余下的线段的长度之和为 23×23×23×23=(23)4=1681，
故选：B．
【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出规律，解决问题．
8．如图，点C，D为线段AB上两点，AC+BD＝10，AD+BC=65AB，设CD＝t，则方程3x﹣7（x﹣1）＝2t﹣2（x+3）的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
【分析】根据线段和差的关系先表示出AB＝10+CD，AD+BC＝10+2CD，再根据AD+BC=65AB，设CD＝t，列出方程求出t，把t＝2.5代入3x﹣7（x﹣1）＝2t﹣2（x+3），求出x．
【解答】解：∵AD+BC＝AC+CD+CD+BD＝AC+BD+2CD，
AB＝AC+CD+BD，
AC+BD＝10．
∴AB＝10+CD，AD+BC＝10+2CD，
∵AD+BC=65AB，设CD＝t，
∴10+2t=65（10+t），
解得t＝2.5，
把t＝2.5代入3x﹣7（x﹣1）＝2t﹣2（x+3），
3x﹣7x+7＝2×2.5﹣2x﹣6，
3x﹣7x+2x＝5﹣6﹣7，
﹣2x＝﹣8，
x＝4，
故选：D．
【点评】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌线段之间的数量转化，并根据给出的条件列出方程是解题关键．
二．填空题（共8小题）
9．如图，线段共有 3 条，射线共有 6 条，射线AB与射线 AC 是同一条射线．
【分析】根据射线、线段的定义解答即可．
【解答】解：线段共有3条，即线段AB、BC、AC，射线共有6条，即以A为端点的射线两条、以B为端点的射线两条、以C为端点的射线两条，射线AB与射线AC是同一条射线．
故答案为：3，6，AC．
【点评】本题考查了直线、射线、线段，解决本题的关键是掌握直线、射线、线段的定义．
10．如图，BC＝4cm，BD＝7cm，点D是AC的中点，则AC＝ 6 cm．
【分析】结合题意和图形，可知CD为3cm，再根据D是AC的中点，即可求出AC．
【解答】解：∵BC＝4cm，BD＝7cm，
∴DC＝BD﹣BC＝7﹣4＝3（cm），
又∵D是AC的中点，
∴AC＝2CD＝2×3＝6（cm）．
故答案为：6．
【点评】本题考查了两点间的距离，解题的关键是弄清题意，结合图形，理解中点的含义，难度适中．
11．如图，已知线段AB长度为x，CD长度为y，则图中所有线段的长度和为 3x+y ．
【分析】依据线段AB长度为x，可得AB＝AC+CD+DB＝x，依据CD长度为y，可得AD+CB＝x+y，进而得出所有线段的长度和．
【解答】解：∵线段AB长度为x，
∴AB＝AC+CD+DB＝x，
又∵CD长度为y，
∴AD+CB＝x+y，
∴图中所有线段的长度和为：AB+AC+CD+DB+AD+CB＝x+x+x+y＝3x+y，
故答案为：3x+y．
【点评】本题考查了两点间的距离，线段的长度和有关计算，主要考查学生能否求出线段的长度和知道如何数图形中的线段．
12．如图，点C是AB的中点，点D是BC的中点，则下列等式中成立的有 ② （填写序号）
①CD＝AD﹣DB；
②CD＝AD﹣BC；
③CD＝2AD﹣AB；
④CD=13AB．
【分析】根据线段中点的性质，结合图形解答即可．
【解答】解：∵点C是AB的中点，点D是BC的中点，
∴AC＝BC=12AB，CD＝BD=12BC，
则CD＝AD﹣AC＝AD﹣BC，①错误；②正确；
2AD﹣AB＝2AC+2CD﹣AB＝2CD，③错误；
∵点C是AB的中点，点D是BC的中点，
CD=12CB=14AB，④错误，
故答案为：②．
【点评】本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的概念和性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
13．如图，C，D是线段AB上的两个点，M，N分别是线段AC，BD的中点．CD＝5cm，MN＝8cm，则AB＝ 11 cm．
【分析】先利用线段中点的定义得到MC=12AC，DN=12BD，再利用MC+CD+DN＝MN可得AC+BD＝6，然后根据AB＝AC+CD+BD进行计算即可．
【解答】解：M、N分别是线段AC，BD的中点，
∴MC=12AC，DN=12BD，
∵MC+CD+DN＝MN＝8（cm），
∴MC+DN＝8﹣5＝3（cm），
∴AC+BD＝2MC+2DN＝2×3＝6（cm），
∴AB＝AC+CD+BD＝AC+BD+CD＝6+5＝11（cm），
即线段AB的长为11cm．
故答案为：11．
【点评】本题考查了两点间的距离的求法，解题时利用了线段的和差，线段中点的性质，解决此类问题的关键是找出各个线段间的关系．
14．如图，AB＝17cm，点C是线段AB延长线上一动点，在线段BC上取一点N，使BN＝2CN，点M为线段AC的中点，则MN-14BN＝ 8.5 ．
【分析】首先设CN＝xcm，根据BN＝2CN＝2x（cm），进而表示出AC＝（17+3x）cm，根据点M为线段AC的中点，得MC＝（8.5+0.5）cm，再根据线段的和差关系求出MN-14BN的结果．
【解答】解：设CN＝xcm，
∴BN＝2CN＝2xcm，
∴AC＝AB+BN+NC＝（17+3x）cm，
∵点M为线段AC的中点，
∴MC=12AC＝（8.5+1.5x）cm，
∴MN＝MC﹣NC＝（8.5+0.5x）cm，
14BN＝0.5x（cm），
∴MN-14BN＝8.5+0.5x﹣0.5x＝8.5（cm），
故答案为：8.5 cm．
【点评】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握线段中点定义的应用，线段之间的数量转化是解题关键．
15．已知线段AB＝4cm，点O在直线AB上，线段OB＝6cm，且E，F分别是OA，AB的中点，则线段EF＝ 3 cm．
【分析】根据题意，画出图形，此题分两种情况：
（1）点O在点A和点B之间（如图①），则EF=12OA+12OB；
（2）点O在点A和点B外（如图②），则EF=12OB-12OA．
【解答】解：如图，（1）点O在点A和点B之间，如图①，
则EF=12OA+12OB＝5cm；
∵OB＝6cm，AB＝4cm，
∴点O不能在AB之间，EF＝5（舍去）
（2）点O在点A和点B外，如图②，
则EF=12OB-12OA＝3cm．
∴线段EF的长度为3cm．
故答案为：3．
【点评】此题考查线段中点的定义及线段长的求法．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．
16．已知线段MN，在MN上逐一画点（所画点与M、N不重合），当线段上有1个点时，共有3条线段，当线段上有2个点时，共有6条线段；当线段上有3个点时，共有10条线段；直接写出当线段上有20个点时，共有线段 231 条．
【分析】根据题意在MN上1个点有1+2＝3条线段，2个点可组成1+2+3＝6条线段，进而可得答案．
【解答】解：由题意可得：当在MN上有20个点时，共有线段：1+2+3+…+20+21=12（1+21）×21＝231，
故答案为：231．
【点评】本题考查了直线、射线、线段，任意两点有一条线段，根据规律是解题关键．
三．解答题（共9小题）
17．如图是一种盛装葡萄酒的瓶子，已量得瓶塞AB与标签CD的高度之比为2：3，且标签底部DE=12AB，C是BD的中点，又量得AE＝330mm，求标签CD的高度．
【分析】设DE的长为xmm，得到AB＝2DE＝2xmm，根据线段中点的定义得到BC＝CD＝3xmm，根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：设DE的长为xmm，
∵DE=12AB，得AB＝2DE＝2xmm，
由AB：CD＝2：3，AB＝2xmm，得CD＝3xmm，
∵C是BD的中点，
∴BC＝CD＝3xmm，
∵AE＝330mm，
∴AB+BC+CD+DE＝2x+3x+3x+x＝330，
∴x=1103，
∴标签CD的高度为110mm．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差．
18．如图，延长线段AB到C，使BC＝4AB，点D是线段BC的中点，如果CD＝4cm．
（1）求AC的长度；
（2）若点E是线段AC的中点，求ED的长度．
【分析】（1）先根据点D是线段BC的中点，如果CD＝4cm，求出BC的长，再根据BC＝4AB求出AB的长，由AC＝AB+BC即可得出结论；
（2）先根据线段的中点可得EC的长，再根据线段的差可得结论．
【解答】解：（1）因为点D为线段BC的中点，CD＝4cm，
所以BC＝2CD＝8cm，
因为BC＝4AB＝8cm，
所以AB＝2cm，
所以AC＝AB+BC＝10cm，即AC的长度为10cm．
（2）因为E是AC中点，所以EC=12AC＝5cm，
所以ED＝EC﹣DC＝5﹣4＝1cm，
即ED的长度是1cm．
【点评】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
19．如图，已知点C在线段AB上，且AM=13AC，BN=13BC．
（1）若AC＝12，CB＝6，求线段MN的长．
（2）若C为线段AB上任意一点，且满足AC+BC＝a，其他条件不变，求线段MN的长．
【分析】（1）由AC＝12及AM=13AC可求解CM的长，由BN=13BC及BC＝6可求得CN的长，再利用MN＝CM+CN可求解；
（2）AM=13AC，BN=13BC，可得AM+BN=13AC+13BC=13（AC+BC），所以MN＝MC+NC=23（AC+BC），根据AC+BC＝a即可求出线段MN的长．
【解答】解：（1）∵AM=13AC，
∴CM=23AC，
∵AC＝12，
∴CM＝8，
∵BN=13BC，
∴CN=23BC，
∵BC＝6，
∴CN=23×6＝4，
∴MN＝CM+CN＝8+4＝12；
（2）∵AM=13AC，BN=13BC，
∴AM+BN=13AC+13BC=13（AC+BC），
∴MN＝MC+NC=23（AC+BC），
∵AC+BC＝a，
∴MN=23a，
即线段MN的长为23a．
【点评】本题考查了两点间的距离，解题的关键是理解两点间的距离的概念，会用和差法计算线段的长度．
20．（1）如图，点C在线段AB上，点M在线段AC上，点N在线段BC上．
①已知AC＝13，CB＝8，若点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长；
②已知AC＝13，CB＝8，若点M是AC的中点，BN=34BC，求线段MN的长；
③已知AC＝a，CB＝b，若AM=23AC，BN=13BC，请直接写出线段MN的长（用含a，b的式子表示）；
（2）若点C在直线AB上，（1）中其他条件不变，已知AC＝a，CB=35a，5AM＝3CM，3BN＝2CN，请直接写出线段MN的长．
【分析】（1）①根据线段中点的性质可得，CM=12AC，CN=12BC，由MN＝CM+CN，代入计算即可得出答案；
②由点M是AC的中点，BN=34BC，可得CM=12AC，CN=14BC，由MN＝CM+CN，代入计算即可得出答案；
③由已知AM=23AC，BN=13BC，可得CM=13AC，CN=23BC，由MN＝CM+CN，代入计算即可得出答案；
（2）由已知5AM＝3CM，3BN＝2CN，可得CM=38AC，CN=25BC，由MN＝CM+CN，代入计算即可得出答案．
【解答】解：（1）①∵点M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM=12AC=12×13=6.5，CN=12BC=12×8=4，
∴MN＝CM+CN＝6.5+4＝10.5；
②∵点M是AC的中点，BN=34BC，
∴CM=12AC=12×13=6.5，CN=14BC=14×8=2，
∴MN＝CM+CN＝6.5+2＝8.5；
③MN=13a+23b；
∵AM=23AC，BN=13BC，
∴CM=13AC=13a，CN=23BC=23b，
∴MN＝CM+CN=13a+23b；
（2）MN＝（38+625）a．
∵5AM＝3CM，3BN＝2CN，
∴CM=58AC=58a，CN=25BC=35×35a=925a，
若点C在线段AB上时，
∴MN＝CM+CN＝（58+925）a．
若点B在线段AC上时，MN＝AC﹣AM﹣CN＝a-38a-625a＝（58-925）a．
【点评】本题主要考查了两点的距离，熟练掌握两点间的距离计算方法进行求解是解决本题的关键．
21．如图，P是线段AB上一点，AB＝18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线BA向左运动，到达点A处即停止运动．
（1）若点C，D的速度分别是1cm/s，2cm/s．
①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段PB上时，AC+PD＝ 12 cm；
②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，则AP：PB＝ 1：2 ；
（2）若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD＝3AC，求AP的长度．
【分析】（1）①先计算BD，PC，再计算AC+PD．
②利用中点的性质求解．
（2）将AP用其它线段表示即可．
【解答】解：（1）①由题意得：BD＝2×2＝4（cm），PC＝1×2＝2（cm）．
∴AC+PD＝AB﹣PC﹣BD＝18﹣2﹣4＝12（cm）．
故答案为：12．
②∵点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，设运动时间为t，
则：AP＝2PC＝2t，BP＝2BD＝4t，
∴AP：PB＝2t：4t＝1：2．
故答案为：1：2．
（2）设运动时间为t，则PC＝t，BD＝3t，
∴BD＝3PC，
∵PD＝3AC．
∴PB＝PD+BD＝3PC+3AC＝3（PC+AC）＝3AP．
∴AP=14AB=92（cm）．
【点评】本题考查求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是求解本题的关键．
22．如图，数轴上点A，B分别表示数﹣6，12，C为AB中点．
（1）求点C表示的数．
（2）若点P为线段AB上一点，PC＝2，求点P表示的数．
（3）若点D为线段AB上一点，在线段AB上有两个动点M，N，分别同时从点A，D出发，沿数轴正方向运动，点M的速度为4个单位每秒，点N的速度为3个单位每秒，当MN＝1，NC＝2时，求点D表示的数．
【分析】（1）根据数轴上两点所表示的数与它们的中点所表示的数之间的关系进行计算即可；
（2）分两种情况进行解答，即点P在点C的左侧或右侧，根据两点距离的计算方法进行计算即可；
（3）设出各个点所表示的数，根据运动后线段长度的计算方法，列方程组解答即可．
【解答】解：（1）点C表示的数为：-6+122=3；
（2）点C所表示的数为3，设点P所表示的数为p，则|p﹣3|＝2，
解得p＝5或p＝1，
答：点P所表示的数为1或5；
（3）设点D在数轴上所表示的数为d，运动的时间为ts，
则点M所表示的数为﹣6+4t，点N所表示的数为d+3t，
①当点M在点N的左侧，点N在点C的左侧，
MN＝d+3t﹣（﹣6+4t）＝d﹣t+6＝1，
即d﹣t＝﹣5，
NC＝3﹣d﹣3t＝2，
即d+3t＝1，
由d-t=-5d+3t=1可解得d=-72；
②当点M在点N的左侧，点N在点C的右侧，
MN＝d+3t﹣（﹣6+4t）＝d﹣t+6＝1，
即d﹣t＝﹣5，
NC＝d+3t﹣3＝2，
即d+3t＝5，
由d-t=-5d+3t=5可解得d=-52；
③当点M在点N的右侧，点N在点C的左侧，
MN＝﹣6+4t﹣（d+3t）＝﹣6+t﹣d＝1，
即d﹣t＝﹣7，
NC＝3﹣d﹣3t＝2，
即d+3t＝1，
由d-t=-7d+3t=1可解得d＝﹣5；
④当点M在点N的右侧，点N在点C的右侧，
MN＝﹣6+4t﹣（d+3t）＝﹣6+t﹣d＝1，
即d﹣t＝﹣7，
NC＝d+3t﹣3＝2，
即d+3t＝5，
由d-t=-7d+3t=5可解得d＝﹣4；
综上所述，点D所表示的数为-72或-52或﹣5或﹣4．
【点评】本题考查直线、射线、线段以及数轴表示数，掌握数轴表示数的方法以及数轴上两点距离的计算方法是解决问题的前提，分类讨论是正确解答的关键．
23．已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）
（1）若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．
（2）若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝ 13 BM．
（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求2MN3AB的值．
【分析】（1）计算出CM及BD的长，进而可得出答案；
（2）根据图形即可直接解答；
（3）分两种情况讨论，①当点N在线段AB上时，②当点N在线段AB的延长线上时，然后根据数量关系即可求解．
【解答】解：（1）当点C、D运动了1s时，CM＝1cm，BD＝3cm
∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm
∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm；
（2）设运动时间为t，
则CM＝t，BD＝3t，
∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t，
又MD＝3AC，
∴BM﹣3t＝3AM﹣3t，
即BM＝3AM，
∵BM＝AB﹣AM
∴AB﹣AM＝3AM，
∴AM=14AB，
∴AM=13BM，
故答案为：13；
（3）当点N在线段AB上时，如图
∵AN﹣BN＝MN，AN﹣AM＝MN，
∴BN＝AM=14AB，
∴MN=12AB，
即2MN3AB=13．
当点N在线段AB的延长线上时，如图
∵AN﹣BN＝MN，AN﹣BN＝AB
∴MN＝AB，
∴MNAB=1，
即2MN3AB=23．
综上所述2MN3AB=13或23．
【点评】本题考查求线段的长短的知识，有一定难度，关键是细心阅读题目，理清题意后再解答．
24．如图，已知数轴上的点A对应的数为6，B是数轴上的一点，且AB＝10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）数轴上点B对应的数是 ﹣4 ，点P对应的数是 6﹣6t （用t的式子表示）；
（2）动点Q从点B与点P同时出发，以每秒4个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，试问：运动多少时间点P可以追上点Q？
（3）M是AP的中点，N是PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若有变化，说明理由；若没有变化，请你画出图形，并求出MN的长．
【分析】（1）根据点A对应的数为6，B是数轴上的一点，且AB＝10，可得B点表示的数为6﹣10＝﹣4；点P表示的数为6﹣6t；
（2）点P运动x秒时，在点C处追上点Q，然后建立方程6x﹣4x＝10，解方程即可；
（3）分类讨论：①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差易求出MN．
【解答】解：（1）由题可得，
B点表示的数为6﹣10＝﹣4；
点P表示的数为6﹣6t；
故答案为：﹣4，6﹣6t；
（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q（如图），则AC＝6x，BC＝4x，
∵AC﹣BC＝AB，
∴6x﹣4x＝10，
解得：x＝5，
∴点P运动5秒时，在点C处追上点Q；
（3）线段MN的长度不发生变化，等于5．
理由如下：
分两种情况：
①当点P在点A、B两点之间运动时：
MN＝MP+NP=12AP+12BP=12（AP+BP）=12AB＝5；
②当点P运动到点B的左侧时：
MN＝MP﹣NP=12AP-12BP=12（AP﹣BP）=12AB＝5，
∴综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为5．
【点评】本题考查了数轴：数轴的三要素（正方向、原点和单位长度），也考查了一元一次方程的应用以及数轴上两点之间的距离．解题时注意分类讨论的运用．
25．如图1，将一段长为60厘米绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．
若将绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A'，B'处．
（1）如图2，若A'，B'恰好重合于点O处，MN＝ 30 cm；
（2）如图3，若点A'落在B'的左侧，且A'B'＝20cm，求MN的长度；
（3）若A'B'＝ncm，求MN的长度．（用含n的代数式表示）
【分析】（1）由题意可得：AM＝MO=12AO，ON＝BN=12OB，再结合图形可求得答案；
（2）先结合图形可求得AA′+BB′＝40cm，再根据中点性质和线段和差关系计算即可；
（3）分两种情况分别计算即可：当点A′落在点B′的左侧时，当点A′落在点B′的右侧时．
【解答】解：（1）∵绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A'、B'处，A'、B'恰好重合于点O处，
∴AM＝MO=12AO，ON＝BN=12OB，
∴MN＝MO+ON=12（AO+OB）=12AB＝30（cm）；
故答案为：30．
（2）∵AB＝60 cm，A′B′＝20cm，
∴AA′+BB′＝AB﹣A′B′＝60﹣20＝40（cm）．
根据题意得，M、N分别为AA′、BB′的中点，
∴AM=12AA′，BN=12BB′，
∴AM+BN=12AA′+12BB′=12（AA′+BB′）=12×40＝20cm，
∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝60﹣20＝40（cm）；
（3）∵M、N分别为AA′、BB′的中点，
∴AM＝MA′=12AA′，BN＝B′N=12BB′．
当点A′落在点B′的左侧时，
∴MN＝MA′+A′B′+B′N=12AA′+A′B′+12B′B=12（AA′+A′B′+B′B）+12A′B′=12（AB+A′B′）＝（30+12n）（cm）；
当点A′落在点B′的右侧时，
∵AA′+BB′＝AB+A′B′＝（60+n）cm，
∴AM+BN=12AA′+12BB′=12（AA′+BB′）=12×（60+n）＝（30+12n）cm．
∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝60−（30+12n）＝（30−12n）（cm）．
综上，MN的长度为（30+12n）cm或（30−12n）cm．
【点评】本题考查了中点定义，折叠性质，两点间距离，线段和差倍分计算，一元一次方程的应用和图形的剪拼等，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．注意分类思想的运用．
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