【重难点讲义】浙教版数学八年级下册-第08讲 特殊平行四边形单元整体分类总复习

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第08讲 特殊平行四边形章节分类总复习
考点一 矩形的判定与性质
【知识点睛】
v 矩形的判定方法：
①有一个角是直角的平行四边形是矩形; ②有三个角是直角的四边形是矩形;
③四个角都相等的四边形是矩形; ④对角线相等的平行四边形是矩形;
⑤对角线相等且互相平分的四边形是矩形.
v 矩形的性质
①矩形的对边平行且相等; ②矩形的四个角都是直角;
③矩形的对角线相等且互相平分; ④矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
【类题训练】
1．如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝124°，则∠CDE的度数为（　　）

A．62° B．56° C．28° D．30°
【分析】由矩形的性质得出OC＝OD，得出∠ODC＝∠OCD＝62°，由直角三角形的性质求出∠ODE＝28°，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠AOD＝124°，
∴∠DOE＝56°，∠ODC＝∠OCD＝（180°﹣56°）＝62°，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE＝90°﹣∠DOE＝34°，
∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ODE＝62°﹣34°＝28°；
故选：C．
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且，连接EF．若AC＝10，则EF的长为（　　）

A． B．3 C．4 D．5
【分析】由可得点F为AO中点，从而可得EF为△AOD的中位线，进而求解．
【解答】解：在矩形ABCD中，AO＝OC＝AC，AC＝BD＝10，
∵AF＝AC，
∴AF＝AO，
∴点F为AO中点，
又∵点E为边AD的中点，
∴EF为△AOD的中位线，
∴EF＝OD＝BD＝．
故选：A．
3．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，AB＝2，∠ABE＝45°，则DE的长为（　　）

A．2﹣2 B．﹣1 C．﹣1 D．2
【分析】在Rt△ABE中可求得BE的长，由角平分线的定义和平行的性质可证得BC＝BE，则可求得AD的长，则可求得DE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠A＝90°，
∵AB＝2，∠ABE＝45°，
∴AE＝AB＝2，
∴BE＝＝2，
∵AD∥BC，
∴∠DEC＝∠ECB，
∵EC平分∠BED，
∴∠BEC＝∠DEC，
∴∠BEC＝∠ECB，
∴BC＝BE＝2，
∴AD＝2，
∴DE＝AD﹣AE＝2﹣2，
故选：A．
4．如图，矩形ABCD和矩形BDEF，点A在EF边上，设矩形ABCD和矩形BDEF的面积分别为S1、S2，则S1与S2的大小关系为（　　）

A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．3S1＝2S2
【分析】由于矩形ABCD的面积等于2个△ABD的面积，而△ABD的面积又等于矩形BDEF的一半，所以可得两个矩形的面积关系．
【解答】解：∵矩形ABCD的面积S1＝2S△ABD，S△ABD＝S矩形BDEF，
∴S1＝S2．
故选：A．
5．如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（　　）

A．MB＝MO B．OM＝AC C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND
【分析】由平行四边形的性质可知，OA＝OC，OB＝OD，再证OM＝ON，则四边形AMCN是平行四边形，然后证MN＝AC，即可得出结论．
【解答】解：添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是OM＝AC，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，
即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵OM＝AC，
∴MN＝AC，
∴四边形AMCN是矩形．
故选：B．
6．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（　　）

A．3 B． C． D．4
【分析】根据勾股定理求得OD＝，然后根据矩形的性质得出CE＝OD＝．
【解答】解：∵四边形COED是矩形，
∴CE＝OD，
∵点D的坐标是（1，3），
∴OD＝＝，
∴CE＝，
故选：C．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连结CP、QD，则PC+QD的最小值为（　　）

A．22 B．24 C．25 D．26
【分析】连接BP，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝12，连接PE、CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，再根据勾股定理求解即可．
【解答】解：如图，连接BP，

在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝10，
∵AP＝CQ，
∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，
∴DP＝QB，DP∥BQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴PB∥DQ，PB＝DQ，
则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE＝AB＝12，连接PE，
则BE＝2AB＝24，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB＝PE，
∴PC+PB＝PC+PE，
连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，
∴CE＝＝＝26，
∴PC+PB的最小值为26，
即PC+QD的最小值为26，
故选：D．
8．如图，在▱ABCD中，下列条件①AC＝BD；②∠1+∠3＝90°；③OB＝AC；④∠1＝∠2，能判断▱ABCD是矩形的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由矩形的判定方法和平行四边形的性质分别对各个条件进行判断即可．
【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形；
②∵∠1+∠3＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴▱ABCD是矩形；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD＝BD，
∵OB＝AC，
∴AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形；
④∵四边形ABCD是矩形，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AB∥CD，
∴∠1＝∠OCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠OCD＝∠2，
∴OC＝OD，
∴AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形；
综上所述，能判断▱ABCD是矩形的有4个，
故选：D．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（　　）

A． B． C． D．
【分析】由矩形的性质和勾股定理可得AE，于是可得cos∠DAE；由同角的余角相等可得∠ABF＝∠DAE，解Rt△ABF求得BF即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝4，BC＝AD＝6，∠BAD＝∠D＝90°，
∵E是CD中点，
∴DE＝CD＝2，
Rt△ADE中，AE＝，
∴cos∠DAE＝，
∵∠BAF+∠ABF＝90°，∠BAF+∠DAE＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE，
Rt△ABF中，AB＝4，cos∠ABF＝＝cos∠DAE＝，
∴BF＝AB•cos∠ABF＝，
故选：B．
10．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（　　）

A．（3，1）或（3，3） B．（3，）或（3，3）
C．（3，）或（3，1） D．（3，）或（3，1）或（3，3）
【分析】由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，设P（3，a），则AP＝a，BP＝4﹣a；分两种情况：①若∠CPM＝90°，②若∠CMP＝90°，根据勾股定理分别求出CP2、MP2、CM2，并根据图形列出关于a的方程，解得a的值，则可得答案．
【解答】解：由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，
∴设P（3，a），则AP＝a，BP＝4﹣a；

①若∠CPM＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：
CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9，
在Rt△MPA中，由勾股定理得：
MP2＝MA2+AP2＝1+a2，
在Rt△MPC中，由勾股定理得：
CM2＝MP2+CP2＝1+a2+（4﹣a）2+9＝2a2﹣8a+26，
又∵CM2＝OM2+OC2＝4+16＝20，
∴2a2﹣8a+26＝20，
∴（a﹣3）（a﹣1）＝0，
解得：a＝3或a＝1，
∴P（3，3）或（3，1）；
②若∠CMP＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：
CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9，
在Rt△MPA中，由勾股定理得：
MP2＝MA2+AP2＝1+a2，
∵CM2＝OM2+OC2＝20，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：
CM2+MP2＝CP2，
∴20+1+a2＝（4﹣a）2+9，
解得：a＝．
∴P（3，）．
综上，P（3，）或（3，1）或（3，3）．
故选：D．
11．如图所示，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为 　3　．

【分析】观察图形，阴影部分显然不规则，想想怎么将它们进行拼组，组成规则图形；首先结合矩形的性质可得OA＝OC，∠AEO＝∠CFO，试着证明△AOE≌△COF，进而可得△AOE与△COF的面积相等；接下来即可将阴影部分的面积转化为△BCD的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO．
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF，则S△AOE＝S△COF，
∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△COF+S△BOF+S△COD＝S△BCD，
∴S△BCD＝BC•CD＝×3×2＝3，故S阴影＝3．
故答案为：3．
12．如图，在矩形ABCD中，作BD的垂直平分线分别与AD、BC交于点M、N，连接BM、DN．若BM＝5，NC＝3．则矩形ABCD的周长为 　24　．

【分析】证△DMO≌△BNO（ASA），得OM＝ON，再证平行四边形BMDN是菱形，得BN＝DN＝BM＝5，则AD＝BC＝8，然后由勾股定理得CD＝4，即可得出结论．
【解答】解：如图，设BD交MN于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠C＝90°，OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，
∴∠MDO＝∠NBO，
∵MN是BD的垂直平分线，
∴OD＝OB，
在△DMO和△BNO中，
，
∴△DMO≌△BNO（ASA），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BMDN是平行四边形．
又∵MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形，
∴BN＝DN＝BM＝5，
∴AD＝BC＝BN+CNC＝5+3＝8，
在Rt△CDN中，由勾股定理得：CD＝＝＝4，
∴矩形ABCD的周长＝2（CD+BC）＝2×（4+8）＝24，
故答案为：24．

13．矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点A是y轴正半轴上任意一点，点B在x轴正半轴上．连接OD．则OD的最大值是 　4+4　．

【分析】取AB的中点M，连接OM、MD，当OM、MD成一条直线时，OD有最大值，利用勾股定理及直角三角形斜边中线的性质可得答案．
【解答】解：取AB的中点M，连接OM、MD，当OM、MD成一条直线时，OD有最大值，
在Rt△ADM中，DM＝＝4，
在Rt△AOB中，OM＝AB＝4，
∴OD的最大值是4+4，
故答案为：4+4．

14．如图，矩形ABCD中，AC的垂直平分线MN与AB交于点E，连接CE．若∠CAD＝70°，则∠DCE＝　40　°．

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EC＝EA，根据矩形的性质得到∠DCA＝∠EAC＝20°，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵MN是AC的垂直平分线，
∴EC＝EA，
∴∠ECA＝∠EAC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠D＝90°，
∴∠DCA＝∠EAC＝90°﹣70°＝20°，
∴∠DCE＝∠DCA+∠ECA＝20°+20°＝40°，
故答案为：40．
15．如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是　4.8　．

【分析】首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，可求得OA＝OD＝5，△AOD的面积，然后由S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF求得答案．
【解答】解：连接OP，
∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，
∴S矩形ABCD＝AB•BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝＝10，
∴OA＝OD＝5，
∴S△ACD＝S矩形ABCD＝24，
∴S△AOD＝S△ACD＝12，
∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝×5×PE+×5×PF＝（PE+PF）＝12，
解得：PE+PF＝4.8．
故答案为：4.8．

16．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是　　．

【分析】连接CE，由矩形的性质得出∠ADC＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，OA＝OC，由线段垂直平分线的性质得出AE＝CE，设DE＝x，则CE＝AE＝8﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：连接CE，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，OA＝OC，
∵EF⊥AC，
∴AE＝CE，
设DE＝x，则CE＝AE＝8﹣x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2+62＝（8﹣x）2，
解得：x＝，
即DE＝；
故答案为：．
解法二：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，OA＝OC，
∴AC＝＝＝10，
∴OA＝AC＝5，
∵EF⊥AC，
∴∠AOE＝90°＝∠ADC，
∵∠CAD＝∠CAD，
∴△AOE∽△ADC，
∴＝，
即＝，
解得：AE＝，
∴DE＝AD﹣AE＝8﹣＝，
故答案为：．

17．矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，则GH＝　　．

【分析】延长GH交AD于M点，由矩形的性质得出CD＝CE＝FG＝1，BC＝EF＝CG＝3，BE∥AD∥FG，推出DG＝CG﹣CD＝2，∠HAM＝∠HFG，由ASA证得△AMH≌△FGH，得出AM＝FG＝1，MH＝GH，则MD＝AD﹣AM＝2，在Rt△MDG中，根据勾股定理得到GM，即可得出结果．
【解答】解：延长GH交AD于M点，如图所示：
∵四边形ABCD与四边形CEFG都是矩形，
∴CD＝CE＝FG＝1，BC＝EF＝CG＝3，BE∥AD∥FG，
∴DG＝CG﹣CD＝3﹣1＝2，∠HAM＝∠HFG，
∵AF的中点H，
∴AH＝FH，
在△AMH和△FGH中，
，
∴△AMH≌△FGH（ASA）．
∴AM＝FG＝1，MH＝GH，
∴MD＝AD﹣AM＝3﹣1＝2，
在Rt△MDG中，GM＝＝＝2，
∴GH＝GM＝，
故答案为：．

18．如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是　5或4或5　．

【分析】分情况讨论：①当AP＝AE＝5时，则△AEP是等腰直角三角形，得出底边PE＝AE＝5即可；
②当1PE＝AE＝5时，求出BE，由勾股定理求出P1B，再由勾股定理求出等边AP1即可；
③当P2A＝P2E时，底边AE＝5；即可得出结论．
【解答】解：如图所示：
①当AP＝AE＝5时，
∵∠BAD＝90°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴底边PE＝AE＝5；
②当P1E＝AE＝5时，
∵BE＝AB﹣AE＝8﹣5＝3，∠B＝90°，
∴P1B＝＝4，
∴底边AP1＝＝4；
③当P2A＝P2E时，底边AE＝5；
综上所述：等腰三角形AEP的底边长为5或4或5；
故答案为：5或4或5．

19．如图，在三角形ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN平行于BC，设MN交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于F．问：
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．

【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，进而得出答案；
（2）根据已知得出∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO的长；
（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
【解答】（1）证明：

∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF；
（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，
∵CE＝12，CF＝5，
∴EF＝＝＝13，
∴OC＝EF＝；
（3）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，
理由如下：当O为AC的中点时，AO＝CO，
∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
20．如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．
（1）求证：四边形ABDF是矩形；
（2）若AD＝10，BD＝8，求△BCF的面积．

【分析】（1）证明△AEB≌△DEF（AAS），得AB＝DF，则四边形ABDF是平行四边形，再由∠BDF＝90°，即可得出结论；
（2）由矩形的性质得BF＝AD＝10，再由勾股定理得DF＝6，然后由平行四边形的性质得CD＝AB＝6，则CF＝CD+DF＝12，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABE＝∠DFE，
∵AE＝DE，∠AEB＝∠DEF，
∴△AEB≌△DEF（AAS），
∴AB＝DF，
∵AB∥DF，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∵∠BDF＝90°，
∴平行四边形ABDF是矩形．
（2）解：由（1）得：四边形ABDF是矩形，AB＝DF，
∴BF＝AD＝10，
∴，
则AB＝DF＝6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝6，
∴CF＝CD+DF＝6+6＝12，
∵∠BDF＝90°，
∴BD⊥CF，
∴S△BCF＝CF•BD＝×12×8＝48．
考点二 菱形的判定与性质
【知识点睛】
v 菱形的判定方法：
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②四条边相等的四边形是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形； ④对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
v 菱形的性质
①菱形的四条边都相等； ②菱形的对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角；
③菱形既是轴对称图形又是中心对称图形； ④菱形的面积等于对角线乘积的一半。
v 应熟练掌握菱形在边、角、对角线等方面的性质，菱形的问题经常可转化为直角三角形的问题。
【类题训练】
1．如图所示，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若BD＝6，则四边形CODE的周长是（　　）

A．10 B．12 C．18 D．24
【分析】由已知条件先证明四边形CODE是平行四边形，再由矩形的性质得出OC＝OD＝3，即可求出四边形CODE的周长．
【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD＝6，
∴OC＝OD＝3，
∴四边形CODE是菱形，
∴DE＝OC＝OD＝CE＝3，
∴四边形CODE的周长＝4×3＝12．
故选：B．
2．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
【分析】先根据菱形的性质得OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，则利用DH⊥AB得到DH⊥CD，∠DHB＝90°，所以OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，得到OH＝OD＝OB，利用等腰三角形的性质得∠1＝∠DHO，然后利用等角的余角相等即可求出∠DHO的度数
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，
∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，
∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，
∴OH＝OD＝OB，
∴∠1＝∠DHO，
∵DH⊥CD，
∴∠1+∠2＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠2+∠DCO＝90°，
∴∠1＝∠DCO，
∴∠DHO＝∠DCA，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠CAD＝∠DCA＝20°，
∴∠DHO＝20°，
故选：A．

3．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，菱形ABCD的面积为48，DE＝6，则AD的长为（　　）

A．16 B．8 C．4 D．2
【分析】由菱形的性质得AD＝AB，再由菱形的面积求出AB＝8，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，
∵DE⊥AB，
∴菱形ABCD的面积＝AB•DE＝48，
即6AB＝48，
∴AB＝8，
∴AD＝AB＝8，
故选：B．
4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF，若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为（　　）

A．5 B．2 C．3 D．6
【分析】先根据菱形的性质找到Rt△AOE和Rt△AOB，然后利用勾股定理计算出菱形的边长BC的长，再根据三角形中位线性质，求出OF的长．
【解答】解：已知菱形ABCD，对角线互相垂直平分，
∴AC⊥BD，
在Rt△AOE中，
∵OE＝3，OA＝4，
∴根据勾股定理得，
∵AE＝BE，
∴OB＝AE+OE＝8，
在Rt△AOB中，，
即菱形的边长为，
∵点F为CD的中点，点O为DB中点，
∴．
故选：B．
5．如图，某同学剪了两条宽均为的纸条，交叉叠放在一起，且它们的交角为60°，则它们重叠部分的面积为（　　）

A．3 B．2 C．3 D．6
【分析】过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，则AE＝AF＝，先证四边形ABCD是平行四边形，再证BC＝CD，则平行四边形ABCD是菱形，得AB＝BC，然后由锐角三角函数定义求出AB＝2，即可解决问题．
【解答】解：过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
则AE＝AF＝，∠AEB＝90°，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABE＝∠ADF＝60°，S平行四边形ABCD＝BC•AE＝CD•AF，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵sin∠ABE＝＝sin60°＝，
∴AB＝＝＝2，
∴BC＝2，
∴S菱形ABCD＝BC•AE＝2×＝2，
故选：B．

6．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为（　　）

A．48 B．24 C．12 D．6
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答．
【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别为12和8，
∴菱形的面积＝×6×8＝24，
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积＝×24＝12．
故选：C．
7．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B＝45°，BC＝2，则GH的最小值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知，求出AF的最小值即可解决问题．
【解答】解：连接AF，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∵G，H分别为AE，EF的中点，
∴GH是△AEF的中位线，
∴，
当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，
则∠AFB＝90°，
∵∠B＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即GH的最小值为，
故选：D．
8．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，E，F分别是AB，AC的中点，连接DE，DF，当△ABC满足下列哪个条件时，四边形AEDF为菱形（　　）

A．AB＝AC B．∠B＝∠A C．BD＝DF D．DE⊥DF
【分析】可根据三角形的中位线定理、等腰三角形的性质、菱形的判定，分析得出当△ABC满足条件AB＝AC或∠B＝∠C时，四边形AEDF是菱形．
【解答】解：要使四边形AEDF是菱形，则应有DE＝DF＝AE＝AF，
∵E，F分别为AC，BC的中点，
∴AE＝BE，AF＝FC，
∴DE＝BE，DF＝CF，
∴△BDE≌△CDF（SSS），
∴BD＝CD，
∴当点D应是BC的中点，而AD⊥BC，
∴△ABC应是等腰三角形，
∴应添加条件：AB＝AC或∠B＝∠C．
则当△ABC满足条件AB＝AC或∠B＝∠C时，四边形AEDF是菱形．
故选：A．
9．如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，BC上，AE＝CF，连接DE，DF．请问下列条件中不能使▱ABCD为菱形的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．DE＝DF C．∠3＝∠4 D．AD＝CD
【分析】由菱形的判定、平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AD＝CD，
∴▱ABCD为菱形，故选项A不符合题意；
B、由AE＝CF，DE＝DF，∠A＝∠C，不能判定△ADE≌△CDF，
∴不能得出AD＝CD，
∴不能使▱ABCD为菱形，故选项B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AD＝CD，
∴▱ABCD为菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝CD，
∴▱ABCD为菱形，故选项D不符合题意；
故选：B．
10．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为（　　）cm．

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据作法判定出四边形OACB是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【解答】解：根据作图，AC＝BC＝OA，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝BC＝AC，
∴四边形OACB是菱形，
∵AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2，
∴AB•OC＝×2×OC＝4，
解得OC＝4cm．
故选：C．
11．如图由12根完全相同的小棒拼接而成（图中所有的锐角与钝角互补），请你再添4根与前面完全相同的小棒，使拼接后的图形恰好有5个菱形，不同的添法共有（　　）

A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
【分析】由题意画出图形，即可得出结论．
【解答】解：将各种情况画出的图形如下：

所以，不同的添法共有7种，
故选：C．

12．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝8，S菱形ABCD＝64，则OH的长为（　　）

A． B．8 C．4 D．
【分析】由菱形的性质得出OA＝OC＝8，OB＝OD，AC⊥BD，则AC＝16，由直角三角形斜边上的中线性质得出，再由菱形的面积求出BD＝8，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，
∴AC＝16，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∴，
∵菱形ABCD的面积＝，
∴BD＝8，
∴．
故选：C．
13．相同的菱形叠放在一起，可得到更多菱形．如图，2个相同的菱形叠放在一起，可得到3个菱形，若将3个相同的菱形叠放在一起，最多可得到菱形的个数为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据题意画出图形，从图形中得出菱形的个数即可．
【解答】解：如图，用3个相同的菱形放置，最多能得到8个菱形，
故选：C．

14．如图，将两张完全一样的长为，宽为的矩形纸条交叉，使重叠部分的四边形周长最大，则这个最大值是（　　）

A．4 B．4 C． D．
【分析】先确定菱形边长最长时的条件，再求值．
【解答】解：如图：

此时重叠部分对应的菱形边长最长，周长最大．
设DE＝x，则AE＝﹣x，BE＝x，AB＝，
在矩形ABCD中，∠A＝90°，
∴BE2＝AE2+AB2，
∴x2＝（﹣x）2+2，
∴x＝，
∴菱形EBFD的周长的最大值是：4x＝．
故选：C．
15．如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AD＝AC，M、N、P分别是OA、OB、CD的中点，下列结论：
①CN⊥BD；
②MN＝NP；
③四边形MNCP是菱形；
④ND平分∠PNM．
其中正确的有（　　）

A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【分析】证出OC＝BC，由等腰三角形的性质得CN⊥BD，①正确；证出MN是△AOB的中位线，得MN∥AB，MN＝AB，由直角三角形的性质得NP＝CD，则MN＝NP，②正确；周长四边形MNCP是平行四边形，无法证明四边形MNCP是菱形；③错误；由平行线的性质和等腰三角形的性质证出∠MND＝∠PND，则ND平分∠PNM，④正确；即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，OA＝OC＝AC，
∵AD＝AC，
∴OC＝BC，
∵N是OB的中点，
∴CN⊥BD，①正确；
∵M、N分别是OA、OB的中点，
∴MN是△AOB的中位线，
∴MN∥AB，MN＝AB，
∵CN⊥BD，
∴∠CND＝90°，
∵P是CD的中点，
∴NP＝CD＝PD＝PC，
∴MN＝NP，②正确；
∵MN∥AB，AB∥CD，
∴MN∥CD，
又∵NP＝PC，MN＝NP，
∴MN＝PC，
∴四边形MNCP是平行四边形，无法证明四边形MNCP是菱形；③错误；
∵MN∥CD，
∴∠PDN＝∠MND，
∵NP＝PD，
∴∠PDN＝∠PND，
∴∠MND＝∠PND，
∴ND平分∠PNM，④正确；
正确的个数有3个，
故选：C．
16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABC＝60°，点E，F分别是BC，CD的中点，BD分别与AE，AF相交于点M，N，连接OE，OF，下列结论：（1）△AEF是等边三角形；（2）四边形CEOF是菱形；（3）OF⊥AE；（4）BM＝MN＝ND．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由菱形的性质得出△ABC、△ADC是等边三角形，得出AE＝OB，AF＝OD，得出AE＝AF，再证明EF是△BCD的中位线，得出EF＝BD＝OB，得出AE＝AF＝EF，得出（1）正确；由直角三角形斜边上的中线性质得出OE＝BC＝CE，OF＝CD＝CF，得出OE＝OF＝CE＝CF，得出（2）正确；由菱形的性质得出OF∥BC，再由AE⊥BC，得出（3）正确；证明AM＝BM，同理：AN＝ND，再证出AM＝AN，得出（4）正确；即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ADC＝∠ABC＝60°，OA＝OD＝AC，OB＝OD＝BD，AC⊥BD，
∴△ABC、△ADC是等边三角形，
∴OB是等边三角形ABC的高，
∵点E是BC的中点，
∴AE时等边三角形ABC的高，
∴AE＝OB，
同理：AF＝OD，
∴AE＝AF，
∵点E，F分别是BC，CD的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF＝BD＝OB，EF∥BD，
∴AE＝AF＝EF，
即△AEF是等边三角形，
∴（1）正确；
∵点E，F分别是BC，CD的中点，AC⊥BD，
∴OE＝BC＝CE，OF＝CD＝CF，
∴OE＝OF＝CE＝CF，
∴四边形CEOF是菱形，
∴（2）正确；
∵四边形CEOF是菱形，
∴OF∥BC，
∵AE⊥BC，
∴OF⊥AE，
∴（3）正确；
∵AE、BO是等边三角形ABC的中线，
∴AM＝BM，
同理：AN＝ND，
∵△AEF是等边三角形，
∴∠AEF＝∠AFE＝60°，
∵EF∥BD，
∴∠AMN＝∠AEF＝60°，∠ANM＝∠AFE＝60°，
∴∠AMN＝∠ANM＝60°，
∴AM＝AN，
∴BM＝MN＝ND，
∴（4）正确；
正确的结论有4个，
故选：D．
17．如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F．若AB＝3，BC＝4，则四边形AFCE的面积为 　　．

【分析】由ASA证明△AOE≌△COF，得出对应边相等EO＝FO，证出四边形AFCE为平行四边形，再由FE⊥AC，即可得出平行四边形AFCE为菱形，然后再利用勾股定理计算出AC和EF的长，进而可得四边形AFCE的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥FC，∠ABF＝90°，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵EF垂直平分AC，
∴AO＝CO，FE⊥AC，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴EO＝FO，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵FE⊥AC，
∴平行四边形AFCE为菱形．
∴AF＝FC，
∵AB＝3，BC＝4，
设BF＝x，则CF＝AF＝4﹣x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，
∴32+x2＝（4﹣x）2，
解得：x＝，
∴FC＝4﹣＝，
在Rt△ABC中，AC＝＝5，
∴CO＝，
在Rt△FCO中，FO＝＝＝，
∴EF＝，
∴四边形AFCE的面积为：×＝．
故答案为：．

18．如图1，矩形纸片ABCD中，AB＝5，AD＝12，要在矩形纸片内折出一个菱形，现有两种方案：
甲：如图2，取两组对边中点的方法折出四边形EFGH．
乙：如图3，沿矩形的对角线AC折出∠CAE＝∠CAD，∠ACF＝∠ACB的方法得到四边形AECF．
下列说法正确的是 　①④　（只填序号）．
①甲折出的四边形是菱形；②乙折出的四边形不是菱形；③甲、乙折出的四边形面积一样大；④乙折出的四边形面积大．

【分析】①根据矩形的性质证明EG＝EF＝FG＝GH，进而可以进行判断；
②根据矩形的性质证明△EAC≌△FAC（ASA），可得AE＝AF，然后证明四边形AECF是平行四边形，进而可以进行判断；
③根据△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DHG，S△AEH＝AB××AD＝，可得菱形EFGH的面积＝60﹣4×＝30；设BE＝x，则AE＝CE＝BC﹣BE＝12﹣x，计算菱形AECF的面积＝CE•AB＝×5≈35.21，进而可以进行判断；
④由菱形EFGH的面积＜菱形AECF的面积，进而可以进行判断．
【解答】解：①∵点E，F，G，H分别是矩形ABCD四个边的中点，
∴AH＝DH＝BF＝CF，AE＝BE＝DG＝CG，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EG＝EF＝FG＝GH，
∴四边形EFGH是菱形，故①正确；
②∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ECA＝∠CAD，
∵∠CAE＝∠CAD，
∴∠CAE＝∠ECA，
∴EA＝EC，
在△EAC和△FAC中，
，
∴△EAC≌△FAC（ASA），
∴AE＝AF，
∴AF＝EC，
∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE＝AF，
∴四边形AECF是菱形，故②错误；
③∵矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，
∴矩形ABCD的面积＝AB•AD＝60，
∵△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DHG，
∴S△AEH＝AB××AD＝，
∴菱形EFGH的面积＝60﹣4×＝30；
设BE＝x，则AE＝CE＝BC﹣BE＝12﹣x，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得：
x2+52＝（12﹣x）2，
解得x＝，
∴CE＝12﹣＝，
∴菱形AECF的面积＝CE•AB＝×5≈35.21，
∴菱形EFGH的面积＜菱形AECF的面积，
故③错误，④正确．
综上所述：说法正确的是①④．
故答案为：①④．
19．将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片，如图（1）；再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为EF，再次展平后连接DE、DF．如图2．解决下列问题：
（1）四边形AEDF的形状是 　菱形　；
（2）当∠BAC＝60°时，＝　　．

【分析】（1）第一次折叠，AC落在AB边上，则折痕AD平分∠BAC，∠EAD＝∠FAD；第二次折叠，A、D重合，则∠EAF＝∠EDF、∠EDA＝∠FDA；AE＝ED、AF＝FD；易证得△AED≌△AFD，得AE＝AF、DE＝DF，再根据第二次折叠所得到的AE＝DE、AF＝FD，可证得四边形AEDF的四边相等，由此可判定四边形AEDF是菱形；
（2）根据菱形的性质即可求解．
【解答】解：（1）如图：

由第一次折叠可知：AD为∠CAB的平分线，
∴∠1＝∠2，
由第二次折叠可知：∠CAB＝∠EDF，
∵AE＝ED，AF＝FD，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
在△AED与△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（ASA），
∴AE＝AF，DE＝DF，
∴EO＝FO，AO＝DO，AD⊥EF，
∴四边形AEDF是菱形．
故答案为：菱形；
（2）∵四边形AEDF是菱形，∠BAC＝60°．
∴△AEF是等边三角形，AD＝2AO，EF＝2OE，∠EAO＝∠BAC＝30°．AD⊥EF，
∴AO＝OE，
∴AD＝2OE，
∴．
故答案为：．
20．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，
（1）求证：∠DHO＝∠DCO．
（2）若OC＝4，BD＝6，求菱形ABCD的周长和面积．

【分析】（1）由菱形的性质得OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，再由直角三角形斜边上的中线性质得OH＝OD，然后由等腰三角形的性质和直角三角形的性质即可得出结论；
（2）由菱形的性质得OD＝OB＝BD＝3，OA＝OC＝4，BD⊥AC，再由勾股定理得CD＝5，然后由菱形的性质和面积公式求菱形ABCD的周长和面积即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，
∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，
∴∠DHB＝90°，
∴OH＝BD＝OD＝OB，
∴∠ODH＝∠DHO，
∵DH⊥CD，
∴∠ODH+∠ODC＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠ODC+∠DCO＝90°，
∴∠ODH＝∠DCO，
∴∠DHO＝∠DCO；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，OD＝OB＝BD＝3，OA＝OC＝4，BD⊥AC，
∴AC＝2OC＝4，∠COD＝90°，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：CD＝＝＝5，
∴菱形ABCD的周长＝4CD＝20，
菱形ABCD的面积＝BD×AC＝×6×8＝24．
21．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG，如图1所示．

（1）证明平行四边形ECFG是菱形；
（2）若∠ABC＝120°，连接BG、CG、DG，如图2所示，
①求证：△DGC≌△BGE；
②求∠BDG的度数．
（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，如图3所示，求DM的长．
【分析】（1）平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线的性质证明∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边可得CE＝CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形，即可解决问题；
（2）先判断出∠BEG＝120°＝∠DCG，再判断出AB＝BE，进而得出BE＝CD，即可判断出△BEG≌△DCG（SAS），再判断出∠CGE＝60°，进而得出△BDG是等边三角形，即可得出结论；
（3）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可得DM＝BM，∠DMC＝∠BME，再根据∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°可得到△BDM是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）证明：
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；

（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，
∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG＝120°＝∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，
∴△DGC≌△BGE（SAS）；
②∵△DGC≌△BGE，
∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，
∴∠BGD＝∠CGE，
∵CG＝GE＝CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE＝60°，
∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG＝60°；

（3）方法一：如图3中，连接BM，MC，

∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，
∴BE＝AB＝DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM＝∠ECM＝45°，
∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME和△DMC中，
∵，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB＝MD，
∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB＝8，AD＝14，
∴BD＝2，
∴DM＝BD＝．
方法二：过M作MH⊥DF于H，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形，
∴∠CEF＝45°，
∴∠AEB＝∠CEF＝45°，
∴BE＝AB＝8，
∴CE＝CF＝14﹣8＝6，
∵MH∥CE，EM＝FM，
∴CH＝FH＝CF＝3，
∴MH＝CE＝3，
∴DH＝11，
∴DM＝＝．

考点三 正方形的判定与性质
【知识点睛】
v 正方形的判定方法
①有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；
②有一组邻边相等的矩形是正方形； ③有一个角是直角的菱形是正方形；
④对角线相等且互相平分的四边形是正方形。
v 正方形的性质
正方形具有矩形、菱形的一切性质
v 平行四边形与特殊平行四边形间的转化关系：





【类题训练】
1．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（　　）

A．45° B．55° C．60° D．75°
【分析】根据正方形的性质及等边三角形的性质求出∠ABE＝15°，∠BAC＝45°，再求∠BFC．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
又∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD＝DE，∠DAE＝60°，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，∠BAE＝90°+60°＝150°，
∴∠ABE＝（180°﹣150°）÷2＝15°，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠BFC＝45°+15°＝60°．
故选：C．
2．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC＝2：1，则线段CH的长是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据折叠可得DH＝EH，在直角△CEH中，设CH＝x，则DH＝EH＝9﹣x，根据BE：EC＝2：1可得CE＝3，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH的长．
【解答】解：设CH＝x，则DH＝EH＝9﹣x，
∵BE：EC＝2：1，BC＝9，
∴CE＝BC＝3，
∴在Rt△ECH中，EH2＝EC2+CH2，
即（9﹣x）2＝32+x2，
解得：x＝4，
即CH＝4．
故选：B．
3．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是　 　．

【分析】过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，先判断出四边形DPBE是矩形，再根据等角的余角相等求出∠ADP＝∠CDE，再利用“角角边”证明△ADP和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝DP，然后判断出四边形DPBE是正方形，再根据正方形的面积公式解答即可．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴四边形DPBE是矩形，
∵∠CDE+∠CDP＝90°，∠ADC＝90°，
∴∠ADP+∠CDP＝90°，
∴∠ADP＝∠CDE，
∵DP⊥AB，
∴∠APD＝90°，
∴∠APD＝∠E＝90°，
在△ADP和△CDE中，
，
∴△ADP≌△CDE（AAS），
∴DE＝DP，四边形ABCD的面积＝四边形DPBE的面积＝18，
∴矩形DPBE是正方形，
∴DP＝＝3．
故答案为：3．
4．如图，点P的坐标为（4，4），点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上运动，且∠APB＝90°，连接AB，OP，下列结论：
①PA＝PB；
②若OP与AB的交点恰好是AB的中点，则四边形OAPB是正方形；
③四边形OAPB的面积与周长为定值；
④AB＞OP．
其中正确的结论是（　　）

A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
【分析】过P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，AB与OP交于点C，由P（4，4），得出PN＝PM＝4，易证四边形MONP是正方形，得OM＝ON＝PN＝PM＝4，由ASA证得△MPB≌△NPA，得出PA＝PB，故①正确；由OP与AB的交点恰好是AB的中点，在Rt△APB中，PC是斜边AB的中线，在Rt△AOB中，OC是斜边AB的中线，得BC＝AC＝PC＝OC，则四边形OAPB是矩形，又PA＝PB，则四边形OAPB是正方形，故②正确；由△MPB≌△NPA，易证四边形OAPB的面积＝正方形PMON的面积＝16，BM＝AN，则OA+OB＝ON+OM＝8，PA＝PB，且PA和PB的长度会不断的变化，故周长不是定值，故③错误；由OP与AB的交点恰好是AB的中点，则四边形OAPB是正方形，则AB＝OP，故④错误．
【解答】解：过P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，AB与OP交于点C，如图所示：
∵P（4，4），
∴PN＝PM＝4，
∵x轴⊥y轴，
∴∠MON＝∠PNO＝∠PMO＝90°，
∴∠MPN＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，则四边形MONP是正方形，
∴OM＝ON＝PN＝PM＝4，
∵∠MPN＝∠APB＝90°，
∴∠MPB＝∠NPA，
在△MPB和△NPA中，，
∴△MPB≌△NPA（ASA），
∴PA＝PB，故①正确；
∵OP与AB的交点恰好是AB的中点，
∴BC＝AC，
在Rt△APB中，PC是斜边AB的中线，
∴PC＝BC，
在Rt△AOB中，OC是斜边AB的中线，
∴OC＝BC，
∴BC＝AC＝PC＝OC，
∴四边形OAPB是矩形，
∵PA＝PB，
∴四边形OAPB是正方形，故②正确；
∵△MPB≌△NPA，
∴四边形OAPB的面积＝四边形BONP的面积+△PNA的面积＝四边形BONP的面积+△PMB的面积＝正方形PMON的面积＝4×4＝16，
∵△MPB≌△NPA，
∴BM＝AN，
∴OA+OB＝ON+AN+OB＝ON+OM＝4+4＝8，
PA＝PB，且PA和PB的长度会不断的变化，故周长不是定值，故③错误；
∵OP与AB的交点恰好是AB的中点，则四边形OAPB是正方形，
∴AB＝OP，故④错误；
故选：A．

5．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME＝90°，②∠BAF＝∠EDB，③AM＝MF，④ME+MF＝MB．其中正确结论的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据正方形的性质可得AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，再根据中点定义求出AE＝BF，然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF＝∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF＝∠BAD＝90°，从而求出∠AMD＝90°，再根据邻补角的定义可得∠AME＝90°，得出①正确；根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判断出②错误；设正方形ABCD的边长为2a，利用勾股定理列式求出AF，再根据似三角形对应边成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM＝MF，判断出③正确；如图，过点M作MN⊥AB于N，于是得到＝＝，得到NB＝AB﹣AN＝2a﹣a＝a，根据勾股定理得到BM＝＝a，于是得到结论．
【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，
∵E、F分别为边AB，BC的中点，
∴AE＝BF＝BC，
在△ABF和△DAE中，，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠BAF＝∠ADE，
∵∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，
∴∠AME＝180°﹣∠AMD＝180°﹣90°＝90°，
故①正确；
∵DE是△ABD的中线，
∴∠ADE≠∠EDB，
∴∠BAF≠∠EDB，
故②错误；
设正方形ABCD的边长为2a，则BF＝a，
在Rt△ABF中，AF＝＝a，
∵∠BAF＝∠MAE，∠ABC＝∠AME＝90°，
∴△AME∽△ABF，
∴＝，即＝，
解得：AM＝a，
∴MF＝AF﹣AM＝a﹣a＝a，
∴AM＝MF，
故③正确；
如图，过点M作MN⊥AB于N，
则＝＝，
即＝＝，
解得MN＝a，AN＝a，
∴NB＝AB﹣AN＝2a﹣a＝a，
根据勾股定理，BM＝＝a，
∵ME+MF＝a+a＝a，MB＝a＝a，
∴ME+MF＝MB．
综上所述，正确的结论有①③④共3个．
故选：B．
6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE＝10．求CE的长度．

【分析】过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，延长DM到G，使MG＝CE，连接BG．求证△BEC≌△BMG，△ABE≌△ABG，设CE＝x，在直角△ADE中，根据AE2＝AD2+DE2求x的值，可以求CE的长度．
【解答】解：过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，
延长DM到G，使MG＝CE，连接BG，
易知四边形BCDM是正方形，
则△BEC与△BGM中，
，
∴△BEC≌△BMG（SAS），
∴∠MBG＝∠CBE，BE＝BG，
∵∠ABE＝45°，
∴∠CBE+∠ABM＝∠MBG+∠ABM＝45°，
即∠ABE＝∠ABG＝45°，
在△ABE与△ABG中，
，
∴△ABE≌△ABG（SAS），
∴AG＝AE＝10，
设CE＝x，则AM＝10﹣x，
AD＝12﹣（10﹣x）＝2+x，DE＝12﹣x，
在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，
∴100＝（x+2）2+（12﹣x）2，
即x2﹣10x+24＝0；
解得：x1＝4，x2＝6．
故CE的长为4或6．
7．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．

【分析】（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．只要证明△EMD≌△ENF即可解决问题；
（2）只要证明△ADG≌△CDE，可得AG＝EC即可解决问题；
（3）如图，作EH⊥DF于H．想办法求出EH，HM即可解决问题；
【解答】解：（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF，
∴ED＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形．

（2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4．

（3）如图，作EH⊥DF于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，AB∥CD，
∵F是AB中点，
∴AF＝FB
∴DF＝＝2，
∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥AD，
∴DH＝HF，
∴EH＝DF＝，
∵AF∥CD，
∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，
∴FM＝，
∴HM＝HF﹣FM＝，
在Rt△EHM中，EM＝＝．
四边形综合问题训练
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AC交BC于点F，EF⊥BD于点F，则OE+EF的值为（　　）

A． B．2 C． D．2
【分析】依据矩形的性质即可得到△BOC的面积为2，再根据S△BOC＝S△BOE+S△COE，即可得到OE+EF的值．
【解答】解：∵AB＝2，BC＝4，
∴矩形ABCD的面积为8，AC＝＝＝2，
∴BO＝CO＝AC＝，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△BOC的面积为2，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△BOC＝S△BOE+S△COE，
2＝CO×EO+BO×EF，
∴2＝××EO+×EF，
∴（EO+EF）＝4，
∴EO+EF＝，
故选：A．
2．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（　　）

A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5
【分析】先由勾股定理求出AB＝5，再证四边形CEMF是矩形，得EF＝CM，当CM⊥AB时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，然后由三角形面积求出CM＝2.4，即可得出答案．
【解答】解：连接CM，如图所示：
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CEMF是矩形，
∴EF＝CM，
∵点P是EF的中点，
∴CP＝EF，
当CM⊥AB时，CM最短，
此时EF也最小，则CP最小，
∵△ABC的面积＝AB×CM＝AC×BC，
∴CM＝＝＝2.4，
∴CP＝EF＝CM＝1.2，
故选：A．
3．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是　 　．

【分析】根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．
【解答】解：如图：
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF．
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．
∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2．
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．
∴∠DP2P1＝90°．
∴∠DP1P2＝45°．
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长．
在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2，
∴BP1＝2
∴PB的最小值是2．
故答案是：2．
4．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E是AB的中点，直线l平行于直线EC，且直线l与直线EC之间的距离为2，点F在矩形ABCD边上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点A恰好落在直线l上，则DF的长为　 　．

【分析】当直线l在直线CE上方时，连接DE交直线l于M，只要证明△DFM是等腰直角三角形即可利用DF＝DM解决问题，当直线l在直线EC下方时，由∠DEF1＝∠BEF1＝∠DF1E，得到DF1＝DE，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，当直线l在直线CE上方时，连接DE交直线l于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC，
∵AB＝4，AD＝BC＝2，
∴AD＝AE＝EB＝BC＝2，
∴△ADE、△ECB是等腰直角三角形，
∴∠AED＝∠BEC＝45°，
∴∠DEC＝90°，
∵l∥EC，
∴ED⊥l，
∴EM＝2＝AE，
∴点A、点M关于直线EF对称，
∵∠MDF＝∠MFD＝45°，
∴DM＝MF＝DE﹣EM＝2﹣2，
∴DF＝DM＝4﹣2．
当直线l在直线EC下方时，
∵∠DEF1＝∠BEF1＝∠DF1E，
∴DF1＝DE＝2，
综上所述DF的长为2或4﹣2．
故答案为2或4﹣2．
5.如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N，G为MN的中点，GH⊥MN交CD于点H，且DM＝a，GH＝b，则CN的值为（用含a、b的代数式表示）（　　）

A．2a+b B．a+2b C．a+b D．2a+2b
【分析】连接DG并延长交CN于Q，求出NQ＝DM＝a，求出GH是△DQC中位线，代入求出即可．
【解答】
解：连接DG并延长交CN于Q，
∵DM⊥AN，GH⊥AN，CN⊥AN，
∴DM∥GH∥CN，
∵G为MN的中点，
∴DG＝GQ，DH＝HC，
∴GH＝CQ，
∵DM∥CN，
∴△DGM∽△QGN，
∴＝＝，
∴DM＝NQ＝a，
∴CQ＝CN﹣a，
∴b＝（CN﹣a），
∴CN＝2b+a，
故选：B．
6．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝10，BD＝24，则OE的长为　 　．

【分析】由菱形的性质和勾股定理求出CD＝13，证出平行四边形OCED为矩形，得OE＝CD＝13即可．
【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝5，OB＝OD＝BD＝12，
∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝13，
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝13，
故答案为：13．
7．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（　　）

A． B． C．5 D．4
【分析】根据菱形性质求出AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可．
【解答】解：设AC交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD，
∵AC＝8，DB＝6，
∴AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，
由勾股定理得：AB＝＝5，
∵S菱形ABCD＝，
∴，
∴DH＝，
故选：A．
8．如图，已知AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°．M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为　 　（结果留根号）．

【分析】连接PM、PN．首先证明∠MPN＝90°设PA＝2a，则PB＝8﹣2a，PM＝a，PN＝（4﹣a），构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
【解答】解：连接PM、PN．
∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP＝60°，
∴∠APC＝120°，∠EPB＝60°，
∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，
∴∠CPM＝∠APC＝60°，∠EPN＝∠EPB＝30°，
∴∠MPN＝60°+30°＝90°，
设PA＝2a，则PB＝8﹣2a，PM＝a，PN＝（4﹣a），
∴MN＝＝＝，
∴a＝3时，MN有最小值，最小值为2，
故答案为2．
9．如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM＝MN；②MP＝BD；③BN+DQ＝NQ；④为定值．其中一定成立的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【分析】由题可知A，B，N，M四点共圆，进而可得出∠ANM＝∠NAM＝45°，由等角对等边知，AM＝MN，故①正确；
由同角的余角相等知，∠HAM＝∠PMN，所以Rt△AHM≌Rt△MPN，即可得出结论，故②正确；
先由题意得出四边形SMWB是正方形，进而证出△AMS≌△NMW，因为AS＝NW，所以AB+BN＝SB+BW＝2BW，而BW：BM＝1：，所以＝＝，故④正确．
因为∠BAN+∠QAD＝∠NAQ＝45°，在∠NAM作AU＝AB＝AD，且使∠BAN＝∠NAU，∠DAQ＝∠QAU，所以△ABN≌△UAN，△DAQ≌△UAQ，有∠UAN＝∠UAQ＝90°，BN＝NU，DQ＝UQ，即可得出结论，故③正确；
【解答】解：如图：作AU⊥NQ于U，连接AN，AC，
∵∠AMN＝∠ABC＝90°，
∴A，B，N，M四点共圆，
∴∠NAM＝∠DBC＝45°，∠ANM＝∠ABD＝45°，
∴∠ANM＝∠NAM＝45°，
∴由等角对等边知，AM＝MN，故①正确．
由同角的余角相等知，∠HAM＝∠PMN，
∴Rt△AHM≌Rt△MPN
∴MP＝AH＝AC＝BD，故②正确，
∵∠BAN+∠QAD＝∠NAQ＝45°，
∴三角形ADQ绕点A顺时针旋转90度至ABR，使AD和AB重合，在连接AN，证明三角形AQN≌ANR，得NR＝NQ
则BN＝NU，DQ＝UQ，
∴点U在NQ上，有BN+DQ＝QU+UN＝NQ，故③正确．
如图，作MS⊥AB，垂足为S，作MW⊥BC，垂足为W，点M是对角线BD上的点，
∴四边形SMWB是正方形，有MS＝MW＝BS＝BW，
∴△AMS≌△NMW，
∴AS＝NW，
∴AB+BN＝SB+BW＝2BW，
∵BW：BM＝1：，
∴＝＝，故④正确．
故选：D．
10．【猜想】如图1，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交AD．BC于点E．F．若平行四边形ABCD的面积是8，则四边形CDEF的面积是　 　．

【探究】如图2，在菱形ABCD中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，若AC＝5，BD＝10，求四边形ABFE的面积．
【应用】如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，延长BC到点D，使DC＝BC，连接AD，若AC＝3，AD＝2，则△ABD的面积是　 　．
【分析】猜想：首先根据平行四边形的性质可得AD∥BC，OA＝OC．根据平行线的性质可得∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，进而可根据AAS定理证明△AEO≌△CFO，再根据全等三角形的性质可得结论；
探究：根据菱形的性质得到AD∥BC，AO＝CO＝AC＝2.5，BO＝BD＝5，根据全等三角形的判定定理得到△AOE≌△COF，由于AC⊥BD，于是得到结果；
应用：延长AC到E使CE＝AC＝3，根据全等三角形的判定定理得到△ABC≌△CDE，由全等三角形的性质得到∠E＝∠BAC＝90°，根据勾股定理得到DE＝，即可得到结论．
【解答】解：猜想：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC．
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，
在△AOE与△COF中，
，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴四边形CDEF的面积＝S△ACD＝▱ABCD的面积＝4；
故答案为：4；
探究：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AO＝CO．
∴∠OAE＝∠OCF，∠AEO＝∠CFO，
∴在△AOE与△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∵由菱形的对称性，得S△ABC＝S菱形ABCD，
∴S四边形ABFE＝S△ABC＝×AC•BD＝×5×10＝．

应用：延长AC到E使CE＝AC＝3，
在△ABC与△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（SAS），
∴∠E＝∠BAC＝90°，
∴DE＝，
∴S△ABD＝S△ADE＝AE•DE＝×6×2＝6．
故答案为：6