【重难点讲义】浙教版数学八年级下册-第03讲 一元二次方程单元分类总复习

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第3讲 一元二次方程单元分类总复习
考点一 一元二次方程及其解法
【知识点睛】
1. 一元二次方程的一般形式：
判断一元二次方程的特征：
2. 一元二次方程的解法：
解法
适用范围
步骤
直接
开方法
符合型
的一元二次方程
1) 两边分别开方，得：；
2) 两边同除以系数，得，
因式
分解法
化成一般形式后，“=”左边可以因式分解的一元二次方程
(1) 将一元二次方程化成一般是
(2) 将“=”左边的部分因式分解
(3) 让各部分因式分别=0
(4) 各部分因式分别=0的x的值即为方程的解

配
方
法

适用二次项系数为1的一元二次方程
1) 将一般形式的常数项移到“=”右边
2) 两边同时加上一次项系数一半的平方，得到式的一元二次方程
3) 利用直接开方法求解方程



公
式
法



适用所有一元二次方程
(1) 将方程写成一般式；
(2) 分别写出a、b、c的表达式，带入求出根的判别式的值；
(3) 将数据带入公式，得到方程的两个解
【易错警示】
Ø 判断方程是不是一元二次方程需要化简后再根据特征判断；
Ø 一元二次方程的解，要么无解，有解必有2个，所以最后的方程的解一定要写明x1、x2；
Ø 一元二次方程公式法也称万能公式，但是利用万能公式时一定要先写清楚其a、b、c以及b2-4ac的值，之后再带入计算；
【类题训练】
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．2x+y＝1 B．x＝3x3﹣2 C．x2﹣2＝0 D．3x＝1
【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．
【解答】解：A、2x+y＝1，是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B、x＝3x3﹣2，是一元三次方程，故本选项不符合题意；
C、x2﹣2＝0，是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、此方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．将一元二次方程（x+2）2＝5x﹣2化为一般形式后，对应的a，b，c的值分别是（　　）
A．a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2 B．a＝1，b﹣1，c＝6
C．a＝1，b＝﹣5，c＝6 D．a＝1，b＝﹣5，c＝2
【分析】按照要求将一元二次方程化成ax2+bx+c＝0的形式，然后确定a，b，c的值即可．
【解答】解：（x+2）2＝5x﹣2，
x2+4x+4﹣5x+2＝0，
x2﹣x+6＝0，
∴a＝1，b＝﹣1，c＝6．
故选：B．
3．关于x的方程（m﹣2）+x+1是一元二次方程，则m的值是（　　）
A．m≠2 B．m＝2 C．m＝﹣2 D．m＝±2
【分析】根据一元二次方程的定义得出m﹣2≠0且m2﹣2＝2，再求出m即可．
【解答】解：∵关于x的方程（m﹣2）+x+1是一元二次方程，
∴m﹣2≠0且m2﹣2＝2，
解得：m＝﹣2，
故选：C．
4．已知t为一元二次方程x2﹣1011x+2023＝0的一个解，则2t2﹣2022t值为（　　）
A．﹣2023 B．﹣2022 C．﹣4046 D．﹣4044
【分析】根据一元二次方程解的定义可得t2﹣1011t+2023＝0，求出t2﹣1011t＝﹣2023，然后将所求式子变形，再将t2﹣1011t＝﹣2023代入计算即可．
【解答】解：∵t为一元二次方程x2﹣1011x+2023＝0的一个解，
∴t2﹣1011t+2023＝0，
∴t2﹣1011t＝﹣2023，
∴2t2﹣2022t
＝2（t2﹣1011t）
＝2×（﹣2023）
＝﹣4046，
故选：C．
5．方程（x+1）2＝4的解为（　　）
A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝1，x2＝﹣1
【分析】首先直接开平方可得一元一次方程x+1＝±2，再解即可．
【解答】解：（x+1）2＝4，
x+1＝±2，
则x+1＝2，x+1＝﹣2，
∴x1＝1，x2＝﹣3，
故选：A．
6．小明解方程x2﹣2x﹣8＝0的过程如表所示，开始出现错误的是（　　）
x2﹣2x﹣8＝0
解：x2﹣2x＝8 第一步
x2﹣2x+1＝8+1 第二步
（x﹣1）2＝9 第三步
x＝4 第四步
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
【分析】利用配方法解方程的一般步骤求解．
【解答】解：x2﹣2x﹣8＝0，
x2﹣2x＝8，
x2﹣2x+1＝8+1，
（x﹣1）2＝9，
x﹣1＝±3，
所以x1＝4，x2＝﹣2，
所以第四步出现错误．
故选：D．
7．把方程x2+3x+1＝0的左边配方后可得方程（　　）
A． B． C． D．
【分析】首先把常数项1移项后，再在左右两边同时加上一次项系数3的一半的平方，继而可求得答案．
【解答】解：∵x2+3x+1＝0，
∴x2+3x＝﹣1，
∴x2+3x+＝﹣1+，
∴（x+）2＝．
故选：D．
8．如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　）
A．p2﹣4q≥0 B．p2﹣4q≤0 C．p2﹣4q＞0 D．p2﹣4q＜0
【分析】根据在Δ≥0的前提下用公式法解一元二次方程，即可确定答案．
【解答】解：∵a＝1，b＝p，c＝q，
∴Δ＝b2﹣4ac＝p2﹣4q≥0时，一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，
故选：A．
9．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2﹣11x+30＝0的解，则这个三角形的周长是（　　）
A．11 B．11或12 C．12 D．10
【分析】根据一元二次方程的解法即可求出第三边，然后根据三角形的三边关系即可求出周长．
【解答】解：由x2﹣11x+30＝0，
解得：x＝6或x＝5，
当第三边长为6时，
由三角形三边关系可知：2+4＝6，
故不能组成三角形，
当第三边为5时，
由三角形三边关系可知：4+2＞5，能够组成三角形，
∴这个三角形的周长为：2+4+5＝11，
故选：A．
10．方程（x﹣2）2＝3（x﹣2）的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝3 C．x1＝2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝5
【分析】首先移项，再提取公因式（x﹣2），进而分解因式得出即可．
【解答】解：（x﹣2）2＝3（x﹣2），
（x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣2﹣3）＝0，
解得：x1＝2，x2＝5．
故选：D．
11．在利用方程（x2+y2）2﹣3（x2+y2）﹣10＝0求x2+y2时，嘉琪令x2+y2＝m则原方程转化为 　m2﹣3m﹣10＝0　，聪明又谨慎的你可以利用m得到x2+y2的值为 　5　．
【分析】令x2+y2＝m，则原方程转化为m2﹣3m﹣10＝0，然后利用因式分解法求得m的值，进而即可求得x2+y2的值．
【解答】解：令x2+y2＝m，则原方程转化为m2﹣3m﹣10＝0，
整理得（m﹣5）（m+2）＝0．
解得m＝5或m＝﹣2．
因为x2+y2的值是非负数，
所以x2+y2的值为5．
故答案为：m2﹣3m﹣10＝0，5．
12．解方程：
（1）3x2﹣6x＝6x﹣12．
（2）2x2﹣4x﹣3＝0．
【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解；
（2）利用配方法解答，即可求解．
【解答】解：（1）3x2﹣6x＝6x﹣12
3x（x﹣2）＝6（x﹣2）
（3x﹣6）（x﹣2）＝0
（3x﹣6）＝0，
（x﹣2）＝0
解得：x1＝x2＝2；
（2）解：2x2﹣4x﹣3＝0

即：
∴
∴，．
13．用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣2）2＝1；
（2）3x2+2x＝2．
【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【解答】解：（1）∵（x﹣2）2＝1，
∴x﹣2＝1或x﹣2＝﹣1，
解得x1＝3，x2＝1；
（2）∵3x2+2x＝2，
∴3x2+2x﹣2＝0，
∴a＝3，b＝2，c＝﹣2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×3×（﹣2）＝28＞0，
∴，
解得．
14．用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣2x＝2x+1；
（2）x（2x+3）＝2x+3．
【分析】（1）根据配方法即可求出答案；
（2）根据因式分解法即可求出答案．
【解答】解：（1）x2﹣2x＝2x+1，
x2﹣2x﹣2x＝1，
x2﹣4x+4＝1+4，
（x﹣2）2＝5，
，
；
（2）x（2x+3）＝2x+3，
x（2x+3）﹣（2x+3）＝0，
（2x+3）（x﹣1）＝0，
2x+3＝0或x﹣1＝0，
．
15．解方程：
（1）x2﹣4x﹣12＝0；
（2）x2+2x﹣1＝0．
【分析】（1）根据因式分解法即可求出答案；
（2）根据配方法即可求出答案．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣12＝0，
（x+2）（x﹣6）＝0，
∴x+2＝0或x﹣6＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝6；
（2）x2+2x﹣1＝0，
x2+2x＝1，
x2+2x+1＝1+1，即（x+1）2＝2，
∴x+1＝±，
∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
16．阅读材料，解答问题：
为解方程x4﹣3x2+2＝0，我们将x2视为一个整体，
解：设x2＝y，则x4＝y2，
原方程可化为y2﹣3y+2＝0，
解得y1＝2，y2＝1，
当x2＝2时，，
当x2＝1时，x＝±1，
∴原方程的解为或x＝±1．
（1）上面的解题方法，利用 　换元　法达到了降幂的目的．
（2）依据此方法解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+6＝0．
【分析】（1）根据换元法解一元二次方程；
（2）根据换元法解一元二次方程即可求解．
【解答】解：（1）上面的解题方法，利用换元达到了降幂的目的，
故答案为：换元；
（2）解：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+6＝0，
设x2﹣1＝y，
原方程可化为y2﹣5y+6＝0，
解得y1＝2，y2＝3，
当x2﹣1＝2时，，
当x2﹣1＝3时，x＝±2，
∴原方程的解为或x＝±2．

考点二 根的判别式
【知识点睛】
对于一元二次方程的一般形式：，
(1) 方程有两个不相等的实数根
(2) 方程有两个相等的实数根
(3) 方程没有实数根
【易错警示】
Ø 在应用跟的判别式时，若二次项系数中含有字母，注意二次项系数不为0这一条件；
Ø 当时，可得方程有两个实数根，相等不相等未知
【类题训练】

1．关于一元二次方程x2+4x+3＝0根的情况，下列说法中正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【分析】求出方程判别式Δ的值，判断其与0的大小关系，再判断每个选项的说法正确与否即可．
【解答】解：根据题意有，
Δ＝42﹣4×1×3＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
2．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+n＝0无实数根，则n的值可以是（　　）
A．﹣3 B．0 C．4 D．5
【分析】根据Δ＝（﹣4）2﹣4n＜0求出n的取值范围，即可求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+n＝0没有实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4n＜0，
解得：n＞4，
故选：D．
3．下列一元二次方程没有实数根的是（　　）
A．x2+2x+1＝0 B．x2+x﹣2＝0 C．x2+x+1＝0 D．x2﹣2x﹣1＝0
【分析】求出每个方程的根的判别式，然后根据根的判别式的正负情况即可作出判断．
【解答】解：A．Δ＝22﹣4×1×1＝0，方程有两个相等实数根，此选项错误，不合题意；
B．Δ＝12﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，方程有两个不相等的实数根，此选项错误，不合题意；
C．Δ＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，方程没有实数根，此选项错误，符合题意；
D．Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误，不合题意．
故选：C．
4．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣1 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≤﹣1 D．k≤1且k≠0
【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）≥0，
解得k≥﹣1且k≠0．
故选：B．
5．已知方程□x2﹣4x+2＝0，在□中添加一个合适的数字，使该方程有两个不相等的实数根，则添加的数字可以是 　1（答案不唯一）　．（填写一个符合要求的数字即可）
【分析】由方程有两个不等实数根可得b2﹣4ac＞0，代入数据即可得出关于□的一元一次不等式，解不等式即可得出□的取值，根据□的值即可得出结论．
【解答】解：∵方程□x2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣8×□＞0，且□≠0，
解得□＜2，且□≠0．
故答案为：1（答案不唯一）．
6．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若a﹣b+c＝0，则它有一根为﹣1；
④若b＝2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；其中正确的 　②③④　．
【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
【解答】解：若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0，
∴c＝0或ac+b+1＝0，故①错误；
若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则﹣4ac＞0，
∴b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；
若a﹣b+c＝0，则ax2+bx+c＝a﹣b+c，即：ax2﹣a+bx+b＝0
∴a（x﹣1）（x+1）+b（x+1）＝0，即：（x+1）[a（x﹣1）+b]＝0，
∴它有一根为﹣1，故③正确；
若b＝2a+3c，则Δ＝b2﹣4ac＝（2a+3c）2﹣4ac＝4a2+8ac+9c2＝4a2+8ac+4c2+5c2，
即：Δ＝4（a+c）2+5c2，
∵a≠0，∴Δ＝4（a+c）2+5c2＞0，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，故④正确；
故答案为：②③④．
7．已知关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）取一个合适的k的值，使得方程的解为负整数并求出此时方程的解．
【分析】（1）根据方程有两个实数根可知△≥0，求出k的值即可；
（2）取k＝3或4，代入方程求出x的值即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个实数，
∴Δ＝16﹣4k≥0，
∴k≤4；
（2）取k＝3或4，
若k＝3时x1＝﹣1，x2＝﹣3，
若k＝4时x1＝x2＝﹣2．
8．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+3+k＝0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根小于0，求k的取值范围．
【分析】（1）根据一元二次方程总有两个实数根可知Δ≥0，求出△的值即可证得；
（2）利用十字相乘法解一元二次方程x2﹣（k+4）x+3+k＝0，得到x＝1或x＝k+3，根据此方程恰有一个根小于0，列不等式求解即可得到k的取值范围．
【解答】（1）证明：∵关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+3+k＝0，
∴a＝1，b＝﹣（k+4），c＝k+3，
∴Δ＝[﹣（k+4）]2﹣4×1×（k+3）
＝k2+8k+16﹣4k﹣12
＝k2+4k+4
＝（k+2）2≥0，
∴此方程总有两个实数根；
（2）解：∵x2﹣（k+4）x+3+k＝0，
∴（x﹣1）[x﹣（k+3）]＝0，
解得x＝1或x＝k+3，
∵此方程恰有一个根小于0，
∴k+3＜0，解得k＜﹣3．
9．对任意一个三位数k，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为快乐数”．例如：k＝123，因为，所以123是“快乐数”．
（1）请通过计算判断241是不是“快乐数”，并直接写出最大的“快乐数”；
（2）已知一个“快乐数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，a、b、c为自然数），且使关于x的一元二次方程ax2+2bx+c＝0有两个相等的实数根，若7≤a+b+c≤10，求满足条件的所有k的值．
【分析】（1）根据“快乐数”的定义解答即可；
（2）根据“快乐数”可得出b＝，根据一元二次方程根的情况可得b2＝ac，再结合7≤4+b+c≤10及1≤a、b、c≤9，a、b、c为自然数可得出a、b、C的值，最后结合“快乐数”的定义即可得出答案．
【解答】解：（1）∵≠4，
∴241不是“快乐数”，
∵各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，各个数位上
的数字最大为9，＝9，
∴最大的“快乐数”为999；
（2）∵k＝100a+10b+c为“快乐数”，
∴b＝，
∵关于x的一元二次方程ax2+2bx+c＝0有两个相等的实数根，
∴（2b）2﹣4ac＝0，
即b2＝ac，
∴，
解得：，
∴k＝100a+10b+c＝100×3+10×3+3＝333，
综上所述，满足条件的所有k的值为333，
∴满足条件的所有k的值为333．
考点三 根与系数的关系（韦达定理）
【知识点睛】
1.若一元二次方程的两个根为，则有，
2.两根关系的常见变形：


【类题训练】
1．若一元二次方程x2﹣2x+a＝0有一根为﹣1，则另一根为（　　）
A．5 B．﹣3 C．4 D．3
【分析】解法一：根据题意将x＝﹣1代入方程求出a的值，再解方程即可求解．
解法二：根据根与系数的关系的关系：，及可求即．
【解答】解法一：解：∵一元二次方程x2﹣2x+a＝0有一根为﹣1，
∴（﹣1）2﹣2×（﹣1）+a＝0，
∴a＝﹣3，
∴x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴另一根为3．
故选：D．
解法二：解：设一元二次方程x2﹣2x+a＝0的两根分别为x1＝﹣1，x2，
∴x1+x2＝2，
∴x2＝3，
故选：D．
2．下列一元二次方程中，两实数根之和为2的是（　　）
A．x2+2x+1＝0 B．x2﹣2＝0
C．﹣x2+2x﹣3＝0 D．x2﹣x﹣＝0
【分析】根据根与系数的关系，要使一元二次方程中，两实数根之和为2，必有△≥0且x1+x2＝﹣＝2，分别计算即可判断
【解答】解：A．方程x2+2x+1＝0的两根之和为﹣2，不符合题意；
B．方程x2﹣2＝0的两根之和为0，不符合题意；
C．方程﹣x2﹣2x+3＝0的两根之和为﹣2，不符合题意；
D．方程x2﹣x﹣＝0的两根之和为2，符合题意；
故选：D．
3．设a，b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为（　　）
A．﹣2022 B．2018 C．﹣2018 D．2022
【分析】利用根与系数的关系可得出a+b＝﹣1，ab＝﹣2020，再将其代入（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣（a+b）+1中即可求出结论．
【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，ab＝﹣2020，
∴（a﹣1）（b﹣1）
＝ab﹣（a+b）+1
＝﹣2020+1+1
＝﹣2018．
故选：C．
4．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1＝﹣3，x2＝10，则下列结论正确的是（　　）
A．b2﹣4ac＜0 B．b2﹣4ac＝0 C．b2﹣4ac＞0 D．b2﹣4ac≥0
【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根，确定出根的判别式的符号即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1＝﹣3，x2＝10，
即方程有两个不相等的实数解，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0．
故选：C．
5．设α、β是方程x2+2019x﹣2＝0的两根，则（α2+2022α﹣1）（β2+2022β﹣1）的值为（　　）
A．6076 B．﹣6074 C．6040 D．﹣6040
【分析】根据一元二次方程的解以及根与系数的关系即可得出α2+2019α﹣2＝0，β2+2019β﹣2＝0，α+β＝﹣2019，αβ＝﹣2，进而得出α2＝2﹣2019α，β2＝2﹣2019β，然后代入（α2+2022α﹣1）（β2+2022β﹣1）计算即可．
【解答】解：∵α、β是方程x2+2019x﹣2＝0的两根，
∴α2+2019α﹣2＝0，β2+2019β﹣2＝0，α+β＝﹣2019，αβ＝﹣2，
∴α2＝2﹣2019α，β2＝2﹣2019β，
∴（α2+2022α﹣1）（β2+2022β﹣1）
＝（2﹣2019α+2022α﹣1）（2﹣2019β+2022β﹣1）
＝（1+3α）（1+3β）
＝1+3（α+β）+9αβ
＝1+3×（﹣2019）+9×（﹣2）
＝﹣6074．
故选：B．
6．若m，n是一元二次方程x2+4x﹣9＝0的两个根，则m2+5m+n的值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．12
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，可得m+n＝﹣4，m2+4m＝9，再代入，即可求解．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+4x﹣9＝0的两个根，
∴m2+4m﹣9＝0，m+n＝﹣4，
∴m2+4m＝9，
∴m2+5m+n＝m2+4m+m+n＝9﹣4＝5．
故选：B．
7．一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0根的情况是（　　）
A．无实数根
B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于5
D．有两个正根，且有一根大于4
【分析】根据根的判别式判断根的情况，利用根与系数的关系，确定根的符号，进行判读即可．
【解答】解：x2﹣4x﹣1＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝16+4＝20＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
设方程的两个根为x1•x2，
则：x1+x2＝4，x1•x2＝﹣1，
∴方程的有一个正根，一个负根；
故选：B．
8．定义运算：a*b＝a（1﹣b），若a，b是方程的两根，则b*b﹣a*a的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
【分析】由根与系数的关系可找出a+b＝1，根据新运算找出b*b﹣a*a＝b（1﹣b）﹣a（1﹣a），将其中的1替换成a+b，即可得出结论．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x+m＝0（m＜0）的两根，
∴a+b＝1，
∴b*b﹣a*a＝b（1﹣b）﹣a（1﹣a）＝b（a+b﹣b）﹣a（a+b﹣a）＝ab﹣ab＝0．
故选：B．
9．若方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，则x12+x22的值为（　　）
A．4 B．6 C．18 D．16
【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2＝2，x1•x2＝﹣1，再根据完全平方公式变形，最后代入求出即可．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝﹣1，
∴x12+x22
＝（x1+x2）2﹣2x1•x2
＝22﹣2×（﹣1）
＝6，
故选：B．
10．设x1，x2是关于x的方程x2﹣kx﹣1＝0的两个根，且x1＝﹣x2，则k的值为 　0　．
【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2＝k，再由x1＝﹣x2，可求出k的值．
【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2﹣kx﹣1＝0的两个根，
∴x1+x2＝k，
∵x1＝﹣x2，
∴k＝0．
故答案为：0．
11．已知关于x的一元二次方程x2+mx+5＝0有两个实数根x1，x2．若x1，x2满足x1＝2|x2|﹣3，则m＝　　．
【分析】根据跟的判别式和根与系数的关系可得m2﹣4×5≥0，x1+x2＝﹣m，x1x2＝5，则或，当x2≥0时，x1＝2x2﹣3，联立，求出x1，x2，再根据x1+x2＝﹣m即可求出m的值；当x2＜0时，x1＝﹣2x2﹣3，联立，此时无解；以此即可求解．
【解答】解：∵一元二次方程x2+mx+5＝0有两个实数根x1，x2，
∴m2﹣4×5≥0，x1+x2＝﹣m，x1x2＝5，
∴或，
当x2≥0时，x1＝2x2﹣3，
，
解得：，（舍去），
∴，
∴m＝；
当x2＜0时，x1＝﹣2x2﹣3，
，
此时无解；
综上，m＝．
故答案为：．
12．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则＝　﹣3　．
【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2，x1x2，再化简分式，原式＝，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，
根据求根公式得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，
化简分式得：
原式＝＝＝＝﹣3．
故答案为：﹣3．
13．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根为﹣3，求m的值，并求另一根；
（3）若方程两根为x1，x2，且满足，求m的值．
【分析】（1）先计算Δ＝b2﹣4ac，再根据非负数的性质即可证明；
（2）将x＝﹣3代入方程中，可求出m的值，再解方程即可求得另一根；
（3）根据根与系数的关系可得x1+x2＝m+1，x1x2＝m，根据可得，再整体代入即可求解．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+1）2﹣4×1×m
＝m2+2m+1﹣4m
＝m2﹣2m+1
＝（m﹣1）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵方程有一根为﹣3，
∴（﹣3）2﹣（m+1）•（﹣3）+m＝0，
∴m＝﹣3，
∴x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
综上，m的值为﹣3，另一根为1；
（3）解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0的两根，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴m＝﹣．
14．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）﹣m2＝0．
（1）求证：无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程（x﹣3）（x﹣2）﹣m2＝0的两个实数根α、β满足α2+β2＝17，求m的值．
【分析】（1）先把方程（x﹣3）（x﹣2）﹣m2＝0，变形为x2﹣5x+6﹣m2＝0，得出Δ＝25﹣4（6﹣m2）＝1+4m2＞0，即可得出答案；
（2）先把方程（x﹣3）（x﹣2）﹣m2＝0，变形为x2﹣5x+6﹣m2＝0，然后计算两根之和以及两根之积，代入求值的代数式计算即可．
【解答】（1）证明：整理原方程得，x2﹣5x+6﹣m2＝0，
∴Δ＝25﹣4（6﹣m2）＝1+4m2
∵无论m为何实数，总有4m2≥0，从而1+4m2＞0，
即Δ＞0．
∴无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得方程（x﹣3）（x﹣2）﹣m2＝0整理得x2﹣5x+6﹣m2＝0，
∵方程（x﹣3）（x﹣2）﹣m2＝0的两个实数根α、β，
，α+β＝5，αβ＝6﹣m2，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝25﹣2（6﹣m2）＝13+2m2＝17，
∴解得．
15．已知t是实数，若a，b是关于x的一元二次方程x2﹣2x+t﹣1＝0的两个非负实根．
（1）a+b＝　2　；
（2）a×b＝　t﹣1　；（用t的代数式表示）
（3）求（a2﹣1）（b2﹣1）的最小值．
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可；
（3）由方程有两个非负实根可得Δ＞0，根据根于系数的关系，化简（a2﹣1）（b2﹣1）即可求解．
【解答】解：（1）∵a，b是方程x2﹣2x+t﹣1＝0的两个非负实根，
∴a+b＝﹣（﹣2）＝2，
故答案为：2；
（2）∵a，b是方程x2﹣2x+t﹣1＝0的两个非负实根，
∴a×b＝t﹣1，
故答案为：t﹣1；
（3）∵a，b是方程x2﹣2x+t﹣1＝0的两个非负实根，
∴，
解得1≤t≤2，
（a2﹣1）（b2﹣1）
＝（ab）2﹣（a2+b2）+1
＝（ab）2﹣（a+b）2+2ab+1
＝（t﹣1）2﹣4+2（t﹣1）+1
＝t2﹣4，
当t＝1时，（a2﹣1）（b2﹣1）取得最小值﹣3．
考点四 一元二次方程的实际应用
【类题训练】
1．某种药品经过两次降价后，由每盒50元下调至32元，若每次平均降价的百分率是x，则由题意可列方程为（　　）
A．32（1+x2）＝50 B．32（1+x）2＝50
C．50（1﹣x2）＝32 D．50（1﹣x）2＝32
【分析】关系式为：原价×（1﹣降低的百分率）2＝现价．
【解答】解：第一次降低后的价格为：50（1﹣x），
第二次降低后的价格为60（1﹣x）2，
∴可列方程为50（1﹣x）2＝32．
故答案为50（1﹣x）2＝32，
故选：D．
2．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为（　　）
A．（60﹣x）（200+8x）＝8450 B．（20﹣x）（200+x）＝8450
C．（20﹣x）（200+40x）＝8450 D．（20﹣x）（200+8x）＝8450
【分析】当店主把该商品每件售价降低x元时，每件的销售利润为60﹣x﹣40＝（20﹣x）元，每星期可卖出（200+8x）件，利用每星期的销售总利润＝每件的销售利润×每星期的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：当店主把该商品每件售价降低x元时，每件的销售利润为60﹣x﹣40＝（20﹣x）元，每星期可卖出（200+8x）件，
根据题意得：（20﹣x）（200+8x）＝8450．
故选：D．
3．如图，学校有一块空地，生物组老师带领学生开发出一块长为15米、宽为10米的矩形菜园作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟三条等宽的小道，要使种植面积为88平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（　　）

A．（15﹣x）（10﹣2x）＝88 B．15x+2×10x﹣2x2＝88
C．15×10﹣15x﹣11x+2x2＝88 D．（15﹣2x）（10﹣x）＝88
【分析】由小道的宽为x米，可得出种植菜园的部分可合成长为（15﹣2x）米，宽为（10﹣x）米的长方形，再根据种植面积为88平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵小道的宽为x米，
∴种植菜园的部分可合成长为（15﹣2x）米，宽为（10﹣x）米的长方形．
依题意得：（15﹣2x）（10﹣x）＝88．
故选：D．
4．用12m长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使该场地的面积为20m2，并且在垂直于墙的一边开一个1m长的小门（用其它材料），若设垂直于墙的一边长为xm，那么可列方程为（　　）

A． B．
C．x（12﹣2x+1）＝20 D．x（12﹣2x﹣1）＝20
【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（12﹣2x+1）m．根据矩形的面积公式建立方程即可．
【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为1m可以得出平行于墙的一边的长为（12﹣2x+1）m，由题意得x（12﹣2x+1）＝20，
故选：C．
5．某商场销售一批衬衣，平均每天售出30件，每件衬衣盈利50元．为了增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现，如果每件衬衣降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天盈利2000元，则每件衬衣应降价（　　）
A．10元 B．15元 C．20元 D．25元
【分析】利用平均每天售出的件数×每件盈利＝每天的利润列出方程解答即可．
【解答】解：设每件衬衫应降价x元．
根据题意得：（50﹣x）（30+2x）＝2000，
整理，得x2﹣35x+250＝0，
解得x1＝10，x2＝25，
∵题目要求扩大销售量，减少库存，
∴x1＝10应略去，
∴取x2＝25．
故选：D．
6．某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2020年约为12万人次，若2022年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为x，则可列方程 　12（1+x）2＝17　．
【分析】根据2020年及2022年的观赏人数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：由题意得：12（1+x）2＝17．
故答案为：12（1+x）2＝17．
7．已知一个矩形的周长为56cm．
（1）当该矩形的面积为180cm2时，求矩形的长．设矩形的长为xcm，则根据题意可列方程为 　　；
（2）该矩形的面积 　不能　．（填“能”或“不能”）为200cm2．
【分析】（1）根据周长等于长与宽的和的2倍，长与宽的积为面积变形计算即可．
【解答】解：（1）∵矩形的周长为56cm，矩形的长为xcm，
∴矩形的宽为，
∵矩形的面积为180cm2时，
∴，
故答案为：．
（2）不能，理由如下：
设矩形的面积为200cm2，
则x（28﹣x）＝200，
∴x2﹣28x+200＝0，
∴Δ＝（﹣28）2﹣800＝784﹣800＝﹣16＜0，
∴原方程无实数根，
∴矩形的面积不能为200cm2．
故答案为：不能．
8．如图，在△ABC中，AB＝3cm，BC＝6cm，AC＝5cm，蚂蚁甲从点A出发，以2.5cm/s的速度沿着三角形的边按A→B→C→A的方向行走，甲出发1s后蚂蚁乙从点A出发，以2cm/s的速度沿着三角形的边按A→C→B→A的方向行走，那么甲出发 　3　s后，甲乙第一次相距2.5cm．

【分析】设甲出发xs后，甲乙第一次相距2.5cm，根据甲乙第一次相距2.5cm可得2.5x+2（x﹣1）+2.5＝3+6+5，即可解得答案．
【解答】解：设甲出发xs后，甲乙第一次相距2.5cm，
根据题意得：2.5x+2（x﹣1）+2.5＝3+6+5，
解得x＝3，
故答案为：3．
9．某医药商店销售一款口罩，每袋成本价为30元，按物价部门规定，每袋售价大于30元但不得高于60元，且为整数．经市场调查发现，当售价为40元时，日均销售量为100袋，在此基础上，每袋售价每增加1元，日均销售量减少5袋；每袋售价每减少1元，日均销售量增加5袋．设该商店这款口罩售价为x元．
（1）若该商店这款口罩日均销售额为2500元，求x的值；（销售额＝销售量×售价）
（2）是否存在x的值，使得该商店销售这款口罩的日均毛利润为1200元？若存在，求出x的值；若不存在，则说明理由．（毛利润＝销售量×（售价﹣成本价））
【分析】（1）根据题意列出一元二次方程求解即可；
（2）由利润列出一元二次方程，然后由根的判别式即可得出结果．
【解答】解：（1）根据题意，得x[100﹣5（x﹣40）]＝2500，
解得x1＝10，x2＝50，
又∵30＜x≤60，
∴x＝50，
答：x的值为50；
（2）根据题意，得（x﹣30）[100﹣5（x﹣40）]＝1200，
整理，得x2﹣90x+2040＝0，
∴Δ＝（﹣90）2﹣4×1×2040＝﹣60＜0，
∴此方程无解，
∴不存在x的值，使得该商店销售这款口罩的日均毛利润为1200元．
10．今年国庆期间，某商场经营一种文具，进价为每个30元，试营销阶段发现：当销售单价定为40元时，每天能销售30个．
（1）当销售单价每上涨1元时，每天的销售量将减少1个．请问当销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润为400元？
（2）为了回馈广大顾客，同时提高该文具的知名度，商场营销部决定在11月11日（双十一）当天开展特别降价促销活动，若每件的销售单价在（1）的基础上降价m%，则可多售出2m%，为了使一天的销售额为1120元，求m的最大值．
【分析】（1）设当销售单价为x元时，根据该文具每天的销售利润为400元，列一元二次方程，求解即可；
（2）根据为了使一天的销售额为1120元，列一元二次方程，求解即可．
【解答】解：（1）设当销售单价为x元时，该文具每天的销售利润为400元，
根据题意，得（x﹣30）[30﹣（x﹣40）]＝400，
化简得：x2﹣100x+2500＝0，
解得：x1＝x2＝50，
答：当销售单价为50元时，该文具每天的销售利润为400元；
（2）当x＝50元时，30﹣（50﹣40）＝20（个），
根据题意，得50（1﹣m%）×20（1+2m%）＝1120，
解得m＝20或m＝30，
∴m的最大值为30．
11．甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．
说明：①汽车数量为整数；②月利润＝月租车费﹣月维护费；③两公司月利润差＝月利润较高公司的利润﹣月利润较低公司的利润．
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是 　 　元；当每个公司租出的汽车为 　 　辆时，两公司的月利润相等；
（2）求租出汽车多少辆时，两公司月利润差恰为18400元？
【分析】（1）用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金，再乘以10，减去维护费用可得甲公司的月利润；设每个公司租出的汽车为x辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果；
（2）设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，由（1）可得y甲和y乙的表达式，再分甲公司的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况，列出y关于x的表达式，根据题意列出方程，并解答．
【解答】解：（1）[（50﹣10）×50+3000]×10﹣200×10＝48000元，
当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；
设每个公司租出的汽车为x辆，
由题意可得：[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x＝3500x﹣1850，
解得：x＝37或x＝﹣1（舍），
∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等．
故答案是：48000；37；

（2）设每个公司租出的汽车为x辆，两公司的月利润分别为y甲，y乙，
则y甲＝[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x，
y乙＝3500x﹣1850．
当甲公司的利润大于乙公司时，0＜x＜37，
y甲﹣y乙＝18400，即[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x﹣（3500x﹣1850）＝﹣50x2+1800x+1850＝18400，
整理，得x2﹣36x+331＝0
此方程无解．故此情况不存在；
当乙公司的利润大于甲公司时，37＜x≤50，
y乙﹣y甲＝18400，即3500x﹣1850﹣[（50﹣x）×50+3000]x+200x＝50x2﹣1800x﹣1850＝18400，
整理，得（x﹣45）（x+9）＝0，
解得x1＝45，x2＝﹣9（舍去）
所以当每个公司租出的汽车为45辆时，两公司月利润差恰为18400元．