【重难点讲义】浙教版数学七年级上册-第10讲 《实数》综合训练

第10讲  《实数》综合训练

【类题训练】

1．下列说法正确的是（　　）

A．0的平方根是0         B．1的平方根是1 

C．﹣1的平方根是﹣1     D．0.01是0.1的一个平方根

【分析】根据平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．可得答案．

【解答】解：A.0的平方根是0，正确，此选项符合题意；

B.1的平方根是±1，此选项不符合题意；

C．﹣1没有平方根，此选项不符合题意；

D.0.01是0.0001的一个平方根，此选项不符合题意．

故选A．

2．在数，1.010010001，，0，﹣2π，﹣2.62662666…，3.1415中，无理数的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数判断即可．

【解答】解：在数，1.010010001，，0，﹣2π，﹣2.62662666…，3.1415中，无理数有﹣2π，﹣2.62662666…，共2个．

故选：B．

3．下列各组数中互为相反数的是（　　）

A．﹣2与 B．﹣2与 C．﹣2与 D．|﹣2|与2

【分析】根据算术平方根，立方根，绝对值的定义，化简各选项的值，从而做出判断．

【解答】解：A选项是﹣2与2，互为相反数，符合题意；

B选项是﹣2与﹣2，不是相反数，不符合题意；

C选项﹣2的相反数应该是2，不是相反数，不符合题意；

D选项2与2，不是相反数，不符合题意．

故选：A．

4．下列运算或叙述正确的是（　　）

A．                    B．4的平方根是± 

C．面积为12的正方形的边长为2    D．＝±2

【分析】A：被开方数不同，不能合并二次根式；

B：4的平方根是±2；

C：边长＝＝2；

D：正数的算术平方根只有一个正数．

【解答】解：A：被开方数不同，不能合并二次根式，∴不合题意；

B：4的平方根是±2，∴不合题意；

C：面积为12的正方形的边长为2，∴符合题意；

D：＝2，∴不合题意；

故选：C．

5．的平方根是（　　）

A．﹣ B． C． D．

【分析】先根据乘方的定义得出（﹣）2＝，再利用平方根的概念求解可得．

【解答】解：∵（﹣）2＝，

∴的平方根是，

故选：C．

6．下列各数中，没有平方根的是（　　）

A．﹣22 B．（﹣2）2 C．﹣（﹣2） D．|﹣2|

【分析】根据平方根的性质即可进行求解．

【解答】解：A、﹣22＝﹣4，负数没有平方根，符合题意；

B、（﹣2）2＝4，正数有两个平方根，不符合题意；

C、﹣（﹣2）＝2，正数有两个平方根，不符合题意；

D、|﹣2|＝2，正数有两个平方根，不符合题意；

故选：A．

7．下列说法中，正确的是（　　）

A．a2与（﹣a）2互为相反数 B．与互为相反数 

C．与互为相反数     D．|a|与|﹣a|互为相反数

【分析】根据二次根式的性质，立方根，绝对值，平方运算，进行计算即可解答．

【解答】解：A、a2＝（﹣a）2，故A不符合题意；

B、＝，故B不符合题意；

C、∵＝﹣，

∴与互为相反数，

故C符合题意；

D、|a|＝|﹣a|，故D不符合题意；

故选：C．

8．下列命题中正确的是（　　）

①0.027的立方根是0.3；②不可能是负数；③如果a是b的立方根，那么ab≥0；④一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1．

A．①③ B．②④ C．①④ D．③④

【分析】①根据立方根的定义即可判定；

②根据立方根的性质即可判定；

③根据立方根的性质即可判定；

④利用平方根和立方根的定义即可判定．

【解答】解：∵①0.027的立方根是0.3，故说法正确；

②当a＜0时，是负数，故说法错误；

③如果a是b的立方根，那么ab≥0（a、b同号），故说法正确；

④一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是0，故说法错误．

所以①③正确．

故选：A．

9．下列说法中正确的有（　　）个．

（1）实数不是有理数就是无理数．（2）无限小数都是无理数．（3）无理数都是无限小数．

（4）带根号的数都是无理数．（5）两个无理数之和一定是无理数．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】利用实数、有理数、无理数的定义，逐个判断得结论．

【解答】解：有理数和无理数统称实数，故（1）说法正确；

无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，故（2）说法错误；

无理数都是无限小数，故（3）说法正确；

、等数虽然带根号，但它们都不是无理数，故选项（4）说法错误；

π+（﹣π）＝0，所以两个无理数之和不一定是无理数，故选项（5）说法错误．

故选：B．

10．若，则的值为（　　）

A．5 B．15 C．25 D．﹣5

【分析】根据非负数的性质即可求出x与y的值，然后代入原式即可求出答案．

【解答】解：由题意可知：x﹣5＝0，y+25＝0，

∴x＝5，y＝﹣25，

∴＝＝﹣5，

故选：D．

11．下列式子中计算结果与其它的不相同的是（　　）

A． B． C．﹣（﹣2） D．﹣|﹣2|

【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．

【解答】解：A、原式＝2；

B、原式＝2；

C、原式＝2；

D、原式＝﹣2，

则计算结果与其它的不相同的是﹣2．

故选：D．

12．设某代数式为A，若存在实数x0使得代数式A的值为负数，则代数式A可以是（　　）

A．|3﹣x| B．x2+x C． D．x2﹣2x+1

【分析】首先根据对于任意的x，都有|3﹣x|≥0，，x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0，所以对于任意的实数x0，代数式A的值都为非负数；然后判断出x2+x＝（x+0.5）2﹣0.25，对于任意的x的取值，代数式A的值可以为正数、负数或0，即存在实数x0使得代数式A的值为负数，据此解答即可．

【解答】解：对于任意的x，都有|3﹣x|≥0，，x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0，

因为x2+x＝（x+0.5）2﹣0.25，

所以对于任意的x的取值，代数式A的值可以为正数、负数或0，

即存在实数x0使得代数式A的值为负数．

故选：B．

13．已知实数a满足，那么a﹣20222的值是（　　）

A．2023 B．2022 C．2021 D．2020

【分析】根据二次根式有意义的条件可得出a≥2023，然后根据绝对值的性质对原等式进行化简即可求出答案．

【解答】解：∵a﹣2023≥0，

∴a≥2023，

∴2022﹣a≤﹣1，

∴a﹣2022+＝a，

∴＝2022，

∴a﹣2023＝20222，

∴a﹣20222＝2023，

故选：A．

14．计算的结果是 　 　，4的平方根是 　  　，8的立方根是 　  　．

【分析】根据算术平方根的定义、平方根的定义、立方根的定义解决此题．

【解答】解：，，．

故答案为：2，±2，2．

15．比较大小：3　  　5．（填“＞”、“＝”或“＜”）

【分析】运用平方法，将3和5分别平方即可比较大小．

【解答】解：∵3＞0，5＞0，

又∵（3）2＝45，（5）2＝50，

∴3＜5．

故答案为：＜．

16．的整数部分为a，则的平方根是 　   　．

【分析】直接估算无理数的大小得出a的值，再利用平方根的定义得出答案．

【解答】解：∵9＜＜10，

∴a＝9，

则＝3的平方根是±．

故答案为：±．

17．把无理数﹣表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 　   　．

【分析】估算无理数的大小即可得出答案．

【解答】解：﹣＜0，不符合题意；

∵4＜5＜9，

∴2＜＜3，不符合题意；

∵9＜11＜16，

∴3＜＜4，符合题意；

∵16＜17＜25，

∴4＜＜5，不符合题意；

故答案为：．

18．已知x3﹣27＝0．

（1）x的值为 　  　；

（2）x的算术平方根为 　  　．

【分析】（1）利用立方根的意义求得x的值；

（2）利用算术平方根的意义解答即可．

【解答】解：（1）∵x3﹣27＝0，

∴x3＝27．

∴x＝3．

故答案为：3；

（2）3的算术平方根为．

故答案为：．

19．阅读下面的文字，解答问题．例如：∵，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为，请解答：

（1）的整数部分是 　  　．

（2）5﹣的小数部分是 　    　．

【分析】（1）估算无理数的大小即可；

（2）先估算无理数的大小，再得到5﹣的取值范围．

【解答】解：（1）∵＜，即3＜＜4，

∴的整数部分为3，

故答案为：3；

（2）∵3＜＜4，

∴﹣4＜﹣＜﹣3，

∴1＜5﹣＜2，

∴5﹣的小数部分为5﹣﹣1＝4﹣，

故答案为：4﹣．

20．计算﹣22++＝　     　．

【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．

【解答】解：﹣22++

＝﹣4+（﹣3）+2﹣（﹣1）

＝﹣4﹣3+2﹣+1

＝﹣4﹣，

故答案为：﹣4﹣．

21．如果，则2x+6的算术平方根为 　  　．

【分析】根据立方根的定义，可求出x的值，进而求出2x+6的值，最后再求2x+6的算术平方根即可．

【解答】解：∵，

∴3﹣6x＝﹣27，

∴x＝5，

∴2x+6＝16，

∴＝＝4，

故答案为：4．

22．若|x3+8|+＝0，则xy＝　  　．

【分析】根据非负数的性质可以求得x、y的值，从而可以求得xy的值．

【解答】解：由题意得，x3+8＝0，y﹣2＝0，

解得x＝﹣2，y＝2，

所以，xy＝（﹣2）2＝4．

故答案为：4．

23．求下列各式中的x的值：

（1）（3x+1）2﹣1＝0；    （2）（x﹣2）3＝27．

【分析】（1）根据等式的性质，平方根的定义进行解答即可；

（2）根据立方根的定义得出x﹣2＝3，进而求出答案．

【解答】解：（1）移项得，（3x+1）2＝1，

由平方根的定义得，3x+1＝±1，

解得x＝0或﹣；

（2）由立方根的定义得，x﹣2＝3，

解得x＝5．

24．计算：

（1）计算：﹣+|﹣2|+；

（2）已知x是﹣27的立方根，y是13的算术平方根，求x+y2+6的平方根．

【分析】（1）直接利用二次根式的性质以及立方根的定义、绝对值的性质分别化简，进而合并得出答案；

（2）直接利用立方根的定义以及算术平方根的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案．

【解答】解：（1）原式＝2﹣5+2﹣+

＝﹣1；

（2）∵x是﹣27的立方根，

∴x＝﹣3，

∵y是13的算术平方根，

∴y＝，

∴x+y2+6＝﹣3+13+6＝16，

∴x+y2+6的平方根为：±4．

25．求下列各式的值

（1）﹣﹣   

（2）﹣12+（﹣2）3×．

（3）．

（4）；

（5）．

【分析】（1）原式利用平方根、立方根定义计算即可得到结果；

（2）原式利用乘方的意义，平方根、立方根定义，以及乘法法则计算即可得到结果．

（3）直接利用立方根的性质、绝对值的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案．

（4）直接利用立方根的性质、二次根式的性质分别化简，进而计算得出答案；

（5）直接利用绝对值的性质、立方根的性质分别化简，进而计算得出答案．

【解答】解：（1）原式＝3﹣6+3＝0；

（2）原式＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3．

（3）原式＝9+5﹣4+9＝19．

（4）原式＝﹣3+0.4﹣＝﹣4；

（5）原式＝﹣++2

＝+2．

26．阅读材料：

∵＜＜，即2＜＜3，

∴1＜﹣1＜2，

∴的整数部分为1，

∴的小数部分为﹣2．

解决问题：已知a是﹣3的整数部分，b是﹣3的小数部分．

（1）求a，b的值；

（2）求（﹣a）3+（b+4）2的平方根，提示：（）2＝17．

【分析】（1）先估算出的值，即可解答；

（2）把a，b的值代入式子中进行计算，即可解答．

【解答】解：（1）∵16＜17＜25，

∴4＜＜5，

∴1＜﹣3＜2，

∴﹣3的整数部分是1，﹣3的小数部分是﹣4，

∴a＝1，b＝﹣4，

∴a的值为1，b的值为﹣4；

（2）当a＝1，b＝﹣4时，

（﹣a）3+（b+4）2＝（﹣1）3+（﹣4+4）2

＝﹣1+17

＝16，

∴（﹣a）3+（b+4）2的平方根是±4．

27．阅读下面的文字，解答问题．

对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数；用{a}表示a减去[a]所得的差．

例如：[]＝1，[2.2]＝2，{}＝﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2．

（1）仿照以上方法计算：[]＝　 　{5﹣}＝　    　；

（2）若[]＝1，写出所有满足题意的整数x的值：　    　．

（3）已知y0是一个不大于280的非负数，且满足{}＝0．我们规定：y1＝[]，y2＝[]，y3＝[]，…，以此类推，直到yn第一次等于1时停止计算．当y0是符合条件的所有数中的最大数时，此时y0＝　   　，n＝　   　．

【分析】（1）依照定义进行计算即可；

（2）由题可知，0＜x＜4，则可得满足题意的整数的x的值为1、2、3；

（3）由{}＝0，可知，y0是某个整数的平方，又y0是符合条件的所有数中最大的数，则y0＝256，再依次进行计算．

【解答】解：（1）由定义可得，[]＝2，[5﹣]＝2，

∴{5﹣}＝3﹣．

故答案为：2；3﹣．

（2）∵[]＝1，

∴[]＜2，即0＜x＜4，

∴整数x的值为1、2、3．

故答案为：1、2、3．

（3）∵{}＝0，即{}＝﹣[]＝0，

∴可设＝t2，且t是自然数，

∴y0是符合条件的所有数中的最大数，

∴y0＝256，

∴y1＝[]＝[16]＝16，

y2＝[]＝[4]＝4，

y3＝[]＝[2]＝2，

y4＝[]＝[]＝1，

即n＝4．

故答案为：256，4．

28．（1）如图1，分别把两个边长为1cm的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形拼成一个大正方形，则大正方形的边长为 　 　cm；

（2）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是2πcm2，设圆的周长为C圆，正方形的周长为C正，则C圆　 　C正（填“＝”或”＜”或“＞“号）

（3）如图2，若正方形的面积为400cm2，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长和宽之比为5：4，他能裁出吗？请说明理由？

【分析】（1）根据算术平方根的定义求解即可；

（2）分别求出圆的半径，正方形的边长，进而求出圆周长，正方形的周长，比较得出答案；

（3）求出长方形的长、宽以及正方形的边长，比较长方形的长与正方形边长的大小，得出结论．

【解答】解：（1）由题意得，大正方形的面积为2cm2，因此边长为cm，

故答案为：；

（2）设圆的半径为rcm，

则πr2＝2π，

∴r＝，

∴圆的周长为2＝2π（cm），

设正方形的边长为a，

则a2＝2π，

∴a＝，

∴正方形的周长为4a＝4（cm），

∵2π＝＝，4＝＝，而π＜4，

∴＜，

即2π＜4，

也就是C圆＜C正方形，

故答案为：＜；

（3）能，理由如下：

设长方形的长为5xcm，则宽为4xcm，由题意可得，

5x•4x＝300，

∴x＝，

即长为5cm，宽为4cm，

而面积为400cm2的边长为cm，

∵5＝＜

∴能裁出一块面积为300cm2的长方形纸片．