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初中数学人教版八年级下册19.2.2 一次函数精品一课一练
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这是一份初中数学人教版八年级下册19.2.2 一次函数精品一课一练，文件包含1923一次函数与方程不等式原卷版docx、1923一次函数与方程不等式解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共113页， 欢迎下载使用。
2022-2023学年人教版数学八年级下册同步重难点精讲精练培优讲义
19.2.3 一次函数与方程、不等式
1. 能用函数观点看一次方程（组），能用辨证的观点认识一次函数与一次方程的区别与联系.
2. 在解决简单的一次函数的问题过程中，建立数形结合的思想及转化的思想．
3．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想．
4．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题．
知识点01：一次函数与一元一次方程的关系
一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.
从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值.
知识点02：一次函数与二元一次方程组
每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.
知识要点：
1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解.
2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立.
3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.
知识点03：方程组解的几何意义
1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．
2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况：
根据交点的个数，看出方程组的解的个数；
根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．
3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．
知识点04：一次函数与一元一次不等式
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.
知识要点：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0.从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.
知识点05：一元一次方程与一元一次不等式
我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.
知识点06：如何确定两个不等式的大小关系
（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．
【典例分析01】（2023春·八年级课时练习）如图所示，一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点，下列判断错误的是（ ）
A．关于的方程的解是
B．关于的不等式的解集是
C．当时，函数的值比函数的值大
D．关于的方程组 的解是
【答案】B
【思路点拨】根据条件结合图象对各选项进行判断即可．
【规范解答】解：一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点，
关于的方程的解是，选项A判断正确，不符合题意；
关于的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意；
当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意；
关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意；
故选：B．
【考点评析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，知道方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解题的关键．
【变式训练01】（2022秋·辽宁·八年级校考期末）如图，一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则下列说法：
①y随x的增大而减小；
②；
③关于x的方程的解为；
④当时，．其中不正确的是___________．（请你将不正确序号填在横线上）
【变式训练02】（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）关于x的一元一次方程的解是，则直线的图像与x轴的交点坐标是（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练03】（2023秋·陕西宝鸡·八年级统考期末）一次函数中，x与y的部分对应值如下表所示，则下列说法正确的是（ ）
1
2
5
2
A．x的值每增加1，y的值增加3，所以 B．是方程的解
C．函数图象不经过第四象限 D．当时，
【典例分析02】（2022秋·河北保定·八年级保定市第十七中学校考期末）如图，点A的坐标为，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B在直线上运动．当线段最短时，求点B的坐标（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路点拨】当线段最短时，，判定出是等腰直角三角形，得出，作于点H，根据三线合一的性质和直角三角形斜边的中线的性质，得出，进而得出，即点的横坐标，然后把点的横坐标代入，即可得出点B的坐标．
【规范解答】解：当线段最短时，，
∵直线为，
∴当时，；当时，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
作于点H，
则，
∴，
即点的横坐标为，
把点的横坐标代入，可得：，
∴．
故选：C．
【考点评析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线，正确作出辅助线是解答本题的关键．
【变式训练04】（2022秋·安徽马鞍山·八年级校考期中）已知一次函数的图象经过一、二、三象限，且与x轴交于点，则不等式的解集为_______________．
【变式训练05】（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，它与坐标轴分别交于、两点，已知点的纵坐标为．
(1)求出A点的坐标．
(2)在第一象限的角平分线上是否存在点使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P为y轴上一点，连结AP，若，求点P的坐标．
【变式训练06】（2023秋·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，点C是x轴上一动点（不与点O，A重合），连结BC，作，且，过点D作轴，垂足为点E．
(1)求点A，B的坐标．
(2)若点C在线段上，连结，猜想的形状，并证明结论．
(3)若点C在x轴上，点D在x轴下方，是以为底边的等腰三角形，求点D的坐标．
【典例分析03】（2022秋·全国·八年级专题练习）一次函数的图象如图所示，则关于x的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路点拨】根据图象得出一次函数的图象与x轴的交点坐标，即可得出方程的解．
【规范解答】解：∵直线与x轴交点坐标为，
∴的解为，
故选：B．
【考点评析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，关键是正确利用解答．
【变式训练07】．（2022秋·陕西西安·八年级交大附中分校校考期末）如图，已知直线，则方程的解为__________．
【变式训练08】（2023秋·山东济南·八年级校考期末）如图，直线和直线相交于点P，根据图象可知，关于x的方程的解是______．
【变式训练09】（2022秋·广西梧州·八年级统考期中）画出函数的图象，利用图象：
（1）求方程的解；
（2）求不等式的解集；
（3）若，求x的取值范围．
【典例分析04】（2023秋·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数经过A，B两点，若点B的坐标为，则不等式的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路点拨】从图象上得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式的解集．
【规范解答】解：一次函数的图象经过点，且函数值y随x的增大而减小，
∴不等式的解集是．
故选：D．
【考点评析】此题考查一次函数问题，正确理解图象，函数图象在x轴上方，即函数值大于0；在下方时，函数值小于0；图象在y轴左侧的部分函数的自变量x小于0，在右侧则自变量大于0．
【变式训练10】（2023春·全国·八年级专题练习）画出函数的图象，利用图象：
(1)求方程的解；
(2)求不等式的解集；
(3)若，求x的取值范围．
【变式训练11】（2022春·广东广州·八年级校考期中）已知一次函数，
……
……
……
……
(1)选取适当的数据填入表格，并在所给平面直角坐标系内描点画出该函数的图象．
(2)根据图象回答：当x 时，．
(3)已知直线和直线，则两直线与x轴围成的图形的面积为 ．
【变式训练12】（2022秋·广西百色·八年级统考期中）已知一次函数的图象如图所示．
(1)请在图中作出函数的图象；
(2)利用图象解答问题：
①求关于x、y的方程组的解；
②求关于x的不等式组的解集．
【典例分析05】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，直线经过点和点，直线过点 A．
(1)求直线的函数表达式；
(2)请根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
【思路点拨】（1）用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据题意，要求的不等式的解集是B点右侧、A点左侧对应的自变量的取值范围，据此即可求解．
【规范解答】（1）解：∵直线经过点和点，
∴，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：由图象可得，不等式的解集为：．
【考点评析】本题主要考查了求一次函数解析式，解不等式组，解题的关键是熟练掌握待定系数法，准确求出函数解析式．
【变式训练13】（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，直线与过点的直线交于点，与x轴交于点B．
(1)求直线的解析式；
(2)过动点且垂直于x轴的直线与，的交点分别为M，N，当点M位于点N上方时．
①请直接写出n的取值范围______；
②若，求点M的坐标．
【变式训练14】（2023秋·广东深圳·八年级深圳外国语学校校考期末）如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，且点的坐标为，
(1)求的值；
(2)若函数的函数值不大于函数的函数值，直接写出的取值范围______；
(3)求的面积．
【典例分析06】（2023秋·江苏·八年级统考期末）如图，已知直线（是常数）与直线（常数）交于点，则关于的二元一次方程组的解是______．
【答案】
【思路点拨】先根据直线（是常数）与直线（常数）交于点求出的值，从而得到，联立求解即可得到答案．
【规范解答】解：直线（是常数）与直线（常数）交于点，
，，
解得：，，
直线，直线，
，
，
解得：，
关于的二元一次方程组的解是，
故答案为：．
【考点评析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
【变式训练15】（2023秋·江西九江·八年级统考期末）如图，函数和的图象相交于点P，则关于x，y的二元一次方程组的解是________．
【变式训练16】（2023秋·河北邯郸·八年级统考期末）A、B两地相距、甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地，其中甲先出发．如图是甲，乙行驶路程，随行驶时间变化的图象请结合图象信息，回答下列问题：
（1）甲的速度为___________：
（2）写出与x之间的关系式___________；
（3）点C的坐标为___________．
【变式训练17】（2022春·吉林长春·八年级校考阶段练习）定义：对于给定的一次函数，把形如的函数称为一次函数的衍生函数,已知矩形的顶点坐标分别为，，，．
(1)已知函数．
①在网格中画出该函数的衍生函数图象．
②若点在这个一次函数的衍生函数图象上，则 ．
③若点在这个一次函数的衍生函数图象上，则 ．
④这个一次函数的衍生函数图象与矩形的边的交点坐标分别为 ．
(2)当函数的衍生函数的图象与矩形有个交点时，的取值范围是 ．
【典例分析07】（2022秋·安徽蚌埠·八年级校考期中）用图象法解二元一次方程组：
【答案】
【思路点拨】根据题意，可得方程组的解为直线与直线的交点，在同一坐标系画出两个一次函数的图象，交点坐标即为方程组的解．
【规范解答】解：，即
依题意，方程组的解为直线与直线的交点，
如图所示，
∴的解为．
【考点评析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键．
【变式训练18】（2023·全国·八年级专题练习）图象法解方程组．
【变式训练19】（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期末）在函数学习中，我们通过列表—描点—连线的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．根据学习函数的经验，探究函数的图象和性质，已知该函数图象经过点与点．
(1)由题意可知， ______， ______；
(2)请在给出的平面直角坐标系中（每个小正方形的边长为一个单位长度），用你喜欢的方法画出该函数的图象，并写出这个函数的一条性质；
(3)直线与这个函数的图象有两个交点，请直接写出t的取值范围．
【变式训练20】（2022秋·安徽·八年级统考期末）在直角坐标系内，已知直线，请画出直线，并由图象解答：
(1)写出方程组的解；
(2)写出不等式的解集．
【典例分析08】（2023春·江苏泰州·八年级校考周测）如图，一次函数的图象与x轴相交于点B，与过点的一次函数的图象相交于点．
(1)求一次函数图象相应的函数表达式；
(2)求的面积．
【答案】(1)；
(2)12
【思路点拨】（1）把点代入即可求得m的值，根据待定系数法即可求解；
（2）求得B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可．
【规范解答】（1）解：（1 ）∵点在一次函数的图象上，
∴，
∴点，
设一次函数图象相应的函数表达式为，
把点，代入得：
，
解得，
∴一次函数图象相应的函数表达式；
（2）解：∵一次函数的图象与x轴交于点B，
∴当时，，解得，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【考点评析】本题考查了两直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积的计算，掌握待定系数法是解题的关键．
【变式训练21】（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：经过点，与直线：相交于点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)点C为x轴上一点，若的面积为6，求点C的坐标．
【变式训练22】（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，点A的横坐标为4．直线交y轴负半轴于点B，且．
(1)求点B的坐标及直线的函数表达式；
(2)现将直线沿y轴向上平移5个单位长度，交y轴于点C，交直线于点D，试求的面积．
【变式训练23】（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点，与直线交于点E．已知点D的坐标为，点C在A的左侧且．
(1)分别求出直线和直线的表达式；
(2)在直线上，是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在坐标轴上，是否存在一点Q，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
一、选择题
1．（2022春·广东河源·八年级校考期末）已知直线与直线都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，为轴上任意一点，连接，，有以下说法：
①方程组的解为
②为直角三角形；
③；
④当的值最小时，点的坐标为．
其中正确的说法个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．（2023春·八年级课时练习）在直角坐标平面内，一次函数的图像如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．方程 的解是
C．当时， D．不等式 的解集是
3．（2022秋·八年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点是直线与直线的交点，点B是直线与y轴的交点，点P是x轴上的一个动点，连接PA，PB，则的最小值是（ ）
A．6 B． C．9 D．
4．（2023春·八年级课时练习）定义，图象与x轴有两个交点的函数y＝叫做关于直线x＝m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B例如：如图：直线l：x＝1，关于直线l的对称函数y＝与该直线l交于点C，当直线y＝x与关于直线x＝m的对称函数有两个交点时，则m的取值范围是（ ）
A．0≤m≤ B．－2＜m≤ C．－2＜m≤2 D．－4＜m＜0
5．（2022·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，一次函数 和 ，无论 取何值，始终有 ， 的取值范围为（ ）
A． B． C．且 D．且
6．（2020春·湖北武汉·八年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点，当四边形 ABCD 的周长最小时，则 m 的值为（ ）．
A． B． C．2 D．3
二、填空题
7．（2022春·山西晋城·八年级统考期末）如图，直线与的交点的横坐标为．下列结论：①，；②直线一定经过点；③m与n满足；④当时，．其中正确的有________．（只填序号）
8．（2022秋·湖南衡阳·八年级校考期中）已知直线与的交点为，则方程组的解是________．
9．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，直线与相交于点，则关于x的方程的解是___________.
10．（2021秋·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考期中）甲、乙两人分别加工100个零件，甲第1个小时加工了10个零件，之后每小时加工30个零件，乙在甲加工前已经加工了40个零件，在甲加工3小时后乙开始追赶甲，结果两人同时完成任务．设甲、乙两人各自加工的零件数为y（个），甲加工零件的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示，当甲、乙两人相差15个零件时，甲加工零件的时间为______________
11．（2022秋·浙江·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴，y轴分别交于点A，B，线段AB绕点A顺时针方向旋转90°得线段AC，连接BC．
（1）线段AB的长为_____；
（2）若该平面内存在点P（a，1），使△ABP与△ABC的面积相等，则a的值为_____．
12．（2021春·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，垂直x轴的直线l分别与函数的图像交于P、Q两点，若平移直线l，可以使P、Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是_________．
三、解答题
13．（2023秋·江苏泰州·八年级统考期末）我们研究一个新函数时，常常会借助图像研究新函数的性质，在经历“列表、描点、连线”的步骤后，就可以得到函数图像，请运用这样的方法对函数进行探究：
(1)补全表格中所缺数据，并在所给平面直角坐标系中画出函数图像．
0
1
2
3
4
1
1
(2)根据所画图像，写出该函数的两条性质：① ；② ；
(3)结合所画图像回答：当时，的取值范围是什么？
14．（2022秋·江西吉安·八年级统考期末）我们规定：若m，n是正实数，且满足时，则称点为“回归点”．
(1)当时，求此时满足关系的“回归点”；
(2)判断是否为直线上的一个“回归点”；
(3)如图，已知点与点B都在直线上，且点B是“回归点”，C为直线与y轴的交点，求的长．
15．（2022秋·广东佛山·八年级校考期末）如图，直线的函数解析式为，且与轴交于点，直线经过点，直线交于点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)求的面积；
(3)在直线是否存在点，使得面积是面积的2倍？如果存在，请求出坐标；如果不存在，请说明理由．
16．（2023秋·广东佛山·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点A、．另一条直线与直线交于点，与轴交于点，点是直线上一点（不与点重合）．
(1)求的值．
(2)当的面积为18时，求点的坐标．
(3)若直线在平面直角坐标系内运动，且始终与平行，直线交直线于点，交轴于点，当时，求的面积．
17．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）【了解概念】对于给定的一次函数（其中k，b为常数，且），则称函数为一次函数（其中k，b为常数，且）的关联函数．
【理解运用】例如：一次函数，它的关联函数为．
(1)点在一次函数的关联函数的图像上，则m的值为______；
(2)已知一次函数．我们可以根据学习函数的经验，对一次函数，它的关联函数为的图像与性质进行探究．下面是小明的探究过程：
①填表，
x
…
0
1
2
…
y
…
5
3
1
3
5
…
②根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出一次函数的关联函数的图像；
③若，则y的取值范围为______；
【拓展提升】
(3)在平面直角坐标系中，点M、N的坐标分别为、，连接．直接写出线段MN与一次函数的关联函数的图像有1个交点时，b的取值范围为______．
18．（2023春·全国·八年级专题练习）问题发现．
(1)如图，等腰直角置于平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，是上一点，，则点的坐标为______．
(2)问题探究：如图，若点，的坐标分别为，，其余条件与相同，求经过，两点的直线表达式．
(3)问题解决：国庆前夕，某景区为了提高服务质量，想尽可能美化每一个角落，给游客美的享受．如图，是景区东门的广场一角，，两面墙互相垂直，景区管理部门设计将，墙面布置成历史故事宣传墙，边上用建筑隔板搭出段将该角落与广场其他区域隔开，段布置成时事政治宣传墙，剩余部分为广场角出入口，内部空间放置一些绿植和供游人休息的桌椅，考虑到防疫安全，还需在靠近出入口的处建一个体温检测点．已知，，平分，体温检测点在与的交点处．求点分别到，墙面的距离．
19．（2022春·湖南湘西·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，与轴交于点，经过点的另一直线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．
(1)求点的坐标及直线的解析式；
(2)求四边形的面积．
20．（2022秋·山东济南·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线为与x，y轴分别交于A，B两点，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．
(1)点A坐标是 ，点B的坐标是 ．的长是 ．
(2)求点C的坐标．
(3)若点M是y轴上一动点，若，直接写出点M坐标．
(4)在第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P坐标，若不存在，说明理由．
2022-2023学年人教版数学八年级下册同步重难点精讲精练培优讲义
19.2.3 一次函数与方程、不等式
1. 能用函数观点看一次方程（组），能用辨证的观点认识一次函数与一次方程的区别与联系.
2. 在解决简单的一次函数的问题过程中，建立数形结合的思想及转化的思想．
3．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想．
4．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题．
知识点01：一次函数与一元一次方程的关系
一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.
从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值.
知识点02：一次函数与二元一次方程组
每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.
知识要点：
1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解.
2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立.
3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.
知识点03：方程组解的几何意义
1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．
2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况：
根据交点的个数，看出方程组的解的个数；
根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．
3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．
知识点04：一次函数与一元一次不等式
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.
知识要点：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0.从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.
知识点05：一元一次方程与一元一次不等式
我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.
知识点06：如何确定两个不等式的大小关系
（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．
【典例分析01】（2023春·八年级课时练习）如图所示，一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点，下列判断错误的是（ ）
A．关于的方程的解是
B．关于的不等式的解集是
C．当时，函数的值比函数的值大
D．关于的方程组 的解是
【答案】B
【思路点拨】根据条件结合图象对各选项进行判断即可．
【规范解答】解：一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点，
关于的方程的解是，选项A判断正确，不符合题意；
关于的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意；
当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意；
关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意；
故选：B．
【考点评析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，知道方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解题的关键．
【变式训练01】（2022秋·辽宁·八年级校考期末）如图，一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则下列说法：
①y随x的增大而减小；
②；
③关于x的方程的解为；
④当时，．其中不正确的是___________．（请你将不正确序号填在横线上）
【变式训练02】（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）关于x的一元一次方程的解是，则直线的图像与x轴的交点坐标是（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练03】（2023秋·陕西宝鸡·八年级统考期末）一次函数中，x与y的部分对应值如下表所示，则下列说法正确的是（ ）
1
2
5
2
A．x的值每增加1，y的值增加3，所以 B．是方程的解
C．函数图象不经过第四象限 D．当时，
【典例分析02】（2022秋·河北保定·八年级保定市第十七中学校考期末）如图，点A的坐标为，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B在直线上运动．当线段最短时，求点B的坐标（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路点拨】当线段最短时，，判定出是等腰直角三角形，得出，作于点H，根据三线合一的性质和直角三角形斜边的中线的性质，得出，进而得出，即点的横坐标，然后把点的横坐标代入，即可得出点B的坐标．
【规范解答】解：当线段最短时，，
∵直线为，
∴当时，；当时，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
作于点H，
则，
∴，
即点的横坐标为，
把点的横坐标代入，可得：，
∴．
故选：C．
【考点评析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线，正确作出辅助线是解答本题的关键．
【变式训练04】（2022秋·安徽马鞍山·八年级校考期中）已知一次函数的图象经过一、二、三象限，且与x轴交于点，则不等式的解集为_______________．
【变式训练05】（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，它与坐标轴分别交于、两点，已知点的纵坐标为．
(1)求出A点的坐标．
(2)在第一象限的角平分线上是否存在点使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P为y轴上一点，连结AP，若，求点P的坐标．
【变式训练06】（2023秋·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，点C是x轴上一动点（不与点O，A重合），连结BC，作，且，过点D作轴，垂足为点E．
(1)求点A，B的坐标．
(2)若点C在线段上，连结，猜想的形状，并证明结论．
(3)若点C在x轴上，点D在x轴下方，是以为底边的等腰三角形，求点D的坐标．
【典例分析03】（2022秋·全国·八年级专题练习）一次函数的图象如图所示，则关于x的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路点拨】根据图象得出一次函数的图象与x轴的交点坐标，即可得出方程的解．
【规范解答】解：∵直线与x轴交点坐标为，
∴的解为，
故选：B．
【考点评析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，关键是正确利用解答．
【变式训练07】．（2022秋·陕西西安·八年级交大附中分校校考期末）如图，已知直线，则方程的解为__________．
【变式训练08】（2023秋·山东济南·八年级校考期末）如图，直线和直线相交于点P，根据图象可知，关于x的方程的解是______．
【变式训练09】（2022秋·广西梧州·八年级统考期中）画出函数的图象，利用图象：
（1）求方程的解；
（2）求不等式的解集；
（3）若，求x的取值范围．
【典例分析04】（2023秋·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数经过A，B两点，若点B的坐标为，则不等式的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路点拨】从图象上得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式的解集．
【规范解答】解：一次函数的图象经过点，且函数值y随x的增大而减小，
∴不等式的解集是．
故选：D．
【考点评析】此题考查一次函数问题，正确理解图象，函数图象在x轴上方，即函数值大于0；在下方时，函数值小于0；图象在y轴左侧的部分函数的自变量x小于0，在右侧则自变量大于0．
【变式训练10】（2023春·全国·八年级专题练习）画出函数的图象，利用图象：
(1)求方程的解；
(2)求不等式的解集；
(3)若，求x的取值范围．
【变式训练11】（2022春·广东广州·八年级校考期中）已知一次函数，
……
……
……
……
(1)选取适当的数据填入表格，并在所给平面直角坐标系内描点画出该函数的图象．
(2)根据图象回答：当x 时，．
(3)已知直线和直线，则两直线与x轴围成的图形的面积为 ．
【变式训练12】（2022秋·广西百色·八年级统考期中）已知一次函数的图象如图所示．
(1)请在图中作出函数的图象；
(2)利用图象解答问题：
①求关于x、y的方程组的解；
②求关于x的不等式组的解集．
【典例分析05】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，直线经过点和点，直线过点 A．
(1)求直线的函数表达式；
(2)请根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
【思路点拨】（1）用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据题意，要求的不等式的解集是B点右侧、A点左侧对应的自变量的取值范围，据此即可求解．
【规范解答】（1）解：∵直线经过点和点，
∴，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：由图象可得，不等式的解集为：．
【考点评析】本题主要考查了求一次函数解析式，解不等式组，解题的关键是熟练掌握待定系数法，准确求出函数解析式．
【变式训练13】（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，直线与过点的直线交于点，与x轴交于点B．
(1)求直线的解析式；
(2)过动点且垂直于x轴的直线与，的交点分别为M，N，当点M位于点N上方时．
①请直接写出n的取值范围______；
②若，求点M的坐标．
【变式训练14】（2023秋·广东深圳·八年级深圳外国语学校校考期末）如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，且点的坐标为，
(1)求的值；
(2)若函数的函数值不大于函数的函数值，直接写出的取值范围______；
(3)求的面积．
【典例分析06】（2023秋·江苏·八年级统考期末）如图，已知直线（是常数）与直线（常数）交于点，则关于的二元一次方程组的解是______．
【答案】
【思路点拨】先根据直线（是常数）与直线（常数）交于点求出的值，从而得到，联立求解即可得到答案．
【规范解答】解：直线（是常数）与直线（常数）交于点，
，，
解得：，，
直线，直线，
，
，
解得：，
关于的二元一次方程组的解是，
故答案为：．
【考点评析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
【变式训练15】（2023秋·江西九江·八年级统考期末）如图，函数和的图象相交于点P，则关于x，y的二元一次方程组的解是________．
【变式训练16】（2023秋·河北邯郸·八年级统考期末）A、B两地相距、甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地，其中甲先出发．如图是甲，乙行驶路程，随行驶时间变化的图象请结合图象信息，回答下列问题：
（1）甲的速度为___________：
（2）写出与x之间的关系式___________；
（3）点C的坐标为___________．
【变式训练17】（2022春·吉林长春·八年级校考阶段练习）定义：对于给定的一次函数，把形如的函数称为一次函数的衍生函数,已知矩形的顶点坐标分别为，，，．
(1)已知函数．
①在网格中画出该函数的衍生函数图象．
②若点在这个一次函数的衍生函数图象上，则 ．
③若点在这个一次函数的衍生函数图象上，则 ．
④这个一次函数的衍生函数图象与矩形的边的交点坐标分别为 ．
(2)当函数的衍生函数的图象与矩形有个交点时，的取值范围是 ．
【典例分析07】（2022秋·安徽蚌埠·八年级校考期中）用图象法解二元一次方程组：
【答案】
【思路点拨】根据题意，可得方程组的解为直线与直线的交点，在同一坐标系画出两个一次函数的图象，交点坐标即为方程组的解．
【规范解答】解：，即
依题意，方程组的解为直线与直线的交点，
如图所示，
∴的解为．
【考点评析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键．
【变式训练18】（2023·全国·八年级专题练习）图象法解方程组．
【变式训练19】（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期末）在函数学习中，我们通过列表—描点—连线的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．根据学习函数的经验，探究函数的图象和性质，已知该函数图象经过点与点．
(1)由题意可知， ______， ______；
(2)请在给出的平面直角坐标系中（每个小正方形的边长为一个单位长度），用你喜欢的方法画出该函数的图象，并写出这个函数的一条性质；
(3)直线与这个函数的图象有两个交点，请直接写出t的取值范围．
【变式训练20】（2022秋·安徽·八年级统考期末）在直角坐标系内，已知直线，请画出直线，并由图象解答：
(1)写出方程组的解；
(2)写出不等式的解集．
【典例分析08】（2023春·江苏泰州·八年级校考周测）如图，一次函数的图象与x轴相交于点B，与过点的一次函数的图象相交于点．
(1)求一次函数图象相应的函数表达式；
(2)求的面积．
【答案】(1)；
(2)12
【思路点拨】（1）把点代入即可求得m的值，根据待定系数法即可求解；
（2）求得B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可．
【规范解答】（1）解：（1 ）∵点在一次函数的图象上，
∴，
∴点，
设一次函数图象相应的函数表达式为，
把点，代入得：
，
解得，
∴一次函数图象相应的函数表达式；
（2）解：∵一次函数的图象与x轴交于点B，
∴当时，，解得，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【考点评析】本题考查了两直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积的计算，掌握待定系数法是解题的关键．
【变式训练21】（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：经过点，与直线：相交于点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)点C为x轴上一点，若的面积为6，求点C的坐标．
【变式训练22】（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，点A的横坐标为4．直线交y轴负半轴于点B，且．
(1)求点B的坐标及直线的函数表达式；
(2)现将直线沿y轴向上平移5个单位长度，交y轴于点C，交直线于点D，试求的面积．
【变式训练23】（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点，与直线交于点E．已知点D的坐标为，点C在A的左侧且．
(1)分别求出直线和直线的表达式；
(2)在直线上，是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在坐标轴上，是否存在一点Q，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
一、选择题
1．（2022春·广东河源·八年级校考期末）已知直线与直线都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，为轴上任意一点，连接，，有以下说法：
①方程组的解为
②为直角三角形；
③；
④当的值最小时，点的坐标为．
其中正确的说法个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．（2023春·八年级课时练习）在直角坐标平面内，一次函数的图像如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．方程 的解是
C．当时， D．不等式 的解集是
3．（2022秋·八年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点是直线与直线的交点，点B是直线与y轴的交点，点P是x轴上的一个动点，连接PA，PB，则的最小值是（ ）
A．6 B． C．9 D．
4．（2023春·八年级课时练习）定义，图象与x轴有两个交点的函数y＝叫做关于直线x＝m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B例如：如图：直线l：x＝1，关于直线l的对称函数y＝与该直线l交于点C，当直线y＝x与关于直线x＝m的对称函数有两个交点时，则m的取值范围是（ ）
A．0≤m≤ B．－2＜m≤ C．－2＜m≤2 D．－4＜m＜0
5．（2022·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，一次函数 和 ，无论 取何值，始终有 ， 的取值范围为（ ）
A． B． C．且 D．且
6．（2020春·湖北武汉·八年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点，当四边形 ABCD 的周长最小时，则 m 的值为（ ）．
A． B． C．2 D．3
二、填空题
7．（2022春·山西晋城·八年级统考期末）如图，直线与的交点的横坐标为．下列结论：①，；②直线一定经过点；③m与n满足；④当时，．其中正确的有________．（只填序号）
8．（2022秋·湖南衡阳·八年级校考期中）已知直线与的交点为，则方程组的解是________．
9．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，直线与相交于点，则关于x的方程的解是___________.
10．（2021秋·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考期中）甲、乙两人分别加工100个零件，甲第1个小时加工了10个零件，之后每小时加工30个零件，乙在甲加工前已经加工了40个零件，在甲加工3小时后乙开始追赶甲，结果两人同时完成任务．设甲、乙两人各自加工的零件数为y（个），甲加工零件的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示，当甲、乙两人相差15个零件时，甲加工零件的时间为______________
11．（2022秋·浙江·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴，y轴分别交于点A，B，线段AB绕点A顺时针方向旋转90°得线段AC，连接BC．
（1）线段AB的长为_____；
（2）若该平面内存在点P（a，1），使△ABP与△ABC的面积相等，则a的值为_____．
12．（2021春·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，垂直x轴的直线l分别与函数的图像交于P、Q两点，若平移直线l，可以使P、Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是_________．
三、解答题
13．（2023秋·江苏泰州·八年级统考期末）我们研究一个新函数时，常常会借助图像研究新函数的性质，在经历“列表、描点、连线”的步骤后，就可以得到函数图像，请运用这样的方法对函数进行探究：
(1)补全表格中所缺数据，并在所给平面直角坐标系中画出函数图像．
0
1
2
3
4
1
1
(2)根据所画图像，写出该函数的两条性质：① ；② ；
(3)结合所画图像回答：当时，的取值范围是什么？
14．（2022秋·江西吉安·八年级统考期末）我们规定：若m，n是正实数，且满足时，则称点为“回归点”．
(1)当时，求此时满足关系的“回归点”；
(2)判断是否为直线上的一个“回归点”；
(3)如图，已知点与点B都在直线上，且点B是“回归点”，C为直线与y轴的交点，求的长．
15．（2022秋·广东佛山·八年级校考期末）如图，直线的函数解析式为，且与轴交于点，直线经过点，直线交于点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)求的面积；
(3)在直线是否存在点，使得面积是面积的2倍？如果存在，请求出坐标；如果不存在，请说明理由．
16．（2023秋·广东佛山·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点A、．另一条直线与直线交于点，与轴交于点，点是直线上一点（不与点重合）．
(1)求的值．
(2)当的面积为18时，求点的坐标．
(3)若直线在平面直角坐标系内运动，且始终与平行，直线交直线于点，交轴于点，当时，求的面积．
17．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）【了解概念】对于给定的一次函数（其中k，b为常数，且），则称函数为一次函数（其中k，b为常数，且）的关联函数．
【理解运用】例如：一次函数，它的关联函数为．
(1)点在一次函数的关联函数的图像上，则m的值为______；
(2)已知一次函数．我们可以根据学习函数的经验，对一次函数，它的关联函数为的图像与性质进行探究．下面是小明的探究过程：
①填表，
x
…
0
1
2
…
y
…
5
3
1
3
5
…
②根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出一次函数的关联函数的图像；
③若，则y的取值范围为______；
【拓展提升】
(3)在平面直角坐标系中，点M、N的坐标分别为、，连接．直接写出线段MN与一次函数的关联函数的图像有1个交点时，b的取值范围为______．
18．（2023春·全国·八年级专题练习）问题发现．
(1)如图，等腰直角置于平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，是上一点，，则点的坐标为______．
(2)问题探究：如图，若点，的坐标分别为，，其余条件与相同，求经过，两点的直线表达式．
(3)问题解决：国庆前夕，某景区为了提高服务质量，想尽可能美化每一个角落，给游客美的享受．如图，是景区东门的广场一角，，两面墙互相垂直，景区管理部门设计将，墙面布置成历史故事宣传墙，边上用建筑隔板搭出段将该角落与广场其他区域隔开，段布置成时事政治宣传墙，剩余部分为广场角出入口，内部空间放置一些绿植和供游人休息的桌椅，考虑到防疫安全，还需在靠近出入口的处建一个体温检测点．已知，，平分，体温检测点在与的交点处．求点分别到，墙面的距离．
19．（2022春·湖南湘西·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，与轴交于点，经过点的另一直线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．
(1)求点的坐标及直线的解析式；
(2)求四边形的面积．
20．（2022秋·山东济南·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线为与x，y轴分别交于A，B两点，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．
(1)点A坐标是 ，点B的坐标是 ．的长是 ．
(2)求点C的坐标．
(3)若点M是y轴上一动点，若，直接写出点M坐标．
(4)在第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P坐标，若不存在，说明理由．
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