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2023年山东省临沂市临沭县中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年山东省临沂市临沭县中考数学二模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省临沂市临沭县中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数a在数轴上的对应点的位置如图所示.若b>a，则b的值可以是( )
A. −1 B. 0 C. 1 D. 2
2. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. 2x+3x=5x2 B. (−2x)3=−6x3
C. 2x3⋅3x2=6x5 D. (3x+2)(2−3x)=9x2−4
4. 如图，直线l1//l2，线段AB交l1，l2于D，B两点，过点A作AC⊥AB，交直线l1于点C，若∠1=20°，则∠2=( )
A. 70°
B. 100°
C. 110°
D. 160°
5. 估计 12× 12的值在( )
A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间
6. 不等式组x+2>03−x≥0的解在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
7. “宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶(相当于西乐的1，2，3，5，6)，是采用“三分损益法”通过数学方法获得.现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞中可能性大小相同.现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是( )
A. 125 B. 120 C. 110 D. 15
8. 若干桶方便面摆放在桌面上，它的三个视图如下，则这一堆方便面共有
( )
A. 7桶
B. 8桶
C. 9桶
D. 10桶
9. 关于x的方程x(x−1)=3(x−1)，下列解法完全正确的是( )
A. 两边同时除以(x−1)得x=3
B. 整理得x2−4x=−3，∵a=1，b=−4，c=−3，b2−4ac=28，∴x=4± 282=2± 7
C. 整理得x2−4x=−3，配方得x2−4x+2=−1，∴(x−2)2=−1，∴x−2=±1，∴x1=1，x2=3
D. 移项得：(x−3)(x−1)=0，∴x−3=0或x−1=0，∴x1=1，x2=3
10. 如图，已知点O是正六边形ABCDEF的中心，弧AE的长是8π，则该正六边形的边长是( )
A. 6
B. 3 2
C. 2 3
D. 12
11. 在三张透明纸上，分别有∠AOB、直线l及直线l外一点P、两点M与N，下列操作能通过折叠透明纸实现的有( )
①图1，∠AOB的角平分线；
②图2，过点P垂直于直线l的垂线；
③图3，点M与点N的对称中心．
A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③
12. 如图，是函数y=(x−1)(x−2)(x−3)(0≤x≤4)的图象，通过观察图象得出了
如下结论：
①当x>3时，y随x的增大而增大；
②该函数图象与坐标轴有三个交点；
③该函数的最大值是6，最小值是−6；
④当0≤x≤4时，不等式(x−1)(x−2)(x−3)>0的解为1
A. ①③
B. ①③④
C. ②④
D. ①②③
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 因式分解2x2−12x+18的结果是______．
14. 已知方程组3x+4y=2x−2y=4，则2x+y的值是______ ．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD=4，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N.若AC=3，则MN的长为______ ．
16. 如图，已知矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点M，N分别在边AD，BC上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上(不与两端点重合)，过点M作MH⊥BC于点H，连接BF，给出下列判断：①△MHN∽△BCF；②折痕MN的长度的取值范围为3
三、解答题（本大题共7小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
(1)计算：3−27−(13)−1+3÷(34−12)；
(2)化简：x2−1x÷(1−1x)．
18. (本小题8.0分)
北极海冰是地球系统的重要组成部分，其变化可作为全球气候变化的重要指示器.为了应对全球气候问题，科学家运用卫星遥感技术对北极海冰覆盖面积的变化情况进行监测，根据对多年的数据进行整理、描述和分析，形成了如下信息：
a、1961−2020年间北极海冰年最低覆盖面积变化的频数分布直方图如下所示：(数据分成8组：3≤x<4，4≤x<5，5≤x<6，6≤x<7，7≤x<8，8≤x<9，9≤x<10，10≤x<11)
b、1961−2020年间北极海冰年最低覆盖面积的数据在8≤x<9这一组的是：8.0，8.2，8.2，8.3，8.3，8.5，8.6，8.6，8.6，8.7，8.8
(1)写出1961−2020年间北极海冰年最低覆盖面积的中位数是______ (106平方千米)；
(2)北极海冰最低覆盖面积出现了大面积的缩减是______ 年.
(3)请参考反映1961−2020年间北极海冰年最低覆盖面积变化的折线图，解决以下问题：
①记北极地区1961−1990年北极海冰年最低覆盖面积的方差为s12，1991−2020年北极海冰年最低覆盖面积的方差为s22，请直接判断s12 ______ s22的大小关系(填写“>”“<”或“=”)；
②根据2000年以后北极海冰年最低覆盖面积的相关数据，推断全球气候发生了怎样的变化？在你的生活中应采取哪些措施应对这一变化？
19. (本小题8.0分)
如图，在一个坡角为30°的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成52°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC长为12米，求树高AB.(精确到0.1米， 3≈1.73，sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28.)
20. (本小题10.0分)
电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便.某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板(踏板质量忽略不计)的可变电阻R1，R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1=km+b(其中k，b为常数，0≤m≤120)，其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0，该读数可以换算为人的质量m．
温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I=UR；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
(1)求出R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式并写出m的取值范围；
(2)求出当电压表显示的读数为2伏时，对应测重人的质量为多少千克？
21. (本小题10.0分)
已知：在⊙O中，AB为直径，P为射线AB上一点，过点P作⊙O的切线，切点为点C，D为AC上一点，连接BD、BC、DC．
(Ⅰ)如图1，若∠D=28°，求∠P的度数．
(Ⅱ)如图2，若四边形CDBP为平行四边形，BC=5，求CP的长．
22. (本小题12.0分)
某水果店配装一种果篮需要A，B两种水果，A种水果的单价比B种水果单价少3元，若用600元购进A种水果和用900元购进B种水果数量一样多，配装一个果篮需要A种水果4斤和B种水果2斤，每个还需包装费8元.市场调查发现：设每个果篮的售价是x元(x是整数)，该果篮每月的销量Q(个)与售价x(元)的关系式为Q=−10x+1100．
(1)求一个果篮的成本(成本=进价+包装费)；
(2)若销售这种果篮每月的利润是w元，求w关于x的函数解析式，并求出当售价为多少时，销售利润最大？
(3)若要使销售这种果篮每月的利润不低于5000元，求该种果篮的销售量的取值范围．
23. (本小题12.0分)
已知正方形ABCD和一动点E，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接BE，DF．
(1)如图1，当点E在正方形ABCD内部时：
①依题意补全图1；
②求证：BE=DF；
(2)如图2，当点E在正方形ABCD外部时，连接AF，取AF中点M，连接AE，DM，用等式表示线段AE与DM的数量关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：观察数轴得：1
∴b的值可以是2．
故选：D．
观察数轴得：1
2.【答案】C
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
【解答】
解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
3.【答案】C
【解析】解：A、2x+3x=5x，故原题计算错误；
B、(−2x)3=−8x3，故原题计算错误；
C、2x3⋅3x2=6x5，故原题计算正确；
D、(3x+2)(2−3x)=4−9x2，故原题计算错误；
故选：C．
利用合并同类项法则、积的乘方的性质、单项式乘以单项式计算法则、平方差公式进行计算即可．
此题主要考查了整式的混合运算，关键是熟练掌握合并同类项法则、积的乘方的性质、单项式乘以单项式计算法则、平方差公式．
4.【答案】C
【解析】解：∵AC⊥AB，
∴∠A=90°，
∵∠1=20°，
∴∠ADC=180°−90°−20°=70°，
∵l1//l2，
∴∠3=∠ADC=70°，
∴∠2=180°−70°=110°，
故选：C．
利用垂直定义和三角形内角和定理计算出∠ADC的度数，再利用平行线的性质可得∠3的度数，再根据邻补角的性质可得答案．
此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
5.【答案】A
【解析】解：原式= 12×12
= 6，
∵4<6<9，
∴ 4< 6< 9，
即2< 6<3，
那么原式的值在2和3之间，
故选：A．
先将原式进行计算，然后判断其结果在哪两个连续整数之间即可．
本题考查二次根式的乘法及无理数的估算，它们均为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
6.【答案】A
【解析】解：由x+2>0得x>−2，
由3−x≥0得x≤3，
所以不等式组的解集为−2
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意画图如下：
共有25种等可能的情况数，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的有1种，
则先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是125．
故选：A．
画树状图，共有25种等可能的结果，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的结果有1种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．掌握概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：综合三视图，这堆方便面底层应该有5桶，
第二层应该有3桶，
第三层应该有1桶，
因此共有5+3+1=9桶．
故选C．
根据三视图的知识，底层应有5桶方便面，第二层应有2桶，第三层有1桶，即可得出答案．
本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
9.【答案】D
【解析】解：A.不符合解一元二次方程的方法；故A错误，不符合题意；
B.c=3不是−3，故B错误，不符合题意；
C.配方时，等式两边应该加4，故C错误，不符合题意；
D.x(x−1)=3(x−1)，
x(x−1)−3(x−1)=0，
(x−1)(x−3)=0，
∴x−3=0或x−1=0，
∴x1=1，x2=3.故D正确，符合题意；
故选：D．
方程右边整体移到左边，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
此题考查了解二元一次方程−因式分解法，直接开方法，公式法，以及配方法，熟练掌握各自解法是解本题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：连接OF，
设⊙O的半径为R，
∵O是正六边形ABCDEF的中心，
∴∠AOF=∠EOF=360°6=60°，
∴∠AOE=120°，
∵OA=OF，
∴△OAF是等边三角形，
∴AF=OA=R，
∵弧AE的长是8π，
∴120πR180=8π，
∴R=12，
∴AF=R=12，
∴正六边形的边长是12，
故选：D．
先求出中心角∠AOF=60°，证得△OAF是等边三角形，得到AF=R，根据弧长公式求出圆的半径，即可得到正六边形的边长．
本题主要考查了正多边形和圆，弧长的计算，解题的关键是能求出正六边形的边长等于圆的半径．
11.【答案】D
【解析】解：①经过点O进行折叠，使OA与OB重合，折痕纪委角平分线，故①能通过折叠透明纸实现；
②经过点P折叠，使折痕两边的直线l重合，折痕即为过点P垂直于直线l的垂线，故②能通过折叠透明纸实现；
③经过点N，M折叠，展开，展开，然后再折叠使点N，M重合，两次折痕的交点即为点N，M的对称中心，故③能通过折叠透明纸实现．
故选：D．
由角平分线所在的直线是这个角的对称轴可判断①；根据垂直的性质可判断②；根据成中心对称的对应点连线经过对称中心，并且被对称中心平分可判断③．
此题考查了角平分线的对称性，垂线的性质，中心对称的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
12.【答案】A
【解析】解：①观察函数图象可知，当x>3时，图象是向右上方延伸的，即y随x的增大而增大．故①正确．
②观察图象可知，该函数图象与x轴有3个交点，与y轴有一个交点，所以与坐标轴有四个交点．故②错误．
③观察图象可知，当x=0时，函数有最小值−6；当x=4时，函数有最大值6.故③正确．
④观察图象可知，函数图象在x轴上方部分x的取值范围是1
利用数形结合的思想，对照所给的函数图象，可逐一验证是否正确．
本题考查了用数形结合的思想解决问题，正确识别图象中所给出的信息是解决本题的关键．
13.【答案】2(x−3)2
【解析】解：原式=2(x2−6x+9)
=2(x−3)2．
故答案为：2(x−3)2．
先提公因式2，再套用完全平方公式．
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和完全平方公式是解决本题的关键．
14.【答案】3
【解析】解：3x+4y=2①x−2y=4②，
①+②得：4x+2y=6，
则2x+y=3．
故答案为：3．
方程组两方程相加即可求出2x+y的值．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
15.【答案】127
【解析】解：∵∠ACB=90°，BD⊥CB，MN⊥CB，
∴AC//MN//BD，
∴△BMN∽△BAC，△CMN∽△CDB，
∴MNAC=BNBC，MNBD=CNBC，
∴MNAC+MNBD=BNBC+CNBC=1，
∴MN3+MN4=1，
∴MN=127，
故答案为：127．
由∠ACB=90°，BD⊥CB，MN⊥CB得AC//MN//BD，可得△BMN∽△BAC，△CMN∽△CDB，从而得MNAC=BNBC，MNBD=CNBC，把两式相加得MN3+MN4=1，从而求出MN的长度．
本题主要考查了三角形相似的判定和性质，旨在判断学生是否对两个常见的相似模型“A型相似”和“8字型相似”能够灵活应用．
16.【答案】①②③
【解析】解：①如图1，由折叠可知BF⊥MN，
∴∠BOM=90°，
∵MH⊥BC，
∴∠BHP=90°=∠BOM，
∵∠BPH=∠OPM，
∴∠CBF=∠NMH，
∵∠MHN=∠C=90°，
∴△MHN∽△BCF，
故①正确；
②当F与C重合时，MN=3，此时MN最小，
当F与D重合时，如图2，此时MN最大，
由勾股定理得：BD=5，
∵OB=OD=52，
∵tan∠DBC=ONOB=CDBC，即ON52=34，
∴ON=158，
∵AD//BC，
∴∠MDO=∠OBN，
在△MOD和△NOB中，
∠MDO=∠OBNOD=OB∠DOM=∠BON，
∴△DOM≌△BON(ASA)，
∴OM=ON，
∴MN=2ON=154，
∵点F在线段CD上(不与两端点重合)，
∴折痕MN的长度的取值范围为3
③如图3，连接BM，FM，
当四边形CDMH为正方形时，MH=CH=CD=DM=3，
∵AD=BC=4，
∴AM=BH=1，
由勾股定理得：BM= 32+12= 10，
∴FM= 10，
∴DF= FM2−DM2= ( 10)2−32=1，
∴CF=3−1=2，
设HN=x，则BN=FN=x+1，
在Rt△CNF中，CN2+CF2=FN2，
∴(3−x)2+22=(x+1)2，
解得：x=32，
∴HN=32，
∵CH=3，
∴CN=HN=32，
∴N为HC的中点；
故③正确；
④当四边形CDMH为正方形时，由③得FC=2，NC=32，
∴tan∠FNC=FCNC=232=43，
故④错误；
所以本题正确的结论有：①②③；
故答案为：①②③．
根据矩形的性质和三角形的内角和定理即可判定①正确；
根据MN最大值和最小值时F的位置可判定②正确；
根据四边形CDMH为正方形和勾股定理分别求出各边的长，可判定③正确；
由③求得FC=2，NC=32，代入即可求得tan∠FNC的值，可判定④错误；从而求解．
本题主要考查了矩形的性质和判定，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质，解答本题主要应用了矩形的性质、翻折的性质，熟记翻折前后的两个图形能够完全重合得到相等的边和角是解题的关键．
17.【答案】解：(1)3−27−(13)−1+3÷(34−12)
=−3−3+3÷14
=−3−3+3×4
=−3−3+12
=6；
(2)x2−1x÷(1−1x)
=(x+1)(x−1)x÷x−1x
=(x+1)(x−1)x⋅xx−1
=x+1．
【解析】(1)先化简，然后将除法转化为乘法，再算乘法，最后算加减法即可；
(2)先算括号内的式子，再算括号外的除法．
本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】8.6 2001 <
【解析】解：(1)由题意可知，1961−2020年总共有60个数据，第30个数据是8.6，第31个数据是8.6，
∴中位数是8.6+8.62=8.6，
故答案为：8.6；
(2)由1961−2020年间北极海冰年最低覆盖面积变化图，可知北极海冰最低覆盖面积出现了大面积的缩减是2001年，
故答案为：2001；
(3)①由1961−2020年间北极海冰年最低覆盖面积变化图可知，
北极地区1961−1990年北极海冰年最低覆盖面积变化波动比1991−2020年北极海冰年最低覆盖面积变化小，
∴s12
②根据2000年以后北极海冰年最低覆盖面积逐渐减小，可知全球气候变暖，
所以在平时我们应该低碳出行，节能减排(答案不唯一，合理即可)．
(1)根据中位数的概念求解即可；
(2)根据频率分布折线图即可得出答案；
(3)①根据方差的含义，结合频率分布折线图即可确定答案；
②结合实际解答即可．
本题考查了频率分布直方图，频率分布折线图，方差，中位数等，理解给定的直方图和折线图上各数据的含义是解题的关键．
19.【答案】解：过C点作CD垂直于AB的延长线于点D，垂足为D.由题意得，CD平行于水平地面，
∴∠BCD=α=30°，∠ACD=52°．
在Rt△BCD中，BD=BC⋅sin30°=12sin30°=6，
CD=BC⋅cos30°=6 3，
在Rt△ACD中，∠ACD=50°，
∴CD=AD，
即6 3=6+AB，
∴AB=6 3−6=4.38，
答：大树AB的高约为4.38米．
【解析】过C点作CD垂直于AB的延长线于点D，垂足为D.由题意得，CD平行于水平地面，在Rt△BCD中，求得BD=9，在Rt△ACD中，∠ACD=45°，可得CD=AD，即9 3=9+AB，即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．
20.【答案】解：(1)将(0,240)、(120,0)代入R1=km+b，
b=240120k+b=0，
解得k=−2b=240，
∴R1=−2m+240(0≤m≤120)；
(2)由题意得可变电阻两端的电压V1=8−2=6伏，
∵I=UR，可变电阻和定值电阻的电流大小相等，
∴6R1=230，
解得R1=90，
∴−2m+240=90，
解得m=75，
∴当电压表显示的读数为2伏时，对应测重人的质量为75千克．
【解析】(1)利用待定系数法即可求出R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式；
(2)根据题意先求出R1，再代入(1)中的函数解析式即可求出m的值．
本题考查了一次函数的应用，理解题意，利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键．
21.【答案】(Ⅰ)证明：如图1，连接OC，
∵∠D=28°，
∴∠COP=2×28°=56°，
∵过点P作⊙O的切线，切点为点C，
∴∠OCP=90°，
∴∠P=90°−56°=34°；
(Ⅱ)解：如图2，连接AC，OC，
∵四边形CDBP为平行四边形，
∴∠D=∠CPB，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
由(1)得∠OCP=90°，
∴∠ACB=∠OCP，
∵∠D=∠A=∠CPB，
∴∠D=∠A=∠CPB=∠PCB，
在△ACP中，∠A+∠ACB+∠BCP+∠CPB=180°，
∴∠A+∠BCP+∠CPB=90°，
∴∠A=∠CPB=∠PCB=30°，
∴∠OBC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC=5，
∴PC= 3OB=5 3．
【解析】(Ⅰ)利用切线的性质和圆周角定理即可证明；
(Ⅱ)利用平行四边形的性质，三角形内角和定理，结合(Ⅰ)的结论，证明△OBC是等边三角形，即可求出结论．
本题考查了切线的性质，平行四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是正确作出辅助线．
22.【答案】解：(1)设A种水果的单价为m元，则B种水果的单价为(m+3)元．
依题意，得600m=900m+3，
解得：m=6，m+3=9，
经检验，m=6是原分式方程的解，
∴一盒果篮的成本为：9×2+6×4+8=50(元)，
∴一盒果篮的成本为50元．
(2)依题意，得w=(x−50)(−10x+1100)
=−10x2+1600x−55000
=−10(x−80)2+9000，
∵−10<0，
∴当x=80时，w的最大值为9000元；
(3)令w=5000，
解得x=60或x=100，
∵w≥5000，
∴60≤x≤100，
∴Q的取值范围为：100≤Q≤500．
【解析】(1)设A种水果的单价为m元，则B种水果的单价为(m+3)元，根据用600元购进A种水果和用900元购进B种水果数量一样多列分式方程解答；
(2)根据利润=每盒果篮的利润×销量得到函数解析式，再根据二次函数的性质可得出结论；
(3)根据(2)中二次函数的性质可直接得出结果．
此题考查了分式方程的应用，二次函数的应用，二次函数的性质，正确理解题意列得方程及函数关系式是解题的关键．
23.【答案】解：(1)①如图1，将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接BE，DF．
②证明：由旋转得CE=CF，∠ECF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CB=CD，∠BCD=90°，
∴∠BCE=∠DCF=90°−∠DCE，
在△BCE和△DCF中，
CE=CF∠BCE=∠DCFCB=CD，
∴△BCE≌△DCF(SAS)，
∴BE=DF．
(2)AE=2DM，
证明：如图2，将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接BE，DF，取AF中点M，连接AE，DM，
由旋转得CE=CF，∠ECF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CB=CD=AB=DA，∠BCD=∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠BCE=∠DCF=90°−∠DCE，
在△BCE和△DCF中，
CE=CF∠BCE=∠DCFCB=CD，
∴△BCE≌△DCF(SAS)，
∴BE=DF，∠CBE=∠CDF，
∴∠CBE−90°=∠CDF−90°，
延长DM到点G，使GM=DM，连接AG，
∵M是AF的中点，
∴AM=FM，
在△AGM和△FDM中，
AM=FM∠AMG=∠FMDGM=DM，
∴△AGM≌△FDM(SAS)，
∴AG=DF，∠G=∠MDF，
∴BE=AG，AG//DF，
∴∠DAG=180°−∠ADF=180°−(360°−90°−∠CDF)=∠CDF−90°，
∵∠ABE=∠CBE−90°，
∴∠ABE=∠DAG，
在△ABE和△DAG中，
AB=DA∠ABE=∠DAGBE=AG，
∴△ABE≌△DAG(SAS)，
∴AE=DG=2DM．
【解析】(1)①按题中要求补全图形即可；
②由旋转得CE=CF，∠ECF=90°，由正方形的性质得CB=CD，∠BCD=90°，则∠BCE=∠DCF=90°−∠DCE，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△BCE≌△DCF，则BE=DF；
(2)先证明△BCE≌△DCF，得BE=DF，∠CBE=∠CDF，再延长DM到点G，使GM=DM，连接AG，可证明△AGM≌△FDM，得AG=DF，∠G=∠MDF，所以BE=AG，AG//DF，可推导出∠DAG=180°−∠ADF=180°−(360°−90°−∠CDF)=∠CDF−90°，而∠ABE=∠CBE−90°，所以∠ABE=∠DAG，即可证明△ABE≌△DAG，则AE=DG=2DM．
此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线并且适当选择全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键．
2023年山东省临沂市临沭县中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数a在数轴上的对应点的位置如图所示.若b>a，则b的值可以是( )
A. −1 B. 0 C. 1 D. 2
2. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. 2x+3x=5x2 B. (−2x)3=−6x3
C. 2x3⋅3x2=6x5 D. (3x+2)(2−3x)=9x2−4
4. 如图，直线l1//l2，线段AB交l1，l2于D，B两点，过点A作AC⊥AB，交直线l1于点C，若∠1=20°，则∠2=( )
A. 70°
B. 100°
C. 110°
D. 160°
5. 估计 12× 12的值在( )
A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间
6. 不等式组x+2>03−x≥0的解在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
7. “宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶(相当于西乐的1，2，3，5，6)，是采用“三分损益法”通过数学方法获得.现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞中可能性大小相同.现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是( )
A. 125 B. 120 C. 110 D. 15
8. 若干桶方便面摆放在桌面上，它的三个视图如下，则这一堆方便面共有
( )
A. 7桶
B. 8桶
C. 9桶
D. 10桶
9. 关于x的方程x(x−1)=3(x−1)，下列解法完全正确的是( )
A. 两边同时除以(x−1)得x=3
B. 整理得x2−4x=−3，∵a=1，b=−4，c=−3，b2−4ac=28，∴x=4± 282=2± 7
C. 整理得x2−4x=−3，配方得x2−4x+2=−1，∴(x−2)2=−1，∴x−2=±1，∴x1=1，x2=3
D. 移项得：(x−3)(x−1)=0，∴x−3=0或x−1=0，∴x1=1，x2=3
10. 如图，已知点O是正六边形ABCDEF的中心，弧AE的长是8π，则该正六边形的边长是( )
A. 6
B. 3 2
C. 2 3
D. 12
11. 在三张透明纸上，分别有∠AOB、直线l及直线l外一点P、两点M与N，下列操作能通过折叠透明纸实现的有( )
①图1，∠AOB的角平分线；
②图2，过点P垂直于直线l的垂线；
③图3，点M与点N的对称中心．
A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③
12. 如图，是函数y=(x−1)(x−2)(x−3)(0≤x≤4)的图象，通过观察图象得出了
如下结论：
①当x>3时，y随x的增大而增大；
②该函数图象与坐标轴有三个交点；
③该函数的最大值是6，最小值是−6；
④当0≤x≤4时，不等式(x−1)(x−2)(x−3)>0的解为1
A. ①③
B. ①③④
C. ②④
D. ①②③
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 因式分解2x2−12x+18的结果是______．
14. 已知方程组3x+4y=2x−2y=4，则2x+y的值是______ ．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD=4，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N.若AC=3，则MN的长为______ ．
16. 如图，已知矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点M，N分别在边AD，BC上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上(不与两端点重合)，过点M作MH⊥BC于点H，连接BF，给出下列判断：①△MHN∽△BCF；②折痕MN的长度的取值范围为3
三、解答题（本大题共7小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
(1)计算：3−27−(13)−1+3÷(34−12)；
(2)化简：x2−1x÷(1−1x)．
18. (本小题8.0分)
北极海冰是地球系统的重要组成部分，其变化可作为全球气候变化的重要指示器.为了应对全球气候问题，科学家运用卫星遥感技术对北极海冰覆盖面积的变化情况进行监测，根据对多年的数据进行整理、描述和分析，形成了如下信息：
a、1961−2020年间北极海冰年最低覆盖面积变化的频数分布直方图如下所示：(数据分成8组：3≤x<4，4≤x<5，5≤x<6，6≤x<7，7≤x<8，8≤x<9，9≤x<10，10≤x<11)
b、1961−2020年间北极海冰年最低覆盖面积的数据在8≤x<9这一组的是：8.0，8.2，8.2，8.3，8.3，8.5，8.6，8.6，8.6，8.7，8.8
(1)写出1961−2020年间北极海冰年最低覆盖面积的中位数是______ (106平方千米)；
(2)北极海冰最低覆盖面积出现了大面积的缩减是______ 年.
(3)请参考反映1961−2020年间北极海冰年最低覆盖面积变化的折线图，解决以下问题：
①记北极地区1961−1990年北极海冰年最低覆盖面积的方差为s12，1991−2020年北极海冰年最低覆盖面积的方差为s22，请直接判断s12 ______ s22的大小关系(填写“>”“<”或“=”)；
②根据2000年以后北极海冰年最低覆盖面积的相关数据，推断全球气候发生了怎样的变化？在你的生活中应采取哪些措施应对这一变化？
19. (本小题8.0分)
如图，在一个坡角为30°的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成52°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC长为12米，求树高AB.(精确到0.1米， 3≈1.73，sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28.)
20. (本小题10.0分)
电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便.某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板(踏板质量忽略不计)的可变电阻R1，R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1=km+b(其中k，b为常数，0≤m≤120)，其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0，该读数可以换算为人的质量m．
温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I=UR；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
(1)求出R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式并写出m的取值范围；
(2)求出当电压表显示的读数为2伏时，对应测重人的质量为多少千克？
21. (本小题10.0分)
已知：在⊙O中，AB为直径，P为射线AB上一点，过点P作⊙O的切线，切点为点C，D为AC上一点，连接BD、BC、DC．
(Ⅰ)如图1，若∠D=28°，求∠P的度数．
(Ⅱ)如图2，若四边形CDBP为平行四边形，BC=5，求CP的长．
22. (本小题12.0分)
某水果店配装一种果篮需要A，B两种水果，A种水果的单价比B种水果单价少3元，若用600元购进A种水果和用900元购进B种水果数量一样多，配装一个果篮需要A种水果4斤和B种水果2斤，每个还需包装费8元.市场调查发现：设每个果篮的售价是x元(x是整数)，该果篮每月的销量Q(个)与售价x(元)的关系式为Q=−10x+1100．
(1)求一个果篮的成本(成本=进价+包装费)；
(2)若销售这种果篮每月的利润是w元，求w关于x的函数解析式，并求出当售价为多少时，销售利润最大？
(3)若要使销售这种果篮每月的利润不低于5000元，求该种果篮的销售量的取值范围．
23. (本小题12.0分)
已知正方形ABCD和一动点E，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接BE，DF．
(1)如图1，当点E在正方形ABCD内部时：
①依题意补全图1；
②求证：BE=DF；
(2)如图2，当点E在正方形ABCD外部时，连接AF，取AF中点M，连接AE，DM，用等式表示线段AE与DM的数量关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：观察数轴得：1
∴b的值可以是2．
故选：D．
观察数轴得：1
2.【答案】C
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
【解答】
解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
3.【答案】C
【解析】解：A、2x+3x=5x，故原题计算错误；
B、(−2x)3=−8x3，故原题计算错误；
C、2x3⋅3x2=6x5，故原题计算正确；
D、(3x+2)(2−3x)=4−9x2，故原题计算错误；
故选：C．
利用合并同类项法则、积的乘方的性质、单项式乘以单项式计算法则、平方差公式进行计算即可．
此题主要考查了整式的混合运算，关键是熟练掌握合并同类项法则、积的乘方的性质、单项式乘以单项式计算法则、平方差公式．
4.【答案】C
【解析】解：∵AC⊥AB，
∴∠A=90°，
∵∠1=20°，
∴∠ADC=180°−90°−20°=70°，
∵l1//l2，
∴∠3=∠ADC=70°，
∴∠2=180°−70°=110°，
故选：C．
利用垂直定义和三角形内角和定理计算出∠ADC的度数，再利用平行线的性质可得∠3的度数，再根据邻补角的性质可得答案．
此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
5.【答案】A
【解析】解：原式= 12×12
= 6，
∵4<6<9，
∴ 4< 6< 9，
即2< 6<3，
那么原式的值在2和3之间，
故选：A．
先将原式进行计算，然后判断其结果在哪两个连续整数之间即可．
本题考查二次根式的乘法及无理数的估算，它们均为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
6.【答案】A
【解析】解：由x+2>0得x>−2，
由3−x≥0得x≤3，
所以不等式组的解集为−2
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意画图如下：
共有25种等可能的情况数，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的有1种，
则先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是125．
故选：A．
画树状图，共有25种等可能的结果，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的结果有1种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．掌握概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：综合三视图，这堆方便面底层应该有5桶，
第二层应该有3桶，
第三层应该有1桶，
因此共有5+3+1=9桶．
故选C．
根据三视图的知识，底层应有5桶方便面，第二层应有2桶，第三层有1桶，即可得出答案．
本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
9.【答案】D
【解析】解：A.不符合解一元二次方程的方法；故A错误，不符合题意；
B.c=3不是−3，故B错误，不符合题意；
C.配方时，等式两边应该加4，故C错误，不符合题意；
D.x(x−1)=3(x−1)，
x(x−1)−3(x−1)=0，
(x−1)(x−3)=0，
∴x−3=0或x−1=0，
∴x1=1，x2=3.故D正确，符合题意；
故选：D．
方程右边整体移到左边，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
此题考查了解二元一次方程−因式分解法，直接开方法，公式法，以及配方法，熟练掌握各自解法是解本题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：连接OF，
设⊙O的半径为R，
∵O是正六边形ABCDEF的中心，
∴∠AOF=∠EOF=360°6=60°，
∴∠AOE=120°，
∵OA=OF，
∴△OAF是等边三角形，
∴AF=OA=R，
∵弧AE的长是8π，
∴120πR180=8π，
∴R=12，
∴AF=R=12，
∴正六边形的边长是12，
故选：D．
先求出中心角∠AOF=60°，证得△OAF是等边三角形，得到AF=R，根据弧长公式求出圆的半径，即可得到正六边形的边长．
本题主要考查了正多边形和圆，弧长的计算，解题的关键是能求出正六边形的边长等于圆的半径．
11.【答案】D
【解析】解：①经过点O进行折叠，使OA与OB重合，折痕纪委角平分线，故①能通过折叠透明纸实现；
②经过点P折叠，使折痕两边的直线l重合，折痕即为过点P垂直于直线l的垂线，故②能通过折叠透明纸实现；
③经过点N，M折叠，展开，展开，然后再折叠使点N，M重合，两次折痕的交点即为点N，M的对称中心，故③能通过折叠透明纸实现．
故选：D．
由角平分线所在的直线是这个角的对称轴可判断①；根据垂直的性质可判断②；根据成中心对称的对应点连线经过对称中心，并且被对称中心平分可判断③．
此题考查了角平分线的对称性，垂线的性质，中心对称的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
12.【答案】A
【解析】解：①观察函数图象可知，当x>3时，图象是向右上方延伸的，即y随x的增大而增大．故①正确．
②观察图象可知，该函数图象与x轴有3个交点，与y轴有一个交点，所以与坐标轴有四个交点．故②错误．
③观察图象可知，当x=0时，函数有最小值−6；当x=4时，函数有最大值6.故③正确．
④观察图象可知，函数图象在x轴上方部分x的取值范围是1
利用数形结合的思想，对照所给的函数图象，可逐一验证是否正确．
本题考查了用数形结合的思想解决问题，正确识别图象中所给出的信息是解决本题的关键．
13.【答案】2(x−3)2
【解析】解：原式=2(x2−6x+9)
=2(x−3)2．
故答案为：2(x−3)2．
先提公因式2，再套用完全平方公式．
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和完全平方公式是解决本题的关键．
14.【答案】3
【解析】解：3x+4y=2①x−2y=4②，
①+②得：4x+2y=6，
则2x+y=3．
故答案为：3．
方程组两方程相加即可求出2x+y的值．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
15.【答案】127
【解析】解：∵∠ACB=90°，BD⊥CB，MN⊥CB，
∴AC//MN//BD，
∴△BMN∽△BAC，△CMN∽△CDB，
∴MNAC=BNBC，MNBD=CNBC，
∴MNAC+MNBD=BNBC+CNBC=1，
∴MN3+MN4=1，
∴MN=127，
故答案为：127．
由∠ACB=90°，BD⊥CB，MN⊥CB得AC//MN//BD，可得△BMN∽△BAC，△CMN∽△CDB，从而得MNAC=BNBC，MNBD=CNBC，把两式相加得MN3+MN4=1，从而求出MN的长度．
本题主要考查了三角形相似的判定和性质，旨在判断学生是否对两个常见的相似模型“A型相似”和“8字型相似”能够灵活应用．
16.【答案】①②③
【解析】解：①如图1，由折叠可知BF⊥MN，
∴∠BOM=90°，
∵MH⊥BC，
∴∠BHP=90°=∠BOM，
∵∠BPH=∠OPM，
∴∠CBF=∠NMH，
∵∠MHN=∠C=90°，
∴△MHN∽△BCF，
故①正确；
②当F与C重合时，MN=3，此时MN最小，
当F与D重合时，如图2，此时MN最大，
由勾股定理得：BD=5，
∵OB=OD=52，
∵tan∠DBC=ONOB=CDBC，即ON52=34，
∴ON=158，
∵AD//BC，
∴∠MDO=∠OBN，
在△MOD和△NOB中，
∠MDO=∠OBNOD=OB∠DOM=∠BON，
∴△DOM≌△BON(ASA)，
∴OM=ON，
∴MN=2ON=154，
∵点F在线段CD上(不与两端点重合)，
∴折痕MN的长度的取值范围为3
③如图3，连接BM，FM，
当四边形CDMH为正方形时，MH=CH=CD=DM=3，
∵AD=BC=4，
∴AM=BH=1，
由勾股定理得：BM= 32+12= 10，
∴FM= 10，
∴DF= FM2−DM2= ( 10)2−32=1，
∴CF=3−1=2，
设HN=x，则BN=FN=x+1，
在Rt△CNF中，CN2+CF2=FN2，
∴(3−x)2+22=(x+1)2，
解得：x=32，
∴HN=32，
∵CH=3，
∴CN=HN=32，
∴N为HC的中点；
故③正确；
④当四边形CDMH为正方形时，由③得FC=2，NC=32，
∴tan∠FNC=FCNC=232=43，
故④错误；
所以本题正确的结论有：①②③；
故答案为：①②③．
根据矩形的性质和三角形的内角和定理即可判定①正确；
根据MN最大值和最小值时F的位置可判定②正确；
根据四边形CDMH为正方形和勾股定理分别求出各边的长，可判定③正确；
由③求得FC=2，NC=32，代入即可求得tan∠FNC的值，可判定④错误；从而求解．
本题主要考查了矩形的性质和判定，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质，解答本题主要应用了矩形的性质、翻折的性质，熟记翻折前后的两个图形能够完全重合得到相等的边和角是解题的关键．
17.【答案】解：(1)3−27−(13)−1+3÷(34−12)
=−3−3+3÷14
=−3−3+3×4
=−3−3+12
=6；
(2)x2−1x÷(1−1x)
=(x+1)(x−1)x÷x−1x
=(x+1)(x−1)x⋅xx−1
=x+1．
【解析】(1)先化简，然后将除法转化为乘法，再算乘法，最后算加减法即可；
(2)先算括号内的式子，再算括号外的除法．
本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】8.6 2001 <
【解析】解：(1)由题意可知，1961−2020年总共有60个数据，第30个数据是8.6，第31个数据是8.6，
∴中位数是8.6+8.62=8.6，
故答案为：8.6；
(2)由1961−2020年间北极海冰年最低覆盖面积变化图，可知北极海冰最低覆盖面积出现了大面积的缩减是2001年，
故答案为：2001；
(3)①由1961−2020年间北极海冰年最低覆盖面积变化图可知，
北极地区1961−1990年北极海冰年最低覆盖面积变化波动比1991−2020年北极海冰年最低覆盖面积变化小，
∴s12
②根据2000年以后北极海冰年最低覆盖面积逐渐减小，可知全球气候变暖，
所以在平时我们应该低碳出行，节能减排(答案不唯一，合理即可)．
(1)根据中位数的概念求解即可；
(2)根据频率分布折线图即可得出答案；
(3)①根据方差的含义，结合频率分布折线图即可确定答案；
②结合实际解答即可．
本题考查了频率分布直方图，频率分布折线图，方差，中位数等，理解给定的直方图和折线图上各数据的含义是解题的关键．
19.【答案】解：过C点作CD垂直于AB的延长线于点D，垂足为D.由题意得，CD平行于水平地面，
∴∠BCD=α=30°，∠ACD=52°．
在Rt△BCD中，BD=BC⋅sin30°=12sin30°=6，
CD=BC⋅cos30°=6 3，
在Rt△ACD中，∠ACD=50°，
∴CD=AD，
即6 3=6+AB，
∴AB=6 3−6=4.38，
答：大树AB的高约为4.38米．
【解析】过C点作CD垂直于AB的延长线于点D，垂足为D.由题意得，CD平行于水平地面，在Rt△BCD中，求得BD=9，在Rt△ACD中，∠ACD=45°，可得CD=AD，即9 3=9+AB，即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．
20.【答案】解：(1)将(0,240)、(120,0)代入R1=km+b，
b=240120k+b=0，
解得k=−2b=240，
∴R1=−2m+240(0≤m≤120)；
(2)由题意得可变电阻两端的电压V1=8−2=6伏，
∵I=UR，可变电阻和定值电阻的电流大小相等，
∴6R1=230，
解得R1=90，
∴−2m+240=90，
解得m=75，
∴当电压表显示的读数为2伏时，对应测重人的质量为75千克．
【解析】(1)利用待定系数法即可求出R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式；
(2)根据题意先求出R1，再代入(1)中的函数解析式即可求出m的值．
本题考查了一次函数的应用，理解题意，利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键．
21.【答案】(Ⅰ)证明：如图1，连接OC，
∵∠D=28°，
∴∠COP=2×28°=56°，
∵过点P作⊙O的切线，切点为点C，
∴∠OCP=90°，
∴∠P=90°−56°=34°；
(Ⅱ)解：如图2，连接AC，OC，
∵四边形CDBP为平行四边形，
∴∠D=∠CPB，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
由(1)得∠OCP=90°，
∴∠ACB=∠OCP，
∵∠D=∠A=∠CPB，
∴∠D=∠A=∠CPB=∠PCB，
在△ACP中，∠A+∠ACB+∠BCP+∠CPB=180°，
∴∠A+∠BCP+∠CPB=90°，
∴∠A=∠CPB=∠PCB=30°，
∴∠OBC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC=5，
∴PC= 3OB=5 3．
【解析】(Ⅰ)利用切线的性质和圆周角定理即可证明；
(Ⅱ)利用平行四边形的性质，三角形内角和定理，结合(Ⅰ)的结论，证明△OBC是等边三角形，即可求出结论．
本题考查了切线的性质，平行四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是正确作出辅助线．
22.【答案】解：(1)设A种水果的单价为m元，则B种水果的单价为(m+3)元．
依题意，得600m=900m+3，
解得：m=6，m+3=9，
经检验，m=6是原分式方程的解，
∴一盒果篮的成本为：9×2+6×4+8=50(元)，
∴一盒果篮的成本为50元．
(2)依题意，得w=(x−50)(−10x+1100)
=−10x2+1600x−55000
=−10(x−80)2+9000，
∵−10<0，
∴当x=80时，w的最大值为9000元；
(3)令w=5000，
解得x=60或x=100，
∵w≥5000，
∴60≤x≤100，
∴Q的取值范围为：100≤Q≤500．
【解析】(1)设A种水果的单价为m元，则B种水果的单价为(m+3)元，根据用600元购进A种水果和用900元购进B种水果数量一样多列分式方程解答；
(2)根据利润=每盒果篮的利润×销量得到函数解析式，再根据二次函数的性质可得出结论；
(3)根据(2)中二次函数的性质可直接得出结果．
此题考查了分式方程的应用，二次函数的应用，二次函数的性质，正确理解题意列得方程及函数关系式是解题的关键．
23.【答案】解：(1)①如图1，将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接BE，DF．
②证明：由旋转得CE=CF，∠ECF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CB=CD，∠BCD=90°，
∴∠BCE=∠DCF=90°−∠DCE，
在△BCE和△DCF中，
CE=CF∠BCE=∠DCFCB=CD，
∴△BCE≌△DCF(SAS)，
∴BE=DF．
(2)AE=2DM，
证明：如图2，将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接BE，DF，取AF中点M，连接AE，DM，
由旋转得CE=CF，∠ECF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CB=CD=AB=DA，∠BCD=∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠BCE=∠DCF=90°−∠DCE，
在△BCE和△DCF中，
CE=CF∠BCE=∠DCFCB=CD，
∴△BCE≌△DCF(SAS)，
∴BE=DF，∠CBE=∠CDF，
∴∠CBE−90°=∠CDF−90°，
延长DM到点G，使GM=DM，连接AG，
∵M是AF的中点，
∴AM=FM，
在△AGM和△FDM中，
AM=FM∠AMG=∠FMDGM=DM，
∴△AGM≌△FDM(SAS)，
∴AG=DF，∠G=∠MDF，
∴BE=AG，AG//DF，
∴∠DAG=180°−∠ADF=180°−(360°−90°−∠CDF)=∠CDF−90°，
∵∠ABE=∠CBE−90°，
∴∠ABE=∠DAG，
在△ABE和△DAG中，
AB=DA∠ABE=∠DAGBE=AG，
∴△ABE≌△DAG(SAS)，
∴AE=DG=2DM．
【解析】(1)①按题中要求补全图形即可；
②由旋转得CE=CF，∠ECF=90°，由正方形的性质得CB=CD，∠BCD=90°，则∠BCE=∠DCF=90°−∠DCE，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△BCE≌△DCF，则BE=DF；
(2)先证明△BCE≌△DCF，得BE=DF，∠CBE=∠CDF，再延长DM到点G，使GM=DM，连接AG，可证明△AGM≌△FDM，得AG=DF，∠G=∠MDF，所以BE=AG，AG//DF，可推导出∠DAG=180°−∠ADF=180°−(360°−90°−∠CDF)=∠CDF−90°，而∠ABE=∠CBE−90°，所以∠ABE=∠DAG，即可证明△ABE≌△DAG，则AE=DG=2DM．
此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线并且适当选择全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键．
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