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2023年山东省临沂市兰山区中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年山东省临沂市兰山区中考数学二模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省临沂市兰山区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算3×(−2)的结果等于( )
A. 1 B. −1 C. −6 D. 6
2. 2023年的央视春晚舞美设计以“满庭芳”为主题，将中华文明的传统美学理念与现代科技相结合，令人耳目一新.演播厅顶部的大花造型，来源于中国传统纹样“宝相花”(如图).下列选项对其对称性的表述正确的是( )
A. 轴对称图形
B. 既是轴对称图形又是中心对称图形
C. 中心对称图形
D. 既不是轴对称图形又不是中心对称图形
3. 经文化和旅游部数据中心测算，今年“五一”假期，全国国内旅游出游合计2.74亿人次，实现国内旅游收入1480.56亿元，其中1480.56亿用科学记数法表示为( )
A. 1480.56×108 B. 1.48056×1011 C. 1480.56×1011 D. 1.48056×1010
4. 如图，直线a//b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2=39°，则∠1的度数为( )
A. 81° B. 71° C. 61° D. 51°
5. 如图，一个球体在长方体上沿虚线从左向右滚动，在滚动过程中，球体与长方体的组合图形的视图始终不变的是( )
A. 左视图 B. 主视图 C. 俯视图 D. 左视图和俯视图
6. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为( )
A. 4x+6y=383x+5y=48 B. 4x+6y=485x+3y=38 C. 4x+6y=483x+5y=38 D. 4x+6y=385x+3y=48
7. 为了学习宣传党的二十大精神，某校学生宣讲团赴社区宣讲.现从2名男生1名女生中任选2人，则恰好选中1名男生1名女生的概率为( )
A. 23 B. 12 C. 13 D. 14
8. 下列运算正确的是( )
A. a3+a2=a5 B. a6÷a3=a2
C. (a+b)2=a2+b2 D. (−5)2=5
9. 某中学青年志愿者协会的10名志愿者，一周的社区志愿服务时间如下表所示：
时间/h
3
4
5
6
7
人数
1
3
2
3
1
关于志愿者服务时间的描述正确的是( )
A. 平均数是5 B. 中位数是4 C. 众数是6 D. 方差是1
10. 方程x2+7x+12=0的两个根为( )
A. x1=−3，x2=−4 B. x1=−3，x2=4
C. x1=3，x2=−4 D. x1=3，x2=4
11. 学了圆后，小亮突发奇想，想到用这种方法测量三角形的角度：将三角形纸片如图放置，使得顶点C在量角器的半圆上，纸片另外两边分别与量角器交于A，B两点.点A，B的度数是72°，14°，这样小明就能得到∠C的度数，请你帮忙算算∠C的度数是( )
A. 28° B. 29° C. 30° D. 58°
12. 已知A，B两地相距1500米，甲步行沿一条笔直的公路从A地出发到B地，乙骑自行车比甲晚5分钟从B地出发，沿同一条公路到达A地后立刻以原速度返回，并与甲同时到达B地，甲、乙离A地的距离y(米)与甲行走时间x(分)的函数图象如图所示，则甲出发后两人第一次相遇所需的时间是( )
A. 132分钟 B. 7分钟 C. 152分钟 D. 8分钟
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 若正n边形的一个外角是36°，则n= ______ ．
14. 若a=b+3，则2a2−4ab+2b2= ______ ．
15. 如图，等腰Rt△ABC中，AB=AC= 2，以A为圆心，以AB为半径作BDC；以BC为直径作CAB.则图中阴影部分的面积是 .(结果保留π)
16. 一块三角形材料如图所示，∠A=60°，∠C=90°，AB=12，用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，能够剪出的矩形CDEF的面积最大为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
(1)计算：(−2023)0−38+4cos45°；
(2)解不等式2x−13≤2+x2，并在数轴上表示解集．
18. (本小题8.0分)
某学校印发了上级主管部门的“法治和交通安全等知识告学生书”学习材料，经过一段时间的学习，同学们都有了提高，为了解具体情况，学校综治办开展了一次全校性竞赛活动，李老师随机抽取了这次竞赛中部分同学的成绩，并绘制了下面不完整的统计图、表．
参赛成绩
60≤x<70
70≤x<80
80≤x<90
90≤x<100
人数
8
m
n
32
级别
及格
中等
良好
优秀
请根据所给的信息解答下列问题：
(1)①李老师抽取了______ 名学生的参赛成绩；
②根据上面的频数分布表，我们可以用各组的组中值(数据分组后，一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数.例如60≤x<70的组中值为60+702=65)代表各组的实际数据，则抽取的学生的平均成绩是______ 分；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)若该校有2000名学生，请估计竞赛成绩在良好以上(x≥80)的学生有多少人？
19. (本小题8.0分)
圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”)，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为37°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为84°，圭面上夏至线与圭表交点之间的距离(即CD的长)为0.6米.求圭面上冬至线与夏至线之间BD的长(最后结果精确到1米).(参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34，tan84°≈192)
20. (本小题10.0分)
某港口某天的潮水高度y(cm)和时间x(h)的部分数据及函数图象如下：
x(h)
…
11
12
13
14
15
16
17
18
…
y(cm)
…
202
130
94
80
101
133
202
260
…
(数据来自某海洋研究所)
(1)数学活动：
①根据表中数据，通过描点、连线(光滑曲线)的方式补全该函数的图象；
②观察函数图象，当x=4时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？
(2)数学思考：
请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．
(3)数学应用：
根据研究，当潮水高度超过260cm时，货轮方能够安全进出该港口.请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？
21. (本小题10.0分)
如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，∠ABE的平分线交⊙O于点C，过点C的直线交BA的延长线于点P，交BE的延长线于点D，且∠PCA=∠ABC．
(1)求证：PC为⊙O的切线；
(2)若PC= 2AB，PB=12，求⊙O的半径及BE的长．
22. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2−2ax+a+3(a≠0)和直线y=−x+4．
(1)求抛物线的顶点M的坐标；
(2)我们规定若函数图象上存在一点P(s,t)，满足s+t=1，则称点P为函数图象上“OK点”.例如：直线y=3x−1上存在的“OK点”P(12,12).若抛物线y=ax2−2ax+a+3(a≠0)上存在唯一的“OK点”P，求出点P的坐标；
(3)设该抛物线与直线y=−x+4的一个交点为A，其横坐标为m，且0≤m<12，请直接写出a的取值范围．
23. (本小题12.0分)
已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A．
(1)【特例发现】如图1，当点G在AD上，F在AB上，求CEDG的值；
(2)【探究发现】如图2，将正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转a(0°
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：3×(−2)
=−(3×2)
=−6，
故选：C．
运用有理数的乘法法则进行计算、求解．
此题考查了有理数乘法的运算能力，关键是能准确理解并运用该知识，并能进行正确地计算．
2.【答案】B
【解析】解：题中给出的图形是中心对称图形，也是轴对称图形．
故选：B．
直接根据中心对称图形与轴对称图形的概念解答即可．
此题考查的是中心对称图形与轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形
3.【答案】B
【解析】解：1480.56亿=1480.56×108=1.48056×1011，
故选：B．
运用科学记数法的定义进行求解．
此题考查了运用科学记数法表示较大数的能力，关键是能准确理解并运用该知识．
4.【答案】A
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=60°，
∵∠A+∠3+∠2=180°，
∴∠3=180°−39°−60°=81°，
∵a//b，
∴∠1=∠3=81°．
故选：A．
先根据等边三角形的性质得到∠A=60°，再根据三角形内角和定理计算出∠3=80°，然后根据平行线的性质得到∠1的度数．
本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°.也考查了平行线的性质．熟知知识点是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：在滚动过程中主视图会发生变化；
在滚动过程俯视图会发生变化；
在滚动过程左视图不会发生变化；
故选：A．
分别根据左视图、主视图和俯视图进行判断即可．
本题考查三视图，解题的关进是掌握三视图的相关知识．
6.【答案】C
【解析】解：∵马四匹、牛六头，共价四十八两，
∴4x+6y=48；
∵马三匹、牛五头，共价三十八两，
∴3x+5y=38．
∴可列方程组为4x+6y=483x+5y=38．
故选：C．
利用总价=单价×数量，结合“马四匹、牛六头，共价四十八两；马三匹、牛五头，共价三十八两”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：设2名男生分别记为A，B，1名女生记为C，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中恰好选中1名男生1名女生的结果有：AC，BC，CA，CB，共4种，
∴恰好选中1名男生1名女生的概率为46=23．
故选：A．
画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好选中1名男生1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：A：不是同类项不能合并，故A不符合题意；
B：同底数幂相除，底数不变，指数相减，故B不符合题意；
C：完全平方公式的结果是三项式，故C不符合题意；
D： (−5)2=5.故D符合题意；
故选：D．
分别应用整式的加法法则，同底数幂相除，完全平方公式及二次根式的性质．
本题考查了整式的基本运算，熟练掌握基础知识是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：这组数据的平均数为3×1+4×3+5×2+6×3+7×110=5(h)，故A选项符合题意；
这组数据的中位数是5+52=5(h)，故B选项不符合题意；
这组数据的众数是4和6，故C选项不符合题意；
则方差为110×[(3−5)2+3×(4−5)2+2×(5−5)2+3×(6−5)2+(7−5)2]=1.4，故D选项不符合题意．
故选：A．
根据平均数、中位数、众数及方差的定义求解即可．
本题主要考查方差、平均数、中位数以及众数，解题的关键是掌握众数、中位数、平均数及方差的定义．
10.【答案】A
【解析】解：x2+7x+12=0，
(x+3)(x+4)=0，
x+3=0或x+4=0，
所以x1=−3，x2=−4．
故选：A．
利用因式分解法把方程转化为x+3=0或x+4=0，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
11.【答案】B
【解析】解：如图，设圆心为O，连接OA，OB，
则∠AOB=72°−14°=58°，
∴∠C=12∠AOB=29°．
故选：B．
根据圆周角和圆心角的关系解答即可．
本题考查了圆周角定理，从实际问题中抽象出圆周角定理模型是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：由图象可得，
甲步行的速度为：1500÷(10+5)=100(米/分)，
乙的速度为：1500÷(10−5)=300(米/分)，
设甲出发后两人第一次相遇所需的时间是a分钟，
100a+300(a−5)=1500，
解得a=7.5，
即甲出发后两人第一次相遇所需的时间是7.5分钟，
故选：C．
根据题意和图象中的数据，可以计算出甲、乙的速度，然后即可列出相应的方程，求解即可．
本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
13.【答案】10
【解析】解：n=360°÷36°=10．
故答案为：10．
利用多边形的外角和即可解决问题．
主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°，用外角和求正多边形的边数直接让360度除以外角即可．
14.【答案】18
【解析】解：∵a=b+3，
∴a−b=3，
∴2a2−4ab+2b2
=2(a2−2ab+b2)
=2(a−b)2
=2×32
=18．
故答案为：18．
由已知条件可得a−b=3，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可．
本题主要考查完全平方公式，解答的关键是熟记完全平方公式的形式：(a±b)2=a2±2ab+b2．
15.【答案】π−2
【解析】
【分析】
如图，取BC的中点O，连接OA.根据S阴=12S圆O−S△ABC+S扇形ACB−S△ACB，求解即可．
本题考查扇形的面积，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用割补法求阴影部分的面积．
【解答】
解：如图，取BC的中点O，连接OA．
∵∠CAB=90°，AC=AB= 2，
∴BC= 2AB=2，
∵OA=OB=OC=1，
∴S阴=12S圆O−S△ABC+S扇形ACB−S△ACB
=12⋅π×12−12× 2× 2+90π×( 2)2360−12× 2× 2
=π−2．
故答案为：π−2．
16.【答案】9 3
【解析】解：∵∠C=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∵AB=12，
∴AC=12AB=12×12=6，
由勾股定理得，BC= AB2−AC2= 122−62=6 3，
设EF=x，FC=y，
∵四边形CDEF是矩形，
∴EF//CD，
即EF//BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴AFAC=EFBC，
∴6−y6=x6 3，
∴y=6− 33x，
设矩形CDEF的面积为S，
则S=xy
=x(6− 33x)
=− 33x2+6x
=− 33(x−3 3)2+9 3，
∵− 33<0，
∴S有最大值，
当x=3 3时，S的最大值为9 3，
故答案为：9 3．
根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半求出AC的长，再根据勾股定理求出BC的长，根据矩形的对边平行得出EF//BC，从而得到△AEF∽△ABC，再根据相似三角形对边边成比例列出比例式，设EF=x，FC=y，从而用x表示出y，最后根据矩形面积公式计算，利用二次函数的性质再求出它的最大值即可．
本题考查了相似三角形的性质与判定，二次函数的最值，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
17.【答案】解：(1)(−2023)0−38+4cos45°
=1−2+4× 22
=−1+2 2；
(2)2x−13≤2+x2，
2(2x−1)≤3(2+x)，
4x−2≤6+3x，
4x−3x≤6+2，
x≤8，
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
【解析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；
(2)按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】80 85.5
【解析】解：(1)①李老师抽取的学生人数为：32÷40%=80(名)，
②∵中等成绩的学生人数为：80×15%=12(人)，良好成绩的学生人数为：80×35%=28(人)，
∴抽取的学生的平均成绩=65×8+75×12+85×28+95×3280=85.5(分)，
故答案为：①80，②85.5；
(2)将条形统计图补充完整如下：
(3)2000×(35%+40%)=1500(人)，
答：估计竞赛成绩在良好以上(x≥80)的学生有1500人．
(1)①根据条形图优秀有32人，由扇形统计图知优秀占40%，进而得出总人数，②根据算术平均数公式计算即可求解；
(2)根据(1)的结论补充条形统计图即可求解；
(3)用样本估计总体即可求解．
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19.【答案】解：由题意得：AC⊥BC，
在Rt△ACD中，∠ADC=84°，CD=0.6米，
∴AC=CD⋅tan84°≈0.6×192=5.7(米)，
在Rt△ABC中，∠ABC=37°，
∴BC=ACtan37∘≈5.734=7.6(米)，
∴BD=BC−CD=7.6−0.6=7(米)，
∴圭面上冬至线与夏至线之间BD的长约为7米．
【解析】根据题意可得：AC⊥BC，然后在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，再在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，平行投影，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
20.【答案】解：(1)①如图：
②通过观察函数图象，当x=4时，y=200，当y值最大时，x=21；
(2)该函数的两条性质如下(答案不唯一)：
①当2≤x≤7时，y随x的增大而增大；
②当x=14时，y有最小值为80；
(3)由图象，当y=260时，x=5或x=10或x=18或x=23，
∴当5260，
即当5
②利用数形结合思想分析求解；
(2)结合函数图象增减性及最值进行分析说明；
(3)结合函数图象确定关键点，从而求得取值范围．
本题考查函数的图象，理解题意，准确识图，利用数形结合思想确定关键点是解题关键．
21.【答案】(1)证明：连接OC，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°．
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠ABC．
∴∠ABC+ACO=90°，
∵∠PCA=∠ABC，
∴∠PCA+∠ACO=90°，
即∠PCO=90°，
∴OC⊥PC，
∵OC为⊙O的半径，
∴PC为⊙O的切线；
(2)解：设⊙O的半径为r，则AB=2r，OC=r，
∵PB=12，
∴PO=PB−OB=12−r．
∵PC= 2AB，
∴PC=2 2r.
由(1)知：OC⊥PC，
∴PO2=PC2+OC2．
∴(12−r)2=r2+(2 2r)2，
∴r2+3r−18=0．
解得：r=−6(不合题意，舍去)或r=3．
∴⊙O的半径3；
∴AB=6，PO=9，PC=6 2．
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠ABC．
∵∠ABC=∠DBC，
∴∠OCB=∠DBC，
∴OC//BD．
∴△PCO∽△PDB．
∴PCPD=POPB，
∴6 2PD=912，
∴PD=8 2．
∴CD=PD−PC=2 2．
过点O作OH⊥BE于点H，则BH=EH=12BE，
∵OC⊥PC，OC//BD，
∴BD⊥PD，
∴四边形OCDH为矩形，
∴OH=CD=2 2，
∴BH= OB2−OH2= 32−(2 2)2=1，
∴BE=2BH=2．
【解析】(1)连接OC，利用圆周角定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质和等量代换得到∠ACO=90°，再利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论；
(2)设⊙O的半径为r，则AB=2r，OC=r，利用勾股定理列出关于r的方程，解方程即可得出结论；利用相似三角形的判定与性质求得线段PD，CD的长，过点O作OH⊥BE于点H，则由垂径定理得到BH=EH=12BE，利用三个角为直角的四边形为矩形得到四边形OCDH为矩形，则OH=CD=2 2，利用勾股定理求得BH，则BE=2BH．
本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，垂径定理，连接经过切点的半径，作出弦心距是解决此类问题常添加的辅助线．
22.【答案】解：(1)∵y=ax2−2ax+a+3=a(x−1)2+3，
∴抛物线的顶点M坐标为(1,3)．
(2)∵点P(s,t)，满足s+t=1，
∴点P在直线y=−x+1上运动，
根据题意联立方程组，
得y=ax2−2ax+a+3y=−x+1，
消去y得ax2−2ax+a+3=−x+1，
即ax2+(1−2a)x+a+2=0，
∵抛物线y=ax2−2ax+a+3(a≠0)上存在唯一的“OK点”P，
∴Δ=(1−2a)2−4a(a+2)=−12a+1=0，
解得a=112，
∴将a=112代入ax2+(1−2a)x+a+2=0中，
得112x2+56x+2512=0，
解得x=−5，
将x=−5代入y=−x+1，
得y=−(−5)+1=6，
∴P(−5,6)．
(3)将该抛物线与直线y=−x+4联立方程组，
得y=ax2−2ax+a+3y=−x+4，
消去y得ax2−2ax+a+3=−x+4，
即ax2−(2a−1)x+a−1=0，
即(x−1)(ax−a+1)=0，
解得x1=1，x2=a−1a，
∵该抛物线与直线y=−x+4的一个交点为A，其横坐标为m，
∴m=a−1a，
∵0≤m<12，
∴0≤a−1a<12，
∴0−1≤a−1a−1<12−1，
即−1≤−1a<−12，
∴12<1a≤1，
∴a的取值范围是1≤a<2．
【解析】(1)将抛物线解析式改成顶点式，即可求出顶点M坐标；
(2)根据题意整理得方程ax2+(1−2a)x+a+2=0，由Δ=0可求得a的值，进而解方程得x的值，可得P的坐标；
(3)先将该抛物线与直线y=−x+4联立方程组，消去y，再用因式分解法求根，从而得到m与a的关系式，再根据0≤m<12求解即可．
本题考查了二次函数的综合应用，主要考查二次函数的图象与性质、一次函数的性质、解一元二次方程等知识，解题关键是熟练掌握一次函数与二次函数的性质．
23.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，四边形AFEG是正方形，
∴∠AGE=∠D=90°，∠DAC=45°，
∴AEAG= 2，GE//CD，
∴CEDG=AEAG= 2，
∴CE= 2DG，
∴CEDG= 2；
(2)连接AE，
由旋转性质知∠CAE=∠DAG=α，
在Rt△AEG和Rt△ACD中，
AGAE=cos45°= 22、ADAC=cos45°= 22，
∴AGAE=ADAC，
∴△ADG∽△ACE，
∴DGCE=AGAE= 22，
∴CEDG= 2；
(3)①如图：
由(2)知△ADG∽△ACE，
∴DGCE=ADAC= 22，
∴DG= 22CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=8，AC= AB2+BC2=8 2，
∵AG= 22AD，
∴AG= 22AD=4 2，
∵四边形AFEG是正方形，
∴∠AGE=90°，GE=AG=4 2，
∵C，G，E三点共线．
∴CG= AC2−AG2=4 6，
∴CE=CG−EG=4 6−4 2，
∴DG= 22CE=4 3−4；
②如图：
由(2)知△ADG∽△ACE，
∴DGCE=ADAC= 22，
∴DG= 22CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=8，AC= AB2+BC2=8 2，
∵AG= 22AD，
∴AG= 22AD=4 2，
∵四边形AFEG是正方形，
∴∠AGE=90°，GE=AG=4 2，
∵C，G，E三点共线．
∴∠AGC=90°
∴CG= AC2−AG2=4 6，
∴CE=CG+EG=4 6+4 2，
∴DG= 22CE=4 3+4．
综上，当C，G，E三点共线时，DG的长度为4 3−4或4 3+4．
【解析】(1)由正方形性质知∠AGE=∠D=90°、∠DAC=45°，据此可得AEAG= 2、GE//CD，利用平行线分线段成比例定理可得；
(2)连接AE，只需证△ADG∽△ACE即可得；
(3)分两种情况画出图形，证明△ADG∽△ACE，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了正方形的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
2023年山东省临沂市兰山区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算3×(−2)的结果等于( )
A. 1 B. −1 C. −6 D. 6
2. 2023年的央视春晚舞美设计以“满庭芳”为主题，将中华文明的传统美学理念与现代科技相结合，令人耳目一新.演播厅顶部的大花造型，来源于中国传统纹样“宝相花”(如图).下列选项对其对称性的表述正确的是( )
A. 轴对称图形
B. 既是轴对称图形又是中心对称图形
C. 中心对称图形
D. 既不是轴对称图形又不是中心对称图形
3. 经文化和旅游部数据中心测算，今年“五一”假期，全国国内旅游出游合计2.74亿人次，实现国内旅游收入1480.56亿元，其中1480.56亿用科学记数法表示为( )
A. 1480.56×108 B. 1.48056×1011 C. 1480.56×1011 D. 1.48056×1010
4. 如图，直线a//b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2=39°，则∠1的度数为( )
A. 81° B. 71° C. 61° D. 51°
5. 如图，一个球体在长方体上沿虚线从左向右滚动，在滚动过程中，球体与长方体的组合图形的视图始终不变的是( )
A. 左视图 B. 主视图 C. 俯视图 D. 左视图和俯视图
6. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为( )
A. 4x+6y=383x+5y=48 B. 4x+6y=485x+3y=38 C. 4x+6y=483x+5y=38 D. 4x+6y=385x+3y=48
7. 为了学习宣传党的二十大精神，某校学生宣讲团赴社区宣讲.现从2名男生1名女生中任选2人，则恰好选中1名男生1名女生的概率为( )
A. 23 B. 12 C. 13 D. 14
8. 下列运算正确的是( )
A. a3+a2=a5 B. a6÷a3=a2
C. (a+b)2=a2+b2 D. (−5)2=5
9. 某中学青年志愿者协会的10名志愿者，一周的社区志愿服务时间如下表所示：
时间/h
3
4
5
6
7
人数
1
3
2
3
1
关于志愿者服务时间的描述正确的是( )
A. 平均数是5 B. 中位数是4 C. 众数是6 D. 方差是1
10. 方程x2+7x+12=0的两个根为( )
A. x1=−3，x2=−4 B. x1=−3，x2=4
C. x1=3，x2=−4 D. x1=3，x2=4
11. 学了圆后，小亮突发奇想，想到用这种方法测量三角形的角度：将三角形纸片如图放置，使得顶点C在量角器的半圆上，纸片另外两边分别与量角器交于A，B两点.点A，B的度数是72°，14°，这样小明就能得到∠C的度数，请你帮忙算算∠C的度数是( )
A. 28° B. 29° C. 30° D. 58°
12. 已知A，B两地相距1500米，甲步行沿一条笔直的公路从A地出发到B地，乙骑自行车比甲晚5分钟从B地出发，沿同一条公路到达A地后立刻以原速度返回，并与甲同时到达B地，甲、乙离A地的距离y(米)与甲行走时间x(分)的函数图象如图所示，则甲出发后两人第一次相遇所需的时间是( )
A. 132分钟 B. 7分钟 C. 152分钟 D. 8分钟
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 若正n边形的一个外角是36°，则n= ______ ．
14. 若a=b+3，则2a2−4ab+2b2= ______ ．
15. 如图，等腰Rt△ABC中，AB=AC= 2，以A为圆心，以AB为半径作BDC；以BC为直径作CAB.则图中阴影部分的面积是 .(结果保留π)
16. 一块三角形材料如图所示，∠A=60°，∠C=90°，AB=12，用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，能够剪出的矩形CDEF的面积最大为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
(1)计算：(−2023)0−38+4cos45°；
(2)解不等式2x−13≤2+x2，并在数轴上表示解集．
18. (本小题8.0分)
某学校印发了上级主管部门的“法治和交通安全等知识告学生书”学习材料，经过一段时间的学习，同学们都有了提高，为了解具体情况，学校综治办开展了一次全校性竞赛活动，李老师随机抽取了这次竞赛中部分同学的成绩，并绘制了下面不完整的统计图、表．
参赛成绩
60≤x<70
70≤x<80
80≤x<90
90≤x<100
人数
8
m
n
32
级别
及格
中等
良好
优秀
请根据所给的信息解答下列问题：
(1)①李老师抽取了______ 名学生的参赛成绩；
②根据上面的频数分布表，我们可以用各组的组中值(数据分组后，一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数.例如60≤x<70的组中值为60+702=65)代表各组的实际数据，则抽取的学生的平均成绩是______ 分；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)若该校有2000名学生，请估计竞赛成绩在良好以上(x≥80)的学生有多少人？
19. (本小题8.0分)
圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”)，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为37°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为84°，圭面上夏至线与圭表交点之间的距离(即CD的长)为0.6米.求圭面上冬至线与夏至线之间BD的长(最后结果精确到1米).(参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34，tan84°≈192)
20. (本小题10.0分)
某港口某天的潮水高度y(cm)和时间x(h)的部分数据及函数图象如下：
x(h)
…
11
12
13
14
15
16
17
18
…
y(cm)
…
202
130
94
80
101
133
202
260
…
(数据来自某海洋研究所)
(1)数学活动：
①根据表中数据，通过描点、连线(光滑曲线)的方式补全该函数的图象；
②观察函数图象，当x=4时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？
(2)数学思考：
请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．
(3)数学应用：
根据研究，当潮水高度超过260cm时，货轮方能够安全进出该港口.请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？
21. (本小题10.0分)
如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，∠ABE的平分线交⊙O于点C，过点C的直线交BA的延长线于点P，交BE的延长线于点D，且∠PCA=∠ABC．
(1)求证：PC为⊙O的切线；
(2)若PC= 2AB，PB=12，求⊙O的半径及BE的长．
22. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2−2ax+a+3(a≠0)和直线y=−x+4．
(1)求抛物线的顶点M的坐标；
(2)我们规定若函数图象上存在一点P(s,t)，满足s+t=1，则称点P为函数图象上“OK点”.例如：直线y=3x−1上存在的“OK点”P(12,12).若抛物线y=ax2−2ax+a+3(a≠0)上存在唯一的“OK点”P，求出点P的坐标；
(3)设该抛物线与直线y=−x+4的一个交点为A，其横坐标为m，且0≤m<12，请直接写出a的取值范围．
23. (本小题12.0分)
已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A．
(1)【特例发现】如图1，当点G在AD上，F在AB上，求CEDG的值；
(2)【探究发现】如图2，将正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转a(0°
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：3×(−2)
=−(3×2)
=−6，
故选：C．
运用有理数的乘法法则进行计算、求解．
此题考查了有理数乘法的运算能力，关键是能准确理解并运用该知识，并能进行正确地计算．
2.【答案】B
【解析】解：题中给出的图形是中心对称图形，也是轴对称图形．
故选：B．
直接根据中心对称图形与轴对称图形的概念解答即可．
此题考查的是中心对称图形与轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形
3.【答案】B
【解析】解：1480.56亿=1480.56×108=1.48056×1011，
故选：B．
运用科学记数法的定义进行求解．
此题考查了运用科学记数法表示较大数的能力，关键是能准确理解并运用该知识．
4.【答案】A
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=60°，
∵∠A+∠3+∠2=180°，
∴∠3=180°−39°−60°=81°，
∵a//b，
∴∠1=∠3=81°．
故选：A．
先根据等边三角形的性质得到∠A=60°，再根据三角形内角和定理计算出∠3=80°，然后根据平行线的性质得到∠1的度数．
本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°.也考查了平行线的性质．熟知知识点是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：在滚动过程中主视图会发生变化；
在滚动过程俯视图会发生变化；
在滚动过程左视图不会发生变化；
故选：A．
分别根据左视图、主视图和俯视图进行判断即可．
本题考查三视图，解题的关进是掌握三视图的相关知识．
6.【答案】C
【解析】解：∵马四匹、牛六头，共价四十八两，
∴4x+6y=48；
∵马三匹、牛五头，共价三十八两，
∴3x+5y=38．
∴可列方程组为4x+6y=483x+5y=38．
故选：C．
利用总价=单价×数量，结合“马四匹、牛六头，共价四十八两；马三匹、牛五头，共价三十八两”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：设2名男生分别记为A，B，1名女生记为C，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中恰好选中1名男生1名女生的结果有：AC，BC，CA，CB，共4种，
∴恰好选中1名男生1名女生的概率为46=23．
故选：A．
画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好选中1名男生1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：A：不是同类项不能合并，故A不符合题意；
B：同底数幂相除，底数不变，指数相减，故B不符合题意；
C：完全平方公式的结果是三项式，故C不符合题意；
D： (−5)2=5.故D符合题意；
故选：D．
分别应用整式的加法法则，同底数幂相除，完全平方公式及二次根式的性质．
本题考查了整式的基本运算，熟练掌握基础知识是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：这组数据的平均数为3×1+4×3+5×2+6×3+7×110=5(h)，故A选项符合题意；
这组数据的中位数是5+52=5(h)，故B选项不符合题意；
这组数据的众数是4和6，故C选项不符合题意；
则方差为110×[(3−5)2+3×(4−5)2+2×(5−5)2+3×(6−5)2+(7−5)2]=1.4，故D选项不符合题意．
故选：A．
根据平均数、中位数、众数及方差的定义求解即可．
本题主要考查方差、平均数、中位数以及众数，解题的关键是掌握众数、中位数、平均数及方差的定义．
10.【答案】A
【解析】解：x2+7x+12=0，
(x+3)(x+4)=0，
x+3=0或x+4=0，
所以x1=−3，x2=−4．
故选：A．
利用因式分解法把方程转化为x+3=0或x+4=0，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
11.【答案】B
【解析】解：如图，设圆心为O，连接OA，OB，
则∠AOB=72°−14°=58°，
∴∠C=12∠AOB=29°．
故选：B．
根据圆周角和圆心角的关系解答即可．
本题考查了圆周角定理，从实际问题中抽象出圆周角定理模型是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：由图象可得，
甲步行的速度为：1500÷(10+5)=100(米/分)，
乙的速度为：1500÷(10−5)=300(米/分)，
设甲出发后两人第一次相遇所需的时间是a分钟，
100a+300(a−5)=1500，
解得a=7.5，
即甲出发后两人第一次相遇所需的时间是7.5分钟，
故选：C．
根据题意和图象中的数据，可以计算出甲、乙的速度，然后即可列出相应的方程，求解即可．
本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
13.【答案】10
【解析】解：n=360°÷36°=10．
故答案为：10．
利用多边形的外角和即可解决问题．
主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°，用外角和求正多边形的边数直接让360度除以外角即可．
14.【答案】18
【解析】解：∵a=b+3，
∴a−b=3，
∴2a2−4ab+2b2
=2(a2−2ab+b2)
=2(a−b)2
=2×32
=18．
故答案为：18．
由已知条件可得a−b=3，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可．
本题主要考查完全平方公式，解答的关键是熟记完全平方公式的形式：(a±b)2=a2±2ab+b2．
15.【答案】π−2
【解析】
【分析】
如图，取BC的中点O，连接OA.根据S阴=12S圆O−S△ABC+S扇形ACB−S△ACB，求解即可．
本题考查扇形的面积，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用割补法求阴影部分的面积．
【解答】
解：如图，取BC的中点O，连接OA．
∵∠CAB=90°，AC=AB= 2，
∴BC= 2AB=2，
∵OA=OB=OC=1，
∴S阴=12S圆O−S△ABC+S扇形ACB−S△ACB
=12⋅π×12−12× 2× 2+90π×( 2)2360−12× 2× 2
=π−2．
故答案为：π−2．
16.【答案】9 3
【解析】解：∵∠C=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∵AB=12，
∴AC=12AB=12×12=6，
由勾股定理得，BC= AB2−AC2= 122−62=6 3，
设EF=x，FC=y，
∵四边形CDEF是矩形，
∴EF//CD，
即EF//BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴AFAC=EFBC，
∴6−y6=x6 3，
∴y=6− 33x，
设矩形CDEF的面积为S，
则S=xy
=x(6− 33x)
=− 33x2+6x
=− 33(x−3 3)2+9 3，
∵− 33<0，
∴S有最大值，
当x=3 3时，S的最大值为9 3，
故答案为：9 3．
根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半求出AC的长，再根据勾股定理求出BC的长，根据矩形的对边平行得出EF//BC，从而得到△AEF∽△ABC，再根据相似三角形对边边成比例列出比例式，设EF=x，FC=y，从而用x表示出y，最后根据矩形面积公式计算，利用二次函数的性质再求出它的最大值即可．
本题考查了相似三角形的性质与判定，二次函数的最值，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
17.【答案】解：(1)(−2023)0−38+4cos45°
=1−2+4× 22
=−1+2 2；
(2)2x−13≤2+x2，
2(2x−1)≤3(2+x)，
4x−2≤6+3x，
4x−3x≤6+2，
x≤8，
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
【解析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；
(2)按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】80 85.5
【解析】解：(1)①李老师抽取的学生人数为：32÷40%=80(名)，
②∵中等成绩的学生人数为：80×15%=12(人)，良好成绩的学生人数为：80×35%=28(人)，
∴抽取的学生的平均成绩=65×8+75×12+85×28+95×3280=85.5(分)，
故答案为：①80，②85.5；
(2)将条形统计图补充完整如下：
(3)2000×(35%+40%)=1500(人)，
答：估计竞赛成绩在良好以上(x≥80)的学生有1500人．
(1)①根据条形图优秀有32人，由扇形统计图知优秀占40%，进而得出总人数，②根据算术平均数公式计算即可求解；
(2)根据(1)的结论补充条形统计图即可求解；
(3)用样本估计总体即可求解．
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19.【答案】解：由题意得：AC⊥BC，
在Rt△ACD中，∠ADC=84°，CD=0.6米，
∴AC=CD⋅tan84°≈0.6×192=5.7(米)，
在Rt△ABC中，∠ABC=37°，
∴BC=ACtan37∘≈5.734=7.6(米)，
∴BD=BC−CD=7.6−0.6=7(米)，
∴圭面上冬至线与夏至线之间BD的长约为7米．
【解析】根据题意可得：AC⊥BC，然后在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，再在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，平行投影，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
20.【答案】解：(1)①如图：
②通过观察函数图象，当x=4时，y=200，当y值最大时，x=21；
(2)该函数的两条性质如下(答案不唯一)：
①当2≤x≤7时，y随x的增大而增大；
②当x=14时，y有最小值为80；
(3)由图象，当y=260时，x=5或x=10或x=18或x=23，
∴当5
即当5
②利用数形结合思想分析求解；
(2)结合函数图象增减性及最值进行分析说明；
(3)结合函数图象确定关键点，从而求得取值范围．
本题考查函数的图象，理解题意，准确识图，利用数形结合思想确定关键点是解题关键．
21.【答案】(1)证明：连接OC，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°．
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠ABC．
∴∠ABC+ACO=90°，
∵∠PCA=∠ABC，
∴∠PCA+∠ACO=90°，
即∠PCO=90°，
∴OC⊥PC，
∵OC为⊙O的半径，
∴PC为⊙O的切线；
(2)解：设⊙O的半径为r，则AB=2r，OC=r，
∵PB=12，
∴PO=PB−OB=12−r．
∵PC= 2AB，
∴PC=2 2r.
由(1)知：OC⊥PC，
∴PO2=PC2+OC2．
∴(12−r)2=r2+(2 2r)2，
∴r2+3r−18=0．
解得：r=−6(不合题意，舍去)或r=3．
∴⊙O的半径3；
∴AB=6，PO=9，PC=6 2．
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠ABC．
∵∠ABC=∠DBC，
∴∠OCB=∠DBC，
∴OC//BD．
∴△PCO∽△PDB．
∴PCPD=POPB，
∴6 2PD=912，
∴PD=8 2．
∴CD=PD−PC=2 2．
过点O作OH⊥BE于点H，则BH=EH=12BE，
∵OC⊥PC，OC//BD，
∴BD⊥PD，
∴四边形OCDH为矩形，
∴OH=CD=2 2，
∴BH= OB2−OH2= 32−(2 2)2=1，
∴BE=2BH=2．
【解析】(1)连接OC，利用圆周角定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质和等量代换得到∠ACO=90°，再利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论；
(2)设⊙O的半径为r，则AB=2r，OC=r，利用勾股定理列出关于r的方程，解方程即可得出结论；利用相似三角形的判定与性质求得线段PD，CD的长，过点O作OH⊥BE于点H，则由垂径定理得到BH=EH=12BE，利用三个角为直角的四边形为矩形得到四边形OCDH为矩形，则OH=CD=2 2，利用勾股定理求得BH，则BE=2BH．
本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，垂径定理，连接经过切点的半径，作出弦心距是解决此类问题常添加的辅助线．
22.【答案】解：(1)∵y=ax2−2ax+a+3=a(x−1)2+3，
∴抛物线的顶点M坐标为(1,3)．
(2)∵点P(s,t)，满足s+t=1，
∴点P在直线y=−x+1上运动，
根据题意联立方程组，
得y=ax2−2ax+a+3y=−x+1，
消去y得ax2−2ax+a+3=−x+1，
即ax2+(1−2a)x+a+2=0，
∵抛物线y=ax2−2ax+a+3(a≠0)上存在唯一的“OK点”P，
∴Δ=(1−2a)2−4a(a+2)=−12a+1=0，
解得a=112，
∴将a=112代入ax2+(1−2a)x+a+2=0中，
得112x2+56x+2512=0，
解得x=−5，
将x=−5代入y=−x+1，
得y=−(−5)+1=6，
∴P(−5,6)．
(3)将该抛物线与直线y=−x+4联立方程组，
得y=ax2−2ax+a+3y=−x+4，
消去y得ax2−2ax+a+3=−x+4，
即ax2−(2a−1)x+a−1=0，
即(x−1)(ax−a+1)=0，
解得x1=1，x2=a−1a，
∵该抛物线与直线y=−x+4的一个交点为A，其横坐标为m，
∴m=a−1a，
∵0≤m<12，
∴0≤a−1a<12，
∴0−1≤a−1a−1<12−1，
即−1≤−1a<−12，
∴12<1a≤1，
∴a的取值范围是1≤a<2．
【解析】(1)将抛物线解析式改成顶点式，即可求出顶点M坐标；
(2)根据题意整理得方程ax2+(1−2a)x+a+2=0，由Δ=0可求得a的值，进而解方程得x的值，可得P的坐标；
(3)先将该抛物线与直线y=−x+4联立方程组，消去y，再用因式分解法求根，从而得到m与a的关系式，再根据0≤m<12求解即可．
本题考查了二次函数的综合应用，主要考查二次函数的图象与性质、一次函数的性质、解一元二次方程等知识，解题关键是熟练掌握一次函数与二次函数的性质．
23.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，四边形AFEG是正方形，
∴∠AGE=∠D=90°，∠DAC=45°，
∴AEAG= 2，GE//CD，
∴CEDG=AEAG= 2，
∴CE= 2DG，
∴CEDG= 2；
(2)连接AE，
由旋转性质知∠CAE=∠DAG=α，
在Rt△AEG和Rt△ACD中，
AGAE=cos45°= 22、ADAC=cos45°= 22，
∴AGAE=ADAC，
∴△ADG∽△ACE，
∴DGCE=AGAE= 22，
∴CEDG= 2；
(3)①如图：
由(2)知△ADG∽△ACE，
∴DGCE=ADAC= 22，
∴DG= 22CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=8，AC= AB2+BC2=8 2，
∵AG= 22AD，
∴AG= 22AD=4 2，
∵四边形AFEG是正方形，
∴∠AGE=90°，GE=AG=4 2，
∵C，G，E三点共线．
∴CG= AC2−AG2=4 6，
∴CE=CG−EG=4 6−4 2，
∴DG= 22CE=4 3−4；
②如图：
由(2)知△ADG∽△ACE，
∴DGCE=ADAC= 22，
∴DG= 22CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=8，AC= AB2+BC2=8 2，
∵AG= 22AD，
∴AG= 22AD=4 2，
∵四边形AFEG是正方形，
∴∠AGE=90°，GE=AG=4 2，
∵C，G，E三点共线．
∴∠AGC=90°
∴CG= AC2−AG2=4 6，
∴CE=CG+EG=4 6+4 2，
∴DG= 22CE=4 3+4．
综上，当C，G，E三点共线时，DG的长度为4 3−4或4 3+4．
【解析】(1)由正方形性质知∠AGE=∠D=90°、∠DAC=45°，据此可得AEAG= 2、GE//CD，利用平行线分线段成比例定理可得；
(2)连接AE，只需证△ADG∽△ACE即可得；
(3)分两种情况画出图形，证明△ADG∽△ACE，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了正方形的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
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