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高中数学第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算优秀测试题
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这是一份高中数学第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算优秀测试题，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教A版（2019）选择性必修第一册 1.3 空间向量及其运算的坐标表示
一、单选题
1．如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动.当的面积取得最小值时，点的位置是（ ）
A．线段的三等分点，且靠近点 B．线段的中点
C．线段的三等分点，且靠近点 D．线段的四等分点，且靠近点
2．已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，，若，则的值为（ ）
A． B． C．6 D．8
5．已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量，，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
7．对于任意空间向量 ，给出下列三个命题：①；②若，则为单位向量；③.其中真命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
8．已知空间四点，，，共面，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
10．已知，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
11．如图所示，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点在平面内，且，，则点的坐标为（ ）．
A．
B．
C．
D．
12．如图所示，在正方体中，为线段上的动点，给出下列四个结论：①DP长度为定值；②三棱锥的体积为定值；③任意点P，都有；④存在点P，使得平面其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
二、填空题
13．设空间向量是一组单位正交基底，若空间向量满足对任意的的最小值是2，则的最小值是_________．
14．已知边长为1的正方体，为中点，为平面上的动点，若，则三棱锥的体积最大值为_______．
15．已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是______
16．如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，，M为的中点，P为线段上的动点，则下列说法正确的是_______（填写序号）
①平面
②三棱锥的体积的最大值为
③存在点P，使得与平面所成的角为
④存在点P，使得与垂直
三、解答题
17．如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
18．如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．
19．如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）中，，，棱，为的中点.
（1）求的长；
（2）求与所成角的余弦值.
20．已知，，求：
（1）；
（2）；
（3）；
（4），
21．在中，，，.
（1）求顶点、的坐标；
（2）求；
（3）若点在上，且，求点的坐标.
参考答案：
1．B将问题转化为动点到直线的距离最小时，确定点的位置，建立空间直角坐标系，取的中点，通过坐标运算可知，即是动点到直线的距离，再由空间两点间的距离公式求出后，利用二次函数配方可解决问题.
【详解】设正方体的棱长为1，以 为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，的中点，
，，则，
设，，
由与共线，可得，所以，所以，其中，
因为，
，
所以，所以，即是动点到直线的距离，
由空间两点间的距离公式可得，
所以当时，取得最小值，此时为线段的中点，
由于为定值，所以当的面积取得最小值时，为线段的中点.
故选：B
本题考查了空间向量的坐标运算，考查了空间两点间的距离公式，考查了数形结合法，考查了二次函数求最值，属于基础题.
2．D利用空间向量共线的坐标表示可求得、的值，即可得解.
【详解】因为，则，所以，，，因此，.
故选：D.
3．C利用空间向量的坐标运算即可求解.
【详解】因为，，
所以，
故选：C.
4．D由，可得，则有，从而可求出的值，
【详解】解：因为，所以，
因为，，
所以，解得，
故选：D
5．A求出的中点的坐标，再求出关于平面对称的点的坐标即可.
【详解】因为点，
所以的中点，
所以关于平面对称的点的坐标为，
故选：A.
6．D由空间平行向量，先求出的值，再由模长公式求解模长.
【详解】由，则，即，
有，
所以，
所以，则
故选：D
7．B由空间向量平行的条件可判断①；根据向量的模的计算可判断②；由空间向量垂直的条件可判断③，从而可得选项.
【详解】由可以推出，反之不一定成立，例：、，则，
故①不正确；
当时，，故②不正确；
当时，，即，反之也成立，故③正确.
所以正确命题的个数为：1.
故选：B.
8．D求得、、的坐标，根据题意可知存在实数、，使得，利用空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，进而可求得实数的值.
【详解】依题意得，，，
、、、四点共面，、、共面，
存在实数、，使得，
即，所以，解得.
故选：D.
本题考查利用空间向量法处理四点共面的问题，考查计算能力，属于中等题.
9．C根据向量平行和垂直的坐标表示得出答案.
【详解】
故选：C
10．B根据题意得，进而根据投影向量的概念求解即可.
【详解】因为，所以，
所以，
所以在上的投影向量为
故选：B
11．B过点作，垂足为，然后在中求解.
【详解】过点作，垂足为，
在中，，，，
得、，
所以，
所以，
所以点的坐标为，
故选：B．
12．C设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间中两点间的距离公式可判断①的正误，利用锥体的体积公式可判断②的正误，利用空间向量法可判断③④的正误．
【详解】如下图所示：
设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、、、、、，设点，其中.
对于①，不是定值，①错误；
对于②， 在正方体中，且，
所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，则平面，
，则点到平面的距离为定值，而的面积也为定值，
所以，三棱锥的体积为定值，②正确；
对于③，，，所以，，
因此，对任意点，都有，③正确；
对于④，，，，
，这样的不存在，所以，不存在点，使得平面，④错误．
故选：C．
关键点点睛：本题的关键在于建系，设出点的坐标，然后根据向量的运算求解判断．
13．以方向为轴，垂直于方向为轴建立空间直角坐标系，根据条件求得坐标，由的表达式即可求得最小值.
【详解】以方向为轴建立空间直角坐标系，则，，
设 则，
当时的最小值是，
取 则
又因为是任意值，所以的最小值是.
取 则
又因为是任意值，所以的最小值是.
故答案为：.
14．以D为原点，分别以DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，由，得到a，b的关系，确定a的范围，再由求解.
【详解】以D为原点，分别以DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系：
则，设，
所以，
因为，
所以，即，
又，
所以，
所以，当等号成立，
所以 三棱锥的体积最大值为 ，
故答案为：
15．空间向量的数量积最值问题，利用共线设出Q点坐标，列式求解，利用二次函数求最值即可得到答案.
【详解】设，因为，所以，所以点的坐标为.
又，，
所以，所以当时，取最小值，此时点的坐标为.
故答案为：.
16．②③①通过与不垂直来进行判断.②通过计算三棱锥的体积来进行判断. ③通过线面角的知识进行判断. ④通过建立空间直角坐标系，利用向量法来进行判断.
【详解】由题意得．则，易得，
所以与不垂直．故①错误；
，点B到平面的距离为，
由，得，得，
又，则，故②正确；
与平面所成的角即为与平面所成的角，设为，
易知当点P与M重合时，最小，
此时，当点Р与重合时，最大，
此时，此时，
故存在点P，使得与平面所成的角为，③正确；
如图建立空间直角坐标系，，设．
则有，
故不存在点P，使得与垂直，④错误．
故答案为：②③
17．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.
（Ⅰ）计算出向量和的坐标，得出，即可证明出；
（Ⅱ）可知平面的一个法向量为，计算出平面的一个法向量为，利用空间向量法计算出二面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；
（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），
可得、、、、
、、、、.
（Ⅰ）依题意，，，
从而，所以；
（Ⅱ）依题意，是平面的一个法向量，
，．
设为平面的法向量，
则，即，
不妨设，可得．
，
．
所以，二面角的正弦值为；
（Ⅲ）依题意，．
由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是．
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.
18．（1）见解析；（2）.（1）利用三角形中位线和可证得，证得四边形为平行四边形，进而证得，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形对角线交点为原点可建立空间直角坐标系，通过取中点，可证得平面，得到平面的法向量；再通过向量法求得平面的法向量，利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦值.
【详解】（1）连接，
，分别为，中点 为的中位线
且
又为中点，且 且
四边形为平行四边形
，又平面，平面
平面
（2）设，
由直四棱柱性质可知：平面
四边形为菱形
则以为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：
则：，，，D（0，-1,0）
取中点，连接，则
四边形为菱形且 为等边三角形
又平面，平面
平面，即平面
为平面的一个法向量，且
设平面的法向量，又，
，令，则，
二面角的正弦值为：
本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.
19．（1）；（2）.以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
（1）利用空间中两点间的距离公式可求得的长；
（2）利用空间向量法可求得与所成角的余弦值.
【详解】如图，以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
（1）依题意得、，因此，，
因此，线段的长为；
（2）依题意得、、、，
，，
所以，，
故与所成角的余弦值为.
20．（1），（2），（3），（4）.根据空间向量的坐标运算算出答案即可.
【详解】因为，
（1）所以，
（2）
（3）
（4）
21．（1），；（2）；（3）.（1）利用向量的坐标运算可求得点、的坐标；
（2）计算出向量、的坐标，利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值；
（3）由可得，可求得向量的坐标，进而可求得点的坐标.
【详解】（1）设点为坐标原点，，
则.
，则；
（2），则，
又，因此，；
（3）设点为坐标原点，，则，
则，
所以，点的坐标为.
本题考查空间向量的坐标运算，同时也考查了空间向量数量积的计算，考查计算能力，属于中等题.
人教A版（2019）选择性必修第一册 1.3 空间向量及其运算的坐标表示
一、单选题
1．如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动.当的面积取得最小值时，点的位置是（ ）
A．线段的三等分点，且靠近点 B．线段的中点
C．线段的三等分点，且靠近点 D．线段的四等分点，且靠近点
2．已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，，若，则的值为（ ）
A． B． C．6 D．8
5．已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量，，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
7．对于任意空间向量 ，给出下列三个命题：①；②若，则为单位向量；③.其中真命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
8．已知空间四点，，，共面，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
10．已知，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
11．如图所示，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点在平面内，且，，则点的坐标为（ ）．
A．
B．
C．
D．
12．如图所示，在正方体中，为线段上的动点，给出下列四个结论：①DP长度为定值；②三棱锥的体积为定值；③任意点P，都有；④存在点P，使得平面其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
二、填空题
13．设空间向量是一组单位正交基底，若空间向量满足对任意的的最小值是2，则的最小值是_________．
14．已知边长为1的正方体，为中点，为平面上的动点，若，则三棱锥的体积最大值为_______．
15．已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是______
16．如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，，M为的中点，P为线段上的动点，则下列说法正确的是_______（填写序号）
①平面
②三棱锥的体积的最大值为
③存在点P，使得与平面所成的角为
④存在点P，使得与垂直
三、解答题
17．如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
18．如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．
19．如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）中，，，棱，为的中点.
（1）求的长；
（2）求与所成角的余弦值.
20．已知，，求：
（1）；
（2）；
（3）；
（4），
21．在中，，，.
（1）求顶点、的坐标；
（2）求；
（3）若点在上，且，求点的坐标.
参考答案：
1．B将问题转化为动点到直线的距离最小时，确定点的位置，建立空间直角坐标系，取的中点，通过坐标运算可知，即是动点到直线的距离，再由空间两点间的距离公式求出后，利用二次函数配方可解决问题.
【详解】设正方体的棱长为1，以 为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，的中点，
，，则，
设，，
由与共线，可得，所以，所以，其中，
因为，
，
所以，所以，即是动点到直线的距离，
由空间两点间的距离公式可得，
所以当时，取得最小值，此时为线段的中点，
由于为定值，所以当的面积取得最小值时，为线段的中点.
故选：B
本题考查了空间向量的坐标运算，考查了空间两点间的距离公式，考查了数形结合法，考查了二次函数求最值，属于基础题.
2．D利用空间向量共线的坐标表示可求得、的值，即可得解.
【详解】因为，则，所以，，，因此，.
故选：D.
3．C利用空间向量的坐标运算即可求解.
【详解】因为，，
所以，
故选：C.
4．D由，可得，则有，从而可求出的值，
【详解】解：因为，所以，
因为，，
所以，解得，
故选：D
5．A求出的中点的坐标，再求出关于平面对称的点的坐标即可.
【详解】因为点，
所以的中点，
所以关于平面对称的点的坐标为，
故选：A.
6．D由空间平行向量，先求出的值，再由模长公式求解模长.
【详解】由，则，即，
有，
所以，
所以，则
故选：D
7．B由空间向量平行的条件可判断①；根据向量的模的计算可判断②；由空间向量垂直的条件可判断③，从而可得选项.
【详解】由可以推出，反之不一定成立，例：、，则，
故①不正确；
当时，，故②不正确；
当时，，即，反之也成立，故③正确.
所以正确命题的个数为：1.
故选：B.
8．D求得、、的坐标，根据题意可知存在实数、，使得，利用空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，进而可求得实数的值.
【详解】依题意得，，，
、、、四点共面，、、共面，
存在实数、，使得，
即，所以，解得.
故选：D.
本题考查利用空间向量法处理四点共面的问题，考查计算能力，属于中等题.
9．C根据向量平行和垂直的坐标表示得出答案.
【详解】
故选：C
10．B根据题意得，进而根据投影向量的概念求解即可.
【详解】因为，所以，
所以，
所以在上的投影向量为
故选：B
11．B过点作，垂足为，然后在中求解.
【详解】过点作，垂足为，
在中，，，，
得、，
所以，
所以，
所以点的坐标为，
故选：B．
12．C设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间中两点间的距离公式可判断①的正误，利用锥体的体积公式可判断②的正误，利用空间向量法可判断③④的正误．
【详解】如下图所示：
设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、、、、、，设点，其中.
对于①，不是定值，①错误；
对于②， 在正方体中，且，
所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，则平面，
，则点到平面的距离为定值，而的面积也为定值，
所以，三棱锥的体积为定值，②正确；
对于③，，，所以，，
因此，对任意点，都有，③正确；
对于④，，，，
，这样的不存在，所以，不存在点，使得平面，④错误．
故选：C．
关键点点睛：本题的关键在于建系，设出点的坐标，然后根据向量的运算求解判断．
13．以方向为轴，垂直于方向为轴建立空间直角坐标系，根据条件求得坐标，由的表达式即可求得最小值.
【详解】以方向为轴建立空间直角坐标系，则，，
设 则，
当时的最小值是，
取 则
又因为是任意值，所以的最小值是.
取 则
又因为是任意值，所以的最小值是.
故答案为：.
14．以D为原点，分别以DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，由，得到a，b的关系，确定a的范围，再由求解.
【详解】以D为原点，分别以DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系：
则，设，
所以，
因为，
所以，即，
又，
所以，
所以，当等号成立，
所以 三棱锥的体积最大值为 ，
故答案为：
15．空间向量的数量积最值问题，利用共线设出Q点坐标，列式求解，利用二次函数求最值即可得到答案.
【详解】设，因为，所以，所以点的坐标为.
又，，
所以，所以当时，取最小值，此时点的坐标为.
故答案为：.
16．②③①通过与不垂直来进行判断.②通过计算三棱锥的体积来进行判断. ③通过线面角的知识进行判断. ④通过建立空间直角坐标系，利用向量法来进行判断.
【详解】由题意得．则，易得，
所以与不垂直．故①错误；
，点B到平面的距离为，
由，得，得，
又，则，故②正确；
与平面所成的角即为与平面所成的角，设为，
易知当点P与M重合时，最小，
此时，当点Р与重合时，最大，
此时，此时，
故存在点P，使得与平面所成的角为，③正确；
如图建立空间直角坐标系，，设．
则有，
故不存在点P，使得与垂直，④错误．
故答案为：②③
17．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.
（Ⅰ）计算出向量和的坐标，得出，即可证明出；
（Ⅱ）可知平面的一个法向量为，计算出平面的一个法向量为，利用空间向量法计算出二面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；
（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），
可得、、、、
、、、、.
（Ⅰ）依题意，，，
从而，所以；
（Ⅱ）依题意，是平面的一个法向量，
，．
设为平面的法向量，
则，即，
不妨设，可得．
，
．
所以，二面角的正弦值为；
（Ⅲ）依题意，．
由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是．
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.
18．（1）见解析；（2）.（1）利用三角形中位线和可证得，证得四边形为平行四边形，进而证得，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形对角线交点为原点可建立空间直角坐标系，通过取中点，可证得平面，得到平面的法向量；再通过向量法求得平面的法向量，利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦值.
【详解】（1）连接，
，分别为，中点 为的中位线
且
又为中点，且 且
四边形为平行四边形
，又平面，平面
平面
（2）设，
由直四棱柱性质可知：平面
四边形为菱形
则以为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：
则：，，，D（0，-1,0）
取中点，连接，则
四边形为菱形且 为等边三角形
又平面，平面
平面，即平面
为平面的一个法向量，且
设平面的法向量，又，
，令，则，
二面角的正弦值为：
本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.
19．（1）；（2）.以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
（1）利用空间中两点间的距离公式可求得的长；
（2）利用空间向量法可求得与所成角的余弦值.
【详解】如图，以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
（1）依题意得、，因此，，
因此，线段的长为；
（2）依题意得、、、，
，，
所以，，
故与所成角的余弦值为.
20．（1），（2），（3），（4）.根据空间向量的坐标运算算出答案即可.
【详解】因为，
（1）所以，
（2）
（3）
（4）
21．（1），；（2）；（3）.（1）利用向量的坐标运算可求得点、的坐标；
（2）计算出向量、的坐标，利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值；
（3）由可得，可求得向量的坐标，进而可求得点的坐标.
【详解】（1）设点为坐标原点，，
则.
，则；
（2），则，
又，因此，；
（3）设点为坐标原点，，则，
则，
所以，点的坐标为.
本题考查空间向量的坐标运算，同时也考查了空间向量数量积的计算，考查计算能力，属于中等题.
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