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2022-2023学年广东省深圳市龙华区八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年广东省深圳市龙华区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省深圳市龙华区八年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. “琴棋书画”的棋是指围棋，围棋起源于中国，至今已有四千多年的历史.下列由黑、白棋子摆成的图案中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 若a>b，下列不等式变形，不一定成立的是( )
A. a+1>b+1 B. a−2>b−2 C. −2a<−2b D. ac2>bc2
3. 下列分式中，是最简分式的是( )
A. xyx2 B. 3x+33x−3 C. x+yx−y D. x+1x2−1
4. 如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下面的方法估测出了A，B间的距离：先在AB外选一点C，然后分别步测出AC，BC的中点M，N，并步测出MN的长为3米，由此他就估测出A，B间的距离为( )
A. 3米
B. 4.5米
C. 6米
D. 9米
5. 已知a+b=5，ab=6，则多项式a2b+ab2的值为( )
A. 30 B. 11 C. 1 D. −1
6. 如图，在Rt△ABC中，∠A=50°，点D在斜边AB上.如果△ABC经过旋转后与△EBD重合，则∠CBE的大小是( )
A. 90°
B. 80°
C. 50°
D. 40°
7. 如图，在等边△ABC的三边上分别取点D，E，F，使得AD=BE=CF，若DE⊥BC，则△ABC的周长是△DEF的周长的( )
A. 2倍
B. 3倍
C. 3倍
D. 2 3倍
8. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD⊥AD，AB=5，BC=3，则以下结论不正确的是( )
A. AD=3 B. OB=2
C. AC=2 13 D. ▱ABCD的面积为6
9. 根据规划设计，某工程队准备修建一条长1120米的盲道.由于情况改变，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米，结果提前2天完成了这一任务，假设原计划每天修建盲道x米，根据题意可列方程为( )
A. 1120x−1120x+10=2 B. 1120x−1120x−10=2
C. 1120x+10−1120x=2 D. 1120x−10−1120x=2
10. 如图，l1//l2，直线l1与直线l2之间的距离为4，点A是直线l1与l2外一点，点A到直线l1的距离为2，点B，D分别是直线l1与直线l2上的动点，以点B为圆心，AD的长为半径作弧，再以点D为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于点C，则点A与点C之间距离的最小值为( )
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）
11. 分解因式：a3+2a2+a= ______ ．
12. 由深圳到广州的一条铁路全程约为146千米，高铁全程运行时间为a小时，则高铁的速度是每小时______ 千米．
13. 一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是______边形．
14. 一次函数y=kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b>0的解集为______ ．
15. 某校学生会组织七年级和八年级共30名同学参加环保志愿者活动，七年级学生平均每人收集15个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集20个废弃塑料瓶.为了保证所收集的塑料瓶总数不少于500个.则七年级学生参加活动的人数至多是______ 名.
16. 我们把顶角为36°的等腰三角形称作“黄金三角形”，“黄金三角形”的底边长是腰长的 5−12倍.如图，△ABC是“黄金三角形”，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE与△ABE的面积比为______ ．
17. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠D=45°，将边AB绕点B顺时针旋转90°后，点A恰好落在边CD上的点E处，已知BC=2，则DE的长度为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题8.0分)
解不等式组：2x−1
19. (本小题8.0分)
先化简，再求值：x−3x2−9÷x−12x+6−1x+1，其中x=2．
20. (本小题7.0分)
解方程：3−xx−2+12−x=1．
21. (本小题6.0分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别是(−1,0)，(0,3)，(−4,−1)，若△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′，已知点A′的坐标为(1,−2).根据以上条件，请解决下列问题：
(1)请画出平移后的△A′B′C′；
(2)AB′ ______ AC′(填“>”或“=”或“<”)；
(3)在平移过程中，边BC扫过的面积为______ ．
22. (本小题10.0分)
已知四边形ABCD为平行四边形，点M，N分别是直线AD，BC上的点，且与点A，B，C，D不重合．
(1)请在图1中画出你设计的图形，并添加一个适当的条件：______ ，使得点M，N与▱ABCD的两个顶点组成的四边形是一个平行四边形，并说明理由；
(2)如图2，已知AC=BC=6，∠ABC=30°，若四边形AMCN为平行四边形，且AM=6，则MC的长度为______ ．
23. (本小题8.0分)
某服装店老板用4000元购进了一批甲款T恤，用8800元购进了一批乙款T恤，已知所购乙款T恤数量是甲款T恤数量的2倍，购进的乙款T恤单价比甲款T恤单价贵5元．
(1)购进甲、乙两款T恤的单价分别是多少元？
(2)老板把这两种T恤的标价都定为每件100元，甲款T恤打九折销售，乙款T恤按标价销售.经过一段时间的销售，老板发现，销售两种T恤共100件时，利润不低于4200元.那么这段时间按标价销售的乙款T恤至少要销售多少件？
24. (本小题10.0分)
【定义】对于没有公共点的两个图形M，N，点P是图形M上任意一点，点Q是图形N上任意一点，把P、Q两点之间的距离的最小值称为图形M与图形N的距离，记为d[M,N]．
【理解】如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若点A，B的坐标分别为(4,3)，(−4,3)，点G是▱ABCD边上任意一点．
(1)当点G在边AD上时，OG的最小值是______ ，因此d[点O，线段AD]= ______ ；
(2)当点G在任意边上时，OG的最小值是______ ，因此d[点O，▱ABCD]= ______ ；
【拓展】如图2，在平面直角坐标系中，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，点A，B的坐标分别为(4,3)，(−94,3)，点E(a,n)是对角线AC上与点A，C，O不重合的一点，点F(b,n)是对角线BD上与点B，D，O不重合的一点．
(3)当1
【应用】为庆祝母亲节，某商场在广场举行花卉展览，要在长6米，宽4米的长方形花卉展览区外围用彩绳拉出封闭隔离线，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为0.5米，请直接写出所需彩绳的长度．
25. (本小题12.0分)
【问题背景】如图1，在▱ABCD中，AB⊥DB.将△ABD绕点B逆时针旋转至△FBE，记旋转角∠ABF=a(0°<α≤180°)，当线段FB与DB不共线时，记△ABE的面积为S1，△FBD的面积为S2．
【特例分析】如图2，当EF恰好过点A，且点F，B，C在同一条直线上时．
(1)α= ______ °；
(2)若AD=4 3，则S1= ______ ，S2= ______ ；
【推广探究】某数学兴趣小组经过交流讨论，猜想：在旋转过程中，S1与S2之间存在一定的等量关系.再经过独立思考，获得了如下一些解决思路：
思路1：如图3，过点A，E分别作直线平行于BE，AB，两直线交于点M，连接BM，可证一组三角形全等，再根据平行四边形的相关性质解决问题：
思路2：如图4，过点E作EH⊥AB于点H，过点D作DG⊥FB，交FB的延长线于点G，可证一组三角形全等，再根据旋转的相关性质解决问题；
…
(3)如图5，请你根据以上思路，并结合你的想法，探究S1与S2之间的等量关系为______ ，并说明理由．
【拓展应用】在旋转过程中，当S1+S2为▱ABCD面积的12时，α的值为______ ．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】D
【解析】解：A、∵a>b，
∴a+1>b+1，
故A不符合题意；
B、∵a>b，
∴a−2>b−2，
故B不符合题意；
C、∵a>b，
∴−2a<−2b，
故C不符合题意；
D、∵a>b，c≠0，
∴ac2>bc2，
故D符合题意；
故选：D．
根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、 xyx2=yx，原分式不是最简分式，不符合题意；
B、3x+33x−3=x+1x−1，原分式不是最简分式，不符合题意；
C、x+yx−y是最简分式，符合题意；
D、x+1x2−1=x+1(x+1)(x−1)=1x−1，原分式不是最简分式，不符合题意．
故选：C．
根据最简分式的定义对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是最简分式，熟知一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵AC，BC的中点是M，N，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN=12AB，
∵MN≈3米，
∴AB≈6米．
故选：C．
由三角形中位线定理得到MN=12AB，由MN的值，即可求出AB的长．
本题考查三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：由题意，a2b+ab2=ab(a+b)．
∵a+b=5，ab=6，
∴a2b+ab2=ab(a+b)=6×5=30．
故选：A．
依据题意，由a2b+ab2=ab(a+b)，结合已知条件代入数据即可得解．
本题考查了因式分解的应用，解题时要能将所求问题先进行因式分解，然后代入数据计算是关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵△ABC经过旋转后与△EBD重合，
∴∠CBA=∠EBD，
在Rt△ABC中，∠A=50°，
∴∠CBA=∠EBD=90°−50°=40°，
∴∠CBE=80°，
故选：B．
根据旋转的性质得出∠CBA=∠EBD，再根据直角三角形两锐角互余求出∠CBA=∠EBD=90°−50°=40°，即可求解．
本题考查了旋转的性质，明确旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，AD=BE=CF，
∴AB=BC=CA，∠A=∠B=∠C=60°，
∴BD=CE=AF，
∴△ADF≌△BED≌△CFE(SAS)，
∴DF=ED=FE，
∴△DEF是等边三角形，
∵∠B=60°，DE⊥BC，
∴∠BDE=30°，∠ADF=∠BED=∠CFE=90°，
设AD=BE=CF=x，则AF=BD=CE=2x，
∴AB=x+2x=3x，DE= 3BE= 3x，
∴△ABC的周长=3AB=9x，
△DEF的面积=3DE=3 3x，
∴△ABC的周长是△DEF的周长 3倍．
故选：C．
先证明△ADF≌△BED≌△CFE，得到等边△DEF，设AD=BE=CF=x，则AF=BD=CE=2x，DE= 3x，进而即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理，等边三角形的判定，直角三角形的性质是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，BC=3，
∴OD=OB，OA=OC，AD=BC=3，故A正确；
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∵AB=5，
∴BD= AB2−AD2= 52−32=4，
∴OB=OD=2，故B正确；
∴OA= AD2+OD2= 32+22= 13，
∴AC=2OA=2 13，故C正确；
∴平行四边形ABCD的面积为AD×BD=3×4=12，故D错误．
故选：D．
根据平行四边形的性质判断AD=BC=3；根据勾股定理求出BD判断OB=2；根据勾股定理求出AO判断AC的长；根据AD和BD的长计算平行四边形的面积即可解答．
本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质并灵活运用．
9.【答案】A
【解析】解：∵实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米，且原计划每天修建盲道x米，
∴实际每天修建盲道(x+10)米．
根据题意得：1120x−1120x+10=2．
故选：A．
根据实际及原计划工作效率间的关系，可得出实际每天修建盲道(x+10)米，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前2天完成修建任务，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：过C作CK//l1，过A作AH⊥CK，交l1于M，交l2于N，作CP⊥l2于P，
∵l1//l2，
∴CK//l2，
∴AH⊥l1，AH⊥l2，
∴AM=2，MN=4，
由题意得：BC=AD，CD=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，∠BAM=∠QCD，AB=CD，
∵l1//l2，
∴∠ABM=∠CDQ，
∴△ABM≌△CDQ(ASA)，
∴CP=AM=2，
∴HN=CP=2，
∴AH=2+4+2=8，
∵AC≥AH，
∴点A与点C之间距离的最小值是8．
故选：B．
过C作CK//l1，过A作AH⊥CK，交l1于M，交l2于N，作CP⊥l2于P，得到CK//l2，因此AM=2，MN=4，由平行四边形的性质推出，△ABM≌△CDQ(ASA)，CP=AM=2，得到HN=2，求出AH=8，由AC≥AH，即可求出AC的最小值．
本题考查平行线之间的距离，点到直线的距离，关键是通过作辅助线，得到AC≥AH，求出HN即可解决问题．
11.【答案】a(a+1)2
【解析】解：a3+2a2+a
=a(a2+2a+1)
=a(a+1)2，
故答案为：a(a+1)2
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12.【答案】146a
【解析】解：∵路程=速度×时间，
∴高铁的速度是每小时146a千米，
故答案为：146a．
根据“路程=速度×时间”进行变式、求解．
此题考查了列代数式表示实际问题的能力，关键是能准确理解并运用实际问题间的数量关系．
13.【答案】四
【解析】
【分析】
本题考查了多边形的外角和定理以及四边形的内角和定理，比较简单．利用多边形的外角和以及四边形的内角和定理即可解决问题．
【解答】
解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和等于它的外角和，则内角和是360度，
∴这个多边形是四边形．
故答案为四．
14.【答案】x<6
【解析】解：由图象可得，
函数y=kx+b与x轴的交点为(6,0)，y随x的增大而减小，
∴不等式kx+b>0的解集是x<6，
故答案为：x<6．
根据一次函数的性质，可以写出不等式kx+b>0的解集．
本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15.【答案】20
【解析】解：设七年级学生参加活动的人数是x名，则八年级学生参加活动的人数是(30−x)名，
根据题意得：15x+20(30−x)≥500，
解得：x≤20，
∴x的最大值为20，
即七年级学生参加活动的人数至多是20名．
故答案为：20．
设七年级学生参加活动的人数是x名，则八年级学生参加活动的人数是(30−x)名，根据七、八年级所收集的塑料瓶总数不少于500个，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
16.【答案】( 5−1)：2
【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵∠A=36°，
∴∠ABE=∠A=36°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=180°−36°2=72°，
∴∠CBE=72°−36°=36°，
∴∠BEC=180°−36°−72°=72°，
∴∠BEC=∠C，
∴BE=CE=AE，△BCE是“黄金三角形”，
∴CE= 5−12BE= 5−12AE，
∵△BCE中CE边上的高与△ABE中AE边上的高相同，
∴△BCE与△ABE的面积比为CE：AE=( 5−1)：2，
故答案为：( 5−1)：2．
根据线段垂直平分线的性质及三角形的内角和易得△BCE是“黄金三角形”，然后根据三角形面积公式即可求得答案．
本题考查黄金分割，等腰三角形的性质及判定，线段垂直平分线的性质，结合已知条件证得△BCE是“黄金三角形”是解题的关键．
17.【答案】2 2
【解析】解：过B点作BF⊥BC交DC延长线于点F，连接AC，如图，
根据旋转有：∠ABE=90°，AB=AE，
∵∠D=45°，AD//BC，
∴∠BCF=45°，
∵BF⊥BC，∠CBF=90°，即∠BCF=∠BFC=45°，
∴BF=BC= 22CF，即CF=2 2，
∴∠ABE=90°，∠CBF=90°，
∴∠ABC=∠EBF，
又∵AB=AE，
∴△ABC≌△EBF(SAS)，
∴∠BCA=∠BFE=45°，AC=FE，
∴∠ACF=∠BCA+∠BCF=90°，
又∵∠D=45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴AC=CD，
∴EF=CD，
∴EC+CF=CE+ED，
∴CF=DE=2 2，
故答案为：2 2
过B点作BF⊥BC交CD延长线于点F，连接AC，先证明BF=BC，再证明△ABC≌△EBF，即可得AC=FE，∠ACF=90°，即有△ACD为等腰直角三角形，即可得EF=CD，进一步解答即可．
本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，作出合适的辅助线是解答本题的关键．
18.【答案】解：2x−1
解不等式②得：x≥−2，
∴原不等式组的解集为：−2≤x<2，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【解析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
19.【答案】解：x−3x2−9÷x−12x+6−1x+1
=x−3(x+3)(x−3)⋅2(x+3)x−1−1x+1
=2x−1−1x+1
=2(x+1)−(x−1)(x−1)(x+1)
=2x+2−x+1(x−1)(x+1)
=x+3(x−1)(x+1)，
当x=2时，原式=2+3(2−1)×(2+1)=53．
【解析】先计算分式的除法，再算分式的减法，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解：去分母得：3−x−1=x−2，
移项合并得：2x=4，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的增根．
∴原分式方程无解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
21.【答案】= 16
【解析】解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求；
(2)AB′= 12+32= 10，AC′= 12+32= 10，
∴AB′=AC′，
故答案为：=；
(3)由题意知，边BC扫过的四边形是矩形，
∵BC= 42+42=4 2，BB′2= 22+22=2 2，
∴边BC扫过的面积为4 2×2 2=16，
故答案为：16．
(1)根据平移的性质画出图形即可；
(2)根据勾股定理求得AB′，AC′，于是得到结论；
(3)根据勾股定理和矩形的性质即可得到结论．
本题考查了作图−平移变换，勾股定理，矩形的判定和性质，正确地作出图形是解题的关键．
22.【答案】AM=CN(答案不唯一) 6
【解析】解：(1)如图1，可以添加AM=CN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴DM=BN，
∴四边形MBND是平行四边形，
故答案为：AM=CN(答案不唯一)；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，四边形AMCN为平行四边形，
∴AM//BM，
∴∠MAB=∠ABC，
∵AC=BC=6，
∴∠CAB=∠CBA=30°，
∴∠MAB=∠CBA=30°，
∴∠MAC=60°，
∵AC=AM=6，
∴△ACM是等边三角形，
∴MC=6．
故答案为：6．
(1)根据平行四边形的判定即可解决问题；
(2)根据平行四边形的性质证明△ACM是等边三角形，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质．
23.【答案】解：(1)设购进甲款T恤的单价是x元，则购进乙款T恤的单价是(x+5)元，
根据题意得：8800x+5=4000x×2，
解得：x=50，
经检验，x=50是所列方程的解，且符合题意，
∴x+5=50+5=55．
答：购进甲款T恤的单价是50元，乙款T恤的单价是55元；
(2)设这段时间按标价销售了y件乙款T恤，则销售了(100−y)件甲款T恤，
根据题意得：(100×0.9−50)(100−y)+(100−55)y≥4200，
解得：y≥40，
∴y的最小值为40．
答：这段时间按标价销售的乙款T恤至少要销售40件．
【解析】(1)设购进甲款T恤的单价是x元，则购进乙款T恤的单价是(x+5)元，利用数量=总价÷单价，结合用8800元购进乙款T恤的数量是用4000元购进甲款T恤数量的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出购进甲款T恤的单价，再将其代入(x+5)中，即可求出购进乙款T恤的单价；
(2)设这段时间按标价销售了y件乙款T恤，则销售了(100−y)件甲款T恤，利用总利润=每件的销售利润×销售数量，结合总利润不低于4200元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】4 4 3 3 1
∴根据题意可知，当点G在边AD上时，即OG⊥AD时，
∴OG的最小值是4，
因此d[点O，线段AD]=4，
故答案为：4，4；
(2)∵A(4,3)，B(−4,3)，四边形是平行四边形，
∴根据题意可知，当点G在边任意边上时，即OG⊥AB或OG⊥CD时，
∴OG的最小值是3，因此d[点O，▱ABCD]=3，
故答案为：3，3；
(3)如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∴AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ABC和∠ADC，
∴线段EF到四边形ABCD的距离为|3−n|，
d[线段EF，▱ABCD]=|3−n|，
∴1<|3−n|<2，
解得：1
∴FP=FH=3+n，
∴d[线段EF,平行四边形ABCD]d[点F,线段AD]=3−n3+n；
故答案为：3−n3+n；
(4)由题意得，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为0.5米，
则所需彩绳的长度为：2×(4+6)+2 π×0.5=(20+π )(米)．
(1)根据定义及垂线段最短即可得出答案；
(2)根据定义及垂线段最短即可得出答案；
(3)画出图形，进行分类讨论即可；
(4)根据定义画出图形，可得出答案．
此题考查了平面直角坐标系中，点与点、点与直线的距离问题，不等式运用和菱形的性质和判定等，理解新定义，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．
25.【答案】60 3 3 3 3 S1=S2 60°或120°
【解析】(1)由旋转可得，∠F=∠BAD，BA=BF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ABF=∠BAD，
∴∠ABF=∠F，
∴BA=AF，
∴BA=AF=BF，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠ABF=α=60°，
故答案为：60．
(2)如图，过点F作FM⊥BD交DB延长线于点M，设AD，BE交于点N，
∵AD//BC，
∴∠ANE=∠ANB=∠EBF=90°=∠ABM，∠EAN=∠AFB，
∴∠MBF=∠ABN，
∵BF=BA，
∴△ABN≌△FBM(AAS)，
∴AN=FM，
∵BD=BE，
∴S1=S2，
∵△ABF是等边三角形，
∴∠AFB=60°=∠EAN，AB=AF，
∴∠E=30°=∠ABE，
∴AE=AB，
∴AE=AF，
∴S△ABE=12S△EFB，
∵AD=4 3，
∴AB=2 3=BF，BD=6=BE，
∴S△EFB=12×6×2 3=6 3，
∴S△ABE=3 3，
∴S1=S2=3 3，
故答案为：3 3,3 3．
(3)解：S1=S2，理由如下：
思路1：如图，过点A，E分别作直线平行于BE，AB，两直线交于点M，连接BM，
∵AM//BE，ME//AB，
∴四边形ABEM为平行四边形，
∴AM=BE，∠MAB+∠ABE=180°，
∵旋转，
∴AB=BF，BD=BE，∠ABD=∠EBF=90°，
∴BD=AM，
∵∠ABD+∠ABE+∠EBF+∠FBD=360°，
∴∠ABE+∠DBF=180°，
∴∠MAB=∠DBF，
∴△MAB≌△DBF(SAS)，
∴S△MAB=S2，
∵ME//AB，
∴S△MAB=S1，
∴S1=S2．
思路2：如图，过点E作EH⊥AB交AB延长线于点H，过点D作DG⊥BF交BF延长线于点C，
∵EH⊥AB，DG⊥BF，
∴∠H=∠G=90°，
∵旋转，
∴BD=BE，AB=BF，∠DBA=∠EBF=90°，
∴∠EBG=90°，
∴∠EBG=∠ABD，
∴∠EBG−∠ABG=∠ABD−∠ABG，
即∠EBH=∠GBD，
∴△EBH≌△DBG(AAS)，
∴EH=DG，
∴S1=12AB⋅EH=12BF⋅DG=S2；
拓展应用：∵S1=S2，
∴当S1+S2为ABCD面积的12时，S1=S2=14S平行四边形ABCD′
由(3)思路2得，S1=12AB⋅EH，S平行四边形ABCD=AB⋅BD，EH=DG，
∴12AB⋅EH=14AB⋅BD，
∴BD=2EH，即BD=2DG，
∴∠DBG=30°=∠ABE，
如图3，∠ABF=120°，
如图2，∠DBE=∠ABF=90°−30°=60°，
综上，α的值为60°或120°．
故答案为：60°或120°．
(1)由旋转的性质和平行四边形的性质，等角对等边，可得△ABF是等边三角形，即可求解；
(2)过点F作FM⊥BD交DB延长线于点M，设AD，BE交于点N，通过证明△ABN≌△FBM(AAS)，进而得出S1=S2，再证明AE=AF，可得S△ABE=12S△EFB，求解即可；
(3)分别根据思路1和2进行推理证明即可；
拓展应用：先根据面积之间的关系得出BD=2DG，继而得出∠DBG=30°=∠ABE，分别在图3和图2中进行求解即可．
本题考查了三角形的综合应用，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．
2022-2023学年广东省深圳市龙华区八年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. “琴棋书画”的棋是指围棋，围棋起源于中国，至今已有四千多年的历史.下列由黑、白棋子摆成的图案中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 若a>b，下列不等式变形，不一定成立的是( )
A. a+1>b+1 B. a−2>b−2 C. −2a<−2b D. ac2>bc2
3. 下列分式中，是最简分式的是( )
A. xyx2 B. 3x+33x−3 C. x+yx−y D. x+1x2−1
4. 如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下面的方法估测出了A，B间的距离：先在AB外选一点C，然后分别步测出AC，BC的中点M，N，并步测出MN的长为3米，由此他就估测出A，B间的距离为( )
A. 3米
B. 4.5米
C. 6米
D. 9米
5. 已知a+b=5，ab=6，则多项式a2b+ab2的值为( )
A. 30 B. 11 C. 1 D. −1
6. 如图，在Rt△ABC中，∠A=50°，点D在斜边AB上.如果△ABC经过旋转后与△EBD重合，则∠CBE的大小是( )
A. 90°
B. 80°
C. 50°
D. 40°
7. 如图，在等边△ABC的三边上分别取点D，E，F，使得AD=BE=CF，若DE⊥BC，则△ABC的周长是△DEF的周长的( )
A. 2倍
B. 3倍
C. 3倍
D. 2 3倍
8. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD⊥AD，AB=5，BC=3，则以下结论不正确的是( )
A. AD=3 B. OB=2
C. AC=2 13 D. ▱ABCD的面积为6
9. 根据规划设计，某工程队准备修建一条长1120米的盲道.由于情况改变，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米，结果提前2天完成了这一任务，假设原计划每天修建盲道x米，根据题意可列方程为( )
A. 1120x−1120x+10=2 B. 1120x−1120x−10=2
C. 1120x+10−1120x=2 D. 1120x−10−1120x=2
10. 如图，l1//l2，直线l1与直线l2之间的距离为4，点A是直线l1与l2外一点，点A到直线l1的距离为2，点B，D分别是直线l1与直线l2上的动点，以点B为圆心，AD的长为半径作弧，再以点D为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于点C，则点A与点C之间距离的最小值为( )
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）
11. 分解因式：a3+2a2+a= ______ ．
12. 由深圳到广州的一条铁路全程约为146千米，高铁全程运行时间为a小时，则高铁的速度是每小时______ 千米．
13. 一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是______边形．
14. 一次函数y=kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b>0的解集为______ ．
15. 某校学生会组织七年级和八年级共30名同学参加环保志愿者活动，七年级学生平均每人收集15个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集20个废弃塑料瓶.为了保证所收集的塑料瓶总数不少于500个.则七年级学生参加活动的人数至多是______ 名.
16. 我们把顶角为36°的等腰三角形称作“黄金三角形”，“黄金三角形”的底边长是腰长的 5−12倍.如图，△ABC是“黄金三角形”，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE与△ABE的面积比为______ ．
17. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠D=45°，将边AB绕点B顺时针旋转90°后，点A恰好落在边CD上的点E处，已知BC=2，则DE的长度为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题8.0分)
解不等式组：2x−1
19. (本小题8.0分)
先化简，再求值：x−3x2−9÷x−12x+6−1x+1，其中x=2．
20. (本小题7.0分)
解方程：3−xx−2+12−x=1．
21. (本小题6.0分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别是(−1,0)，(0,3)，(−4,−1)，若△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′，已知点A′的坐标为(1,−2).根据以上条件，请解决下列问题：
(1)请画出平移后的△A′B′C′；
(2)AB′ ______ AC′(填“>”或“=”或“<”)；
(3)在平移过程中，边BC扫过的面积为______ ．
22. (本小题10.0分)
已知四边形ABCD为平行四边形，点M，N分别是直线AD，BC上的点，且与点A，B，C，D不重合．
(1)请在图1中画出你设计的图形，并添加一个适当的条件：______ ，使得点M，N与▱ABCD的两个顶点组成的四边形是一个平行四边形，并说明理由；
(2)如图2，已知AC=BC=6，∠ABC=30°，若四边形AMCN为平行四边形，且AM=6，则MC的长度为______ ．
23. (本小题8.0分)
某服装店老板用4000元购进了一批甲款T恤，用8800元购进了一批乙款T恤，已知所购乙款T恤数量是甲款T恤数量的2倍，购进的乙款T恤单价比甲款T恤单价贵5元．
(1)购进甲、乙两款T恤的单价分别是多少元？
(2)老板把这两种T恤的标价都定为每件100元，甲款T恤打九折销售，乙款T恤按标价销售.经过一段时间的销售，老板发现，销售两种T恤共100件时，利润不低于4200元.那么这段时间按标价销售的乙款T恤至少要销售多少件？
24. (本小题10.0分)
【定义】对于没有公共点的两个图形M，N，点P是图形M上任意一点，点Q是图形N上任意一点，把P、Q两点之间的距离的最小值称为图形M与图形N的距离，记为d[M,N]．
【理解】如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若点A，B的坐标分别为(4,3)，(−4,3)，点G是▱ABCD边上任意一点．
(1)当点G在边AD上时，OG的最小值是______ ，因此d[点O，线段AD]= ______ ；
(2)当点G在任意边上时，OG的最小值是______ ，因此d[点O，▱ABCD]= ______ ；
【拓展】如图2，在平面直角坐标系中，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，点A，B的坐标分别为(4,3)，(−94,3)，点E(a,n)是对角线AC上与点A，C，O不重合的一点，点F(b,n)是对角线BD上与点B，D，O不重合的一点．
(3)当1
【应用】为庆祝母亲节，某商场在广场举行花卉展览，要在长6米，宽4米的长方形花卉展览区外围用彩绳拉出封闭隔离线，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为0.5米，请直接写出所需彩绳的长度．
25. (本小题12.0分)
【问题背景】如图1，在▱ABCD中，AB⊥DB.将△ABD绕点B逆时针旋转至△FBE，记旋转角∠ABF=a(0°<α≤180°)，当线段FB与DB不共线时，记△ABE的面积为S1，△FBD的面积为S2．
【特例分析】如图2，当EF恰好过点A，且点F，B，C在同一条直线上时．
(1)α= ______ °；
(2)若AD=4 3，则S1= ______ ，S2= ______ ；
【推广探究】某数学兴趣小组经过交流讨论，猜想：在旋转过程中，S1与S2之间存在一定的等量关系.再经过独立思考，获得了如下一些解决思路：
思路1：如图3，过点A，E分别作直线平行于BE，AB，两直线交于点M，连接BM，可证一组三角形全等，再根据平行四边形的相关性质解决问题：
思路2：如图4，过点E作EH⊥AB于点H，过点D作DG⊥FB，交FB的延长线于点G，可证一组三角形全等，再根据旋转的相关性质解决问题；
…
(3)如图5，请你根据以上思路，并结合你的想法，探究S1与S2之间的等量关系为______ ，并说明理由．
【拓展应用】在旋转过程中，当S1+S2为▱ABCD面积的12时，α的值为______ ．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】D
【解析】解：A、∵a>b，
∴a+1>b+1，
故A不符合题意；
B、∵a>b，
∴a−2>b−2，
故B不符合题意；
C、∵a>b，
∴−2a<−2b，
故C不符合题意；
D、∵a>b，c≠0，
∴ac2>bc2，
故D符合题意；
故选：D．
根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、 xyx2=yx，原分式不是最简分式，不符合题意；
B、3x+33x−3=x+1x−1，原分式不是最简分式，不符合题意；
C、x+yx−y是最简分式，符合题意；
D、x+1x2−1=x+1(x+1)(x−1)=1x−1，原分式不是最简分式，不符合题意．
故选：C．
根据最简分式的定义对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是最简分式，熟知一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵AC，BC的中点是M，N，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN=12AB，
∵MN≈3米，
∴AB≈6米．
故选：C．
由三角形中位线定理得到MN=12AB，由MN的值，即可求出AB的长．
本题考查三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：由题意，a2b+ab2=ab(a+b)．
∵a+b=5，ab=6，
∴a2b+ab2=ab(a+b)=6×5=30．
故选：A．
依据题意，由a2b+ab2=ab(a+b)，结合已知条件代入数据即可得解．
本题考查了因式分解的应用，解题时要能将所求问题先进行因式分解，然后代入数据计算是关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵△ABC经过旋转后与△EBD重合，
∴∠CBA=∠EBD，
在Rt△ABC中，∠A=50°，
∴∠CBA=∠EBD=90°−50°=40°，
∴∠CBE=80°，
故选：B．
根据旋转的性质得出∠CBA=∠EBD，再根据直角三角形两锐角互余求出∠CBA=∠EBD=90°−50°=40°，即可求解．
本题考查了旋转的性质，明确旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，AD=BE=CF，
∴AB=BC=CA，∠A=∠B=∠C=60°，
∴BD=CE=AF，
∴△ADF≌△BED≌△CFE(SAS)，
∴DF=ED=FE，
∴△DEF是等边三角形，
∵∠B=60°，DE⊥BC，
∴∠BDE=30°，∠ADF=∠BED=∠CFE=90°，
设AD=BE=CF=x，则AF=BD=CE=2x，
∴AB=x+2x=3x，DE= 3BE= 3x，
∴△ABC的周长=3AB=9x，
△DEF的面积=3DE=3 3x，
∴△ABC的周长是△DEF的周长 3倍．
故选：C．
先证明△ADF≌△BED≌△CFE，得到等边△DEF，设AD=BE=CF=x，则AF=BD=CE=2x，DE= 3x，进而即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理，等边三角形的判定，直角三角形的性质是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，BC=3，
∴OD=OB，OA=OC，AD=BC=3，故A正确；
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∵AB=5，
∴BD= AB2−AD2= 52−32=4，
∴OB=OD=2，故B正确；
∴OA= AD2+OD2= 32+22= 13，
∴AC=2OA=2 13，故C正确；
∴平行四边形ABCD的面积为AD×BD=3×4=12，故D错误．
故选：D．
根据平行四边形的性质判断AD=BC=3；根据勾股定理求出BD判断OB=2；根据勾股定理求出AO判断AC的长；根据AD和BD的长计算平行四边形的面积即可解答．
本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质并灵活运用．
9.【答案】A
【解析】解：∵实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米，且原计划每天修建盲道x米，
∴实际每天修建盲道(x+10)米．
根据题意得：1120x−1120x+10=2．
故选：A．
根据实际及原计划工作效率间的关系，可得出实际每天修建盲道(x+10)米，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前2天完成修建任务，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：过C作CK//l1，过A作AH⊥CK，交l1于M，交l2于N，作CP⊥l2于P，
∵l1//l2，
∴CK//l2，
∴AH⊥l1，AH⊥l2，
∴AM=2，MN=4，
由题意得：BC=AD，CD=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，∠BAM=∠QCD，AB=CD，
∵l1//l2，
∴∠ABM=∠CDQ，
∴△ABM≌△CDQ(ASA)，
∴CP=AM=2，
∴HN=CP=2，
∴AH=2+4+2=8，
∵AC≥AH，
∴点A与点C之间距离的最小值是8．
故选：B．
过C作CK//l1，过A作AH⊥CK，交l1于M，交l2于N，作CP⊥l2于P，得到CK//l2，因此AM=2，MN=4，由平行四边形的性质推出，△ABM≌△CDQ(ASA)，CP=AM=2，得到HN=2，求出AH=8，由AC≥AH，即可求出AC的最小值．
本题考查平行线之间的距离，点到直线的距离，关键是通过作辅助线，得到AC≥AH，求出HN即可解决问题．
11.【答案】a(a+1)2
【解析】解：a3+2a2+a
=a(a2+2a+1)
=a(a+1)2，
故答案为：a(a+1)2
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12.【答案】146a
【解析】解：∵路程=速度×时间，
∴高铁的速度是每小时146a千米，
故答案为：146a．
根据“路程=速度×时间”进行变式、求解．
此题考查了列代数式表示实际问题的能力，关键是能准确理解并运用实际问题间的数量关系．
13.【答案】四
【解析】
【分析】
本题考查了多边形的外角和定理以及四边形的内角和定理，比较简单．利用多边形的外角和以及四边形的内角和定理即可解决问题．
【解答】
解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和等于它的外角和，则内角和是360度，
∴这个多边形是四边形．
故答案为四．
14.【答案】x<6
【解析】解：由图象可得，
函数y=kx+b与x轴的交点为(6,0)，y随x的增大而减小，
∴不等式kx+b>0的解集是x<6，
故答案为：x<6．
根据一次函数的性质，可以写出不等式kx+b>0的解集．
本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15.【答案】20
【解析】解：设七年级学生参加活动的人数是x名，则八年级学生参加活动的人数是(30−x)名，
根据题意得：15x+20(30−x)≥500，
解得：x≤20，
∴x的最大值为20，
即七年级学生参加活动的人数至多是20名．
故答案为：20．
设七年级学生参加活动的人数是x名，则八年级学生参加活动的人数是(30−x)名，根据七、八年级所收集的塑料瓶总数不少于500个，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
16.【答案】( 5−1)：2
【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵∠A=36°，
∴∠ABE=∠A=36°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=180°−36°2=72°，
∴∠CBE=72°−36°=36°，
∴∠BEC=180°−36°−72°=72°，
∴∠BEC=∠C，
∴BE=CE=AE，△BCE是“黄金三角形”，
∴CE= 5−12BE= 5−12AE，
∵△BCE中CE边上的高与△ABE中AE边上的高相同，
∴△BCE与△ABE的面积比为CE：AE=( 5−1)：2，
故答案为：( 5−1)：2．
根据线段垂直平分线的性质及三角形的内角和易得△BCE是“黄金三角形”，然后根据三角形面积公式即可求得答案．
本题考查黄金分割，等腰三角形的性质及判定，线段垂直平分线的性质，结合已知条件证得△BCE是“黄金三角形”是解题的关键．
17.【答案】2 2
【解析】解：过B点作BF⊥BC交DC延长线于点F，连接AC，如图，
根据旋转有：∠ABE=90°，AB=AE，
∵∠D=45°，AD//BC，
∴∠BCF=45°，
∵BF⊥BC，∠CBF=90°，即∠BCF=∠BFC=45°，
∴BF=BC= 22CF，即CF=2 2，
∴∠ABE=90°，∠CBF=90°，
∴∠ABC=∠EBF，
又∵AB=AE，
∴△ABC≌△EBF(SAS)，
∴∠BCA=∠BFE=45°，AC=FE，
∴∠ACF=∠BCA+∠BCF=90°，
又∵∠D=45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴AC=CD，
∴EF=CD，
∴EC+CF=CE+ED，
∴CF=DE=2 2，
故答案为：2 2
过B点作BF⊥BC交CD延长线于点F，连接AC，先证明BF=BC，再证明△ABC≌△EBF，即可得AC=FE，∠ACF=90°，即有△ACD为等腰直角三角形，即可得EF=CD，进一步解答即可．
本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，作出合适的辅助线是解答本题的关键．
18.【答案】解：2x−1
解不等式②得：x≥−2，
∴原不等式组的解集为：−2≤x<2，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【解析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
19.【答案】解：x−3x2−9÷x−12x+6−1x+1
=x−3(x+3)(x−3)⋅2(x+3)x−1−1x+1
=2x−1−1x+1
=2(x+1)−(x−1)(x−1)(x+1)
=2x+2−x+1(x−1)(x+1)
=x+3(x−1)(x+1)，
当x=2时，原式=2+3(2−1)×(2+1)=53．
【解析】先计算分式的除法，再算分式的减法，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解：去分母得：3−x−1=x−2，
移项合并得：2x=4，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的增根．
∴原分式方程无解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
21.【答案】= 16
【解析】解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求；
(2)AB′= 12+32= 10，AC′= 12+32= 10，
∴AB′=AC′，
故答案为：=；
(3)由题意知，边BC扫过的四边形是矩形，
∵BC= 42+42=4 2，BB′2= 22+22=2 2，
∴边BC扫过的面积为4 2×2 2=16，
故答案为：16．
(1)根据平移的性质画出图形即可；
(2)根据勾股定理求得AB′，AC′，于是得到结论；
(3)根据勾股定理和矩形的性质即可得到结论．
本题考查了作图−平移变换，勾股定理，矩形的判定和性质，正确地作出图形是解题的关键．
22.【答案】AM=CN(答案不唯一) 6
【解析】解：(1)如图1，可以添加AM=CN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴DM=BN，
∴四边形MBND是平行四边形，
故答案为：AM=CN(答案不唯一)；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，四边形AMCN为平行四边形，
∴AM//BM，
∴∠MAB=∠ABC，
∵AC=BC=6，
∴∠CAB=∠CBA=30°，
∴∠MAB=∠CBA=30°，
∴∠MAC=60°，
∵AC=AM=6，
∴△ACM是等边三角形，
∴MC=6．
故答案为：6．
(1)根据平行四边形的判定即可解决问题；
(2)根据平行四边形的性质证明△ACM是等边三角形，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质．
23.【答案】解：(1)设购进甲款T恤的单价是x元，则购进乙款T恤的单价是(x+5)元，
根据题意得：8800x+5=4000x×2，
解得：x=50，
经检验，x=50是所列方程的解，且符合题意，
∴x+5=50+5=55．
答：购进甲款T恤的单价是50元，乙款T恤的单价是55元；
(2)设这段时间按标价销售了y件乙款T恤，则销售了(100−y)件甲款T恤，
根据题意得：(100×0.9−50)(100−y)+(100−55)y≥4200，
解得：y≥40，
∴y的最小值为40．
答：这段时间按标价销售的乙款T恤至少要销售40件．
【解析】(1)设购进甲款T恤的单价是x元，则购进乙款T恤的单价是(x+5)元，利用数量=总价÷单价，结合用8800元购进乙款T恤的数量是用4000元购进甲款T恤数量的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出购进甲款T恤的单价，再将其代入(x+5)中，即可求出购进乙款T恤的单价；
(2)设这段时间按标价销售了y件乙款T恤，则销售了(100−y)件甲款T恤，利用总利润=每件的销售利润×销售数量，结合总利润不低于4200元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】4 4 3 3 1
∴根据题意可知，当点G在边AD上时，即OG⊥AD时，
∴OG的最小值是4，
因此d[点O，线段AD]=4，
故答案为：4，4；
(2)∵A(4,3)，B(−4,3)，四边形是平行四边形，
∴根据题意可知，当点G在边任意边上时，即OG⊥AB或OG⊥CD时，
∴OG的最小值是3，因此d[点O，▱ABCD]=3，
故答案为：3，3；
(3)如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∴AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ABC和∠ADC，
∴线段EF到四边形ABCD的距离为|3−n|，
d[线段EF，▱ABCD]=|3−n|，
∴1<|3−n|<2，
解得：1
∴FP=FH=3+n，
∴d[线段EF,平行四边形ABCD]d[点F,线段AD]=3−n3+n；
故答案为：3−n3+n；
(4)由题意得，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为0.5米，
则所需彩绳的长度为：2×(4+6)+2 π×0.5=(20+π )(米)．
(1)根据定义及垂线段最短即可得出答案；
(2)根据定义及垂线段最短即可得出答案；
(3)画出图形，进行分类讨论即可；
(4)根据定义画出图形，可得出答案．
此题考查了平面直角坐标系中，点与点、点与直线的距离问题，不等式运用和菱形的性质和判定等，理解新定义，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．
25.【答案】60 3 3 3 3 S1=S2 60°或120°
【解析】(1)由旋转可得，∠F=∠BAD，BA=BF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ABF=∠BAD，
∴∠ABF=∠F，
∴BA=AF，
∴BA=AF=BF，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠ABF=α=60°，
故答案为：60．
(2)如图，过点F作FM⊥BD交DB延长线于点M，设AD，BE交于点N，
∵AD//BC，
∴∠ANE=∠ANB=∠EBF=90°=∠ABM，∠EAN=∠AFB，
∴∠MBF=∠ABN，
∵BF=BA，
∴△ABN≌△FBM(AAS)，
∴AN=FM，
∵BD=BE，
∴S1=S2，
∵△ABF是等边三角形，
∴∠AFB=60°=∠EAN，AB=AF，
∴∠E=30°=∠ABE，
∴AE=AB，
∴AE=AF，
∴S△ABE=12S△EFB，
∵AD=4 3，
∴AB=2 3=BF，BD=6=BE，
∴S△EFB=12×6×2 3=6 3，
∴S△ABE=3 3，
∴S1=S2=3 3，
故答案为：3 3,3 3．
(3)解：S1=S2，理由如下：
思路1：如图，过点A，E分别作直线平行于BE，AB，两直线交于点M，连接BM，
∵AM//BE，ME//AB，
∴四边形ABEM为平行四边形，
∴AM=BE，∠MAB+∠ABE=180°，
∵旋转，
∴AB=BF，BD=BE，∠ABD=∠EBF=90°，
∴BD=AM，
∵∠ABD+∠ABE+∠EBF+∠FBD=360°，
∴∠ABE+∠DBF=180°，
∴∠MAB=∠DBF，
∴△MAB≌△DBF(SAS)，
∴S△MAB=S2，
∵ME//AB，
∴S△MAB=S1，
∴S1=S2．
思路2：如图，过点E作EH⊥AB交AB延长线于点H，过点D作DG⊥BF交BF延长线于点C，
∵EH⊥AB，DG⊥BF，
∴∠H=∠G=90°，
∵旋转，
∴BD=BE，AB=BF，∠DBA=∠EBF=90°，
∴∠EBG=90°，
∴∠EBG=∠ABD，
∴∠EBG−∠ABG=∠ABD−∠ABG，
即∠EBH=∠GBD，
∴△EBH≌△DBG(AAS)，
∴EH=DG，
∴S1=12AB⋅EH=12BF⋅DG=S2；
拓展应用：∵S1=S2，
∴当S1+S2为ABCD面积的12时，S1=S2=14S平行四边形ABCD′
由(3)思路2得，S1=12AB⋅EH，S平行四边形ABCD=AB⋅BD，EH=DG，
∴12AB⋅EH=14AB⋅BD，
∴BD=2EH，即BD=2DG，
∴∠DBG=30°=∠ABE，
如图3，∠ABF=120°，
如图2，∠DBE=∠ABF=90°−30°=60°，
综上，α的值为60°或120°．
故答案为：60°或120°．
(1)由旋转的性质和平行四边形的性质，等角对等边，可得△ABF是等边三角形，即可求解；
(2)过点F作FM⊥BD交DB延长线于点M，设AD，BE交于点N，通过证明△ABN≌△FBM(AAS)，进而得出S1=S2，再证明AE=AF，可得S△ABE=12S△EFB，求解即可；
(3)分别根据思路1和2进行推理证明即可；
拓展应用：先根据面积之间的关系得出BD=2DG，继而得出∠DBG=30°=∠ABE，分别在图3和图2中进行求解即可．
本题考查了三角形的综合应用，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．
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