2022-2023学年广东省深圳市龙华区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省深圳市龙华区九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 关于的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

2. 一元二次方程，用配方法解该方程，配方后的方程为(    )

A.   B.
C.  D.  

3. 若，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，，且；；，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 在今年“十一”期间，小康和小明两家准备进行徒步活动，从塘朗山、阳台山，梧桐山三个地点中分别选择一个地点，他们两家去同一地点徒步的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 一花户，有长的篱笆，要围成一边靠住房墙墙长的面积为的长方形花园，且垂直于住房墙的一边留一个的门，设垂直于住房墙的其中一边长为，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

8. 下列说法中，正确的是(    )

A. 顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是菱形
B. 关于的方程有两个不相等实根，则的取值范围且
C. 正方形的对角线所在的直线是它的对称轴，它有条对称轴
D. 点是线段的一个黄金分割点，若，则

9. 如图，在正方形中，对角线、相交于点、分别为、上一点，且，连接，，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，矩形中，点在边上，且，作于点，连接，，的延长线交于点，交于点以下结论：
    ；
    为的角平分线；
    若，则：：；
    若平分，，则矩形的面积为．
    则正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 关于的一元二次方程的一个根为，则的值为______．
12. 在一个不透明的袋子中放有个球，其中有个红球，这些球除颜色外完全相同若每次把球充分搅匀后，任意摸出一球记下颜色后再放回袋子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则的值约为______ ．
13. 如图，点是正方形中边上的中点，对角线交点为，连接交于点，则：______．

14. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，，点是上一动点，点是的中点，则的最小值为______．

15. 如图，是边长为的正方形的边上的一个动点与、不重合连接，过点作，将沿所在直线翻折得到，延长交的延长线于点当时，的长为______．

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    解方程：
    ；
    用配方法；
    用公式法．
17. 本小题分
    定义：在边长为的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形，格点四边形，在的正方形网格中，若每一个小正方形的边长均为，请仅用无刻度直尺按要求画图．
    
    在图中画一个以为边画一个格点正方形；
    在图中画一个格点平行四边形，使平行四边形面积为；
    在图中画一个格点菱形不是正方形．温馨提示：请画在答题卷相对应的图上
18. 本小题分
    现有甲、乙两个不透明袋子，分别装有个除颜色外完全相同的小球，其中甲袋装有个白球、个红球；乙袋装有个红球、个白球．
    将甲袋摇匀，然后从甲袋中随机摸出一个小球，求摸出的小球是白球的概率．
    、两人商定一个游戏规则：摇匀后，从甲、乙两袋中随机各摸出一球，若两球颜色相同，则获胜；若颜色不同，则获胜．请用列表法或树状图法说明这个游戏规则对双方是否公平．
19. 本小题分
    如图，四边形为菱形，点在的延长线上，．
    求证：∽；
    当，时，求的长．

20. 本小题分
    北京冬奥会期间，冰墩墩和雪容融受到人们的广泛喜爱．某网店以每套元的价格购进了一批冰墩墩和雪容融，由于销售火爆，销售单价经过两次的调整，从每套元上涨到每套元，此时每天可售出套冰墩墩和雪容融．
    若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率；
    冬奥会闭幕后需求有所下降，需尽快将这批冰墩墩和雪容融售出，决定降价出售，经过市场调查发现：销售单价每降价元，每天多卖出套，商店想使每天利润达到元，每套价格应为多少元？

21. 本小题分
    矩形中，，点是边的中点，连接，过点作的垂线，与矩形的外角平分线交于点．
    【特例证明】如图，当时，求证：；
    【类比探究】如图，当时，求的值用含的式子表示；
    【拓展运用】如图，当时，为边上一点，连接，，，，则的长为______．
     
22. 本小题分
    已知：在平面直角坐标系中，直线：与轴，轴分别交于、两点，直线经过点，与轴交于点．
    求直线的解析式；
    如图，点为直线一个动点，若的面积为时，请求出点的坐标．
    如图，将沿着轴平移，平移过程中的记为，请问在平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是、、，
故选：．
根据一元二次方程的一般形式即可得二次项系数，一次项，常数项．
此题主要考查了一元二次方程的一般式，关键是掌握任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
则，即，
故选：．
移项后两边都加上一次项系数一半的平方即可．
本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，


，
故选：．
利用比例的性质，进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
：：，，
，
解得．
故选：．
根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例列出比例式解答即可．
本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理并灵活运用．
 

5.【答案】 

【解析】解：塘朗山、阳台山，梧桐山分别用、、表示，根据题意画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中他们两家抽到同一地点的结果数为，
所以两家去同一地点的概率为，
故选：．
画树状图展示所有种等可能的结果数，找出两家去同一地点的结果数，然后根据概率公式求解．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，，
，
，，
，，
，
，
，
故选：．
由矩形的性质得出，由已知条件得出，，由线段垂直平分线的性质得出，得出为等边三角形，即可求出的长，然后利用勾股定理即可解决问题．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，
根据题意得：．
故答案为：．
设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据长方形花园面积为即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据长方形花园的面积列出关于的一元二次方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是矩形，不一定是菱形，故选项A不符合题意；
B、关于的方程有两个不相等实根，
，
解得：且，故选项B符合题意；
C、正方形有条对称轴，分别是条对角线所在的直线和条两边的垂直平分线，故选项C不符合题意；
D、点是线段的一个黄金分割点，
，故选项D不符合题意；
故选：．
由矩形的判定、菱形的判定、一元二次方程根的判别式、正方形的性质以及黄金分割的定义分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的性质、一元二次方程根的判别式以及黄金分割等知识，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：是正方形，
，．
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
．
在和中，
，
≌．
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
故选：．
利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可．
本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，，
，，
，
，
≌，
，
故正确，符合题意；
≌，
，，
，
，
≌，
，
为的角平分线，
故正确，符合题意；
连接，

，，
，
，
，，
，，

≌，
，，
，
，，，，
，，
，
，
，
∽，
，
，
故正确，符合题意；
平分，
，
，
设，
，
，
，，
，
解得，
矩形的面积为：，
故正确，符合题意；
故选：．
根据证明≌便可判断的正误；
根据证明≌，便可判断的正误；
连接，由，得，进而证明，再证明∽，由相似三角形的性质得：：，便可判断的正误；
设，得，在中由勾股定理列出方程求得，再根据矩形面积公式求得矩形的面积便可判断的正误．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，关键是综合应用这些知识解题．
 

11.【答案】 

【解析】解：把代入方程得：，
．
故答案为：．
把代入方程得到一个关于的方程，求出方程的解即可．
本题主要考查对一元二次方程的解，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能得到方程是解此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得：，
经检验：是分式方程的解，
故答案为：．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到红球的频率稳定在左右得到比例关系，列出方程求解即可．
本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
是的中点，
，
正方形的对角线交点为，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
：，
故答案为：．
根据正方形的性质得到，，，由，推出∽，根据相似三角形的性质即可得解．
此题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，利用正方形的性质判定∽是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接，交于点，此时的最小值为的长，

四边形是菱形，
，，，，
，
，
是等边三角形，
点是的中点，
，
，
，
，
故答案为：．
由两点之间线段最短，可得当点在上时，的值最小，最小值为的长，由菱形的性质可得，，，，由锐角三角函数可求，可证是等边三角形，由等边三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了轴对称最短路线问题，菱形的性质，两点之间线段最短，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，利用锐角三角函数求出的度数是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是边长为的正方形，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
由折叠得，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由四边形是边长为的正方形，得，，因为，所以，则，可证明∽，求得，即可根据勾股定理求得，则，再证明，得，即可根据勾股定理列方程，求得，于是得到问题的答案．
此题重点考查翻折变换、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，通过证明∽求得是解题的关键．
 

16.【答案】解：，
，
，
或，
，；
，
，
，即，
，
，；
，
，，，
，
，
，． 

【解析】移项，方程提取公因式，进而得到，解两个一元一次方程即可；
先把常数项移到等号的右边，二次项系数化为，然后进行配方，进而得到方程的根；
代入求根公式计算即可．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
 

17.【答案】解：如图中，正方形即为所求；

如图中，平行四边形；
如图中，菱形即为所求． 

【解析】根据正方形的特点，利用数形结合的思想解决问题即可；
根据平行四边形的特点，利用数形结合的思想解决问题即可；
根据菱形的特点，利用数形结合的思想解决问题即可．
本题考查作图应用与设计作图，正方形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
 

18.【答案】解：共有种等可能结果，而摸出白球的结果有种
摸出白球；

根据题意，列表如下：

由上表可知，共有种等可能结果，其中颜色不相同的结果有种，颜色相同的结果有种
颜色不相同，颜色相同，
，
这个游戏规则对双方不公平． 

【解析】直接根据概率公式求解即可；
由上表可知，共有种等可能结果，找出符合条件的情况数，根据概率公式求出获胜的概率，再进行比较，即可得出答案．
本题考查了概率的求法，根据概率的求法，找准两点：全部等可能情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
 

19.【答案】证明：四边形为菱形，
，
，
，
，
∽；
解：∽，
，
，，
，
． 

【解析】根据两角相等可得两三角形相似；
根据相似三角形的性质列出比例式可得结论．
本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质和判定是解本题的关键．
 

20.【答案】解：设销售价格每次上涨的百分率为，
依题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：销售价格每次上涨的百分率为．
设每套价格为元，则每套的销售利润为元，每天可售出套，
依题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，，符合题意．
答：每套价格应为元． 

【解析】设销售价格每次上涨的百分率为，利用经过两次上涨后的价格原价销售价格每次上涨的百分率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
设每套价格为元，则每套的销售利润为元，每天可售出套，利用总利润每套的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】证明：如图，在上截取，连接，

，
，
，，
，
，
平分，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
≌，
；

解：在上截取，连接．

，，
，
，
平分，，
．
，
，
，
，
，
∽，
，
，是边的中点，
，
，
；

解：连接，延长、交于，

当时，设，则，
设，则，
，，
是等腰直角三角形，
，
作交，
，，
，
，
≌，
，，
作交延长线于，
四边形是矩形，
，
，，
≌，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
由“”可证≌，即可求解；
在上截取，连接证明∽，即可求解；
由“”可证≌，可得，，由“”可证≌，可证，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形是判定及性质，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：令，则，
，
令，则，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为；
，，
，
，
，
，
，，
，
点在点左侧或在点右侧，
设，
当点在点左侧时，
，
解得，
；
当点在点右侧时，
，
解得，
；
综上所述：点坐标为或；
存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下：
设向左平移个单位长，，
，，
当为菱形对角线时，
，
解得，
；
当为菱形对角线时，
，
解得或舍，
；
当为菱形对角线时，
，
解得舍或，
；
综上所述：点坐标为或或． 

【解析】求出点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；
设，分两种情况讨论：当点在点左侧时，，可求；当点在点右侧时，，可求；
设向左平移个单位长，，则，，根据菱形的对角线情况可分三种情况讨论：当为菱形对角线时，，求得；当为菱形对角线时，，求得；当为菱形对角线时，，求得．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的性质，分类讨论是解题的关键．