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初中数学北师大版八年级上册3 勾股定理的应用精品综合训练题
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这是一份初中数学北师大版八年级上册3 勾股定理的应用精品综合训练题，文件包含答案2docx、原卷2docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
北师大版 数学 八上 第一章 2.3勾股定理的应用
一， 选择题（共30分）
1，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．51 B．49 C．76 D．无法确定
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则
x2＝122+52＝169
所以x＝13
所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4＝76.
故答案为：C.
2.勾股定理是我国的伟大数学发明之一.如图，以Rt△ABC的各边为边向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片放入最大的正方形中，三个阴影部分的面积分别为S1=1，S2=2，S3=3，则较小两个正方形重叠部分（四边形DEFG）的面积为（ ）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用；正方形的性质
【解析】【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为a，较短直角边为b，
由勾股定理得，c2=a2+b2，
∴c2−a2−b2=0，
∴S阴影=c2−a2−(b2−S四边形DEFG)=c2−a2−b2+S四边形DEFG=S四边形DEFG，
∴S四边形DEFG=S1+S2+S3，
∵S1=1，S2=2，S3=3，
∴两个正方形重叠部分（四边形DEFG）的面积=1+2+3=6.
故答案为：D.
3.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S4=( )
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用；正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图：
∵∠ACB＝∠BDE＝∠ABE=90°，
∴∠ABC＋∠BAC＝90°，∠ABC＋∠EBD＝90°，
∴∠BAC＝∠EBD，
在△ABC与△BDE中，
∠ACB＝∠BDE，∠BAC＝∠EBD，AB＝BE，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC＝ED，
∵AB2＝AC2＋BC2，
∴AB2＝AC2＋ED2＝S1＋S2，
即S1＋S2＝1，
同理S2＋S3＝2，S3＋S4＝3，
则S1＋S2＋S3＋S4＝1＋3＝4，
则S1＋S4＝4-2=2．
故答案为：A.
4。《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A．x2+42=102 B．(10−x)2+42=102
C．(10−x)2+42=x2 D．x2+42=(10−x)2
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得：∠AOB=90°，
设折断处离地面的高度OA是x尺，
由勾股定理得：x2+42=(10−x)2．
故答案为：D．
5.如图，长为12cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升8cm至D点，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．5cm B．6cm C．8cm D．10cm
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：根据题意得：CD=8cm，AD=BD，AB=12cm，
∵点C为AB的中点，
∴CD⊥AB，AC=6cm，
∴AD=AC2+CD2=10cm，
∴橡皮筋被拉长了2×10−12=8cm．
故答案为：C
6.如图所示，已知△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于（ ）
A．9 B．35 C．45 D．无法计算
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2＝AB2﹣AD2，CD2＝AC2﹣AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2＝BD2+MD2＝AB2﹣AD2+MD2，MC2＝CD2+MD2＝AC2﹣AD2+MD2，
∴MC2﹣MB2＝（AC2﹣AD2+MD2）﹣（AB2﹣AD2+MD2）
＝AC2﹣AB2
＝45.
故答案为：C.
7.如图，在“庆国庆，手拉手”活动中，某小组从营地A出发，沿北偏东53°方向走了1200m到达B点，然后再沿北偏西37°方向走了500m到达目的地C点，此时A，C两点之间的距离为（ ）
A．1000m B．1100m C．1200m D．1300m
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：AB=1200m，BC=500m，∠CBD=37°，∠BAF=53°，DE∥AF，
∴∠ABE=∠BAF=53°，
∴∠ABC=180°−∠CBD−∠ABE=180°−37°−53°=90°，
∴AC=AB2+BC2=12002+5002=1300(m)，
即A，C两点之间的距离为1300m，
故答案为：D．
8.如图，已知ABCD是长方形纸片，，在CD上存在一点E，沿直线AE将折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且，则的面积是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据面积求出BF、AF、CF，设DE为x，列方程求出即可．
【详解】
解：ABCD是长方形纸片，
∴AB=CD=3，
，
∴，
∴BF=4，
∴AF=，
∴AF=AD=BC=5，CF=1，
设DE为x，EF=DE=x，EC=3-x，
x2=(3-x)2+1，
解得，x= ，
∴，
故选：B．
9．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是（ ）
A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米
【答案】B
【分析】
把圆柱沿着点A所在母线展开，把圆柱上最短距离转化为将军饮马河型最短问题求解即可.
【详解】
把圆柱沿着点A所在母线展开，如图所示，
作点A的对称点B，
连接PB，
则PB为所求，
根据题意，得PC=8，BC=6，
根据勾股定理，得PB=10，
故选B.
10．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为、、，现有一长为的吸管插入到盒的底部，则吸管漏在盒外面的部分的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的最长长度；最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答，进而求出露在杯口外的最短长度．
【详解】
①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16−12＝4（cm）；
②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，
底面对角线长==5cm，高为12cm，
由勾股定理可得：杯里面管长=＝13cm，则露在杯口外的长度最短为16−13＝3（cm），
∴
故选：B．
二．填空题（共24分）
11.如图，一架秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送1.5m（水平距离BC＝1.5m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1m，秋千的绳索始终拉直，则绳索AD的长是 m．
【答案】2.5
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，
∴∠CEF=∠EFB=∠FBC=∠BCE=∠ACB=90°，
∴BC∥EF，CE∥BF，
由平行线间距离处处相等可得：CE=BF=1m，
∴CD=CE-DE=1-0.5=0.5（m），而BC=1.5，
设绳索AD的长为x m， 则AB=AD=x m，AC=AD-CD=（x-0.5）m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
即（x-0.5）2+1.52=x2， 解得：x=2.5（m），
即绳索AD的长是2.5m，
故答案为：2.5．
12.如图，校园内有一块长方形草地，为了满足人们的多样化品求，在草地内拐角位置开出了一条路，走此路可以省 m的路．
【答案】2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】如图，
∵四边形是长方形，
∴∠ACB=90°，
∵AC=3，BC=4，
∴AB=AC2+CB2=32+42=5，
∴AC+BC-AB=3+4-5=2（m），
故答案为：2．
13.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇AB，它高出水面1尺（即BC＝1尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端B恰好到达池边的水面D处．问水的深度是多少？则水深DE为 尺．
【答案】12
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设水池里水的深度是x尺，则DE=AC=x，BA=AD=x+1，
由题意得：AC2+CD2=AD2，
∴x2+52=(x+1)2，
解得：x=12，
故答案为：12．
14.一艘轮船以16km/ℎ 的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/ℎ的速度向东南方向航行，它们离开港口1 小时后相距 ．
【答案】20km
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：作出图形，因为东北和东南的夹角为90°，所以△ABC为直角三角形．
在Rt△ABC中，AC=16×1=16km，
BC=12×1=12km．
则AB=AC2+BC2=162+122=20km，
故答案为：20km．
15.如图所示的正方形网格内，点A，B，C，D，E是网格线交点，那么_____°．
【答案】90
【分析】
由题意设出网格边长，根据勾股定理分别表示出，再利用勾股定理逆定理可得结论．
【详解】
解：设正方形网格边长为a，
由勾股定理求得，
∴
∴为直角三角形，
即
故答案为：90．
16.一幢高层住宅楼发生火灾，消防车立即赶到，在距住宅楼9米的B处升起云梯搭在火灾窗口(如图)，已知云梯长15米，云梯底部距地面2米，发生火灾的住户窗口A离地面有 米.
【答案】14
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】由勾股定理得AC=AB2−BC2=152−92=12
AF=AC+FC=12+2=14
【分析】把住户离地面的高度分割成两部分，在三角形中根据勾股定理求出AC加上梯底离地面的高度，则火灾窗口离地高度可求。
三． 解答题（共46分）
17.（8分）如图某海滨浴场的岸边4C可近似地看成直线，位于岸边A处的救生员发现海中B处有人求救，救生员没有从A处游向B处，而是沿岸边自A处跑到距离B处最近的C处，然后从C处游向B处．已知∠BAC=45°，AC=300米，救生员在岸边行进速度为6米/秒，在海中行进的速度为2米/秒．请分析救生员的路线选择是否正确．
【答案】解：正确∵在Rt△ABC中，AC=300，∠BAC=45°，
∴BC=AC=300米，AB=2AC=3002(米)；
∵救生员在岸边行进速度为6米/秒，在海中行进的速度为2米/秒．
∴从A到B所用时间为：3002÷2=1502(秒)，
从A到C到B所用时间为：300÷6+300÷2=200(秒)，
∵200＜1502．
∴救生员选择的路线正确．
18.（8分）如图，一个直径为12cm（即BC＝12cm）的圆柱形杯子，在杯子底面的正中间点E处竖直放一根筷子，筷子露出杯子外2cm（即FG＝2cm），当筷子GE倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯D，求筷子GE的长度．
【答案】解：设筷子GE的长度是x cm，那么杯子的高度EF是（x-2）cm，
∵杯子的直径为12cm，
∴杯子半径DF为6cm，
在Rt△DFE中，（x-2）2+62=x2，
即x2-4x+4+36=x2，
解得：x=10，
答：筷子GE的长度是10cm．
19.（10分）在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB=1.5千米，CH=1.2千米，HB=0.9千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．
（2）求原来的路线AC的长．
【答案】（1）解：是， 理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25， BC2=2.25，
∴CH2+BH2=BC2，
∴△CHB是直角三角形，
∴CH是从村庄C到河边的最近路；
（2）解：设AC=x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2
∴x2=（x-0.9）2+1.22，
解这个方程，得x=1.25，
答：原来的路线AC的长为1.25千米．
20.（10分）如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）
【答案】解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB=90°，BC=13米，AC=5米，
∴AB=132−52=12 （米），
∵此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，
∴CD=13-0.5×10=8（米），
∴AD=CD2−AC2=64−25=39 （米），
∴BD=AB-AD=12- 39 （米），
答：船向岸边移动了（12- 39 ）米．
21.（10分）如图，红星村A和幸福村B在一条小河的同侧，它们到河岸的距离，分别为1和3，又知道的长为3，现要在河岸上建一水厂向两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元．
（1）请在上选择水厂位置，使铺设水管的费用最省（作图工具不限，保留作图痕迹）；
（2）求铺设水管的最省总费用．
【答案】（1）见解析；（2）100000元．
【分析】
（1）延长AC到F，使CF＝AC，连接BF，交CD于E，则E为所求；
（2）过B作BN⊥CA，交CA的延长线于N，求出BN，NC长，根据勾股定理求出BF，即可得出答案．
【详解】
解：（1）延长AC到F，使CF＝AC，连接BF，交CD于E，
∵AC⊥CD，
∴AE＝FE，
∴AE＋BE＝FE＋BE＝BF，
则在CD上选择水厂位置是E时，使铺设管道的费用最省；
（2）如上图，过B作BN⊥CA，交CA的延长线于N，
∴BN＝CD＝3km，CN＝BD＝3km，
∵AC＝CF＝1km，
∴NF＝4km，
在Rt△BNF中，由勾股定理得：BF＝km，
∵AC⊥CD，AC＝CF，
∴AE＝FE，
∴AE＋BE＝EF＋BE＝BF＝5km，
∴铺设水管的最最省总费用是：20000×5＝100000（元）．
北师大版 数学 八上 第一章 2.3勾股定理的应用
一， 选择题（共30分）
1，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．51 B．49 C．76 D．无法确定
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则
x2＝122+52＝169
所以x＝13
所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4＝76.
故答案为：C.
2.勾股定理是我国的伟大数学发明之一.如图，以Rt△ABC的各边为边向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片放入最大的正方形中，三个阴影部分的面积分别为S1=1，S2=2，S3=3，则较小两个正方形重叠部分（四边形DEFG）的面积为（ ）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用；正方形的性质
【解析】【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为a，较短直角边为b，
由勾股定理得，c2=a2+b2，
∴c2−a2−b2=0，
∴S阴影=c2−a2−(b2−S四边形DEFG)=c2−a2−b2+S四边形DEFG=S四边形DEFG，
∴S四边形DEFG=S1+S2+S3，
∵S1=1，S2=2，S3=3，
∴两个正方形重叠部分（四边形DEFG）的面积=1+2+3=6.
故答案为：D.
3.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S4=( )
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用；正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图：
∵∠ACB＝∠BDE＝∠ABE=90°，
∴∠ABC＋∠BAC＝90°，∠ABC＋∠EBD＝90°，
∴∠BAC＝∠EBD，
在△ABC与△BDE中，
∠ACB＝∠BDE，∠BAC＝∠EBD，AB＝BE，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC＝ED，
∵AB2＝AC2＋BC2，
∴AB2＝AC2＋ED2＝S1＋S2，
即S1＋S2＝1，
同理S2＋S3＝2，S3＋S4＝3，
则S1＋S2＋S3＋S4＝1＋3＝4，
则S1＋S4＝4-2=2．
故答案为：A.
4。《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A．x2+42=102 B．(10−x)2+42=102
C．(10−x)2+42=x2 D．x2+42=(10−x)2
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得：∠AOB=90°，
设折断处离地面的高度OA是x尺，
由勾股定理得：x2+42=(10−x)2．
故答案为：D．
5.如图，长为12cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升8cm至D点，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．5cm B．6cm C．8cm D．10cm
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：根据题意得：CD=8cm，AD=BD，AB=12cm，
∵点C为AB的中点，
∴CD⊥AB，AC=6cm，
∴AD=AC2+CD2=10cm，
∴橡皮筋被拉长了2×10−12=8cm．
故答案为：C
6.如图所示，已知△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于（ ）
A．9 B．35 C．45 D．无法计算
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2＝AB2﹣AD2，CD2＝AC2﹣AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2＝BD2+MD2＝AB2﹣AD2+MD2，MC2＝CD2+MD2＝AC2﹣AD2+MD2，
∴MC2﹣MB2＝（AC2﹣AD2+MD2）﹣（AB2﹣AD2+MD2）
＝AC2﹣AB2
＝45.
故答案为：C.
7.如图，在“庆国庆，手拉手”活动中，某小组从营地A出发，沿北偏东53°方向走了1200m到达B点，然后再沿北偏西37°方向走了500m到达目的地C点，此时A，C两点之间的距离为（ ）
A．1000m B．1100m C．1200m D．1300m
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：AB=1200m，BC=500m，∠CBD=37°，∠BAF=53°，DE∥AF，
∴∠ABE=∠BAF=53°，
∴∠ABC=180°−∠CBD−∠ABE=180°−37°−53°=90°，
∴AC=AB2+BC2=12002+5002=1300(m)，
即A，C两点之间的距离为1300m，
故答案为：D．
8.如图，已知ABCD是长方形纸片，，在CD上存在一点E，沿直线AE将折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且，则的面积是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据面积求出BF、AF、CF，设DE为x，列方程求出即可．
【详解】
解：ABCD是长方形纸片，
∴AB=CD=3，
，
∴，
∴BF=4，
∴AF=，
∴AF=AD=BC=5，CF=1，
设DE为x，EF=DE=x，EC=3-x，
x2=(3-x)2+1，
解得，x= ，
∴，
故选：B．
9．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是（ ）
A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米
【答案】B
【分析】
把圆柱沿着点A所在母线展开，把圆柱上最短距离转化为将军饮马河型最短问题求解即可.
【详解】
把圆柱沿着点A所在母线展开，如图所示，
作点A的对称点B，
连接PB，
则PB为所求，
根据题意，得PC=8，BC=6，
根据勾股定理，得PB=10，
故选B.
10．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为、、，现有一长为的吸管插入到盒的底部，则吸管漏在盒外面的部分的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的最长长度；最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答，进而求出露在杯口外的最短长度．
【详解】
①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16−12＝4（cm）；
②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，
底面对角线长==5cm，高为12cm，
由勾股定理可得：杯里面管长=＝13cm，则露在杯口外的长度最短为16−13＝3（cm），
∴
故选：B．
二．填空题（共24分）
11.如图，一架秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送1.5m（水平距离BC＝1.5m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1m，秋千的绳索始终拉直，则绳索AD的长是 m．
【答案】2.5
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，
∴∠CEF=∠EFB=∠FBC=∠BCE=∠ACB=90°，
∴BC∥EF，CE∥BF，
由平行线间距离处处相等可得：CE=BF=1m，
∴CD=CE-DE=1-0.5=0.5（m），而BC=1.5，
设绳索AD的长为x m， 则AB=AD=x m，AC=AD-CD=（x-0.5）m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
即（x-0.5）2+1.52=x2， 解得：x=2.5（m），
即绳索AD的长是2.5m，
故答案为：2.5．
12.如图，校园内有一块长方形草地，为了满足人们的多样化品求，在草地内拐角位置开出了一条路，走此路可以省 m的路．
【答案】2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】如图，
∵四边形是长方形，
∴∠ACB=90°，
∵AC=3，BC=4，
∴AB=AC2+CB2=32+42=5，
∴AC+BC-AB=3+4-5=2（m），
故答案为：2．
13.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇AB，它高出水面1尺（即BC＝1尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端B恰好到达池边的水面D处．问水的深度是多少？则水深DE为 尺．
【答案】12
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设水池里水的深度是x尺，则DE=AC=x，BA=AD=x+1，
由题意得：AC2+CD2=AD2，
∴x2+52=(x+1)2，
解得：x=12，
故答案为：12．
14.一艘轮船以16km/ℎ 的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/ℎ的速度向东南方向航行，它们离开港口1 小时后相距 ．
【答案】20km
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：作出图形，因为东北和东南的夹角为90°，所以△ABC为直角三角形．
在Rt△ABC中，AC=16×1=16km，
BC=12×1=12km．
则AB=AC2+BC2=162+122=20km，
故答案为：20km．
15.如图所示的正方形网格内，点A，B，C，D，E是网格线交点，那么_____°．
【答案】90
【分析】
由题意设出网格边长，根据勾股定理分别表示出，再利用勾股定理逆定理可得结论．
【详解】
解：设正方形网格边长为a，
由勾股定理求得，
∴
∴为直角三角形，
即
故答案为：90．
16.一幢高层住宅楼发生火灾，消防车立即赶到，在距住宅楼9米的B处升起云梯搭在火灾窗口(如图)，已知云梯长15米，云梯底部距地面2米，发生火灾的住户窗口A离地面有 米.
【答案】14
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】由勾股定理得AC=AB2−BC2=152−92=12
AF=AC+FC=12+2=14
【分析】把住户离地面的高度分割成两部分，在三角形中根据勾股定理求出AC加上梯底离地面的高度，则火灾窗口离地高度可求。
三． 解答题（共46分）
17.（8分）如图某海滨浴场的岸边4C可近似地看成直线，位于岸边A处的救生员发现海中B处有人求救，救生员没有从A处游向B处，而是沿岸边自A处跑到距离B处最近的C处，然后从C处游向B处．已知∠BAC=45°，AC=300米，救生员在岸边行进速度为6米/秒，在海中行进的速度为2米/秒．请分析救生员的路线选择是否正确．
【答案】解：正确∵在Rt△ABC中，AC=300，∠BAC=45°，
∴BC=AC=300米，AB=2AC=3002(米)；
∵救生员在岸边行进速度为6米/秒，在海中行进的速度为2米/秒．
∴从A到B所用时间为：3002÷2=1502(秒)，
从A到C到B所用时间为：300÷6+300÷2=200(秒)，
∵200＜1502．
∴救生员选择的路线正确．
18.（8分）如图，一个直径为12cm（即BC＝12cm）的圆柱形杯子，在杯子底面的正中间点E处竖直放一根筷子，筷子露出杯子外2cm（即FG＝2cm），当筷子GE倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯D，求筷子GE的长度．
【答案】解：设筷子GE的长度是x cm，那么杯子的高度EF是（x-2）cm，
∵杯子的直径为12cm，
∴杯子半径DF为6cm，
在Rt△DFE中，（x-2）2+62=x2，
即x2-4x+4+36=x2，
解得：x=10，
答：筷子GE的长度是10cm．
19.（10分）在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB=1.5千米，CH=1.2千米，HB=0.9千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．
（2）求原来的路线AC的长．
【答案】（1）解：是， 理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25， BC2=2.25，
∴CH2+BH2=BC2，
∴△CHB是直角三角形，
∴CH是从村庄C到河边的最近路；
（2）解：设AC=x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2
∴x2=（x-0.9）2+1.22，
解这个方程，得x=1.25，
答：原来的路线AC的长为1.25千米．
20.（10分）如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）
【答案】解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB=90°，BC=13米，AC=5米，
∴AB=132−52=12 （米），
∵此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，
∴CD=13-0.5×10=8（米），
∴AD=CD2−AC2=64−25=39 （米），
∴BD=AB-AD=12- 39 （米），
答：船向岸边移动了（12- 39 ）米．
21.（10分）如图，红星村A和幸福村B在一条小河的同侧，它们到河岸的距离，分别为1和3，又知道的长为3，现要在河岸上建一水厂向两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元．
（1）请在上选择水厂位置，使铺设水管的费用最省（作图工具不限，保留作图痕迹）；
（2）求铺设水管的最省总费用．
【答案】（1）见解析；（2）100000元．
【分析】
（1）延长AC到F，使CF＝AC，连接BF，交CD于E，则E为所求；
（2）过B作BN⊥CA，交CA的延长线于N，求出BN，NC长，根据勾股定理求出BF，即可得出答案．
【详解】
解：（1）延长AC到F，使CF＝AC，连接BF，交CD于E，
∵AC⊥CD，
∴AE＝FE，
∴AE＋BE＝FE＋BE＝BF，
则在CD上选择水厂位置是E时，使铺设管道的费用最省；
（2）如上图，过B作BN⊥CA，交CA的延长线于N，
∴BN＝CD＝3km，CN＝BD＝3km，
∵AC＝CF＝1km，
∴NF＝4km，
在Rt△BNF中，由勾股定理得：BF＝km，
∵AC⊥CD，AC＝CF，
∴AE＝FE，
∴AE＋BE＝EF＋BE＝BF＝5km，
∴铺设水管的最最省总费用是：20000×5＝100000（元）．
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