2022-2023学年四川省成都市高二（下）期末数学试卷（文科）（含解析）

这是一份2022-2023学年四川省成都市高二（下）期末数学试卷（文科）（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年四川省成都市高二（下）期末数学试卷（文科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合A={x|x2−x−2<0}，B={−2,−1,0,1,2}，则A∩B=(    )
A. {−2,0,1} B. {−1,0,1,2} C. {0,1} D. {1,2}
2. 命题“∃m∈N， m2+1∈N”的否定是(    )
A. ∀m∉N， m2+1∈N B. ∀m∈N， m2+1∉N
C. ∃m∈N， m2+1∉N D. ∃m∉N， m2+1∈N
3. 双曲线x22-y2=1的渐近线方程是(    )
A. y=±12x B. y=± 22x C. y=±2x D. y=± 2x
4. 执行如图所示的程序框图，若输出S的值为4，则输入的x的值为(    )
A. −4
B. −2
C. 2
D. 16


5. 若实数x，y满足2x−y≥0x+y−3≤0y≥0，则3x+2y的最大值为(    )
A. 0 B. 6 C. 7 D. 9
6. 全国文明典范城市是以全国文明城市为基础的文明城市范例，是城市治理“桂冠上的明珠”.为争创全国文明典范城市，某城市特邀请甲、乙两组评委分别从公共服务、文化，建设社会治理等10个不同维度对城市建设进行评分，每个维度满分为10分.现将两组评委的评分制成如下的茎叶图，其中茎叶图中茎部分是得分的个位数，叶部分是得分的小数，则下列结论中正确的是(    )

A. 甲组评分的平均数小于乙组评分的平均数 B. 甲、乙两组评分的中位数不相同
C. 甲组评分的极差大于乙组评分的极差 D. 甲组评分的众数小于乙组评分的众数
7. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是A1B1，AD，B1C1，C1D1的中点，则下列结论中错误的是(    )
A. C，G，A1，F四点共面
B. 直线EF/​/平面BDD1B1
C. 平面HCG//平面BDD1B1
D. 直线EF和HG所成角的正切值为 2
8. 函数f(x)=ex−2023|x−2|的零点个数为(    )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
9. 已知直线l：mx+y−m=0(m∈R)和圆C：x2+y2−2x+4y+1=0，则“m=0”是“直线l与圆C相切”的(    )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 七巧板又称七巧图，智慧板，是一种古老的中国传统智力玩具.据清代陆以湉《冷庐杂识》说：“宋黄伯思宴几图，以方几七，长段相参，衍为二十五体，变为六十八名.明严澈蝶几图，则又变通其制，以勾股之形，作三角相错形，如蝶翅.其式三，其制六，其数十有三，其变化之式，凡一百有余.近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.”如图是一个用七巧板拼成的三角形(其中①②为两块全等的小型等腰直角三角形；③为一块中型等腰直角三角形；④⑤为两块全等的大型等腰直角三角形；⑥为一块正方形；⑦为一块平行四边形).现从该三角形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为(    )
A. 18 B. 316 C. 14 D. 38
11. 记函数f(x)的导函数为f′(x).若f(x)为奇函数，且当时恒有f(x)cosx+f′(x)sinx>0成立，则(    )
A. f(−π6)> 2f(−π4) B. f(π6)>− 3f(−π3)
C. 3f(π3)> 2f(π4) D. 2f(−π4)>− 3f(π3)
12. 如图①，已知四边形ABCD所有边长均为2，对角线AC=2 3.现以BD为折痕将四边形ABCD折起为四面体A′−BCD，使得A′D⊥BC，如图②.则四面体A′−BCD的外接球的表面积为(    )


A. 23π B. 83π C. 6π D. 323π
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知复数z=(1−i)i(i为虚数单位)，则|z|=______．
14. 第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日—8月8日在成都举行，比赛项目包括15个必选项目和武术、赛艇、射击3个自选项目，共18个大项，269个小项.小张、小王、小李三位大学生在谈论自己是否会武术、赛艇、射击3个自选项目时，小张说：我和小王都不会赛艇；小王说：我会的自选项目比小张多一个；小李说：三个自选项目中我们都会的项目只有一项，但我不会射击.假如他们三人都说的是真话，则由此可判断小张会的自选项目是______ (填写具体项目名称)．
15. 已知P为抛物线y2=4x上的动点，F为抛物线的焦点，点Q(3, 5)，则△PQF周长的最小值为______ ．
16. 一条直线与函数y=lnx和y=ex的图象分别相切于点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)，则x2(x1−1)x1+1的值为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
记函数f(x)的导函数为f′(x)，已知f(x)=x3+ax+10，f′(2)=0．
(1)求实数a的值；
(2)求f(x)在[−3,4]的值域．
18. (本小题12.0分)
某种产品的价格x(单位：万元/吨)与需求量y(单位：吨)之间的对应数据如表所示．
x
12
11
10
9
8
y
5
6
8
10
11
(1)已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；
(2)请预测当该产品定价为6万元时需求量能否超过15吨？并说明理由．
参考公式：a​=y−−b​x−，b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2．
19. (本小题12.0分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB=AC=4，AA1=2，D，E分别为棱AB，AC上的动点，F为BC中点，且BD=AE．
(Ⅰ)求三棱锥A−A1DE体积的最大值；
(Ⅱ)当三棱锥A−A1DE的体积最大时，求证：B1D⊥平面A1DF．

20. (本小题12.0分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，椭圆E上的点到其左、右焦点的距离之和为4．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过左焦点F的直线l与椭圆E相交于A，B两点，M为AB的中点，O为坐标原点，若椭圆E上存在点N满足ON=λOM(λ>0)，求四边形AOBN面积的最小值及此时λ的值．
21. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=lnx+ax−a，其中a∈R．
(1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)当x>1时，若f(x)>−2恒成立，求整数a的最大值．
22. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为x=2ty=t2(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=5.设曲线C1与曲线C2相交于A，B两点．
(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
(2)已知点P(2,3)，求1|PA|+1|PB|的值．
答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：由x2−x−2<0，得(x+1)(x−2)<0，解得−1 所以A={x|−1 因为B={−2,−1,0,1,2}，所以A⋂B={0,1}．
故选：C．
先求出集合A，再求两集合的交集即可．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．

2.【答案】B 
【解析】解：命题“∃m∈N， m2+1∈N”的否定是“∀m∈N， m2+1∉N”．
故选：B．
直接利用含有一个量词的命题的否定求解即可．
本题考查了命题的否定，涉及了含有一个量词的命题的否定，要掌握含有一个量词的命题的否定方法：改变量词，然后再否定结论．

3.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．
求出双曲线x22−y2=1的a，b，由双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程为y=±bax，即可得到．
【解答】
解：双曲线x22−y2=1的a= 2，b=1，
由双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程为y=±bax，
则所求渐近线方程为y=± 22x.
故选：B．
  
4.【答案】D 
【解析】解：若2x=4，则x=2，此时不满足x≤0，不符合要求，故舍去，
若log2x=4⇒x=16，此时不满足x≤0，符合要求，故x=16．
故选：D．
根据程序框图，分类讨论求解．
本题主要考查程序框图的应用，属于基础题．

5.【答案】D 
【解析】解：根据题意作可行域如图，

作直线l0：3x+2y=0，由图可知，平移直线l0到l位置，即过点B时，z取得最大值．
解方程组3x+2y=0y=0得B(3,0)，
代入z=3x+2y=9．
故选：D．
先作可行域，再作直线l0：3x+2y=0，平移直线l0确定最优解，然后可得．
本题主要考查简单线性规划，考查转化能力，属于基础题．

6.【答案】A 
【解析】解：甲的数据为7.5，7.6，7.8，7.9，8.0，8.1，8.3，8.3，8.5，8.6，乙组数据为7.5，7.6，7.8，7.8，8.0，8.1，8.2，8.3，8.5，9.8．
A选项，甲的平均数为：7.5+7.6+7.8+7.9+8.0+8.1+8.3+8.3+8.5+8.610=8.06，乙的平均数为：7.5+7.6+7.8+7.8+8.0+8.1+8.2+8.3+8.5+9.810=8.16，
甲的平均数小，A选项正确；
B选项，甲的中位数为：8.0+8.12=8.05，乙的中位数为：8.0+8.12=8.05，甲乙中位数一样，B选项错误；
C选项，甲的极差为1.1，乙的极差为2.3，甲的极差更小，C选项错误；
D选项，甲的众数为8.3，乙的众数为7.8，甲的众数更大，D选项错误．
故选：A．
根据茎叶图先写出甲乙两组数据，然后分别计算这两组数据的中位数，众数，极差，平均数．
本题主要考查茎叶图的应用，考查转化能力，属于中档题．

7.【答案】C 
【解析】解：取BC中点M，连接B1M，FM，
由于F是AD的中点，在正方体中可知A1F//B1M，
又B1G=CM，B1G//CM，所以四边形B1GCM为平行四边形，故B 1M//CG，
因此CG//A1F，故C，G，A1，F四点共面，故A正确，

取AB中点N，连接FN，EN，
由于N，E，F均为中点，所以FN//BD，EN//BB1，
又因为FN⊄平面DBB1D1，BD平面DBB1D1，所以FN/​/平面DBB1D1，
同理EN/​/平面DBB1D1，EN∩FN=N，EN，FN⊂平面EFN，
所以平面EFN//平面DBB1D1，EF⊂平面EFN，故直线EF/​/平面BDD1B1，B正确，
假设平面HCG//平面BDD1B1，则平面HCG∩平面BCC1B1=GC，平面BDD1B1⋂平面BCC1B1=BB1，根据面面平行的性质可得平面BB1//GC，显然这与BB1与GC相交矛盾，故C错误，

由于GH//B1D1，BD/​/B1D1，FN//BD，所以GH//FN，
故∠EFN为直线EF和HG所成角或其补角，
不妨设正方体的棱长为a，则EN=a,FN= 2a2，
由于EN⊥底面ABCD，FN⊂平面ABCD，所以EN⊥FN，
故tan∠EFN=ENFN= 2，
直线EF和HG所成角的正切值为 2，D正确．
故选：C．
根据线线平行即可判断A，根据面面平行得线面平行即可判断B，根据面面平行的性质即可得矛盾判断C，根据异面直线的几何法找到其角，即可由三角形边角关系求解D．
本题主要考查了线面平行和面面平行的判定，考查了求异面直线所成的角，属于中档题．

8.【答案】D 
【解析】解：f(x)=ex−2023|x−2|=ex−2023(x−2),x≥2ex+2023(x−2),x<2，
①当x≥2时，f(x)=ex−2023x+4046，则f′(x)=ex−2023，
由f′(x)>0，得x>ln2023，由f′(x)<0，得2≤x 所以f(x)在[2,ln2023)上递减，在(ln2023,+∞)上递增，
所以f(x)在[2,+∞)上的最小值为f(ln2023)=eln2023−2023ln2023+4046=2023(3−ln2023)<0，
因为f(2)=e2−2023×2+4046=e2>0，
f(ln20232)=eln20232−2023ln20232+4046=2023(2025−2ln2023)>0，
所以f(x)在[2,ln2023)和(ln2023,+∞)上各有一个零点，
②当x<2时，f(x)=ex+2023x−4046，则f′(x)=ex+2023>0，
所以f(x)在(−∞,2)上递增，
因为f(2)=e2−2023×2+4046=e2>0，f(0)=e0−4046=−4045<0，
所以f(x)在(−∞,2)上有一个零点，
综上，f(x)共有3个零点．
故选：D．
先对函数化简得f(x)=ex−2023(x−2),x≥2ex+2023(x−2),x<2，然后分x≥2和x<2两种情况，利用导数和零点存在性定理讨论函数的零点即可．
此题考查函数与方程的综合问题，考查导数的应用，考查零点存在性定理的应用，解题的关键是利用导数求出函数的单调区间，然后结合零点存在性定理确定函数的零点，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题．

9.【答案】C 
【解析】解：圆C：x2+y2−2x+4y+1=0的方程可化为(x−1)2+(y+2)2=4，
其圆心坐标为(1,−2)，半径为r=2，
当m=0时，直线l：y=0，圆心到直线的距离d=2=r，此时直线l与圆C相切，故充分性成立；
当直线l与圆C相切时，圆心到直线的距离d=|m−2−m| m2+12=r=2，所以m=0，故必要性成立，
所以“m=0”是“直线l与圆C相切”的充要条件．
故选：C．
根据充分条件和必要条件的判断方法，结合直线与圆的位置关系即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．

10.【答案】B 
【解析】解：如图，

△ABC为等腰直角三角形，连接AD，EF，
由题可知，D，E，F，H，I 分别为BC，AB，AC，EF，FD的中点，
设BC=8，则AD=BD=4，AH=2，HI=FI= 2，GH=1，
则S△ABC=12×BC×AD=12×8×4=16，
阴影部分②的面积为12×HI×FI=12× 2× 2=1，
阴影部分⑦的面积为AH×GH=2×1=2
则从该三角形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为1+216=316．
故选：B．
数形结合，通过对图形的各点标记，以及各块几何图的性质，进行边长运算即可得出结论．
本题主要考查几何概型的应用，属于中档题．

11.【答案】B 
【解析】解：令F(x)=f(x)sinx，
所以F′(x)=f(x)cosx+f′(x)sinx，
因为在(−π2,0)上，恒有f(x)cosx+f′(x)sinx>0成立，
所以任意x∈(−π2,0)，F′(x)>0恒成立，
所以F(x)在(−π2,0)上单调递增，
因为f(x)为奇函数，
所以f(−x)=−f(x)，
所以F(−x)=f(−x)sin(−x)=−f(x)⋅(−sinx)=f(x)sinx=F(x)，
所以F(x)为偶函数，
所以F(x)在(0,π2)上单调递减
对于A：因为−π2>−π6>−π4>0，
所以F(−π6)>F(−π4)，
所以f(−π6)sin(−π6)>f(−π4)sin(−π4)，
所以−12f(−π6)>− 22f(−π4)，
所以f(−π6)< 2f(−π4)，故A错误；
对于B：因为F(x)为偶函数，
所以F(π6)=F(−π6)，
因为−π2>−π6>−π3>0，
所以F(−π6)>F(−π3)，
所以f(−π6)sin(−π6)>f(−π3)sin(−π3)，
所以−12f(−π6)>− 32f(−π3)，
所以f(−π6)< 3f(−π3)，
所以−f(π6)< 3f(−π3)，
所以f(π6)>− 3f(−π3)，故B正确；
对于C：因为0<π4<π3<π2，
所以F(π4)>F(π3)，
所以f(π4)sin(π4)>f(π3)sin(π3)，
所以 22f(π4)> 32f(π3)，
所以 2f(π4)> 3f(π3)，故C错误；
对于D：由C知 2f(π4)> 3f(π3)，
所以− 2f(−π4)> 3f(π3)，
所以 2f(−π4)<− 3f(π3)，故D错误；
故选：B．
令F(x)=f(x)sinx，求导F(x)的单调性，由奇偶性的定义，逐项分析，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题关键是分析函数的单调性，属于中档题．

12.【答案】C 
【解析】解：由题意可知AB=BC=2,AC=2 3，由余弦定理可得cos∠ABC=AB2+BC2−AC22AB⋅BC=4+4−122×2×2=−12，
所以∠ABC=120°，故四边形ABCD为∠BCD=60°的菱形，

取BC中点为O，连接OD，OA′，

由于三角形BCD为等边三角形，所以BC⊥OD，
又A′D⊥BC，A′D∩OD=D，A′D，OD⊂平面A′OD，
所以BC⊥平面A′OD，A′O⊂平面A′OD，所以BC⊥A′O，
由于O为BC中点，所以A′B=A′C=2，故三角形A′BC为边长为2的等边三角形，
故A′B=A′C=A′D=BD=BC=CD=2，故四面体A′−BCD为棱长为2的正四面体，
不妨将其放入正方体中，则正方体的棱长为 22CB= 2，其正方体的外接球即为四面体的外接球，
则正方体的体对角线长为其外接球的一条直径，故2R= ( 2)2+( 2)2+( 2)2= 6，
故外接球的表面积为4πR2=6π．
故选：C．
根据边长可判断为四边形ABCD为菱形，进而根据线线垂直得线面垂直，可证得四面体A′−BCD为棱长为2的正四面体，将其放入正方体中，借助正方体的外接球即可求解．
本题主要考查球的表面积的求解，考查转化能力，属于中档题．

13.【答案】 2 
【解析】解：z=(1−i)i=1+i，
∴|z|= 12+12= 2，
故答案为： 2．
利用复数模的计算公式即可求得复数z的模．
本题考查复数求模，属于基础题．

14.【答案】武术 
【解析】解：由题意，如图下表所示：

武术
赛艇
射击
小张
会
不会

小王
会
不会
会
小李
会

不会
若他们三人都说的是真话，可得小张会武术，小王会武术和射击，小李会武术．
故答案为：武术．
根据题意，结合三人都说的是真话，利用表格的形式，即可求解．
本题主要考查简单的合情推理，属于基础题．

15.【答案】7 
【解析】解：设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|，
∴要求三角形周长的最小值，就是求解|PQ|+|PF|取得最小值，即求|PQ|+|PD|取得最小值．
当D，P，Q三点共线时|PQ|+|PD|最小，点Q(3, 5)，|PQ|+|PF|的最小值为3−(−1)=4．
|QF|= (3−1)2+( 5−0)2=3，
则△PQF周长的最小值为：7．
故答案为：7．
设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PQ|+|PD|取得最小，进而可推断出当D，P，Q三点共线时|PQ|+|PD|最小，答案可得．
本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，P，Q三点共线时|PQ|+|PD|最小，是解题的关键．

16.【答案】−1 
【解析】解：因为f(x)=lnx，g(x)=ex，所以f′(x)=1x,g′(x)=ex，
则y=lnx在点P(x1,y1)处的切线方程为：y−lnx1=1x1(x−x1)，即y=1x1x+lnx1−1；
y=ex在点Q(x2,y2)处的切线方程为：y−ex2=ex(x−x2)，即y=exx+ex2(1−x2)，
因为一条直线与函数y=lnx和y=ex的图象分别相切于点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)，
所以x1=1ex2lnx1−1=ex2(1−x2)，则 −x2−1=1x1(1−x2)，解得x2=1+x11−x1，
所以x2(x1−1)x1+1=−1．
故答案为：−1．
分别求得函数y=lnx和y=ex在点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)处的切线方程，再由切线相同求解．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线的方程，考查转化能力，属于中档题．

17.【答案】解：(1)由函数f(x)=x3+ax+10，可得f′(x)=3x2+a，
因为f′(2)=0，可得3×22+a=0，解得a=−12；
(2)由(1)得f′(x)=3x2−12=3(x+2)(x−2)，
令f′(x)>0，解得x<−2或x>2；令f′(x)<0，解得−2 所以函数f(x)在[−3,−2]，[2,4]单调递增；在[−2,2]单调递减，
又由f(−3)=19，f(−2)=26，f(2)=−6，f(−3)=19，f(−2)=26，f(2)=−6，f(4)=26，
所以f(x)min=f(2)=−6，f(x)max=f(−2)=f(4)=26，
所以函数f(x)在[−3,4]的值域为[−6,26]． 
【解析】(1)求得f′(x)=3x2+a，根据f′(2)=0，列出方程，即可求解；
(2)由(1)得f′(x)=3(x+2)(x−2)，求得f(x)的单调区间和最值，即可求得函数f(x)的值域．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查转化能力，属于中档题．

18.【答案】解：(1)由题意得x−=15(12+11+10+9+8)=10，y−=15(5+6+8+10+11)=8；
因为i=15(xi−x−)(yi−y−)=2×(−3)+1×(−2)+(−1)×2+(−2)×3=−16，
i=15(xi−x−)2=22+12+(−1)2+(−2)2=10，
所以b =i=15(xi−x−)(yi−y−)i=15(xi−x−)2=−1.6，a =y−−b x−=24，
所以y关于x的线性回归方程为y =−1.6x+24；
(2)当x=6时，y =14.4<15；
所以当该产品定价为6万元时需求量不超过15吨． 
【解析】(1)根据所给的数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数b的公式中，求得结果，再把样本中心点代入公式，求出a的值，即可得到线性回归方程；
(2)根据(1)所求的线性回归方程，把x=6代入线性回归方程，即可解．
本题主要考查线性回归方程的应用，属于中档题．

19.【答案】(Ⅰ)解：设BD=AE=t，t∈(0,4)，则AD=4−t，
所以三棱锥A−A1DE的体积为V=13S△ADE⋅A1A=13×12(4−t)t×2=13t(4−t)，
当t=2时三棱锥A−A1DE的体积取得最大值为13×2×2=43；
(Ⅱ)证明：当三棱锥A−A1DE的体积最大时，AD=AE=2，
分别以AB、AC和AA1为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则B1(4,0,2)，D(2,0,0)，F(2,2,0)，A1(0,0,2)，
所以B1D=(−2,0,−2)，DF=(0,2,0)，DA1=(−2,0,2)，
计算B1D⋅DF=0，B1D⋅DA1=0，所以B1D⊥DF，B1D⊥DA1，
即B1D⊥DF，B1D⊥DA1，且DF∩DA1=D，DF⊂平面A1DF，DA1⊂平面A1DF，
所以B1D⊥平面A1DF． 
【解析】(Ⅰ)设BD=AE=t，t∈(0,4)，由此写出三棱锥A−A1DE的体积，利用函数的性质求出体积的最大值；
(Ⅱ)求出三棱锥A−A1DE的体积最大时AD=AE=2，建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，利用向量证明B1D⊥DF，B1D⊥DA1，即可证明B1D⊥平面A1DF．
本题考查了三棱锥体积计算问题，也考查了线面垂直的证明问题，是中档题．

20.【答案】解：(1)∵椭圆E的离心率为12，且椭圆E上的点到其左、右焦点距离之和为4，
∴ca=12且2a=4，解得a=2，c=1，
∴a2=4，b2=a2−c2=3，
∴椭圆E的标准方程为x24+y23=1．
(2)由题意知F(−1,0)，直线l的斜率为0时显然不成立，

设直线l的方程为x=my−1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由x=my−1x24+y23=1消去x，得(3m2+4)y2−6my−9=0，
Δ=144(m2+1)>0，则y1+y2=6m3m2+4，y1y2=−93m2+4，
∴y1+y22=3m3m2+4，∴y1+y22=3m3m2+4,x1+x22=my1−1+my2−12=−43m2+4，
∵M为AB的中点，∴M(−43m2+4,3m3m2+4)，
∵ON=λOM，∵ON=λOM，∴N(−4λ3m2+4,3λm3m2+4)，
又点N在椭圆E上，则(−4λ3m2+4)24+(3λm3m2+4)23=1，解得3m2+4=λ2，
∴S△AOB=12|OF||y1−y2|=12 (y1+y2)2−4y1y2=6 m2+13m2+4，
∵ON=λOM，
∴四边形AOBN的面积SAOBN=λS△AOB=6λ m2+13m2+4=6λ m2+1λ2=6 λ23−13λ=6 13−13λ2，
∵λ2=3m2+4≥4，
∴SAOBN=6 13−13λ2≥3(当且仅当λ=2时取等号)，
∴当λ=2时，四边形AOBN面积最小值为3． 
【解析】(1)利用椭圆离心率公式与定义求得a，b，c，从而得解；
(2)联立直线l与椭圆方程得到y1+y2，y1y2，从而求得S△AOB关于m的表达式，再利用ON=λOM得到SAOBN=λS△AOB，从而得解．
本题主要考查直线与椭圆的综合，考查转化能力，属于难题．

21.【答案】解：(1)当a=1时，函数f(x)=lnx+1x−1的定义域为(0,+∞)，
f′(x)=1x−1x2=x−1x2(x>0)．
由f′(x)>0解得x>1；由f′(x)<0解得0 ∴函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞)，单调递减区间为(0,1)．
(2)由题意当x>1时，f(x)>−2，即a(1−1x) 整理得a 令函数g(x)=xlnx+2xx−1(x>1)．
则g′(x)=x−lnx−3(x−1)2(x>1)．
令h(x)=x−lnx−3(x>1).则h′(x)=1−1x．
当x>1时，h′(x)>0恒成立．
∴h(x)在(1,+∞)单调递增．
又h(4)=1−ln4<0，h(4)=1−ln4<0，h(5)=2−ln5>0，
∴∃x0∈(4,5)，使得h(x0)=0，即lnx0=x0−3．
∴x∈(1,x0)时，h(x)<0；x∈(x0,+∞)时，h(x)>0．
∴g(x)在(1,x0)单调递减，在(x0,+∞)单调递增，
则gmin(x)=g(x0)=x0lnx0+2x0x0−1=x0(x0−3)+2x0x0−1=x0．
由a ∴整数a的最大值为4． 
【解析】(1)求得函数f(x)的定义域为(0,+∞)，求得f′(x)=x−1x2，分别解不等式f′(x)<0、f′(x)>0可得出函数f(x)的单调递减区间和递增区间；
(2)分析可知不等式a 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化能力，属于中档题．

22.【答案】解：(1)由曲线C1的参数方程消去参数t，得曲线C1的的普通方程为x2=4y．
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，
化简得曲线C2的直角坐标方程为x+y−5=0．
(2)由题意得曲线C2的参数方程为x=2− 22my=3+ 22m(m为参数)．
将其代入x2=4y，得m2−8 2m−16=0．
Δ=(8 2)2+64=192>0．
设A，B两点对应的参数分别为m1，m2．
则m1+m2=8 2，m1+m2=8 2,m1m2=−16．
则m1，m2为一正一负，
∴1|PA|+1|PB|=1|m1|+1|m2|=|m1|+|m2||m1||m2|=|m1−m2||m1||m2|= (m1+m2)2−4m1m2|m1m2|= 32． 
【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．