2022-2023学年四川省成都市城厢中学高二（下）期中数学试卷（文科）（含解析）

2022-2023学年四川省成都市城厢中学高二（下）期中数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  复数在复平面内表示的点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  函数则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  执行如图所示的程序框图，输出的结果是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  已知：，那么命题的一个必要不充分条件是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  收集一只棉铃虫的产卵数与温度的几组数据后发现两个变量有相关关系，并按不同的曲线来拟合与之间的回归方程，算出对应相关指数如下表：
则这组数据模型的回归方程的最好选择应是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  已知函数，则函数的单调递增区间为(    )

A.  B. ，
C.  D.

10.  函数的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

11.  函数，当时，有恒成立，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是(    )

A.  B. 为奇函数
C. 在上是减函数 D. 方程仅有个实数解

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  复数的共轭复数为______ ．

14.  曲线的一条切线的斜率为，则该切线的方程为          ．

15.  已知甲，乙，丙三个人中，只有一个人会中国象棋甲说：“我会”；乙说：“我不会”；丙说：“甲不会”如果这三句话只有一句是真的，那么甲，乙，丙三个人中会中国象棋的是______ ．

16.  若函数在区间上恰有一个极值点，则实数的取值范围为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
在平面直角坐标系中，曲线：所对应的图形经过伸缩变换得到图形．
写出曲线的平面直角坐标方程；
点在曲线上，求点到直线：的距离的最小值及此时点的坐标．

18.  本小题分
已知函数在处取得极大值．
求，的值；
当时，求的最大值．

19.  本小题分
新高考最大的特点就是取消文理科，除语文、数学、外语之外，从物理、化学、生物、政治、历史、地理这科中自由选择门科目作为选考科目．某研究机构为了了解学生对全理选择物理、化学、生物的选择是否与性别有关，从某学校高一年级的名学生中随机抽取男生，女生各人进行模拟选科．经统计，选择全理的人数比不选全理的人数多人．
请完成下面的列联表．

估计有多大把握认为选择全理与性别有关，并说明理由；
现从这名学生中已经选取了男生名，女生名进行座谈，从中抽取名代表作问卷调查，求至少抽到一名女生的概率．
附：，其中．

20.  本小题分
光伏发电是利用太阳能电池及相关设备将太阳光能直接转化为电能．近几年在国内出台的光伏发电补贴政策的引导下，某地光伏发电装机量急剧上涨，如表：

某位同学分别用两种模型：，进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下注：残差等于：
经过计算得，．
根据残差图，比较模型，的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由．
根据的判断结果及表中数据建立关于的回归方程，并预测该地区年新增光伏装机量是多少．在计算回归系数时精确到
附：归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．

 

21.  本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
若恒成立，求实数的取值集合；
证明：．

22.  本小题分
在极坐标系中，点的极坐标是，曲线的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为的直线经过点．
写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；
若直线和曲线相交于两点，，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：集合，，
则．
故选：．
求出集合，利用交集定义能求出结果．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
则复数在复平面内表示的点的坐标为．
故选：．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，则，
故选：．
根据分段函数的性质，即可得出答案．
本题考查函数的值，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：圆即，即，即，表示以为圆心，半径等于的圆．
而点的极坐标为，
故选：．
把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心的直角坐标，再把它化为极坐标．
本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，求点的极坐标，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：在定义域内不单调，不符合题意；
在定义域内单调递增，但在定义域不单调，不符合题意；
定义域，且，故为奇函数且在上单调递增，符合题意；
在定义域内非奇非偶函数，不符合题意．
故选：．
由已知结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：模拟程序的运行，可得

执行循环体，
不满足条件，执行循环体，
不满足条件，执行循环体，
满足条件，退出循环，输出的值为．
故选：．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断与应用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．
由：，推不出，知：，那么命题的一个必要不充分条件．
【解答】
解：
推不出，
：，那么命题的一个必要不充分条件，
故选B．  

8.【答案】 

【解析】解：两个变量与的回归模型中，它们的相关指数，越接近于，
这个模型的拟合效果越好，
在所给的四个选项中是相关指数最大的值，
拟合效果最好的模型是指数曲线：．
故选：．
两个变量与的回归模型中，它们的相关指数，越接近于，这个模型的拟合效果越好，在所给的四个选项中是相关指数最大的值，得到结果．
本题考查相关指数，这里不用求相关指数，而是根据所给的相关指数判断模型的拟合效果，这种题目解题的关键是理解相关指数越大拟合效果越好．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意，可知：
，
令，即：．
，并且，
解得：．
函数的单调递增区间为
故选：．
利用导函数的符号，列出不等式求解即可．
本题主要考查用导数法求函数的单调区间，以及不等式的求解问题，本题属中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：函数的定义域为，
，所以为偶函数，排除选项B和，
因为，所以选项C正确，A错误．
故选：．
计算可得，从而知为偶函数，再由，得解．
本题考查函数的图象，一般可从函数的奇偶性，单调性或特殊点处的函数值等方面思考问题，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了不等式恒成立问题，考查利用导数求函数最值和零点，属于中档题．
要使原式恒成立，只需，然后再利用导数求函数，求出当的得最值即可．

【解答】

解：因为，；
所以，令得或，
因为该函数在闭区间上连续可导，且极值点处的导数为零，
所以最小值一定在端点处或极值点处取得，
而，，，，
所以该函数的最小值为，
因为恒成立，
只需，
即，即
解得．
故选C．

12.【答案】 

【解析】解：根据题意，因为为奇函数，所以，即，
所以关于点对称；
因为为偶函数，所以，即，
所以关于对称，
由，得，
所以，即是周期为的周期函数，
结合函数的对称性，可得图象如图所示：
由此分析选项：
对于，，A正确；
对于，关于点对称，且是周期为的周期函数，则的图象关于点对称，
则有，即为奇函数，B正确；
对于，由图象可知：在上单调递增，C错误；
对于，方程的解的个数等价于与的交点个数，
因为，，
所以结合图象可知：与共有个交点，即有个实数解，D正确．
故选：．
根据题意，由函数的对称性分析函数的周期，结合函数的解析式分析函数的图象，由此分析选项，即可得答案．
本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，涉及函数的对称性分析，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：复数，
其共轭复数为．
故答案为：．
先化简复数，进而可得其共轭复数．
本题考查复数的乘法运算，考查复数的共轭复数，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查导数的几何意义，求切线的方程，属于基础题．
求得函数的导数，设切点为，可得切线的斜率，解方程可得切点，进而得到所求切线的方程．

【解答】

解：的导数为，
设切点为，可得，
解得，即有切点，
则切线的方程为，即．
故答案为：．

15.【答案】乙 

【解析】解：假设甲会，那么甲、乙说的都是真话，与题意不符，所以甲不会；
假设乙会，那么甲、乙说的都是假话，丙说的真话，符合题意；
假设丙会，那么乙、丙说的都是真话，与题意不符，所以丙不会．
综上可得：会中国象棋的是乙，
故答案为：乙．
根据题意，假设结论，根据他们说的话推出与题意不符的即为错误结论，从而得出答案．
本题考查了进行简单的合情推理，属简单题．
 

16.【答案】 

【解析】解：在区间上恰有一个极值点，
在区间上恰有一个变号零点，
即在区间上恰有一个变号零点，
令，
则，
解可得，．
当时，在内存在变号零点，
当时，在内没有零点，
综上，．
故答案为：
由题意可得，在区间上恰有一个变号零点，然后结合二次函数的实根分布即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，体现了转化思想，属于基础题．
 

17.【答案】解：由得到，代入到中，得．
即为曲线的直角坐标方程；
设，则点到直线的距离为，
其中，
当时，即，
于是，
同理，此时，即距离最小值为，此时点． 

【解析】通过得到，然后带回到曲线的方程即可；
利用三角换元设出曲线上的点，然后利用点到直线的距离公式求解．
本题主要考查参数方程的应用，考查转化能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：已知函数在处取得极大值，
，且函数在处有极值，
，
解得；
又当时，，
在和上单调递增，在单调递减，
故在处取得极大值，满足题意；
综上，；
当，时，，则，
当变化时，与的变化情况如下表：

所以时，的最大值为． 

【解析】求导得，根据函数极值与导数的关系得到关于，方程组，解出并检验即可；
直接求导，列出函数与导函数变化的表格，通过表格即可求出最大值．
本题考查了导数的综合应用，属于中档题．
 

19.【答案】解析：依题意可得列联表：

，
有的把握认为选择全理与性别有关；
设“至少抽到一名女生”为事件，设名男生分别为，，，两名女生分别为，从名学生中抽取名所有的可能为：
，，，，，，，，，
，共种，不包含女生的基本事件有，，，共种，
故所求概率． 

【解析】依题意完成列联表即可；
，继而得解；
设名男生分别为，，，两名女生分别为，，列出所有的试验结果以，数出至少抽到一名女生的对立事件包含的基本事件个数，代入公式计算即可．
本题考查独立性检验，考查了古典概型的概率，属于中档题．
 

20.【答案】解：选择模型．
理由如下：根据残差图可以看出，模型的估计值和真实值相对比较接近，模型的残差相对较大一些，所以模型的拟合效果相对较好；
由，知关于的回归方程为，令，
则．
由所给数据得：，

．
．
关于的回归方程为．
预测该地区年新增光伏装机量为兆瓦． 

【解析】本题考查回归方程的求法，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题．
根据残差图可以看出，模型的估计值和真实值相对比较接近，模型的残差相对较大一些，所以模型的拟合效果相对较好；
由，知关于的回归方程为，令，则，由所给数据得与的值，得到回归方程，取得答案．
 

21.【答案】解：因为，所以，
当时，，函数在区间上单调递增；
当时，令，，令，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
由可得当，函数在区间上单调递增，
又，所以，则，与条件矛盾，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，由已知，
所以，
设，则，
所以当时，，函数单调递增，
时，，函数单调递减，
又，
所以不等式的解集为．
证明：设，则，
当时，，函数单调递减，
时，，函数单调递增，
又，
所以，当且仅当时取等号，
由，当且仅当时取等号，
所以． 

【解析】首先求函数的导数，再讨论和两种情况，即可求函数的单调性；
根据由条件可得且，解不等式确定实数的取值集合；先证明，根据可得，由此完成证明．
本题考查利用导数处理含参函数的单调性、函数的恒成立问题，涉及参变分离、分类讨论和构造函数等思想与方法，考查学生的分析能力和运算能力，对于恒成立问题，常用到以下两个结论：恒成立；恒成立属于中档题．
 

22.【答案】解：点的直角坐标是，直线的倾斜角是，
直线的参数方程为，为参数，
由直角坐标与极坐标互化公式得曲线的直角坐标方程为．
将代入，得，
设，对应参数分别为，，则，，
根据直线参数方程的几何意义得：
． 

【解析】直接写出直线的参数方彺，由直角坐标与极坐标互化公式能求出曲线的直角坐标方程．
利用直角参数方程的几何意义能求出的值．
本题考查直线的参数方程和曲线的直角坐标方程的求法，考查直角参数方程的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．