2022-2023学年四川省成都市双流区名校高二（下）月考数学试卷（文科）（5月份）（含解析）

2022-2023学年四川省成都市双流区名校高二（下）月考数学试卷（文科）（5月份）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知，，则的真子集的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若条件：，条件：，则是的(    )

A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.  已知为实数，若复数为纯虚数，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  对具有线性相关关系的变量、，有一组观测数据，其回归方程为，且，，则实数的值是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知命题：对任意，命题：存在，则下列判断正确的是(    )

A. 是真命题 B. 是假命题 C. 的否定是假命题 D. 的否定是假命题

6.  执行如图所示的程序框图后，输出的值为，则的取值范围是(    )
 

A.  B.  C.  D.

7.  下列各图中，、为正方体的两个顶点，、、分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是(    )

 

A.  B.  C.  D.

8.  若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知，，且，则下列结论一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知双曲线：的左、右焦点分别为，，圆与的渐近线相切．为右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，给出以下结论：
的离心率；
两渐近线夹角为；
为定值；
的最小值为．
则所有正确结论为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  定义在的函数的导函数满足，且，则不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  在三棱锥中，，则此三棱锥的外接球的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是______ ．

14.  设变量，满足：，则的最大值为______ ．

15.  一只蚂蚁在三边长分别为、、的三角形区域内随机地爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于的地方的概率______．

16.  如图，椭圆的左、右焦点分别为，，过点作椭圆的切线，切点为，若为轴上的点，满足，则点的坐标为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
设函数，若函数在上单调递增，求实数的取值范围．

18.  本小题分
某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动一人答一份现从回收的年龄在岁的问卷中随机抽取了份，统计结果如图表所示．

分别求出，，，的值；
从年龄在答对全卷的人中随机抽取人授予“环保之星”，求年龄在的人中至少有人被授予“环保之星”的概率．

19.  本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，，为中点．
求证：．
求点到平面的距离．

20.  本小题分
已知椭圆，，是椭圆上的两个不同的点，为坐标原点，，，三点不共线，记的面积为．
若，求证：；
记直线，的斜率为，，当时，试探究是否为定值并说明理由．

21.  本小题分
设函数．
若直线是函数图像的一条切线，求实数的值；
若，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

22.  本小题分
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．
设为参数，若，求直线的参数方程；
已知直线与曲线交于，，设，且，求实数的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查两个集合的并集的真子集的个数的求法，考查并集定义等基础知识，是基础题．
利用并集定义先求出，由此能求出的真子集的个数．

【解答】

解：，，
，
的真子集的个数为．
故选：．

2.【答案】 

【解析】解：由题意可知条件：，条件：，
表示的集合是表示的集合的真子集，
所以是的充分而不必要条件．
故选：．
利用充分条件和必要条件的定义即可求解．
本题考查充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：复数为纯虚数，，．
则．
故选：．
利用纯虚数的定义、复数的运算法则即可得出．
本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，，样本中心点的坐标为，
代入回归直线方程得，，．
故选：．
求出横坐标和纵坐标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于的方程，解方程即可．
本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为对，，所以命题是假命题，
又，所以存在，使得，故命题是真命题，
根据命题否定的定义知，的否定是假命题，选项D正确．
故选：．
首先对不等式及三角方程进行分析，得出命题，的真假，再根据命题否定的含义进行判断即可．
本题考查命题真假的判定，命题否定的含义，属基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：模拟执行程序框图，可得
，
满足条件，，
满足条件，，
满足条件，，
由题意可得，此时，不满足条件，退出循环，输出的值为，
既有：．
故选：．
模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的，的值，当时由题意此时不满足条件，退出循环，输出的值为，从而可解得的取值范围．
本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的，的值是解题的关键，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：对，、、分别为其所在棱的中点，可证、与平面，平面平面，平面，故正确；
对，如图：与平面不可能平行，设平面，若平面，则，则为底面对角线的中点，显然错误，故不正确；
对，如图，可证平面平面，平面，平面，故正确；
对，若平面，则可证平面平面，由图知平面与平面不可能平行，故不正确；

故选：．
通过证面面平行，由面面平行的性质可得线面平行，判断的正确性；利用线面平行的性质，得线线平行可判断的正确性；由线面平行可得面面平行，从而判断的正确性．
本题考查了线面平行、面面平行的判定及线面、面面平行的性质，考查了学生的识图能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为有两个不同的极值点，
所以在上有个不同的零点，且零点两侧异号，
所以在有个不同的实数根，，且根据二次函数的性质可知这两根的两侧函数值异号，
所以，解得．
故选：．
计算，再将问题转化为在有个不同的两侧异号的实数根，从而利用二次函数的根的分布即可得解．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由，化简可得，
故，
又，，
故考虑构造函数，
则当时，恒成立，
所以在上单调递增，
因为，即，
所以，A正确，D错误；
因为，
所以，B错误；
取，则，
因为在上单调递增，且，，
存在满足该方程，
此时，C错误．
故选：．
由可得，构造函数，求导后判断函数的单调性，由此证明，结合指数函数性质判断．
本题考查导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：双曲线的渐近线的方程为，
因为圆，
所以圆心，半径，
所以圆心到渐近线的距离，
解得，
所以双曲线的方程为，
对于：，故正确；
对于：由上可知两将近线的斜率，，
不妨设两渐近线的夹角，则，
所以两渐近线的夹角为，故错误；
对于：设到渐近线的距离，
点到渐近线的距离，
所以，
又点在双曲线上，
所以，则，
所以，故正确；
对于：联立直线与渐近线，得，
解得，，
即
同理可得，
所以
，，
所以，故正确，
故选：．
根据题意可得，圆心到渐近线的距离，解得对于：，即可判断是否正确；对于：不妨设两渐近线的夹角，则，所以两渐近线的夹角为，故错误；对于：设到渐近线距离，，再计算，即可判断是否正确；对于：联立直线与渐近线，解得点的坐标，同理可得点坐标，再计算，即可判断是否正确．
本题考查双曲线的性质，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数，属于中档题．
令，求出函数的导数，得到函数的单调性，又因为，问题转化为，解出即可．
【解答】
解：由条件知，
令，
则，
故F在上是增函数，
，
又，
从而，即，
故不等式的解集是，
故选：．  

12.【答案】 

【解析】解：设三棱锥外接球的球心为，外接圆圆心为，如图所示，

，
，则；，则，
，，平面，则平面，
中，由余弦定理，则，
所以外接圆半径，，
中，，即三棱锥的外接球的半径为，
三棱锥的外接球的表面积为，
故选：．
根据正弦定理求外接圆半径，构造直角三角形利用勾股定理求三棱锥外接球半径，再求表面积．
本题考查三棱锥的外接球问题，化归转化思想，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：曲线即表示圆心在，半径等于的圆，直线，即，圆心到直线的距离等于，所以点到直线的距离的最小值是．
故答案为：．
把直线的极坐标方程化为普通方程，再把圆的极坐标方程化为普通方程，求出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离．
本题考查极坐标方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想．
 

14.【答案】 

【解析】解：由线性约束条件作出可行域如图，
由得，
由图可知，当直线过点时，
直线有轴上截距最大，有最大值．
故答案为：．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单线性规划相关知识，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查几何概型概率公式、对立事件概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式，属于中档题．
先求出三角形的面积，再求出据三角形的三顶点距离小于等于的区域为三个扇形，三个扇形的和是半圆，求出半圆的面积；利用对理事件的概率公式及几何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都大于的地方的概率．
【解答】
解：由题意三角形为直角三角形，面积为，
离三个顶点距离都不大于的地方恰好为半径为的半圆，面积为，如图，

所以其恰在离三个顶点距离都大于的地方的概率为
，
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】解：椭圆的
设过点与椭圆的相切的切线方程为，
由，消去得，
所以，解得，代入解得
由对称性不妨取，
，
设，，
，所以，
所以，所以，
解得．
所以的坐标为
椭圆的，设切线方程为，与椭圆联立方程组求得切点的坐标，由，得，可得，求解可得的坐标．
本题考查直线与椭圆的位置关系，利用斜率关系求点的坐标，属中档题．
 

17.【答案】解：因为，所以，
令，得或，令，得，
所以的单调递增区间是和；的单调递减区间是；
函数，
有，
因为函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，
令，则等价于在上恒成立，
函数的对称轴为，
易知在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以当时，，所以，即，
解得，所以的取值范围是． 

【解析】直接对函数求导，再利用导数与函数的单调性间的关系，求出和的解，即可求出结果；
利用条件，将问题转化成导函数在区间上恒成立，构造函数，即求在上的最小值，进而可求出结果．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与最值，化归转化思想，属中档题．
 

18.【答案】解：因为抽取总问卷为份，所以，
年龄在中，抽取份数为份，答对全卷人数为人，所以，
年龄在中，抽取份数为份，答对全卷的人数占本组的概率为，
所以，解得，
根据频率直方分布图，得，
解得
因为年龄在与中答对全卷的人数分别为人与人．
年龄在中答对全卷的人记为，，，，年龄在中答对全卷的人记为，，则从这人中随机抽取人授予“环保之星”奖的所有可能的情况是：
，，，，，，，，，，，，，，共种．
其中所抽取年龄在的人中至少有人被授予“环保之星”的情况是：，，，，，，，，共种，
故所求的概率为． 

【解析】根据频率直方分布图，通过概率的和为，求求出，，，的值，
年龄在中答对全卷的人记为，，，，年龄在中答对全卷的人记为，，分别列举出所有的基本事件，根据概率公式计算即可．
本题考查频率分布直方图，古典概型得概率问题，关键是不重不漏得列举基本事件，属于基础题．
 

19.【答案】解：证明：如图，取中点，连，，
，，
又平面，且平面，
，
又，，平面，平面，
平面，又平面，
，又，，平面，平面，
平面，又平面，
．
由已知得，，同理可得，
又，，则，
设点到平面的距离，
由，得到，
则，
又因为，得到，所以，
即点到平面的距离为． 

【解析】利用线面垂直得到，再利用线线垂直得到线面垂直，即平面，进而得到，，从而得到平面，再利用线面垂直的性质定理即可证明结论；
利用等体积法，即利用，再利用条件求出，再求出，即可求出结果．
本题考查线面垂直的判定定理与性质，等体积法求解点面距，化归转化思想，属中档题．
 

20.【答案】证明：设的夹角为，
则，所以，
则，
；

解：由可知，，
所以，

设直线，的方程分别为：，，
设，
则，
，
所以
． 

【解析】由三角形面积公式，正余弦的平方关系和向量夹角余弦公式可得，再根据向量运算的坐标表示完成证明；
联立方程组，可得，设直线，的方程分别为：，，由此利用，表示，，进一步表示，可得结论．
本题主要考查直线与椭圆的综合，考查转化能力，属于难题．
 

21.【答案】解：函数的定义域为，导函数，
设切点，
则，
解得，，
所以；
不等式可化为，
因为，所以，
设，由已知
令，则，
令，则，
再令，则，
所以在单调递增，又，则，即，
所以在单调递增，的值域为．
当时，即时，，
则在单调递增，又，所以恒成立，符合．
当时，即时
，当时，，
所以存在，使，
则当时，，函数在上单调递减，而，
所以对成立，不符合．
综上，实数的取值范围是． 

【解析】根据导数的几何意义列方程求的值；
原不等式可化为，设，由已知，讨论，利用导数研究的单调性，由此确定的取值范围．
本题主要考查了导数几何意义的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．
 

22.【答案】解：直线的极坐标方程为，
，即，
将代入上式得，
直线的参数方程为为参数；
由，得，
，
将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，得，
由，解得，
设点和点分别对应参数、为上述方程的根，
由根与系数的关系得，
由题意得，，
，
，
解得，或舍，
． 

【解析】利用直线极坐标方程，求得直角坐标方程，将代入，即可求直线参数方程；
把直线的参数方程代入曲线的方程，设，根据，根据根与系数的关系即可得出．
本题考查了直角坐标方程与极坐标方程互化、直线参数方程及其应用、直线与曲线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．