高考圆锥曲线题型专题分析——第十一讲 圆锥曲线中的最值与范围问题（全国通用）

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第十一节 圆锥曲线中的最值与范围问题
题型归纳
题型一　最值问题
角度1　基本不等式法求最值
例1 (12分)(2023·青岛调研)已知椭圆Γ：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F2作不平行于坐标轴的直线交Γ于A，B两点，且△ABF1的周长为4.
(1)求Γ的方程；
(2)若AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N，直线AN与BM交于点C，求△ABC面积的最大值．
[思路分析]　由定义求方程→设直线方程→联立椭圆与直线方程→由条件写出面积的表达方式→通过换元，利用基本不等式求出面积的最大值．
[规范解答]　
解　(1)由椭圆定义可知△ABF1的周长为4a＝4，即a＝，
→在椭圆中求焦点三角形的周长,问题，常结合椭圆的定义求解．
因为离心率e＝＝，所以c＝2①.
又因为b2＝a2－c2，所以b2＝2②，(3分)
故Γ的方程为＋＝1③.(4分)
(2)依题意可知直线AB的斜率存在且不为0，

→在圆锥曲线中设直线方程时，若所设直线可以垂直于x轴，但不能垂直于y轴，则直接设直线为x＝my＋n(m，n为常数)，这样可以避免分类讨论
联立
消去x整理得(m2＋3)y2＋4my－2＝0，
易知Δ＝16m2＋8(m2＋3)＝24(m2＋1)＞0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
不妨设x2＞x1，则y1＋y2＝－，y1y2＝－④.(5分)
→
因为AM⊥x轴，BN⊥x轴，
所以M(x1，0)，N(x2，0)．
所以直线AN：y＝(x－x2)，①
直线BM：y＝(x－x1)⑤， ②(6分)
→
联立①②，解得C点的横坐标
xC＝＝＝2＋＝3⑥.
因为S△ABC＝|BN|·|xC－x1|＝|y2|·|3－x1|＝|y2－my1y2|⑦，(9分)
→
且＝，所以S△ABC＝＝|y1－y2|＝＝·⑧.
→(10分)
设＝t，t＞1，则S△ABC＝·＝·≤，
→
当且仅当t＝，即m＝±1时，等号成立．
(12分)
→
[满分规则]
❶得步骤分：
由①②③准确运用椭圆定义，求出a，b，c可分别得1分，第一问共4分，由④联立椭圆和直线方程，写出根与系数关系式得1分，⑤设直线方程可得1分；
❷得关键分：
由⑥联立两直线求出C点横坐标得2分，⑦表示△ABC面积得1分；
❸得计算分：
由⑧通过根与系数关系化简面积表达式得1分，由⑨利用换元后，由基本不等式求出最值得3分．
训练1 已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
解　(1)设F(c，0)，由条件知＝，得c＝.
又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.
故E的方程为＋y2＝1.
(2)当l⊥x轴时不合题意；
设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
将y＝kx－2代入＋y2＝1，
得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.
Δ＝16(4k2－3)>0，
即k2>，x1＋x2＝，x1·x2＝.
从而|PQ|＝|x1－x2|＝.
又点O到直线PQ的距离d＝.
所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·|PQ|＝.
设＝t，
则t>0，S△OPQ＝＝≤1，
当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0，
所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为
y＝x－2或y＝－x－2.
角度2　函数法求最值
例2 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，圆O交x轴于点F1，F2，交y轴于点B1，B2，以B1，B2为顶点，F1，F2分别为左、右焦点的椭圆E恰好经过点.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设经过点(－2，0)的直线l与椭圆E交于M，N两点，求△F2MN的面积的最大值．
解　(1)由题意，得椭圆E的焦点在x轴上．
设椭圆E的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦距为2c，则b＝c，
∴a2＝b2＋c2＝2b2，
∴椭圆E的标准方程为＋＝1.
∵椭圆E经过点，
∴＋＝1，解得b2＝1，
∴椭圆E的标准方程为＋y2＝1.
(2)∵点(－2，0)在椭圆E外，
∴直线l的斜率存在．
设直线l的斜率为k，则直线l：y＝k(x＋2)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由
消去y得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－2＝0.
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
Δ＝64k4－4(1＋2k2)(8k2－2)＞0，
解得0≤k2＜，
∴|MN|＝|x1－x2|＝2.
∵点F2(1，0)到直线l的距离d＝，
∴△F2MN的面积为
S＝|MN|·d＝3.
令1＋2k2＝t，t∈[1，2)，得k2＝.
∴S＝3＝3
＝3＝3，
当＝，即t＝时，S有最大值，Smax＝，此时k＝±.
∴△F2MN的面积的最大值是.
感悟提升　圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
训练2 (2023·济南联考节选)已知抛物线C：y2＝4x，F为焦点，点Q在直线
x＝－1上，点P是抛物线上一点，且P点在第一象限，满足FP⊥FQ，记直线OP，OQ，PQ的斜率分别为k1，k2，k3，求k1·k2·k3的最小值．
解　设P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)，Q(－1，t)，
则y＝4x0.
因为FP⊥FQ，
所以·＝－2(x0－1)＋ty0＝0，
即ty0＝2(x0－1)，
因为k1＝，k2＝－t，k3＝，
所以k1k2k3＝＝
＝＝＝
＝＝－4＝4.
令＝x(x＞0)，
则构造函数f(x)＝4x3－x(x＞0)，
所以f′(x)＝12x2－1，令f′(x)≥0，得x≥，
令f′(x)＜0，得0＜x＜，
所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，
所以f(x)min＝f＝－，
即－的最小值为－，
所以k1k2k3的最小值为－.
题型二　范围问题
例3 (2023·辽宁省六校联考)在平面直角坐标xOy中，已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点与椭圆：＋y2＝1的右焦点重合．
(1)求抛物线C的方程及其准线方程；
(2)记P(4，0)，若抛物线C上存在两点B，D，且直线BD的斜率存在，使△PBD为以P为顶点的等腰三角形，求直线BD的斜率的取值范围．
解　(1)由椭圆方程＋y2＝1，
得其右焦点为(1，0)，
因为抛物线的焦点与椭圆右焦点重合，
所以＝1，即p＝2.
故抛物线C的方程为y2＝4x，
准线方程为x＝－1.
(2)设直线BD的方程为y＝kx＋m，
由消去y，
得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0，
则Δ＝(2km－4)2－4k2m2＞0，得km＜1.
设B(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
设BD中点为M(x0，y0)，
则x0＝＝，y0＝kx0＋m＝.
由△PBD是以P为顶点的等腰三角形，则PM⊥BD，
则kPM＝＝＝－，
整理得km＝2－2k2.
由km＜1，则2－2k2＜1，
解得k＜－或k＞，
故直线BD的斜率的取值范围为∪.
感悟提升　解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
训练3 (2023·武汉调研)过双曲线Γ：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F1的动直线l与Γ的左支交于A，B两点，设Γ的右焦点为F2.
(1)若△ABF2可以是边长4的正三角形，求此时Γ的标准方程；
(2)若存在直线l，使得AF2⊥BF2，求Γ的离心率的取值范围．
解　(1)依题意得|AF1|＝2，|AF2|＝4，|F1F2|＝2.
∴2a＝|AF2|－|AF1|＝2，a＝1，
2c＝|F1F2|＝2，c＝，b2＝c2－a2＝2，
此时Γ的标准方程为x2－＝1.
(2)设l的方程为x＝my－c，与－＝1联立，
得(b2m2－a2)y2－2b2cmy＋b4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
由AF2⊥BF2，得·＝0，
∴(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0，
即(my1－2c)(my2－2c)＋y1y2＝0，
∴(m2＋1)b4－4m2c2b2＋4c2(b2m2－a2)＝0，
∴(m2＋1)b4＝4a2c2，
∴m2＋1＝≥1，
∴4a2c2≥(c2－a2)2，
∴c4＋a4－6a2c2≤0，
∴e4－6e2＋1≤0，
又∵e＞1，∴1＜e2≤3＋2，
∴1＜e≤1＋，
又A，B在左支且l过F1，
∴y1y2＜0，∴＜0，
∴m2＜，∴m2＋1＝＜＋1，
∴4a2＜b2＝c2－a2，∴e2＞5.
综上所述，＜e≤1＋.
课时训练
一、单选题
1．设点A，，的坐标分别为，，，动点满足：，给出下列四个结论：
① 点P的轨迹方程为；
② ；
③ 存在4个点P，使得的面积为；
④ .
则正确结论的个数是（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义可得的轨迹为以，为焦点的椭圆，可判断①,结合椭圆的定义以及共线即可判断②④,由三角形的面积即可结合椭圆的最值求解④.
【详解】由得,
所以点的轨迹为以，为焦点的椭圆，且，
故点P的轨迹方程为，①正确，
当将代入椭圆方程中得，所以点在椭圆内，
所以,
当且仅当运动到时，等号成立，
，
由于,
所以,
当且仅当运动到时等号成立，故②错误④正确，
，其中为点到直线的距离，
若，由于当点为椭圆的右顶点时，此时取最大值3，
故满足条件的点只有一个，③错误，
故选：B
.
2．设、分别是椭圆的左、右焦点，若是该椭圆上的一个动点，则的最大值和最小值分别为（    ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】A
【分析】设点，则，且，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得的最大值和最小值.
【详解】在椭圆中，，，，则点、，
设点，则，且，则，
所以，，，
所以，
，
所以，当时，取最小值，
当时，取最大值.
故选：A.
3．已知M，N是椭圆上关于原点O对称的两点，P是椭圆C上异于M，N的点，且的最大值是，则椭圆C的离心率是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量运算可得，结合椭圆性质可得的最大值是，列式运算求解即可.
【详解】由题意可得：，
则，
由椭圆可知，则的最大值为，
即，整理得椭圆C的离心率.
故选：B.
4．已知，，若圆上存在点P，使得，则实数r的取值范围是（    ）
A．[3,5] B．（0,5] C．[4,5] D．[16,25]
【答案】C
【分析】由已知可得动点P的轨迹是以为焦点的椭圆，且从而可得实数r的取值范围.
【详解】动点P的轨迹是以为焦点的椭圆，且又点P在上，椭圆与圆有公共点，实数r的取值范围是[4,5].
故选：C.
5．已知曲线：，为上一点，
①的取值范围为；    
②的取值范围为；
③不存在点，使得；    
④的取值范围为.
则上述命题正确的个数是（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】对于①，分段化简方程，得到图形，数形结合得到①错误；对于②，数形结合，结合椭圆性质得到②正确；对于③，根据渐近线性质及图形可得③正确；对于④，利用的几何意义，结合三角换元得到的取值范围.
【详解】对于①，曲线得到，
画出图形如下：其中为渐近线，
  
由曲线和图形可知，故①错误；
对于②，可看做曲线上的点到原点的距离，显然无最大值，
当点位于椭圆上时，距离原点的距离取得最小值，
则，故当时，取得最小值，最小值为1，
则的取值范围为，②正确；
对于③，因为直线与渐近线平行，故不存在点，使得，③正确；
对于④，表示点到直线的距离的倍，
又直线与渐近线平行，且距离为，
故，
由图形可知，在上时，到直线的距离取得最大值，
设，则到直线的距离为
，
当且仅当时等号成立，
故的取值范围为，④正确.
故选：C
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
6．设双曲线：的离心率为，过左焦点作倾斜角为的直线依次交的左右两支于，，则有．若，为的中点，则直线斜率的最小值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意可得，即可得到，从而表示出，再利用点差法得到，即可得到，再利用基本不等式计算可得.
【详解】因为，所以，
又，
所以，则，
所以，
设，，则，，
所以，即，
所以，即，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
即直线斜率的最小值是.
  
故选：C
【点睛】关键点睛：根据解答的关键是用含的式子表示，再利用点差法得到，从而表示出，最后利用基本不等式求出最小值.
7．已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（    ）
A．3 B．4 C． D．6
【答案】B
【分析】先判断直线与抛物线的位置关系，过点作于点，于点，连接，根据抛物线的定义，得到，推出，结合图形，可得，，共线时，最小，进而可得出结果.
【详解】由消去得，
因为，所以方程无解，
即直线与抛物线无交点；
过点作于点，于点，记抛物线的焦点为，连接，
因为点到直线的距离为,为抛物线的准线，根据抛物的定义可得，，
则到直线和的距离之和为，
若，，三点不共线，则有，
当，，三点共线，且位于之间时，，
则，
又，
所以，即所求距离和的最小值为.

故选：.
8．已知圆过点，且与直线相切，是圆心的轨迹上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据抛物线定义得点的轨迹方程，然后设出点的坐标，再利用点到直线的距离公式求出到直线的距离，从而求出的最小值.
【详解】由题意可知点到直线的距离等于点到点的距离，
所以点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，且焦点到准线的距离，
所以点的轨迹方程为．
设，则点到直线的距离
，所以的最小值为．
故选：A．

二、多选题
9．已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是双曲线C的右支上一点，过点P的直线l与双曲线C的两条渐近线交于M，N，则（    ）
A．的最小值为8
B．若直线l经过，且与双曲线C交于另一点Q，则的最小值为6
C．为定值
D．若直线l与双曲线C相切，则点M，N的纵坐标之积为
【答案】ACD
【分析】设出点P坐标，直接计算可判断A、C；比较双曲线的通径长和实轴长可判断B；设出直线l的方程后联立渐近线方程，求出点M，N的坐标，再联立直线l与双曲线方程，利用判别式为零可得参数关系，进而计算点M，N的纵坐标之积可得结果.
【详解】依题意，，，，，，
设，则，，即，
双曲线C的两条渐近线方程为，
对于A，，A正确；
对于B，若Q在双曲线C的右支，则通径最短，通径为，
若Q在双曲线C的左支，则实轴最短，实轴长为，B错误；
对于C，

是定值，C正确；
对于D，不妨设，，直线l的方程为，
由得，
若直线l与双曲线C相切，则，
化简整理得，
则点M，N的纵坐标之积，D正确.
故选：ACD.
    
10．双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知，分别为双曲线的左，右焦点，过右支上一点作直线交轴于点，交轴于点，则（    ）
A．的渐近线方程为 B．
C．过点作，垂足为，则 D．四边形面积的最小值为
【答案】ABD
【分析】对于A选项，求出双曲线的渐近线，故A正确；对于B选项， 证明为双曲线的切线，由双曲线的光学性质可知，AM平分，故B正确；对于C选项，延长，与的延长线交于点，则AH垂直平分，即点为的中点．又是的中点，求出，故C错误；对于D选项，利用基本不等式求出四边形面积的最小值为，故D正确.
【详解】对于A选项，由已知可得，，∴C的渐近线方程为，故A正确；
对于B选项，由题意得，AM的直线方程为，所以，∴为双曲线的切线，由双曲线的光学性质可知，AM平分，故B正确；
对于C选项，延长，与的延长线交于点，则AH垂直平分，即点为的中点．又是的中点，
∴，故C错误；
对于D选项，
，
当且仅当，即时，等号成立．∴四边形面积的最小值为，故D正确.
故选：ABD．


三、解答题
11．在平面直角坐标系中，已知，分别是椭圆C：的左焦点和右焦点.
(1)设T是椭圆C上的任意一点，求取值范围；
(2)设，直线l与椭圆C交于B，D两点，若是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程.
【答案】(1)；
(2)或.

【分析】（1）求出焦点坐标，设点，利用数量积的运算律得到关于的函数，再确定其范围作答.
（2）当垂直于y轴时，求出的方程；当不垂直于y轴时，设出的方程并与椭圆方程联立，结合韦达定理和等腰直角三角形的性质确定直线的斜率即可求得直线方程.
【详解】（1）在椭圆：中，，，
设，则有，即，，
于是，显然，
所以的取值范围是.

（2）显然直线不垂直于x轴，当直线垂直于y轴时，由对称性知，点关于y轴对称，
不妨令点在y轴右侧，因为是以A为直角顶点的等腰直角三角形，
则直线方程为：，由消去y得：，于是得，点，
直线的方程为，
当直线与坐标轴不垂直时，设直线的方程为，设，
由消去y得：，
则，即，，，
因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，有，
而，于是，
即，整理得，
从而，
化为，解得，
又线段BD的中垂线过点及点A，因此，
即，解得，而当时，成立，即，
因此直线的方程为，
所以满足条件的直线的方程为或.
【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
12．在平面直角坐标系中，已知椭圆C：.
(1)设是椭圆上的一个动点，求的取值范围；
(2)设与坐标轴不垂直的直线交椭圆于两点，试问：是否存在满足条件的直线，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)或

【分析】（1）设点，将转化为坐标表示，求取值范围；
（2）设直线方程，与椭圆方程联立，设中点为D，若是以B为直角顶点的等腰直角三角形，则，，解出直线方程.
【详解】（1）设点，则，
，
因为，所以当时，，
当时，，
所以.
（2）设直线l：（），，，
，消去y得，，
由题，，
，，
，，
若是以B为直角顶点的等腰直角三角形，则， ，
所以，①
设中点为D，则，因为，
所以，即，②
由①②，得，或，，满足，
所以存在直线l使得是以B为直角顶点的等腰直角三角形，
直线方程为或.
13．已知抛物线与双曲线相交于两点是的右焦点，直线分别交于（不同于点），直线分别交轴于两点.
(1)设，求证：是定值；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2).

【分析】（1）根据给定条件，设出直线的方程，与抛物线的方程联立即可计算作答.
（2）由（1）求出直线的方程并求出点的横坐标，直线的方程与双曲线的方程联立，借助直线求出点的横坐标，再列式求出范围作答.
【详解】（1）由是直线与抛物线的两个交点，显然直线不垂直y轴，点，
故设直线的方程为，由消去并整理得，
所以为定值.
  
（2）由（1）知，直线的斜率，方程为，
令，得点的横坐标，设，
由消去得，
，
，
而直线的方程为，依题意，
令，得点的横坐标

，
因此，
所以的取值范围是.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
14．已知双曲线：的离心率为；
(1)求此双曲线的渐近线方程；
(2)若经过点的直线与双曲线的右支交于不同两点，，求线段的中垂线在轴上的截距的取值范围；
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）求出右焦点到渐近线的距离，得出圆的方程；
（2）设直线的方程为，联立方程组消元，根据方程在上有两解求出的范围，得出线段的中垂线方程，从而得出截距关于的函数，得出的范围．
【详解】（1）双曲线的离心率为．，可得，所以．
可得双曲线．
可得双曲线的渐近线方程为：．
（2）设经过点的直线方程为，，，，，
联立方程组，消去得：，
，解得．
的中点为，
线段的中垂线方程为：，
令得截距．
即线段的中垂线在轴上截距的取值范围是．
15．已知双曲线的方程为：，左右焦点分别为，是线段的中点，过点作斜率为的直线，l与双曲线的左支交于两点，连结与双曲线的右支分别交于两点.

(1)设直线的斜率为，求的取值范围.
(2)求证：直线过定点，并求出定点坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点

【分析】（1）设，，，，直线的方程为，联立抛物线方程，利用韦达定理求出k的范围，设直线的方程为，利用韦达定理求出，即可求解；
（2）直线的方程为，令，解得x为定值，得证，求出定点即可.
【详解】（1）解：设直线的方程为：和双曲线方程联立消去可得：

设，，，.
由可得：或，

直线的方程为：和双曲线方程联立消去可得：
，
所以：，
所以：，
同理：，
所以：

所以：，
由双勾函数的单调性可知，当，即时有最值，而或，
当时，，当时，，
所以.
（2）直线的方程为：，令，
可得：


，
所以直线过定点.
【点睛】求定点定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊位置入手，求出定点定值，再证明这个定点定值与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点定值．
16．已知O为坐标原点，双曲线C：的渐近线方程为．
(1)求C的标准方程；
(2)过点的直线l交C于M，N两点，交x轴于Q点．若，问是否存在？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)答案见解析

【分析】（1）由题意可得，，结合渐近线的定义可得，求出m即可求解；
（2）易知直线l的斜率存在．设直线l：，，，联立双曲线方程，利用求出k的范围，利用韦达定理表示,利用两点距离公式可得，求出k的值，结合斜率的定义即可求解.
【详解】（1）易知双曲线C的焦点在x轴上，且，所以或．
因为，所以，所以，．
由已知可得，解得，
所以C的标准方程为．
（2）由题意，易知直线l的斜率存在．
设直线l：，联立方程组，
化简得．
由题意知，且，
所以，且，解得，且．
设，，则，．
因为，
，
所以
．
由，得，
整理，得，即，
解得或，即或．
经验证，不在k的取值范围内，舍去．
设直线l的倾斜角为．
当时，，，点Q在x轴负半轴上，则；
当时，，点Q在x轴正半轴上，此时，则不存在；
当，即时，点Q在x轴正半轴上，
则.

17．双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形．
(1)求双曲线的方程；
(2)、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，转化为的方程，即可求解；
（2）首先设直线的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示，并根据的取值范围，求点到直线的距离的取值范围.
【详解】（1）依题意，，焦半径，
由，得，得，
解得：（其中舍去），
所以，
故双曲线的方程为；
（2）显然直线不可能与轴平行，故可设直线的方程为，
联立，消去整理得，
在条件下，设，，
则，，
由，得，
即，
整理得，
代入韦达定理得，，
化简可消去所有的含的项，解得：或（舍去），
则直线的方程为，得，
又都在双曲线的右支上，故有，，
此时，，
所以点到直线的距离的取值范围为.
18．求抛物线：上的点到直线：的最小距离．
【答案】
【分析】设出抛物线上的点坐标，利用点到直线的距离公式求解作答.
【详解】设抛物线上的点，则点P到直线，
即的距离，
当且仅当时取等号，
所以所求最短距离为.
19．如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的一个交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于点M（B、M不同于A）．

(1)若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，求p的值；
(2)若直线l过椭圆的右焦点，求面积的最大值及此时直线l的方程；
(3)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
【答案】(1)；
(2)，；
(3).

【分析】（1）求出椭圆的右焦点坐标，求出p值作答.
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，借助韦达定理建立三角形面积的函数关系，求出最大值作答.
（3）设出直线的方程，与椭圆方程联立，由线段AB的中点在抛物线上及点是椭圆与抛物线的公共点建立关系式，借助均值不等式求解作答.
【详解】（1）椭圆的右焦点坐标为，依题意，，
所以.
（2）显然直线不垂直于y轴，由（1）设直线的方程为：，
由消去得，，设，
则，
，
，当且仅当时取等号，
所以面积有最大值为，此时直线.
（3）直线与轴垂直时，此时点与点或点重合，不满足题意，
设直线的方程为，由消可得，
则，即，且，
于是，点，
因为点在抛物线上，因此,
由，解得，代入椭圆方程得，
解得，而，
，
因此，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.
20．已知为抛物线上不同两点，为坐标原点，，过作于，且点.
(1)求直线的方程及抛物线的方程；
(2)若直线与直线关于原点对称，为抛物线上一动点，求到直线的距离最短时，点的坐标.
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）由点，得直线的斜率为1，则直线的斜率为，写出直线的点斜式方程；直线与抛物线联立得出韦达定理，由结合向量数量积为零得出结果；
（2）由点到直线的距离公式以及二次函数求最值得出结果.
【详解】（1）如图，
由点，得直线的斜率为1，又，则直线的斜率为，
故直线的方程为，整理得直线的方程为
设，
联立，得，则，
由，得，
即，因为，所以，
所以，解得，故抛物线方程为
（2）设点是直线上任一点，则点关于原点的对称点在直线上，所以，
即直线的方程为.
设点，则，点到直线的距离，

当时，的最小值是，此时，.