第01讲 平面向量的概念及其线性运算 (讲义）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29675" 第01讲 平面向量的概念及其线性运算(精讲） PAGEREF _Tc29675 \h 1
\l "_Tc5248" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc5248 \h 2
\l "_Tc6226" 1、向量的有关概念 PAGEREF _Tc6226 \h 2
\l "_Tc26646" 2、向量的线性运算 PAGEREF _Tc26646 \h 2
\l "_Tc848" 2.1向量的加法 PAGEREF _Tc848 \h 2
\l "_Tc32132" 2.2向量的减法 PAGEREF _Tc32132 \h 2
\l "_Tc10476" 2.3向量的数乘 PAGEREF _Tc10476 \h 3
\l "_Tc8086" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc8086 \h 4
\l "_Tc15398" 高频考点一：平面向量的概念 PAGEREF _Tc15398 \h 4
\l "_Tc25407" 角度1：平面向量的概念与表示 PAGEREF _Tc25407 \h 4
\l "_Tc15430" 角度2：模 PAGEREF _Tc15430 \h 6
\l "_Tc14375" 角度3：零向量与单位向量 PAGEREF _Tc14375 \h 10
\l "_Tc6615" 角度4：相等向量 PAGEREF _Tc6615 \h 12
\l "_Tc30274" 高频考点二：向量的线性运算 PAGEREF _Tc30274 \h 16
\l "_Tc6206" 角度1：平面向量的加法与减法 PAGEREF _Tc6206 \h 16
\l "_Tc6526" 角度2：平面向量的数乘 PAGEREF _Tc6526 \h 18
\l "_Tc31057" 高频考点三：共线向量定理的应用 PAGEREF _Tc31057 \h 22
\l "_Tc9104" 第三部分：数学文化题 PAGEREF _Tc9104 \h 29
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第一部分：知识点必背
1、向量的有关概念
（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)
向量表示方法：向量或；模或.
（2）零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作.
（3）单位向量：长度等于1个单位的向量，常用表示.
特别的：非零向量的单位向量是.
（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，与共线可记为；
特别的：与任一向量平行或共线.
（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作.
（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作.
2、向量的线性运算
2.1向量的加法
①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定.
②向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）
已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.
③向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）
已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
2.2向量的减法
①定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即.
②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量）
已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示
如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.
2.3向量的数乘
向量数乘的定义:
一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下：
①
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.
3、共线向量定理
①定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，.
②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一．
4、常用结论
4.1向量三角不等式
①已知非零向量，，则（当与反向共线时左边等号成立；当与同向共线时右边等号成立）；
②已知非零向量，，则（当与同向共线时左边等号成立；当与反向共线时右边等号成立）；
记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如中，中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：中中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成立；
4.2中点公式的向量形式：
若为线段的中点，为平面内任意一点，则.
4.3三点共线等价形式：
（，为实数），若，，三点共线
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：平面向量的概念
角度1：平面向量的概念与表示
典型例题
例题1．（2023春·广东广州·高一广州市真光中学校考阶段练习）关于向量，，下列命题中，正确的是（ ）．
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，则
例题2．（2023春·陕西西安·高一西安市第六中学校联考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
①有向线段三要素是始点、方向、长度；
②向量两要素是大小和方向；
③同向且等长的有向线段表示同一向量；
④在平行四边形中，．
A．①B．①②C．①②③D．①②③④
例题3．（多选）（2023春·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考阶段练习）下列说法中错误的是（ ）
A．单位向量都相等B．对于任意向量，，必有
C．平行向量不一定是共线向量D．若，满足且与同向，则
练透核心考点
1．（2023春·福建龙岩·高一福建省永定第一中学校考阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量
C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同
D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上
2．（2023·全国·高一专题练习）给出下列物理量：
①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．
其中不是向量的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
3．（2023春·浙江杭州·高一杭州市西湖高级中学校考阶段练习）判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若，则与的方向相同或相反；③若，且，则；④若，则．其中，正确的命题个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
角度2：模
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）正方形的边长为1，则为（ ）
A．1B．C．3D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）对于非零向量，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
例题3．（2023·高一课时练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中两点为起点和终点的向量中．
（1）单位向量共有______个；
（2）模为的向量有______；
（3）与相等的向量有______；
（4）的相反向量有______．
例题4．（2023·全国·高一专题练习）已知等腰的直角边长为1，为斜边上一动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
练透核心考点
1．（2023春·北京朝阳·高一校考阶段练习）已知，，，则（ ）．
A．1B．2C．3D．2或者6
2．（2023春·安徽淮北·高一淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习）如图，在菱形ABCD中，，，则______．
3．（2023·全国·高一专题练习）已知为正三角形，则下列各式中成立的是___________.（填序号）
①；②；③；④.
4．（2023春·全国·高一专题练习）如图，已知网格小正方形的边长为1，点P是阴影区域内的一个动点（包括边界），O，A在格点上，则的最小值是____________；最大值是____________.
角度3：零向量与单位向量
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）下列说法：
①零向量是没有方向的向量；
②零向量的方向是任意的；
③零向量与任意一个向量共线.
其中，正确说法的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
例题2．（2023春·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）如果，是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
例题3．（多选）（2023春·山东潍坊·高一山东省潍坊第四中学校考阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若与共线，则或
C．若为单位向量，则
D．是与非零向量共线的单位向量
练透核心考点
1．（2023春·贵州贵阳·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．在正方形中,
B．已知向量,则A,B,C,D四点必在同一条直线上
C．零向量可以与任一向量共线
D．零向量可以与任一向量垂直
2．（2023春·安徽淮南·高一淮南第一中学校联考阶段练习）下列说法中不正确的是（ ）
A．零向量与任一向量平行B．方向相反的两个非零向量不一定共线
C．单位向量是模为1的向量D．方向相反的两个非零向量必不相等
3．（2023春·天津和平·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．零向量的大小为0，没有方向
D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
4．（2023·全国·高一专题练习）给出下列说法：①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等.其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
角度4：相等向量
典型例题
例题1．（2023春·福建龙岩·高一福建省永定第一中学校考阶段练习）对于向量、，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例题2．（多选）（2023春·广东揭阳·高二校考阶段练习）如图，在四边形中，若，则图中相等的向量是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
例题3．（2023·高一课时练习）是正方形对角线的交点，四边形，都是正方形，在如图所示的向量中：
（1）分别找出与，相等的向量；
（2）找出与共线的向量；
（3）找出与模相等的向量；
（4）向量与是否相等？
例题4．（2023·高一课时练习）窗，古时亦称为船牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为1米的正方形，内嵌一个小正方形，且、、、分别是、、、的中点，则与相等的向量为________，的负向量为________．
练透核心考点
1．（2023春·天津滨海新·高一天津经济技术开发区第一中学校考阶段练习）下列叙述中正确的个数是：（ ）
①若，则；②若，则或；③若，则④若，则⑤若，则
A．0B．1C．2D．3
2．（2023·江苏·高一专题练习）如图，O是正六边形ABCDEF的中心，且，，．在以A，B，C，D，E，F，O这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：
（1）与相等的向量有哪些？
（2）的相反向量有哪些？
（3）与共线的向量有哪些？
3．（2023·江苏·高一专题练习）如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.
（1）写出与共线的向量；
（2）写出与的模大小相等的向量；
（3）写出与相等的向量.
高频考点二：向量的线性运算
角度1：平面向量的加法与减法
典型例题
例题1．（2023春·山东烟台·高一山东省招远第一中学校考期中）设为对角线的交点，为任意一点，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023春·浙江金华·高一校考阶段练习）设点，，分别是的三边，，的中点，则（ ）
A．B．C．D．
例题3．（多选）（2023春·江苏常州·高一校考阶段练习）下列四式可以化简为的是（ ）
A．B．
C．D．
例题4．（2023春·湖北·高一校联考阶段练习）如图，，，，分别是梯形的边，，，的中点，，，，，用，表示下列各式．
(1)；
(2)．
练透核心考点
1．（2023春·福建南平·高一校考阶段练习）（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·天津和平·高一天津市第五十五中学校考阶段练习）下列各式中不能化简为的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023春·北京顺义·高一北京市顺义区第一中学校考阶段练习）化简所得的结果是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·新疆喀什·高一校考阶段练习）化简下列各式：
(1)；
(2)．
角度2：平面向量的数乘
典型例题
例题1．（2023·江苏南通·二模）在平行四边形中，，．若，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023春·重庆·高一校联考阶段练习）若在线段上，且，则（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知等腰直角三角形中，，，分别是边，的中点，若，其中，为实数，则（ ）
A．B．1C．2D．
例题4．（2023春·云南·高二校联考阶段练习）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在赵爽弦图”中若，则（ ）
A．B．
C．D．
练透核心考点
1．（2023·北京西城·统考一模）已知为所在平面内一点，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·天津滨海新·高一大港一中校考阶段练习）在中，点D满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．（多选）（2023春·重庆·高一校联考阶段练习）如图，在直角梯形中，，与交于点，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023春·广东东莞·高一校考阶段练习）如图，在中，，若，则__________．
高频考点三：共线向量定理的应用
典型例题
例题1．（2023春·湖北十堰·高一校考阶段练习）如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，若，，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．D．5
例题2．（2023春·山东枣庄·高一滕州市第一中学新校校考阶段练习）在中，，，与相交于点，设，
(1)用，表示；
(2)过点作直线分别与线段，交于点，，设，，求的最小值.
例题3．（2023春·宁夏吴忠·高一吴忠中学校考阶段练习）如图所示，在中，，分别是，的中点，．
(1)用表示；
(2)求证：，，三点共线．
例题4．（2023春·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）如图，在中，，，直线与直线交于点.
(1)若点满足，证明，，三点共线；
(2)设，，以为基底表示.
练透核心考点
1．（2023春·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交射线于不同的两点.设，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·安徽淮南·高一淮南第一中学校联考阶段练习）已知点G在内部，且，
(1)求证：G为的重心；
(2)过G作直线与AB，AC两条边分别交于点M，N，设，求的最小值.
3．（2023春·四川德阳·高一四川省德阳中学校校考阶段练习）设两个非零向量，不共线．
(1)若，，，求证：，，三点共线；
(2)若与共线，求的值．
4．（2023春·江苏淮安·高一淮阴中学校考阶段练习）如图，在长方形中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且．，设，．
(1)试用基底，，表示，，；
(2)若G为长方形内部一点，且，求证：E，G，F三点共线．
第三部分：数学文化题
1．（2023·全国·高三校联考阶段练习）黄金分割〔〕是一种数学上的比例关系.黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值.应用时一般取，就像圆周率在应用时取一样.高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹.人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的处.艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的处，能使琴声更加柔和甜美.黄金矩形的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边倍.黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦.在很多艺术品以及大自然中都能找到它.希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子，达芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形.《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩形，《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局.2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割.所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，黄金分割比为其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽没有古希腊的早，但它是我国数学家独立创造的.如图，在矩形中，，相交于点，，，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）早在公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三股四弦五”，《周髀算经》中曾有记载，大意为：“当直角三角形的两条直角边分别为（勾）和（股）时，径隅（弦）则为”，故勾股定理也称为商高定理.现有的三边满足“勾三股四弦五”，其中勾的长为，点在弦上的射影为点，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高二校联考开学考试）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以直角三角形的斜边为边得到的正方形）.类比“赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且，点M为的中点，点P是内（含边界）一点，且，则的最大值为__________.