初中数学苏科版八年级上册2.4 线段、角的轴对称性精品课时练习

这是一份初中数学苏科版八年级上册2.4 线段、角的轴对称性精品课时练习，文件包含24线段角的轴对称性教师版docx、24线段角的轴对称性学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。

第2章 轴对称图形
2.4 线段、角的轴对称性

课程标准
课标解读
1．理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线的性质及判定，会画已知线段的垂直平分线，能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题及实际问题．
2. 理解角平分线的画法，掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质，熟练运用角的平分线的性质解决问题．
1.经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念;
2.探索并掌握线段的垂直平分线的性质;
3.了解线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合;
知识点01 线段的轴对称性
1.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
2. 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；
3. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上．
【微点拨】
1.线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直2.接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
【即学即练1】如图所示，在△ABC中，DE，MN是边AB，AC的垂直平分线，其垂足分别为D，M，分别交BC于E，N，且DE和MN交于点F．

（1）若∠B＝20°，则∠BAE＝_____．
（2）若∠EAN＝40°，则∠F＝_____．
【答案】     20°     70°
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质解答即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，AN＝CN，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠BAE＝∠B＝20°；
故答案为：20°；
（2）∵DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，∴AE＝BE，AN＝CN，
∴∠BAE＝∠B，∠CAN＝∠C，
∵∠EAN＝40°，∠B＋∠BAE＋∠EAN＋∠CAN＋∠C＝180°，
∴∠BAE＋∠CAN＝70°，
∴∠BAC＝∠BAE＋∠CAN＋∠EAN＝110°，
∵∠ADF＝∠AMF＝90°，
∴∠F＝360°−∠ADF−∠AMF−∠BAC＝360°−90°−90°−110°＝70°；
故答案为：70°．
【即学即练2】如图所示，在中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=2AC．求证：点D在线段AB的垂直平分线上．

【答案】见解析
【分析】作DH⊥AB于H，利用AAS证明△ACD≌△AHD，得AC=AH，从而证明结论．
【详解】解：证明：作DH⊥AB于H，

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠C=∠AHD=90°，AD=AD，
∴△ACD≌△AHD（AAS），∴AC=AH，
∵AB=2AC，
∴AB=2AH，
∴DH垂直平分AB，
∴点D在AB的垂直平分线上．
知识点02 角的轴对称性
1.角的轴对称性
（1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.
（2）角平分线上的点到角两边的距离相等.
（3）角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
2.角平分线的画法
角平分线的尺规作图


（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）画射线OC.射线OC即为所求.
【微点拨】
（1） 用符号语言表示角平分线上的点到角两边的距离相等.若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
（2）用符号语言表示角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
【即学即练3】如图，在中，，AD是的平分线，，垂足为点E．若，，求BE的长．

【答案】
【分析】根据角平分线的性质可知CD=DE，再证明≌R（HL），即可得到AE=AC，则问题得解．
【详解】解：∵AD是的平分线，，，
∴，
在和中，，
∴≌R（HL），
∴．
∵，，
∴，
∴．
【即学即练4】如图所示，BE＝CF，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD＝CD．

求证：（1）△BDE≌△CDF；
（2）AD是∠BAC的平分线．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF即可；
（2）由全等三角形的性质得DE=DF，再由角平分线的判定即可得出结论．
【详解】证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）；
（2）由（1）得：△BDE≌△CDF，
∴DE=DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是∠BAC的平分线．
考法01 线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
【典例1】如图．在△ABC中，∠C=90 °，∠A=30°．
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，连接EB．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：EB平分∠ABC．
（3）求证：AE=EF．

【答案】见解析
【分析】（1）先作线段AB的垂直平分线DE，再延长BC即可；
（2）先利用直角三角形的性质求∠ABC= 60，再垂直平分线的性质得到∠ABE=∠A=30，再求出∠EBC=∠ABC-∠ABE=30，即可得到∠EBC=∠ABE，得到答案；
（3）证明：先利用直角三角形的性质求∠DEB=90-∠ABE =60再利用三角形外角的性质求∠EFB=∠DEB-∠EBC=60-30=30，进而得∠EFB=∠EBC，证得BE=EF，又因为AE= BE，利用等量代换即可求得答案．
【详解】（1）如图，即为所求；

（2）证明：∵DE是AB的垂直平分线
∴DE⊥AB
∴AE=BE
∵∠A=30，∠ACB=90
∴∠ABE=∠A=30，∠ABC=90-∠A=60
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60-30=30
∴∠EBC=∠ABE
∴EB平分∠ABC．
（3）证明：∵DE是AB的垂直平分线
∴DE⊥AB
∴∠DEB=90-∠ABE =60
∴∠EFB=∠DEB-∠EBC=60-30=30
∴∠EFB=∠EBC
∴BE=EF
又∵AE= BE
∴AE=EF
考法02 角平分线的性质定理
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等
角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
【典例2】如图，AD是△ABC的角平分线，，垂足为E，，垂足为F，M、N分别为AB、AC边上的点．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若DM＝DN，和的面积分别为36和50，求的面积．

【答案】（1）见解析； （2）
【分析】（1）根据角平分线的性质直接可得；
（2）根据已知条件证明，，再根据全等三角形的面积相等，即可求得.
【详解】解：（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF；
（2）在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
题组A 基础过关练
1．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（       ）

A．的三条中线的交点
B．三边的垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条高所在直线的交点
【答案】C
【分析】根据题意，想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以要选角平分线的交点．
【详解】∵要使凉亭到草坪三边的距离相等，
∴凉亭应在三条角平分线的交点处．
故选：C．
2．三角形的外心是三角形的（       ）
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点
【答案】C
【分析】根据三角形的外心的定义（三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点）即可得．
【详解】解：三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点，
故选：C．
3．如图，三条公路两两相交，现计划在△ABC中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是△ABC（       ）的交点．

A．三条角平分线 B．三条中线
C．三条高的交点 D．三条垂直平分线
【答案】A
【分析】根据角平分线的性质即可得到探照灯的位置在角平分线的交点处，即可得到结论．
【详解】解：∵探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，
∴探照灯位置是△ABC的三条角平分线上，
故选：A．
4．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一所小学，使小学到三个小区的距离相等，则小学应建在（       ）

A．∠A、∠B两内角的平分线的交点处 B．AC、AB两边高线的交点处
C．AC、AB两边中线的交点处 D．AC、AB两边垂直平分线的交点处
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得出答案．
【详解】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在、两边垂直平分线的交点处，故选：D．
5．如图所示，在中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD=3，则DE的长为 ________．

【答案】3
【分析】根据角平分线的性质，即角平分线上任意一点到角两边的距离相等计算即可；
【详解】∵在中，∠B=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AC，
∴，
∵，
∴；
故答案是3．
6．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OB于点C，已知PC＝5，则点P到OA的距离是________.

【答案】5
【分析】过P作PD⊥OA于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PD=PC，已知PC=5，所以PD=5，即可求解．
【详解】过P作PD⊥OA于D，如图，

即点P到OA的距离为DP的长度，
∵OP平分∠AOB，
∴OP为的角平分线，
又∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，PC=5，
∴DP=PC=5，
故答案为：5．
7．如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝4，CF＝1，则AC的长为_____．

【答案】5
【分析】根据线段垂直平分线得到AF＝BF＝4，即可求出AC＝AF+CF＝4+1=5．
【详解】解：∵EF是AB的垂直平分线，BF＝4，
∴AF＝BF＝4，
∴AC＝AF+CF＝4+1＝5，
故答案为：5．
8．如图，在中，，分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，所画的弧交于两点，再连接该两点所在直线交于点D，连接．若，则的长为______．

【答案】2
【分析】由作图可得，DQ为线段AB的垂直平分线，再利用线段的垂直平分线的性质可得答案.
【详解】解：如图，记AB的垂直平分线为DQ，




故答案为：2
9．如图，已知，△ABC（AB＜AC）将△ABC沿过点A的直线折叠，使AB边落在线段AC上，直线交BC边于点M，利用尺规作图方法，作出直线AM；（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析
【分析】根据折叠的性质，AB边沿直线AM翻折后落在线段AC上，可知∠BAM=∠CAM，作直线AM，即为用尺规作图法作∠BAC的角平分线．先以任意长度为半径，点A为圆心画圆弧，分别交AB，AC于点E、点F，再分别以点E、点F为圆心，大于长度为半径画弧，两圆弧交于点G，连接AG并交BC边于点M，即得到直线AM．
【详解】解：如图，直线AM即为所求．

10．如图，在中，点在的垂直平分线上，连接，作于点，交的延长线于点，且．

(1)求证：；
(2)如果，求的度数．
【答案】(1)见解析；(2)44°
【分析】（1）由点在的垂直平分线上，得到CB=CD，即可证明，得到，等量代换得到，即可得出结论；（2）由,得到，再由，解得∠CBD，得出∠ABC和∠A的度数．
【详解】(1)证明：，，
∴和均是直角三角形，
∵点在的垂直平分线上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
(2)解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
题组B 能力提升练
1．如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为（     ）

A．13 B．14 C．18 D．21
【答案】A
【分析】根据垂直平分线的性质可得，根据三角形的周长公式即可求解．
【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴，
AC＝8，BC＝5，
△BCE的周长为，
故选A
2．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC分别交于点D，E．已知△ABC与△BCE的周长分别为16cm和10cm，则BD的长为（

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，根据三角形的周长公式计算即可得到结论．
【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，AD=BD=AB，
∵△BCE的周长是10cm，
∴BC+BE+EC=10cm，即AC+BC=10（cm），
∵△ABC的周长是16cm，
∴AB+AC+BC=16（cm），
∴AB=16-10=6（cm），
∴BD=AB=×6=3（cm）．
故选：A．
3．如图，是的三条角平分线的交点，连接、、，若面积分别为、、，则（     ）

A． B． C． D．无法确定与的大小
【答案】A
【分析】过点作于，于，于，如图，利用角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式得到，，，然后根据三角形三边的关系求解．
【详解】解：过点作于，于，于，如图，

是的三条角平分线的交点，
，
，，，
，
，
．
故选：．
4．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为15，20，25，点O是△ABC三条角平分线的交点，则等于（       ）

A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
【答案】D
【分析】由角平分线的性质知，点O到AB，BC，CA的距离相等，因此等于AB，BC，CA的长度比．
【详解】解：∵点O是△ABC三条角平分线的交点，
∴点O到AB，BC，CA的距离相等，设距离为h，
∴．
故选D．
5．如图，在中，是的垂直平分线，分别交，于，，，的周长为14cm，则的周长为______cm．

【答案】22
【分析】根据是的垂直平分线，，可知cm、，再借助的周长为14cm，即cm，由即可计算的周长．
【详解】解：∵是的垂直平分线，，
∴cm，，
∵的周长为14cm，即cm，
∴的周长为：cm．
故答案为：22．
6．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，已知AC=10cm，BC=7cm，则△BCD的周长是________cm．

【答案】17
【分析】根据DE垂直平分线AB，得，进而求△BCD的周长；
【详解】解：∵DE垂直平分线AB，
∴，
∵AC=10cm，BC=7cm，
∴△BCD的周长为：cm；
故答案为：17．
7．如图，在中，，AD是的角平分线，过点D作，若，则______．

【答案】7
【分析】先利用角平分线性质证明CD=DE，再求出的值即可．
【详解】解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，，DE⊥AB，
∴CD=ED．
∵，
∴BD+CD=7，
∴，
故答案为：7．
8．如图，，若，则到的距离为_________．

【答案】4
【分析】过P点作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质定理可得PE=PD，即可求解．
【详解】解：如图，过P点作PE⊥OB于E，
∵，PE⊥OB，
∴PE=PD=4，
即P到OB的距离是4，
故答案为：4．

9．如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°．请你用尺规在AB边上找一点D．使得CD的长度最短．

【答案】见解析
【分析】利用基本作图，过C点作AB的垂线，垂足为D，则根据垂线段最短可判断D点满足条件．
【详解】解：如图，点D为所作．

10．如图，在△ABC中，AB=AC，过顶点A作AD⊥BC交BC于点D．请用尺规作图法在AD边上求作一点P，使得点P到AB的距离等于PD的长．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析
【分析】作∠ABC的角平分线交AD于点P，点P即为所求，根据角平分线的性质定理可得到点P到AB的距离等于PD的长．
【详解】解：如图，点P即为所求．
．
题组C 培优拔尖练
1．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝10，则△DEB的周长为（　　）

A．9 B．5 C．10 D．不能确定
【答案】C
【分析】先利用角平分线的性质得到DE＝DC，再证明Rt△ACD≌Rt△AED得到AC＝AE，然后利用等线段代换得到△DEB的周长＝AB．
【详解】∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC，
在Rt△ACD和Rt△AED中

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，
∵AC＝BC，
∴BC＝AE，
∴△DEB的周长＝BD+DE+BE＝BD+CD+BE＝BC+BE＝AE+BE＝AB＝10．
故选：C．
2．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC的长是（   ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】过D作DF⊥AC于点F，首先根据角平分线的性质可求出DF，再根据三角形面积公式求出△ABD的面积，即可求出△ADC面积，据此即可求出答案．
【详解】解：如图：过D作DF⊥AC于点F，

∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF=2，
，△ABC的面积为9，
∴△ADC的面积为9−5=4，
∴，
∴AC=4，
故选：C．
3．如图，在中，的平分线交于点D，DE//AB，交于点E，于点F，，则下列结论错误的是（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据角平分线的性质得到CD=DF=3，故B正确；根据平行线的性质及角平分线得到AE=DE=5，故C正确；由此判断D正确；再证明△BDF≌△DEC，求出BF=CD=3，故A错误．
【详解】解：在中，的平分线交于点D，，
∴CD=DF=3，故B正确；
∵DE=5，
∴CE=4，
∵DE//AB，
∴∠ADE=∠DAF，
∵∠CAD=∠BAD，
∴∠CAD=∠ADE，
∴AE=DE=5，故C正确；
∴AC=AE+CE=9，故D正确；
∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°，CD=DF，
∴△BDF≌△DEC，       
∴BF=CD=3，故A错误；
故选：A．
4．如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为，，，则的值为（       ）

A．1 B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】首先连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD，DF=DE，继而可得AF=AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE=CF，继而求得答案．
【详解】如图，连接CD，BD，

∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，
∴AE=AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE=CF，
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，
∵AB=11cm，AC=5cm，
∴BE=3cm．
故应选D．
5．如图，在△ABC中，，AD平分∠BAC，交BC于点D．若，，则△ABD的面积为_________．

【答案】44
【分析】根据角平分线的性质可以得到CD=DE，根据BD=6，BC=10，可以得到CD的长，从而可以得到DE的长，然后根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：作DE⊥AB于点E，

∵AD平分∠BAC，∠C=9°，∠DEA=90°，
∴DC=DE，
∵BD=6，BC=10，AB=22，
∴CD=BCBD=106=4，
∴DE=4，
∴△ABD的面积为：，
故答案为：44．
6．如图，在△ABC中，∠B＝47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠ABE＝_____°．

【答案】
【分析】首先作EM⊥BD、EN⊥BF、EO⊥AC垂足分别为M、N、O，再利用角平分线的性质得出BE为∠ABC的角平分线，即可求解．
【详解】解：作EM⊥BD、EN⊥BF、EO⊥AC垂足分别为M、N、O，如图所示，

∵AE、CE是∠DAC和∠ACF的平分线，
∴EM＝EO，EO＝EN，
∴EM＝EN，
∴BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠ABC＝23.5°．
故答案为：23.5．
7．如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，垂足为点D，DE交AC于点E，且，△BEC的周长为11，则BC的长为________．

【答案】4
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，从而求出BE+EC=AE+EC=AC=7，然后根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解∶∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE=AE，
又AC=7，
∴BE+EC=AE+EC=AC=7，
又△BEC的周长为11，
∴BE+EC+BC=11，
∴BC=4．
故答案为：4．
8．如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点N，则的周长为___________．

【答案】20
【分析】根据垂直平分线的性质得到，再代入求解即可；
【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点N，
∴，
∵的周长,
∴的周长,
∵，，
∴，
故答案为20．
9．如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC的平分线AE交BC于点E，将△CED沿DE折叠，使点C落在点A处．

(1)求证：∠BAE＝∠C．
(2)若∠BAE＝32°，求∠B的度数．
【答案】(1)见解析；(2)84°
【分析】（1）证明∠BAE＝∠EAD，∠EAD＝∠C，从而可得结论；
（2）结合（1）可得∠EAD＝∠BAE＝∠C＝32°，再利用三角形的内角和定理可得答案．
【详解】(1)解：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠EAD．
∵将△CDE沿DE对折后，点C落在点A处
∴DE垂直平分AC，
∴EA＝EC．
∴∠EAD＝∠C．
∴∠BAE＝∠C．
(2)由（1）可得，∠EAD＝∠BAE＝∠C，
∴∠EAD＝∠BAE＝∠C＝32°．
∵∠BAC+∠BCA+∠B＝180°．
∴∠B＝180°﹣3×32°＝84°．
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，AD为∠BAC的平分线，F为AC上的点，DE⊥AB，垂足为E，DF＝DB．

(1)求证：DC＝DE；
(2)求证：△CDF≌△EDB；
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【分析】（1）利用角平分线的性质定理证明即可；
（2）根据HL证明三角形全等即可；
【详解】(1)∵DE⊥AB，
∴，
∵，AD平分，
∴；
(2)由（1）可得和均为直角三角形，
在和中，
，
∴．
11．如图，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，于点，，交的延长线于点．

(1)若点到直线的距离为5cm，求点到直线的距离；
(2)求证：点在的平分线上．
【答案】(1)5cm；(2)见解析．
【分析】（1）过点作于，根据角平分线的性质即可解答；
（2）根据角平分线的性质得到，进而得到，根据角平分线的判定定理即可证明．
【详解】(1)解：过点作于，

点在的平分线，，，
cm，
即点到直线的距离为；
(2)证明：点在的平分线，，，
，
同理：，
，
，，
点在的平分线上．
12．已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F．

(1)求证：PD＝PE＝PF；
(2)点P在∠BAC的平分线上吗？说明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)在，理由见解析
【分析】（1）根据角平分线的性质定理可得，由此即可得证；
（2）根据，利用角平分线的判定即可得出结论．
【详解】(1)证明：平分，，
，
平分，，
，
．
(2)解：点在的平分线上，理由如下：
如图，连接，

，
点在的平分线上．