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初中数学苏科版八年级上册2.4 线段、角的轴对称性优秀习题
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这是一份初中数学苏科版八年级上册2.4 线段、角的轴对称性优秀习题，文件包含专题04线段角的轴对称性解析版docx、专题04线段角的轴对称性原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共59页， 欢迎下载使用。
苏科版数学八年级上册压轴题专题精选汇编
专题04 线段、角的轴对称性
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021八上·南京期末）如图，点P在锐角 的内部，连接 ， ，点P关于 、 所在直线的对称点分别是 、 ，则 、 两点之间的距离可能是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【完整解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，
∵点P关于直线OA，OB的对称点分别是点P1，P2，
∴OP1=OP=3，OP=OP2=3， OP1+OP2＞P1P2， 0＜P1P2＜6，
所以A，B，C不符合题意，D符合题意；
故答案为：D.
【思路引导】连接OP1，OP2，P1P2，利用轴对称的性质和垂直平分线的性质，可证得OP1=OP=3，OP=OP2=3，再利用三角形三边关系定理，可求出0＜P1P2＜6，由此可得答案.
2．（2分）（2021八上·嵩县期末）如图， 是 的角平分线， 于点E， ， ， ，则 的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【完整解答】解：如图，过点D作 DF⊥AC ，
， AD是△ABC 的角平分线，
， ，
即
解得
故答案为：C.
【思路引导】过点D作DF⊥AC于点F，利用角平分线上的点到角两边的距离相等可求出DF的长，再利用可求出AC的长.
3．（2分）（2021八上·海曙期末）如图，CD是等腰三角形 △ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝8，DE＝2，则 △ BCE的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【完整解答】解：过点E作EF⊥BC于F，
∵AC＝BC＝8，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，
∴CD⊥AB，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
∴△BCE的面积＝×BC×EF＝×8×2=8.
故答案为：C.
【思路引导】过点E作EF⊥BC于F，利用等腰三角形的性质可证得CD⊥AB，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出EF的长；再利用三角形的面积公式可求出△BCE的面积.
4．（2分）（2021八上·嵩县期末）如图， 中， ， ， 的垂直平分线分别交 于点E，F，与 ， 分别交于点D，G，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【完整解答】解：∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，
∴EB=EA，FA=FC，
∴∠BAE=∠B，∠FAC=∠C，
∵△ABC中，∠BAC=130°，
∴∠B+∠C=50°，
∴∠BAE+∠FAC=50°，
∴∠EAF=∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）=80°.
故答案为：A.
【思路引导】利用垂直平分线的性质可知EA=EB，FA=FC，利用等边对等角得∠BAE=∠B，∠FAC=∠C；再利用三角形的内角和定理可求出∠B+∠C的度数；然后可用∠EAF=∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）计算可求解.
5．（2分）（2021八上·淳安期末）已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【完整解答】解：由作图可知：作图正确的是①②.
故答案为：A.
【思路引导】利用作一个角等于已知角的方法，作线段垂直平分线的方法，可得答案.
6．（2分）（2021八上·如皋期末）如图，在 中， ， ，D为 的中点，P为 上一点，E为 延长线上一点，且 有下列结论：① ；② 为等边三角形；③ ；④ 其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④
【答案】C
【完整解答】解：如图，连接BP，
∵AC＝BC，∠ABC＝30°，点D是AB的中点，
∴∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，
∴CD是AB的中垂线，
∴AP＝BP，而AP＝PE，
∴AP＝PB＝PE
∴∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，
∴∠PBA+∠PBE＝∠PAB+∠PEB，
∴∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，
故①正确；
∵PA＝PE，
∴∠PAE＝∠PEA，
∵∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，
∴∠PAE+∠PEA＝
而
∴△PAE是等边三角形，
故②正确；
如图，延长 至 ，使 则点P关于AB的对称点为P′，连接P′A，
∴AP＝AP′，∠PAD＝∠P′AD，
∵△PAE是等边三角形，
∴AE＝AP，
∴AE＝AP′，
∵∠CAD＝∠CAP+∠PAD＝30°，
∴2∠CAP+2∠PAD＝60°，
∴∠CAP+∠PAD+∠P′AD＝60°﹣∠PAC，
∴∠P′AC＝∠EAC，
∵AC＝AC，
∴△P′AC≌△∠EAC（SAS），
∴CP′＝CE，
∴CE＝CP′＝CP+PD+DP′＝CP+2PD，
∴ .
故③错误；
过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，
∵CG＝CP，∠BCD＝60°，
∴△CPG是等边三角形，
∴∠CGP＝∠PCG＝60°，
∴∠ECP＝∠PGB＝120°，且EP＝PB，∠PEB＝∠PBE，
∴△PCE≌△PGB（AAS），
∴CE＝GB，
∴AC＝BC＝BG+CG＝EC+CP，
∵∠ABC＝30°，AF⊥BE，
∴AF＝ AB＝AD，
∵S△ACB＝ CB×AF＝ （EC+CP）×AF＝ EC×AF+ CP×AD＝S四边形AECP，
∴S四边形AECP＝S△ABC.故④正确.
所以其中正确的结论是①②④.
故答案为：C.
【思路引导】连接BP，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，进而推出AP＝BP＝PE，由等腰三角形的性质可得∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，然后根据角的和差关系可判断①；易得∠PAE+∠PEA＝120°，∠APE=60°，据此判断
②；延长PD至P′，使PD=P′D，则点P关于AB的对称点为P′，连接P′A，由等边三角形的性质可得AE＝AP，则AE＝AP′，推出∠P′AC＝∠EAC，证明△P′AC≌△∠EAC，得到CP′＝CE=CP+2PD，据此判断③；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，则△CPG是等边三角形，则∠CGP＝∠PCG＝60°，证明△PCE≌△PGB，得到CE＝GB，推出AC＝BC＝EC+CP，根据含30°角的直角三角形的性质可得AF＝AB＝AD，据此不难判断④.
7．（2分）（2021八上·如皋月考）如图，四边形ABCD中，AB=AD，点关于的对称点B′恰好落在CD上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【完整解答】解：如图，连接AB′，BB′，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB′，
∴AB＝AB′，
∴∠BAC＝∠B′AC，
∵AB＝AD，
∴AD＝AB′，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE＝∠B'AE，
∴∠CAE＝∠BAD＝α，
又∵∠AEB′＝∠AOB′＝90°，
∴四边形AOB′E中，∠EB′O＝180°−α，
∴∠ACB′＝∠E B′O−∠COB′＝180°−α−90°＝90°−α，
∴∠ACB＝∠ACB′＝90°−α，
故答案为：D.
【思路引导】连接AB′，BB′，过A作AE⊥CD于E，利用轴对称的性质可证得AC垂直平分BB′，∠BAC＝∠B′AC，利用垂直平分线的性质可推出AB＝AB′，由此可推出AD=AB′；利用等腰三角形的性质可得到∠DAE=∠BAE，由此可表示出∠CAE及∠EB′O；然后根据∠ACB′＝∠E B′O−∠COB′，代入计算可表示出∠ACB的度数.
8．（2分）（2021八上·盐湖期中）有一题目：“如图，∠ABC=40°，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，求∠DFB的度数．”小贤的解答：以D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F，连接DF，则DE=DF，由图形的对称性可得∠DFB=∠DEB．结合平行线的性质可求得∠DFB=140°．而小军说：“小贤考虑的不周全，∠DFB还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是（ ）
A．小军说的对，且∠DFB的另一个值是40°
B．小军说的不对，∠DFB只有140°一个值
C．小贤求的结果不对，∠DFB应该是20°
D．两人都不对，∠DFB应有3个不同值
【答案】A
【完整解答】解：
如图，以点D为圆心， 长为半径画圆交 于点F， ，连接 ， ，则 ，
，
平分 ，
由图形的对称性可知： ，
， ，
，
，
当点F位于点 处时，
，
．
故答案为：A．
【思路引导】以点D为圆心， 长为半径画圆交 于点F， ，连接 ， ，则 ，由图形的对称性可知 ，结合平行线的性质求∠DFB=140°，当点F位于点 处时，由DF=DF'可求出∠DF'B的度数.
9．（2分）（2021八上·长沙月考）如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，∠CAB的角平分线AP和∠MCB的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA＝45°；②AF﹣CG＝CA；③DE＝DC；④CF＝2CD+EG；其中正确的有（ ）
A．②③ B．②④ C．①②③④ D．①③④
【答案】C
【完整解答】解：设∠GCD＝x，∠DAC＝y，根据三角形外角的性质可得：
，
∴ ，故①正确；
延长GD与AC相交于点P，
∵DE⊥CF，
∴∠CDG＝∠CDP＝90°，
∵CF平分∠GCP，
∴∠GCD＝∠PCD，
在△GCD和△PCD中，
，
∴△GCD≌△PCD（ASA），
∴CG＝CP，
∵∠ADC＝45°，
∴∠ADP＝∠ADF，
在△AFD和△APD中，
，
∴△AFD≌△APD（ASA），
∴AF＝AP，
∴AF﹣CG＝CA，故②正确；
同理△ACD≌△AED（ASA），
∴CD＝DE，故③正确；
在DF上截取DM＝CD，则DE是CM的垂直平分线，
∴CE＝EM，
∵∠ECG＝∠GCD﹣45°，∠MEF＝∠DEF﹣45°，
∴∠ECG＝∠FEM，
∵EF＝CP，CP＝CG，
∴EF＝CG，
在△EMF和△CEG中，
，
∴ （SAS），
∴FM＝GE，
∴CF＝2CD+EG，故④正确；
故答案为：C.
【思路引导】设∠GCD＝x，∠DAC＝y，根据三角形外角的性质可得∠ADC=45°，据此判断①；延长GD与AC相交于点P，根据角平分线的概念可得∠GCD＝∠PCD，证明△GCD≌△PCD，得到CG＝CP，进而证明△AFD≌△APD，得到AF＝AP，据此判断②；同理△ACD≌△AED，据此判断③；在DF上截取DM=CD，则DE是CM的垂直平分线，CE＝EM，易得∠ECG＝∠FEM，证明△EMF≌△CEG，得到FM＝GE，据此判断④.
10．（2分）（2021八上·江津期中）如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD.其中正确的结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【完整解答】解：∵AD平分 ，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，故①正确；
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴∠BDC＝∠BAC，故③正确；
∵AD平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，∠BDC＝∠BAC，
∴ ，
∴∠DAF＝∠CBD，故④正确；
综上所述，正确的有①②③④；
故答案为：D.
【思路引导】由角平分线的性质可得DE=DF，根据HL证明，可得CE=AF， ，根据HL证明，可得，从而得出，据此判断①②；在△AOB和△DOC中，，∠AOB=∠DOC，可得∠BDC＝∠BAC，据此判断③；利用三角形的内角和可求∠DAF+∠DAE=∠DBC+∠DCB
，从而得出∠DAF＝∠CBD，据此判断④.
二．填空题（共10小题，满分10分，每小题1分）
11．（1分）（2021八上·永定期末）在 ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝CD，若BC＝6，AD＝4，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】6
【完整解答】解：如图，先标注字母，
∵在△ABC中，AD⊥BC，BD＝CD，
∴AB＝AC，∠ADB＝∠ADC＝90°，S△ABD＝S△ACD，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABE和△ACE中，
AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴S△ABE＝S△ACE，
在△BDF和△CDF中，
BD＝CD，∠BDF＝∠CDF，DF＝DF，
∴△BDF≌△CDF（SAS），
∴S△BDF＝S△CDF，
∴S△BEF＝S△CEF，
∵S△ABC＝BC•AD＝×4×6＝12，
∴S阴影＝S△ABC＝6．
故答案为：6.
【思路引导】由AD⊥BC于D点，BD＝CD，得△ABC是等腰三角形，易证△ABE≌△ACE，△BDF≌△CDF，继而可得S阴影＝S△ABC，则可求得答案．
12．（1分）（2021八上·淳安期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，D为BC的中点，连接AD，E是AB上的一点，P是AD上一点，连接EP、BP，AC=10，BC=12，则EP+BP的最小值是 .
【答案】9.6
【完整解答】解：连接PC，
∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵D为BC的中点，
∴AD垂直平分BC，BD=BC=6
∴BP=CP，
∴EP+BP=EP+CP
要使EP+BP的值最小，利用两点之间线段最短和垂线段最短，可知当点E，P，C在同一直线上时，且CE⊥AB时，EP+BP的值最小，最小值为EC的长；
∵，
∴10CE=12×8
解之：CE=9.6.
故答案为：9.6.
【思路引导】连接PC，利用已知易证△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可求出BD的长，利用勾股定理求出AD的长，利用垂直平分线的性质可证得BP=PC；由此可得到EP+BP=EP+CP，要使EP+BP的值最小，利用两点之间线段最短和垂线段最短，可知当点E，P，C在同一直线上时，且CE⊥AB时，EP+BP的值最小，最小值为EC的长；然后三角形的面积公式可求出CE的长.
13．（1分）（2021八上·徐汇期末）如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF//OB，EC⊥OB，若EC＝2，则EF＝ ．
【答案】4
【完整解答】解：作EG⊥OA于G，如图所示：
∵EF//OB，∠AOE＝∠BOE＝15°，EC⊥OB，
∴∠OEF＝∠COE＝15°，EG＝CE＝2，
∵∠AOE＝15°，
∴∠EFG＝15°＋15°＝30°，
∴EF＝2EG＝4．
故答案为：4．
【思路引导】作EG⊥OA于G，根据平行线的性质及角平分线的定义可得∠EFG＝15°＋15°＝30°，再利用含30°角的性质可得EF＝2EG＝4．
14．（1分）（2021八上·槐荫期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝7，DE＝3，则BD的长为 ．
【答案】4
【完整解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
∵DE＝3，
∴CD＝3，
∴BD＝BC−CD＝7−3＝4．
故答案为：4．
【思路引导】由角平分线的性质可得CD＝DE=3，利用BD＝BC−CD即可求解.
15．（1分）（2021八上·交城期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD为△ABC的角平分线，过点D作直线lAB，点P为直线l上的一个动点，若△BCD的面积为16，BC＝8，则AP最小值为 ．
【答案】4
【完整解答】解：∵∠C＝90°，△BCD的面积为16，BC＝8，
∴，即，
作DE⊥AB，
∵BD为△ABC的角平分线，
∴，
∵直线lAB，
∴AP最小值与DE相等为4，
故答案为：4．
【思路引导】根据三角形的面积公式求出CD，根据角平分线的性质求出DE，根据垂线段最短解答即可。
16．（1分）（2021八上·建华期末）小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC中， ， ， 的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点C沿直线EF折叠后与点O重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：① ；②图中没有60°的角；③D、O、C三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：
【答案】①
【完整解答】解：∵∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO= ∠BAC= ×50°=25°．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°．
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=25°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°．
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴直线AO垂直平分BC，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE．
∴∠COE=∠OCB=40°；
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠OEF= ∠CEO=50°，①符合题意；
∵∠OCB=∠OBC=∠COE=40°，
∴∠BOE=180°-∠OBC-∠COE-∠OCB =180°-40°-40°-40°=60°， ②不符合题意；
∵∠ABO=∠BAO=25°，DO是AB的垂直平分线，
∴∠DOB=90°-∠ABO=75°，
∵∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=180°-∠OBC -∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠DOC=∠DOB+∠BOC=75°+100°=175°，即D、O、C三点不共线，③不符合题意.
故答案为：①．
【思路引导】根据等腰三角形的性质，角平分线，垂直平分线的定义对每个结论一一判断即可。
17．（1分）（2021八上·如皋月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，点E、F分别在边BC、AC上，且都不与点C重合，若∠EPF＝45°，连接EF，当AC＝6，BC＝8，AB＝10时，则△CEF的周长为 .
【答案】4
【完整解答】解：如图，过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一点J，使得MJ＝FN，连接PJ.
∵BP平分∠BC，PA平分∠CAB，PM⊥BC，PN⊥AC，PK⊥AB，
∴PM＝PK，PK＝PN，
∴PM＝PN，
∵∠C＝∠PMC＝∠PNC＝90°，
∴四边形PMCN是矩形，
∴四边形PMCN是正方形，
∴CM＝PM，
∴∠MPN＝90°，
在△PMJ和△PNF中，
，
∴△PMJ≌△PNF（SAS），
∴∠MPJ＝∠FPN，PJ＝PF，
∴∠JPF＝∠MPN＝90°，
∵∠EPF＝45°，
∴∠EPF＝∠EPJ＝45°，
在△PEF和△PEJ中，
，
∴△PEF≌△PEJ（SAS），
∴EF＝EJ，
∴EF＝EM+FN，
∴△CEF的周长＝CE+EF+CF＝CE+EM+CF+FN＝2CM＝2PM，
∵S△ABC＝•BC•AC＝（AC+BC+AB）•PM，
∴PM＝2，
∴△ECF的周长为4，
故答案为：4.
【思路引导】过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一点J，使得MJ＝FN，连接PJ，利用角平分线的性质可证得PM=PN，∠C＝∠PMC＝∠PNC＝90°，可推出四边形PMCN是正方形，利用正方形的性质可得到CM=PM；再利用SAS证明△PMJ≌△PNF，利用全等三角形的性质可证得∠MPJ＝∠FPN，PJ＝PF；再利用SAS证明△PEF≌△PEJ，利用全等三角形的对应角相等可证得EF=EJ，由此可推出EF＝EM+FN；然后可证得△CEF的周长=2PM；然后证明△ABC的面积=（AC+BC+AB）•PM，可求出PM的长，即可得到△CEF的周长.
18．（1分）（2021八上·广州期中）如图，在 中， 和 的平分线 、 相交于点 ， 交 于点 ， 交 于点 ，过点 作 于点 ，则下列三个结论：① ；②当 时， ；③若 ， ，则 ．其中正确的是 ．
【答案】①②
【完整解答】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝ ∠CBA，∠OAB＝ ∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣ ∠CBA﹣ ∠CAB＝180°﹣ （180°﹣∠C）＝90°+ ∠C，①符合题意；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝ （∠BAC+∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中， ，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AOH＝∠AOF，
在△HBO和△EBO中， ，
∴△HBO≌△EBO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②符合题意；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB+AC+BC＝2b
∴S△ABC＝ ×AB×OM+ ×AC×OH+ ×BC×OD＝ （AB+AC+BC）•a＝ab，③不符合题意．
故答案为：①②．
【思路引导】由角平分线的定义，结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO（SAS），得出∠HBO＝∠EBO，再证得△HBO≌△EBO（ASA），得出AF＝AH，进而判定②；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得③。
19．（1分）（2021八上·余杭月考）如图， ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的是 .
①CP平分∠ACF；②∠ABC＋2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP＋S△NCP.
【答案】①②③④
【完整解答】解：①过点 作 于 ，
平分 ， ， ，
，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
，
又∵ ， ，
CP平分∠ACF，故①正确；
②∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
，
，
同理： ，
，
，
， ，
，
，
，②正确；
③∵ ， ，
∴ ， ，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
即 ，③正确；
④由②可知 ， ，
， ，
，故④正确.
故答案为：①②③④.
【思路引导】过点P作PD⊥AC于D，由角平分线上的点到角两边的距离相等得PM=PN，PM=PD，推出PN=PD，进而根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上判断出 CP平分∠ACF ，据此判断①；证△PAM≌△PAD，△PCD≌△PCN，得到∠APM=∠APD，∠CPD=∠CPN，推出∠MPN=2∠APC，利用四边形内角和为360°求出∠ABC+∠MPN的度数，据此判断②；由三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠MAP=∠ABP+∠APB，由角平分线的概念可得∠CAE=2∠PAM，∠ABC=2∠ABP，据此判断③；由全等三角形的面积相等得S△APD=S△APM，S△CPD=S△CPN，据此判断④.
20．（1分）（2020八上·怀宁期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝124°，分别作AC，AB两边的垂直平分线PM，PN，垂足分别是点M，N．以下说法：①∠P＝56°；②∠EAF＝68°；③PE＝PF；④点P到点B和点C的距离相等．正确的是 （填序号）．
【答案】①②④
【完整解答】解：∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴∠PMA＝∠PNA＝90°，
∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣124°＝56°，①说法符合题意；
∵∠BAC＝124°，
∴∠B+∠C＝180°﹣124°＝56°，
∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴EC＝EA，FB＝FA，
∴∠EAC＝∠C，∠FAB＝∠B，
∴∠EAF＝∠BAC﹣∠EAC﹣∠FAB＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝124°﹣56°＝68°，②说法符合题意；
△ABC不一定是等腰三角形，
∴BF不一定等于CE，
∴无法判定PE与PF是否相等，③说法不符合题意；
连接PC、PA、PB，
∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴PC＝PA，PB＝PA，
∴PB＝PC，即点P到点B和点C的距离相等，④说法符合题意，
故答案为：①②④．
【思路引导】根据垂直的定义，四边形内角和等于360度计算，判断①，根据线段垂直平分线的性质得到EC＝EA，FB＝FA，进而得出∠EAC＝∠C，∠FAB＝∠B，判断②，根据等腰三角形的性质，判断③，根据线段垂直平分线的性质判断④。
三．解答题（共9小题，满分70分）
21．（5分）（2021八上·海珠期末）已知：如图，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分别是边PA和PB上的点，且CD＝CE．求证：∠APB+∠DCE＝180°．
【答案】证明：∵PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，
∴CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，
∴∠MPN+∠MCN=360°-∠PMC-∠PNC=360°-90°-90°=180°，
在Rt△MCD和Rt△NCE中，
，
∴Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），
∴∠MCD=∠NCE，
∴∠APB+∠DCE=∠APB+∠DCN+∠NCE=∠APB+∠DCN+∠MCD=∠APB+∠MCN=180°．
【思路引导】根据角平分线的性质和全等三角形的判定与性质求解即可。
22．（5分）（2021八上·房山期末）如图，中，CD平分，且E为AB的中点，于M，于N，请你判断线段BM与AN的数量关系并加以证明．
【答案】解：，理由：
如图，连接DA，DB，
∵CD平分，于M，于N，
∴，
∵且E为AB的中点，
∴，
在与中，，
∴（HL），
∴．
【思路引导】先求出 ， 再利用全等三角形的判定与性质求解即可。
23．（8分）（2021八上·松桃期末）如图，在 中， ，AB边的垂直平分线分别交AB于点E，交AC于点F，点D在EF上，且 ，G是AC的中点，连接DG.
（1）（4分）求证： ；
（2）（4分）判断 是否是等边三角形，并说明理由.
【答案】（1）证明：连接AD，
∵EF是AB的垂直平分线，点D在EF上，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形.
∵G是AC的中点，
∴ .
（2）解： 是等边三角形，理由如下：
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形.
【思路引导】（1）连接AD，由线段垂直平分线的性质可得AD=BD，即得AD=CD=BD，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可求解；
（2）是；理由：由AD=CD=BD可得，，∠DBC=∠DCB ，从而得出 ，根据三角形内角和求出∠DBC+∠DCB=
120°，即得∠DBC=∠DCB=60°，根据等边三角形的判定方法即证.
24．（10分）（2021八上·延庆期末）如图，∠AOB＝45°，OC是∠AOB的角平分线，点D是射线OB上的一点，点M为线段OD的中点，过点M作OD的垂线，交射线OA于点E，交射线OC于点F，连接ED，交OC于点G．
（1）（3分）依题意补全图形；
（2）（3分）猜想EF和EG的数量关系并证明；
（3）（4分）求证：ED＋EF＝2EM．
【答案】（1）解：根据题意，如图：
（2）解：EF=EG；
理由如下：如图，
∵点M为线段OD的中点，EM⊥OD，
∴线段EM是△OED的高，也是中线，
∴EM垂直平分OD，∠OME=90°，
∴OE=DE，
∴∠EDO=∠AOB=∠OEF=45°，
∵OC是∠AOB的角平分线，
∴∠AOC=∠BOC，
∴∠AOC+∠OEF=∠BOC+∠EDO，
∴∠EFG=∠EGF，
∴EF=EG；
（3）解：在射线EA上，截取EH=EG，连接GH，如图：
则EH=EF，
∵OE=DE，
∴ED＋EF=OE+EH=OH，
∵∠EDO=∠EOM=∠OEF=45°，点M是OD的中点，
∴OM=EM=DM，∠DEA=45°+45°=90°，
∴OD=2EM；∠EHG=45°，
∵∠AOC=∠BOC，OG=OG，
∴△ODG≌△OHG（AAS），
∴OD=OH，
∴ED＋EF＝2EM．
【思路引导】（1）根据要求画出图形即可；
（2）结论：EF=EG，欲证明EF=EG，只要证明∠EFG=∠EGF=67.5°即可；
（3）过点G作OD的垂线，垂足为N，证明GN=EG=EF，ON=OE=ED，可得结论。
25．（7分）（2020八上·东海期末）问题情境：
七下教材第149页提出这样一个问题：如图1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F，PE与PF相等吗？
（1）（3分）七年级学习这部分内容时，我们还无法对这个问题的结论加以证明，八下教材第59页第11题不仅对这一问题给出了答案：“通过实验可以得到PE＝PF”，还要求“现在请你证明这个结论”，请你给出证明：
（2）（4分）变式拓展：
如图2，已知∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，P是OC上一点，∠EPF＝60°，PE边与OA边相交于点E，PF边与射线OB的反向延长线相交于点F.试解决下列问题：
①PE与PF还相等吗？为什么？
②试判断OE、OF、OP三条线段之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）证明：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N.
∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM＝PN，
∵∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，
∴∠MPN＝360°﹣3×90°＝90°，
∵∠MPN＝∠EPF＝90°，
∴∠MPF＝∠NPE，
在△PMF和△PNE中， ，
∴△PMF≌△PNE（ASA），
∴PF＝PE.
（2）解：①解：结论：PE＝PF.
理由：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N.
∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM＝PN，
∵∠PMO＝∠PNO＝90°，∠MON＝120°，
∴∠MPN＝360°﹣2×90°﹣120°＝60°，
∵∠MPN＝∠EPF＝60°，
∴∠MPF＝∠NPE，
在△PMF和△PNE中， ，
∴△PMF≌△PNE（ASA），
∴PF＝PE.
②解：结论：OE﹣OF＝OP.
理由：在△OPM和△OPN中， ，
∴△POM≌△PON（AAS），
∴OM＝ON，
∵△PMF≌△PNE（ASA），
∴FM＝EN，
∴OE﹣OF＝EN+ON+﹣（FM﹣OM）＝2OM，
在Rt△OPM中，∠PMO＝90°，∠POM＝ ∠AOB＝60°，
∴∠OPM＝30°，
∴OP＝2OM，
∴OE﹣OF＝OP.
【思路引导】（1）过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N，由角平分线的性质可得PM＝PN，由同角的余角相等得∠MPF＝∠NPE，根据ASA证明△PMF≌△PNE，可得PF＝PE；
（2）①PE＝PF；理由：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N， 同（1）证法相同；
②OE﹣OF＝OP，理由：先利用AAS证明△POM≌△PON，得OM＝ON，由△PMF≌△PNE可得FM＝EN，从而得出OE﹣OF＝EN+ON+﹣（FM﹣OM）＝2OM， 在Rt△OPM中 ，求出 ∠OPM＝30°， 可得 OP＝2OM， 即得 OE﹣OF＝OP.
26．（10分）（2021八上·松江期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，点D是边AC上一点（不与点 A、C重合），EF垂直平分BD，分别交边AB、BC于点E、F，联结DE、DF．
（1）（3分）如图1，当BD⊥AC时，求证：EF=AB；
（2）（3分）如图2，设CD=x，CF=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）（4分）当BE=BF时，求线段CD的长．
【答案】（1）证明： ∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，
是的垂直平分线，
是等边三角形，
而
（2）解：如图，当过A点，是的垂直平分线，
则
如图，当过点C，
则
所以分别在AB、BC上时，则
如图，过F作于N，
同理：
整理得：
（3）解：当
同理可得：
设
则
【思路引导】（1）由直角三角形的性质求出 证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出 即可得出结论；
（2）当过A点，是的垂直平分线，则过F作于N， 有直角三角形的性质以及勾股定理即可得出结论；
（3）证明 由全等三角形的性质得出则 设 则 求出n的值即可得出答案。
27．（7分）（2021八上·淮滨月考）
（1）（1分）如图1所示，在 中， ，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD=5cm， ， 的周长= .
（2）（1分）如图2所示，在 中， ， ，D是BC的中点， ，垂足为E，那么 .
（3）（5分）如图3所示，在等边△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，且AE=DC，AD，BE交于点P，作BQ⊥AD于点Q，若BP=2，求PQ的长.
【答案】（1）15cm
（2）3：1
（3）解：∵△ABC为等边三角形.
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
在△BAE和△ACD中，
，
∴△BAE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE＝∠CAD.
∵∠BPQ为△ABP外角，
∴∠BPQ＝∠ABE＋∠BAD.
∴∠BPQ＝∠CAD＋∠BAD＝∠BAC＝60°
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝30°，
∴BP＝2PQ＝2，
∴PQ＝1.
【完整解答】解：（1）∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴CD＝BD=5cm，
∴∠DCB=∠B＝30°
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A=90°-30°=60°，∠ACD=90°-30°=60°
∴△ACD是等边三角形
∴△ACD的周长＝3CD＝15cm.
故答案为：15cm；
（2）连接AD，如图所示.
∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D是BC的中点，
∴∠BAD＝60°，∠B=30°，
又∵DE⊥AB，
∴∠B＝∠ADE＝30°，
∴AB=2AD，AE＝ AD，
∴BE＝AB-AE=2AD- AD= AD，
∴BE：AE＝ AD： AD =3：1.
故答案为：3：1.
【思路引导】（1）根据线段垂直平分线的性质可得CD＝BD，根据等边对等角得∠DCB=∠B＝30°，易得∠A=60°，∠ACD=60°，推出△ACD是等边三角形，进而可得周长；
（2）连接AD，根据等腰三角形的性质得∠BAD＝60°，根据同角的余角相等得∠B＝∠ADE＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AB=2AD，AE＝AD，则BE＝AD，据此解答；
（3）由等边三角形的性质得AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，证△BAE≌△ACD，得∠ABE＝∠CAD，根据外角的性质得∠BPQ＝∠ABE＋∠BAD，则∠BPQ＝60°，∠PBQ＝30°，推出BP＝2PQ，据此解答.
28．（8分）（2021八上·崇阳期中）
（1）（4分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180°−α，BD平分∠ABC.
①如图1，若α=90°，请直接写出AD与CD之间的数量关系_▲_；
②在图2中，①中结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（2）（4分）根据（1）的解题经验，请解决如下问题：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD=BC.
【答案】（1）解：①AD=CD
②成立，理由如下：
在BC截取BE=BA，连接DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
又BE=BA，BD=BD，
∴△ABD≌△EBD(SAS)，
∴AD=ED，∠BAD=∠BED，
∵∠BCD=180°−∠BAD，
∴∠BCD=180°−∠BED=∠DEC，
∴CD=ED，
∴AD=CD；
（2）证明：∵在等腰△ABC中，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C= ，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC=20°，
在BC截取BE=BA，在BC截取BF=BD，连接DE、DF，
∴∠BDF=∠BFD= 80°，
∵∠C=40°，
∴∠CDF=80°-40°=40°，
∴DF=FC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
又BE=BA，BD=BD，
∴△ABD≌△EBD(SAS)，
∴AD=ED，∠BAD=∠BED=100°，
∵∠DEF=180°−∠BED=180°−100°=80°，
∴∠DEF=∠DFE=80°，
∴DE=DF，
∴AD=DE=DF=CF；
∴BD+AD=BF+FC=BC.
【完整解答】解：（1）①∵∠BAD=90°，∠BCD=180°−90°=90°，BD平分∠ABC，
∴AD=CD；
故答案为：AD=CD；
【思路引导】（1）①易得∠BAD=∠BCD=90°，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得结论；
②在BC截取BE=BA，连接DE，由角平分线的概念可得∠ABD=∠EBD，利用SAS证△ABD≌△EBD，得AD=ED，∠BAD=∠BED，结合∠BCD=180°-∠BAD可得∠BCD=∠DEC，推出CD=ED，据此解答；
（2）根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠B=∠C=40°，由角平分线的概念可得∠ABD=∠CBD=20°，在BC截取BE=BA，在BC截取BF=BD，连接DE、DF，由等腰三角形的性质得∠BDF=∠BFD=80°，结合外角的性质求出∠CDF的度数，推出DF=FC，然后证明△ABD≌△EBD，得到AD=ED，∠BAD=∠BED=100°，由邻补角的性质可得∠DEF=80°，推出AD=DE=DF=CF，据此证明.
29．（10分）（2021八上·余杭月考）在 中， .
（1）（3分）如图1、求证： ：
（2）（3分）如图2，D为AB上一点，连接CD，E为CD中点，过点E作 于点E，连接 ，求证： ；
（3）（4分）如图3，在（2）的条件下，过点F作 于点H，连接AF，若 AF∥BC，FH=4，CH=20，BD=10 ，求 的面积
【答案】（1）证明：过点A作 于点 ，
，
，
在 和 中，
（2）证明： ，
，
为 中点，
在 和 中，
（3）解：过点F作FG⊥BA，交BA的延长线于点G，
∵FH⊥AC，FG⊥DG，
∴∠FHA＝∠FHC＝∠G＝90°，
∵AF∥BC，
∴∠GAF＝∠B，∠HAF＝∠ACB，
∵∠B＝∠ACB，
∴∠GAF＝∠HAF，
∵FG⊥BA，FH⊥AC，
∴FG＝FH，
在Rt△AGF和Rt△AHF中，
∴Rt△AGF≌Rt△AHF（HL），
∴AG＝AH，
在Rt△GDF和Rt△HCF中，
∴Rt△GDF≌Rt△HCF（HL），
∴GD＝HC，
∴AD＋AG＝AC−AH，
∴AB−BD＋AG＝AC−AH，
∵AB＝AC，AG＝AH，
∴2AH＝BD，
∵BD＝10，
∴AH＝AG＝5，
∵CH＝20，
∴AB＝AC＝AH＋CH＝5＋20＝25，
∵BD＝10，
∴AD＝AB−BD＝25−10＝15，
∴△ADF的面积＝
【思路引导】（1）过点A作AM⊥BC于点M，由垂直的概念可得∠AMB=∠AMC=90°，利用“HL”证明△AMB≌△AMC，据此可得结论；
（2）由垂直的概念可得∠FED=∠FEC=90°，由线段中点的概念可得DE=CE，利用“SAS”证明△FED≌△FEC，据此可得结论；
（3）过点F作FG⊥BA，交BA的延长线于点G，利用平行线的性质及等腰三角形的性质可证得∠GAF＝∠HAF，利用角平分线的性质可得到FG＝FH，利用HL证明Rt△AGF≌Rt△AHF，利用全等三角形的性质可推出AG＝AH；再利用HL证明Rt△GDF≌Rt△HCF，可得到GD=HC；再证明2AH＝BD，可求出AH的长，即可得到GF的长；由此可求出AC的长，即可得到AB的长；根据AD＝AB−BD，可求出AD的长；然后利用三角形的面积公式求出△ADF的面积.
苏科版数学八年级上册压轴题专题精选汇编
专题04 线段、角的轴对称性
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021八上·南京期末）如图，点P在锐角 的内部，连接 ， ，点P关于 、 所在直线的对称点分别是 、 ，则 、 两点之间的距离可能是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【完整解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，
∵点P关于直线OA，OB的对称点分别是点P1，P2，
∴OP1=OP=3，OP=OP2=3， OP1+OP2＞P1P2， 0＜P1P2＜6，
所以A，B，C不符合题意，D符合题意；
故答案为：D.
【思路引导】连接OP1，OP2，P1P2，利用轴对称的性质和垂直平分线的性质，可证得OP1=OP=3，OP=OP2=3，再利用三角形三边关系定理，可求出0＜P1P2＜6，由此可得答案.
2．（2分）（2021八上·嵩县期末）如图， 是 的角平分线， 于点E， ， ， ，则 的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【完整解答】解：如图，过点D作 DF⊥AC ，
， AD是△ABC 的角平分线，
， ，
即
解得
故答案为：C.
【思路引导】过点D作DF⊥AC于点F，利用角平分线上的点到角两边的距离相等可求出DF的长，再利用可求出AC的长.
3．（2分）（2021八上·海曙期末）如图，CD是等腰三角形 △ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝8，DE＝2，则 △ BCE的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【完整解答】解：过点E作EF⊥BC于F，
∵AC＝BC＝8，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，
∴CD⊥AB，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
∴△BCE的面积＝×BC×EF＝×8×2=8.
故答案为：C.
【思路引导】过点E作EF⊥BC于F，利用等腰三角形的性质可证得CD⊥AB，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出EF的长；再利用三角形的面积公式可求出△BCE的面积.
4．（2分）（2021八上·嵩县期末）如图， 中， ， ， 的垂直平分线分别交 于点E，F，与 ， 分别交于点D，G，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【完整解答】解：∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，
∴EB=EA，FA=FC，
∴∠BAE=∠B，∠FAC=∠C，
∵△ABC中，∠BAC=130°，
∴∠B+∠C=50°，
∴∠BAE+∠FAC=50°，
∴∠EAF=∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）=80°.
故答案为：A.
【思路引导】利用垂直平分线的性质可知EA=EB，FA=FC，利用等边对等角得∠BAE=∠B，∠FAC=∠C；再利用三角形的内角和定理可求出∠B+∠C的度数；然后可用∠EAF=∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）计算可求解.
5．（2分）（2021八上·淳安期末）已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【完整解答】解：由作图可知：作图正确的是①②.
故答案为：A.
【思路引导】利用作一个角等于已知角的方法，作线段垂直平分线的方法，可得答案.
6．（2分）（2021八上·如皋期末）如图，在 中， ， ，D为 的中点，P为 上一点，E为 延长线上一点，且 有下列结论：① ；② 为等边三角形；③ ；④ 其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④
【答案】C
【完整解答】解：如图，连接BP，
∵AC＝BC，∠ABC＝30°，点D是AB的中点，
∴∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，
∴CD是AB的中垂线，
∴AP＝BP，而AP＝PE，
∴AP＝PB＝PE
∴∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，
∴∠PBA+∠PBE＝∠PAB+∠PEB，
∴∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，
故①正确；
∵PA＝PE，
∴∠PAE＝∠PEA，
∵∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，
∴∠PAE+∠PEA＝
而
∴△PAE是等边三角形，
故②正确；
如图，延长 至 ，使 则点P关于AB的对称点为P′，连接P′A，
∴AP＝AP′，∠PAD＝∠P′AD，
∵△PAE是等边三角形，
∴AE＝AP，
∴AE＝AP′，
∵∠CAD＝∠CAP+∠PAD＝30°，
∴2∠CAP+2∠PAD＝60°，
∴∠CAP+∠PAD+∠P′AD＝60°﹣∠PAC，
∴∠P′AC＝∠EAC，
∵AC＝AC，
∴△P′AC≌△∠EAC（SAS），
∴CP′＝CE，
∴CE＝CP′＝CP+PD+DP′＝CP+2PD，
∴ .
故③错误；
过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，
∵CG＝CP，∠BCD＝60°，
∴△CPG是等边三角形，
∴∠CGP＝∠PCG＝60°，
∴∠ECP＝∠PGB＝120°，且EP＝PB，∠PEB＝∠PBE，
∴△PCE≌△PGB（AAS），
∴CE＝GB，
∴AC＝BC＝BG+CG＝EC+CP，
∵∠ABC＝30°，AF⊥BE，
∴AF＝ AB＝AD，
∵S△ACB＝ CB×AF＝ （EC+CP）×AF＝ EC×AF+ CP×AD＝S四边形AECP，
∴S四边形AECP＝S△ABC.故④正确.
所以其中正确的结论是①②④.
故答案为：C.
【思路引导】连接BP，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，进而推出AP＝BP＝PE，由等腰三角形的性质可得∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，然后根据角的和差关系可判断①；易得∠PAE+∠PEA＝120°，∠APE=60°，据此判断
②；延长PD至P′，使PD=P′D，则点P关于AB的对称点为P′，连接P′A，由等边三角形的性质可得AE＝AP，则AE＝AP′，推出∠P′AC＝∠EAC，证明△P′AC≌△∠EAC，得到CP′＝CE=CP+2PD，据此判断③；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，则△CPG是等边三角形，则∠CGP＝∠PCG＝60°，证明△PCE≌△PGB，得到CE＝GB，推出AC＝BC＝EC+CP，根据含30°角的直角三角形的性质可得AF＝AB＝AD，据此不难判断④.
7．（2分）（2021八上·如皋月考）如图，四边形ABCD中，AB=AD，点关于的对称点B′恰好落在CD上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【完整解答】解：如图，连接AB′，BB′，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB′，
∴AB＝AB′，
∴∠BAC＝∠B′AC，
∵AB＝AD，
∴AD＝AB′，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE＝∠B'AE，
∴∠CAE＝∠BAD＝α，
又∵∠AEB′＝∠AOB′＝90°，
∴四边形AOB′E中，∠EB′O＝180°−α，
∴∠ACB′＝∠E B′O−∠COB′＝180°−α−90°＝90°−α，
∴∠ACB＝∠ACB′＝90°−α，
故答案为：D.
【思路引导】连接AB′，BB′，过A作AE⊥CD于E，利用轴对称的性质可证得AC垂直平分BB′，∠BAC＝∠B′AC，利用垂直平分线的性质可推出AB＝AB′，由此可推出AD=AB′；利用等腰三角形的性质可得到∠DAE=∠BAE，由此可表示出∠CAE及∠EB′O；然后根据∠ACB′＝∠E B′O−∠COB′，代入计算可表示出∠ACB的度数.
8．（2分）（2021八上·盐湖期中）有一题目：“如图，∠ABC=40°，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，求∠DFB的度数．”小贤的解答：以D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F，连接DF，则DE=DF，由图形的对称性可得∠DFB=∠DEB．结合平行线的性质可求得∠DFB=140°．而小军说：“小贤考虑的不周全，∠DFB还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是（ ）
A．小军说的对，且∠DFB的另一个值是40°
B．小军说的不对，∠DFB只有140°一个值
C．小贤求的结果不对，∠DFB应该是20°
D．两人都不对，∠DFB应有3个不同值
【答案】A
【完整解答】解：
如图，以点D为圆心， 长为半径画圆交 于点F， ，连接 ， ，则 ，
，
平分 ，
由图形的对称性可知： ，
， ，
，
，
当点F位于点 处时，
，
．
故答案为：A．
【思路引导】以点D为圆心， 长为半径画圆交 于点F， ，连接 ， ，则 ，由图形的对称性可知 ，结合平行线的性质求∠DFB=140°，当点F位于点 处时，由DF=DF'可求出∠DF'B的度数.
9．（2分）（2021八上·长沙月考）如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，∠CAB的角平分线AP和∠MCB的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA＝45°；②AF﹣CG＝CA；③DE＝DC；④CF＝2CD+EG；其中正确的有（ ）
A．②③ B．②④ C．①②③④ D．①③④
【答案】C
【完整解答】解：设∠GCD＝x，∠DAC＝y，根据三角形外角的性质可得：
，
∴ ，故①正确；
延长GD与AC相交于点P，
∵DE⊥CF，
∴∠CDG＝∠CDP＝90°，
∵CF平分∠GCP，
∴∠GCD＝∠PCD，
在△GCD和△PCD中，
，
∴△GCD≌△PCD（ASA），
∴CG＝CP，
∵∠ADC＝45°，
∴∠ADP＝∠ADF，
在△AFD和△APD中，
，
∴△AFD≌△APD（ASA），
∴AF＝AP，
∴AF﹣CG＝CA，故②正确；
同理△ACD≌△AED（ASA），
∴CD＝DE，故③正确；
在DF上截取DM＝CD，则DE是CM的垂直平分线，
∴CE＝EM，
∵∠ECG＝∠GCD﹣45°，∠MEF＝∠DEF﹣45°，
∴∠ECG＝∠FEM，
∵EF＝CP，CP＝CG，
∴EF＝CG，
在△EMF和△CEG中，
，
∴ （SAS），
∴FM＝GE，
∴CF＝2CD+EG，故④正确；
故答案为：C.
【思路引导】设∠GCD＝x，∠DAC＝y，根据三角形外角的性质可得∠ADC=45°，据此判断①；延长GD与AC相交于点P，根据角平分线的概念可得∠GCD＝∠PCD，证明△GCD≌△PCD，得到CG＝CP，进而证明△AFD≌△APD，得到AF＝AP，据此判断②；同理△ACD≌△AED，据此判断③；在DF上截取DM=CD，则DE是CM的垂直平分线，CE＝EM，易得∠ECG＝∠FEM，证明△EMF≌△CEG，得到FM＝GE，据此判断④.
10．（2分）（2021八上·江津期中）如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD.其中正确的结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【完整解答】解：∵AD平分 ，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，故①正确；
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴∠BDC＝∠BAC，故③正确；
∵AD平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，∠BDC＝∠BAC，
∴ ，
∴∠DAF＝∠CBD，故④正确；
综上所述，正确的有①②③④；
故答案为：D.
【思路引导】由角平分线的性质可得DE=DF，根据HL证明，可得CE=AF， ，根据HL证明，可得，从而得出，据此判断①②；在△AOB和△DOC中，，∠AOB=∠DOC，可得∠BDC＝∠BAC，据此判断③；利用三角形的内角和可求∠DAF+∠DAE=∠DBC+∠DCB
，从而得出∠DAF＝∠CBD，据此判断④.
二．填空题（共10小题，满分10分，每小题1分）
11．（1分）（2021八上·永定期末）在 ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝CD，若BC＝6，AD＝4，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】6
【完整解答】解：如图，先标注字母，
∵在△ABC中，AD⊥BC，BD＝CD，
∴AB＝AC，∠ADB＝∠ADC＝90°，S△ABD＝S△ACD，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABE和△ACE中，
AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴S△ABE＝S△ACE，
在△BDF和△CDF中，
BD＝CD，∠BDF＝∠CDF，DF＝DF，
∴△BDF≌△CDF（SAS），
∴S△BDF＝S△CDF，
∴S△BEF＝S△CEF，
∵S△ABC＝BC•AD＝×4×6＝12，
∴S阴影＝S△ABC＝6．
故答案为：6.
【思路引导】由AD⊥BC于D点，BD＝CD，得△ABC是等腰三角形，易证△ABE≌△ACE，△BDF≌△CDF，继而可得S阴影＝S△ABC，则可求得答案．
12．（1分）（2021八上·淳安期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，D为BC的中点，连接AD，E是AB上的一点，P是AD上一点，连接EP、BP，AC=10，BC=12，则EP+BP的最小值是 .
【答案】9.6
【完整解答】解：连接PC，
∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵D为BC的中点，
∴AD垂直平分BC，BD=BC=6
∴BP=CP，
∴EP+BP=EP+CP
要使EP+BP的值最小，利用两点之间线段最短和垂线段最短，可知当点E，P，C在同一直线上时，且CE⊥AB时，EP+BP的值最小，最小值为EC的长；
∵，
∴10CE=12×8
解之：CE=9.6.
故答案为：9.6.
【思路引导】连接PC，利用已知易证△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可求出BD的长，利用勾股定理求出AD的长，利用垂直平分线的性质可证得BP=PC；由此可得到EP+BP=EP+CP，要使EP+BP的值最小，利用两点之间线段最短和垂线段最短，可知当点E，P，C在同一直线上时，且CE⊥AB时，EP+BP的值最小，最小值为EC的长；然后三角形的面积公式可求出CE的长.
13．（1分）（2021八上·徐汇期末）如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF//OB，EC⊥OB，若EC＝2，则EF＝ ．
【答案】4
【完整解答】解：作EG⊥OA于G，如图所示：
∵EF//OB，∠AOE＝∠BOE＝15°，EC⊥OB，
∴∠OEF＝∠COE＝15°，EG＝CE＝2，
∵∠AOE＝15°，
∴∠EFG＝15°＋15°＝30°，
∴EF＝2EG＝4．
故答案为：4．
【思路引导】作EG⊥OA于G，根据平行线的性质及角平分线的定义可得∠EFG＝15°＋15°＝30°，再利用含30°角的性质可得EF＝2EG＝4．
14．（1分）（2021八上·槐荫期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝7，DE＝3，则BD的长为 ．
【答案】4
【完整解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
∵DE＝3，
∴CD＝3，
∴BD＝BC−CD＝7−3＝4．
故答案为：4．
【思路引导】由角平分线的性质可得CD＝DE=3，利用BD＝BC−CD即可求解.
15．（1分）（2021八上·交城期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD为△ABC的角平分线，过点D作直线lAB，点P为直线l上的一个动点，若△BCD的面积为16，BC＝8，则AP最小值为 ．
【答案】4
【完整解答】解：∵∠C＝90°，△BCD的面积为16，BC＝8，
∴，即，
作DE⊥AB，
∵BD为△ABC的角平分线，
∴，
∵直线lAB，
∴AP最小值与DE相等为4，
故答案为：4．
【思路引导】根据三角形的面积公式求出CD，根据角平分线的性质求出DE，根据垂线段最短解答即可。
16．（1分）（2021八上·建华期末）小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC中， ， ， 的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点C沿直线EF折叠后与点O重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：① ；②图中没有60°的角；③D、O、C三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：
【答案】①
【完整解答】解：∵∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO= ∠BAC= ×50°=25°．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°．
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=25°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°．
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴直线AO垂直平分BC，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE．
∴∠COE=∠OCB=40°；
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠OEF= ∠CEO=50°，①符合题意；
∵∠OCB=∠OBC=∠COE=40°，
∴∠BOE=180°-∠OBC-∠COE-∠OCB =180°-40°-40°-40°=60°， ②不符合题意；
∵∠ABO=∠BAO=25°，DO是AB的垂直平分线，
∴∠DOB=90°-∠ABO=75°，
∵∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=180°-∠OBC -∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠DOC=∠DOB+∠BOC=75°+100°=175°，即D、O、C三点不共线，③不符合题意.
故答案为：①．
【思路引导】根据等腰三角形的性质，角平分线，垂直平分线的定义对每个结论一一判断即可。
17．（1分）（2021八上·如皋月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，点E、F分别在边BC、AC上，且都不与点C重合，若∠EPF＝45°，连接EF，当AC＝6，BC＝8，AB＝10时，则△CEF的周长为 .
【答案】4
【完整解答】解：如图，过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一点J，使得MJ＝FN，连接PJ.
∵BP平分∠BC，PA平分∠CAB，PM⊥BC，PN⊥AC，PK⊥AB，
∴PM＝PK，PK＝PN，
∴PM＝PN，
∵∠C＝∠PMC＝∠PNC＝90°，
∴四边形PMCN是矩形，
∴四边形PMCN是正方形，
∴CM＝PM，
∴∠MPN＝90°，
在△PMJ和△PNF中，
，
∴△PMJ≌△PNF（SAS），
∴∠MPJ＝∠FPN，PJ＝PF，
∴∠JPF＝∠MPN＝90°，
∵∠EPF＝45°，
∴∠EPF＝∠EPJ＝45°，
在△PEF和△PEJ中，
，
∴△PEF≌△PEJ（SAS），
∴EF＝EJ，
∴EF＝EM+FN，
∴△CEF的周长＝CE+EF+CF＝CE+EM+CF+FN＝2CM＝2PM，
∵S△ABC＝•BC•AC＝（AC+BC+AB）•PM，
∴PM＝2，
∴△ECF的周长为4，
故答案为：4.
【思路引导】过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一点J，使得MJ＝FN，连接PJ，利用角平分线的性质可证得PM=PN，∠C＝∠PMC＝∠PNC＝90°，可推出四边形PMCN是正方形，利用正方形的性质可得到CM=PM；再利用SAS证明△PMJ≌△PNF，利用全等三角形的性质可证得∠MPJ＝∠FPN，PJ＝PF；再利用SAS证明△PEF≌△PEJ，利用全等三角形的对应角相等可证得EF=EJ，由此可推出EF＝EM+FN；然后可证得△CEF的周长=2PM；然后证明△ABC的面积=（AC+BC+AB）•PM，可求出PM的长，即可得到△CEF的周长.
18．（1分）（2021八上·广州期中）如图，在 中， 和 的平分线 、 相交于点 ， 交 于点 ， 交 于点 ，过点 作 于点 ，则下列三个结论：① ；②当 时， ；③若 ， ，则 ．其中正确的是 ．
【答案】①②
【完整解答】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝ ∠CBA，∠OAB＝ ∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣ ∠CBA﹣ ∠CAB＝180°﹣ （180°﹣∠C）＝90°+ ∠C，①符合题意；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝ （∠BAC+∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中， ，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AOH＝∠AOF，
在△HBO和△EBO中， ，
∴△HBO≌△EBO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②符合题意；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB+AC+BC＝2b
∴S△ABC＝ ×AB×OM+ ×AC×OH+ ×BC×OD＝ （AB+AC+BC）•a＝ab，③不符合题意．
故答案为：①②．
【思路引导】由角平分线的定义，结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO（SAS），得出∠HBO＝∠EBO，再证得△HBO≌△EBO（ASA），得出AF＝AH，进而判定②；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得③。
19．（1分）（2021八上·余杭月考）如图， ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的是 .
①CP平分∠ACF；②∠ABC＋2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP＋S△NCP.
【答案】①②③④
【完整解答】解：①过点 作 于 ，
平分 ， ， ，
，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
，
又∵ ， ，
CP平分∠ACF，故①正确；
②∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
，
，
同理： ，
，
，
， ，
，
，
，②正确；
③∵ ， ，
∴ ， ，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
即 ，③正确；
④由②可知 ， ，
， ，
，故④正确.
故答案为：①②③④.
【思路引导】过点P作PD⊥AC于D，由角平分线上的点到角两边的距离相等得PM=PN，PM=PD，推出PN=PD，进而根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上判断出 CP平分∠ACF ，据此判断①；证△PAM≌△PAD，△PCD≌△PCN，得到∠APM=∠APD，∠CPD=∠CPN，推出∠MPN=2∠APC，利用四边形内角和为360°求出∠ABC+∠MPN的度数，据此判断②；由三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠MAP=∠ABP+∠APB，由角平分线的概念可得∠CAE=2∠PAM，∠ABC=2∠ABP，据此判断③；由全等三角形的面积相等得S△APD=S△APM，S△CPD=S△CPN，据此判断④.
20．（1分）（2020八上·怀宁期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝124°，分别作AC，AB两边的垂直平分线PM，PN，垂足分别是点M，N．以下说法：①∠P＝56°；②∠EAF＝68°；③PE＝PF；④点P到点B和点C的距离相等．正确的是 （填序号）．
【答案】①②④
【完整解答】解：∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴∠PMA＝∠PNA＝90°，
∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣124°＝56°，①说法符合题意；
∵∠BAC＝124°，
∴∠B+∠C＝180°﹣124°＝56°，
∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴EC＝EA，FB＝FA，
∴∠EAC＝∠C，∠FAB＝∠B，
∴∠EAF＝∠BAC﹣∠EAC﹣∠FAB＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝124°﹣56°＝68°，②说法符合题意；
△ABC不一定是等腰三角形，
∴BF不一定等于CE，
∴无法判定PE与PF是否相等，③说法不符合题意；
连接PC、PA、PB，
∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴PC＝PA，PB＝PA，
∴PB＝PC，即点P到点B和点C的距离相等，④说法符合题意，
故答案为：①②④．
【思路引导】根据垂直的定义，四边形内角和等于360度计算，判断①，根据线段垂直平分线的性质得到EC＝EA，FB＝FA，进而得出∠EAC＝∠C，∠FAB＝∠B，判断②，根据等腰三角形的性质，判断③，根据线段垂直平分线的性质判断④。
三．解答题（共9小题，满分70分）
21．（5分）（2021八上·海珠期末）已知：如图，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分别是边PA和PB上的点，且CD＝CE．求证：∠APB+∠DCE＝180°．
【答案】证明：∵PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，
∴CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，
∴∠MPN+∠MCN=360°-∠PMC-∠PNC=360°-90°-90°=180°，
在Rt△MCD和Rt△NCE中，
，
∴Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），
∴∠MCD=∠NCE，
∴∠APB+∠DCE=∠APB+∠DCN+∠NCE=∠APB+∠DCN+∠MCD=∠APB+∠MCN=180°．
【思路引导】根据角平分线的性质和全等三角形的判定与性质求解即可。
22．（5分）（2021八上·房山期末）如图，中，CD平分，且E为AB的中点，于M，于N，请你判断线段BM与AN的数量关系并加以证明．
【答案】解：，理由：
如图，连接DA，DB，
∵CD平分，于M，于N，
∴，
∵且E为AB的中点，
∴，
在与中，，
∴（HL），
∴．
【思路引导】先求出 ， 再利用全等三角形的判定与性质求解即可。
23．（8分）（2021八上·松桃期末）如图，在 中， ，AB边的垂直平分线分别交AB于点E，交AC于点F，点D在EF上，且 ，G是AC的中点，连接DG.
（1）（4分）求证： ；
（2）（4分）判断 是否是等边三角形，并说明理由.
【答案】（1）证明：连接AD，
∵EF是AB的垂直平分线，点D在EF上，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形.
∵G是AC的中点，
∴ .
（2）解： 是等边三角形，理由如下：
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形.
【思路引导】（1）连接AD，由线段垂直平分线的性质可得AD=BD，即得AD=CD=BD，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可求解；
（2）是；理由：由AD=CD=BD可得，，∠DBC=∠DCB ，从而得出 ，根据三角形内角和求出∠DBC+∠DCB=
120°，即得∠DBC=∠DCB=60°，根据等边三角形的判定方法即证.
24．（10分）（2021八上·延庆期末）如图，∠AOB＝45°，OC是∠AOB的角平分线，点D是射线OB上的一点，点M为线段OD的中点，过点M作OD的垂线，交射线OA于点E，交射线OC于点F，连接ED，交OC于点G．
（1）（3分）依题意补全图形；
（2）（3分）猜想EF和EG的数量关系并证明；
（3）（4分）求证：ED＋EF＝2EM．
【答案】（1）解：根据题意，如图：
（2）解：EF=EG；
理由如下：如图，
∵点M为线段OD的中点，EM⊥OD，
∴线段EM是△OED的高，也是中线，
∴EM垂直平分OD，∠OME=90°，
∴OE=DE，
∴∠EDO=∠AOB=∠OEF=45°，
∵OC是∠AOB的角平分线，
∴∠AOC=∠BOC，
∴∠AOC+∠OEF=∠BOC+∠EDO，
∴∠EFG=∠EGF，
∴EF=EG；
（3）解：在射线EA上，截取EH=EG，连接GH，如图：
则EH=EF，
∵OE=DE，
∴ED＋EF=OE+EH=OH，
∵∠EDO=∠EOM=∠OEF=45°，点M是OD的中点，
∴OM=EM=DM，∠DEA=45°+45°=90°，
∴OD=2EM；∠EHG=45°，
∵∠AOC=∠BOC，OG=OG，
∴△ODG≌△OHG（AAS），
∴OD=OH，
∴ED＋EF＝2EM．
【思路引导】（1）根据要求画出图形即可；
（2）结论：EF=EG，欲证明EF=EG，只要证明∠EFG=∠EGF=67.5°即可；
（3）过点G作OD的垂线，垂足为N，证明GN=EG=EF，ON=OE=ED，可得结论。
25．（7分）（2020八上·东海期末）问题情境：
七下教材第149页提出这样一个问题：如图1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F，PE与PF相等吗？
（1）（3分）七年级学习这部分内容时，我们还无法对这个问题的结论加以证明，八下教材第59页第11题不仅对这一问题给出了答案：“通过实验可以得到PE＝PF”，还要求“现在请你证明这个结论”，请你给出证明：
（2）（4分）变式拓展：
如图2，已知∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，P是OC上一点，∠EPF＝60°，PE边与OA边相交于点E，PF边与射线OB的反向延长线相交于点F.试解决下列问题：
①PE与PF还相等吗？为什么？
②试判断OE、OF、OP三条线段之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）证明：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N.
∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM＝PN，
∵∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，
∴∠MPN＝360°﹣3×90°＝90°，
∵∠MPN＝∠EPF＝90°，
∴∠MPF＝∠NPE，
在△PMF和△PNE中， ，
∴△PMF≌△PNE（ASA），
∴PF＝PE.
（2）解：①解：结论：PE＝PF.
理由：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N.
∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM＝PN，
∵∠PMO＝∠PNO＝90°，∠MON＝120°，
∴∠MPN＝360°﹣2×90°﹣120°＝60°，
∵∠MPN＝∠EPF＝60°，
∴∠MPF＝∠NPE，
在△PMF和△PNE中， ，
∴△PMF≌△PNE（ASA），
∴PF＝PE.
②解：结论：OE﹣OF＝OP.
理由：在△OPM和△OPN中， ，
∴△POM≌△PON（AAS），
∴OM＝ON，
∵△PMF≌△PNE（ASA），
∴FM＝EN，
∴OE﹣OF＝EN+ON+﹣（FM﹣OM）＝2OM，
在Rt△OPM中，∠PMO＝90°，∠POM＝ ∠AOB＝60°，
∴∠OPM＝30°，
∴OP＝2OM，
∴OE﹣OF＝OP.
【思路引导】（1）过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N，由角平分线的性质可得PM＝PN，由同角的余角相等得∠MPF＝∠NPE，根据ASA证明△PMF≌△PNE，可得PF＝PE；
（2）①PE＝PF；理由：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N， 同（1）证法相同；
②OE﹣OF＝OP，理由：先利用AAS证明△POM≌△PON，得OM＝ON，由△PMF≌△PNE可得FM＝EN，从而得出OE﹣OF＝EN+ON+﹣（FM﹣OM）＝2OM， 在Rt△OPM中 ，求出 ∠OPM＝30°， 可得 OP＝2OM， 即得 OE﹣OF＝OP.
26．（10分）（2021八上·松江期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，点D是边AC上一点（不与点 A、C重合），EF垂直平分BD，分别交边AB、BC于点E、F，联结DE、DF．
（1）（3分）如图1，当BD⊥AC时，求证：EF=AB；
（2）（3分）如图2，设CD=x，CF=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）（4分）当BE=BF时，求线段CD的长．
【答案】（1）证明： ∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，
是的垂直平分线，
是等边三角形，
而
（2）解：如图，当过A点，是的垂直平分线，
则
如图，当过点C，
则
所以分别在AB、BC上时，则
如图，过F作于N，
同理：
整理得：
（3）解：当
同理可得：
设
则
【思路引导】（1）由直角三角形的性质求出 证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出 即可得出结论；
（2）当过A点，是的垂直平分线，则过F作于N， 有直角三角形的性质以及勾股定理即可得出结论；
（3）证明 由全等三角形的性质得出则 设 则 求出n的值即可得出答案。
27．（7分）（2021八上·淮滨月考）
（1）（1分）如图1所示，在 中， ，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD=5cm， ， 的周长= .
（2）（1分）如图2所示，在 中， ， ，D是BC的中点， ，垂足为E，那么 .
（3）（5分）如图3所示，在等边△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，且AE=DC，AD，BE交于点P，作BQ⊥AD于点Q，若BP=2，求PQ的长.
【答案】（1）15cm
（2）3：1
（3）解：∵△ABC为等边三角形.
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
在△BAE和△ACD中，
，
∴△BAE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE＝∠CAD.
∵∠BPQ为△ABP外角，
∴∠BPQ＝∠ABE＋∠BAD.
∴∠BPQ＝∠CAD＋∠BAD＝∠BAC＝60°
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝30°，
∴BP＝2PQ＝2，
∴PQ＝1.
【完整解答】解：（1）∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴CD＝BD=5cm，
∴∠DCB=∠B＝30°
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A=90°-30°=60°，∠ACD=90°-30°=60°
∴△ACD是等边三角形
∴△ACD的周长＝3CD＝15cm.
故答案为：15cm；
（2）连接AD，如图所示.
∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D是BC的中点，
∴∠BAD＝60°，∠B=30°，
又∵DE⊥AB，
∴∠B＝∠ADE＝30°，
∴AB=2AD，AE＝ AD，
∴BE＝AB-AE=2AD- AD= AD，
∴BE：AE＝ AD： AD =3：1.
故答案为：3：1.
【思路引导】（1）根据线段垂直平分线的性质可得CD＝BD，根据等边对等角得∠DCB=∠B＝30°，易得∠A=60°，∠ACD=60°，推出△ACD是等边三角形，进而可得周长；
（2）连接AD，根据等腰三角形的性质得∠BAD＝60°，根据同角的余角相等得∠B＝∠ADE＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AB=2AD，AE＝AD，则BE＝AD，据此解答；
（3）由等边三角形的性质得AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，证△BAE≌△ACD，得∠ABE＝∠CAD，根据外角的性质得∠BPQ＝∠ABE＋∠BAD，则∠BPQ＝60°，∠PBQ＝30°，推出BP＝2PQ，据此解答.
28．（8分）（2021八上·崇阳期中）
（1）（4分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180°−α，BD平分∠ABC.
①如图1，若α=90°，请直接写出AD与CD之间的数量关系_▲_；
②在图2中，①中结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（2）（4分）根据（1）的解题经验，请解决如下问题：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD=BC.
【答案】（1）解：①AD=CD
②成立，理由如下：
在BC截取BE=BA，连接DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
又BE=BA，BD=BD，
∴△ABD≌△EBD(SAS)，
∴AD=ED，∠BAD=∠BED，
∵∠BCD=180°−∠BAD，
∴∠BCD=180°−∠BED=∠DEC，
∴CD=ED，
∴AD=CD；
（2）证明：∵在等腰△ABC中，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C= ，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC=20°，
在BC截取BE=BA，在BC截取BF=BD，连接DE、DF，
∴∠BDF=∠BFD= 80°，
∵∠C=40°，
∴∠CDF=80°-40°=40°，
∴DF=FC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
又BE=BA，BD=BD，
∴△ABD≌△EBD(SAS)，
∴AD=ED，∠BAD=∠BED=100°，
∵∠DEF=180°−∠BED=180°−100°=80°，
∴∠DEF=∠DFE=80°，
∴DE=DF，
∴AD=DE=DF=CF；
∴BD+AD=BF+FC=BC.
【完整解答】解：（1）①∵∠BAD=90°，∠BCD=180°−90°=90°，BD平分∠ABC，
∴AD=CD；
故答案为：AD=CD；
【思路引导】（1）①易得∠BAD=∠BCD=90°，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得结论；
②在BC截取BE=BA，连接DE，由角平分线的概念可得∠ABD=∠EBD，利用SAS证△ABD≌△EBD，得AD=ED，∠BAD=∠BED，结合∠BCD=180°-∠BAD可得∠BCD=∠DEC，推出CD=ED，据此解答；
（2）根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠B=∠C=40°，由角平分线的概念可得∠ABD=∠CBD=20°，在BC截取BE=BA，在BC截取BF=BD，连接DE、DF，由等腰三角形的性质得∠BDF=∠BFD=80°，结合外角的性质求出∠CDF的度数，推出DF=FC，然后证明△ABD≌△EBD，得到AD=ED，∠BAD=∠BED=100°，由邻补角的性质可得∠DEF=80°，推出AD=DE=DF=CF，据此证明.
29．（10分）（2021八上·余杭月考）在 中， .
（1）（3分）如图1、求证： ：
（2）（3分）如图2，D为AB上一点，连接CD，E为CD中点，过点E作 于点E，连接 ，求证： ；
（3）（4分）如图3，在（2）的条件下，过点F作 于点H，连接AF，若 AF∥BC，FH=4，CH=20，BD=10 ，求 的面积
【答案】（1）证明：过点A作 于点 ，
，
，
在 和 中，
（2）证明： ，
，
为 中点，
在 和 中，
（3）解：过点F作FG⊥BA，交BA的延长线于点G，
∵FH⊥AC，FG⊥DG，
∴∠FHA＝∠FHC＝∠G＝90°，
∵AF∥BC，
∴∠GAF＝∠B，∠HAF＝∠ACB，
∵∠B＝∠ACB，
∴∠GAF＝∠HAF，
∵FG⊥BA，FH⊥AC，
∴FG＝FH，
在Rt△AGF和Rt△AHF中，
∴Rt△AGF≌Rt△AHF（HL），
∴AG＝AH，
在Rt△GDF和Rt△HCF中，
∴Rt△GDF≌Rt△HCF（HL），
∴GD＝HC，
∴AD＋AG＝AC−AH，
∴AB−BD＋AG＝AC−AH，
∵AB＝AC，AG＝AH，
∴2AH＝BD，
∵BD＝10，
∴AH＝AG＝5，
∵CH＝20，
∴AB＝AC＝AH＋CH＝5＋20＝25，
∵BD＝10，
∴AD＝AB−BD＝25−10＝15，
∴△ADF的面积＝
【思路引导】（1）过点A作AM⊥BC于点M，由垂直的概念可得∠AMB=∠AMC=90°，利用“HL”证明△AMB≌△AMC，据此可得结论；
（2）由垂直的概念可得∠FED=∠FEC=90°，由线段中点的概念可得DE=CE，利用“SAS”证明△FED≌△FEC，据此可得结论；
（3）过点F作FG⊥BA，交BA的延长线于点G，利用平行线的性质及等腰三角形的性质可证得∠GAF＝∠HAF，利用角平分线的性质可得到FG＝FH，利用HL证明Rt△AGF≌Rt△AHF，利用全等三角形的性质可推出AG＝AH；再利用HL证明Rt△GDF≌Rt△HCF，可得到GD=HC；再证明2AH＝BD，可求出AH的长，即可得到GF的长；由此可求出AC的长，即可得到AB的长；根据AD＝AB−BD，可求出AD的长；然后利用三角形的面积公式求出△ADF的面积.
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