高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示优秀学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示优秀学案及答案，共11页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。

1.3.2空间向量运算的坐标表示
【学习目标】
课程标准
学科素养
1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题．
2.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．
3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．
1、逻辑推理
2、数学运算

【自主学习】
一．空间向量的坐标运算
空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a＋b
a＋b＝
减法
a－b
a－b＝
数乘
λa
λa＝
数量积
a·b
a·b＝
二． 空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
名称
满足条件
向量表示形式
坐标表示形式
a∥b
a＝λb(λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
a⊥b
a·b＝0
a·b＝
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos〈a，b〉＝
cos〈a，b〉＝
思考：已知点A(x，y，z)，则点A到原点的距离是多少？




【小试牛刀】
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)且b≠0，则a∥b⇒＝＝.( )错
(2)若a＝(1，－2，1)，a＋b＝(－1，2，－1)，则b＝(－2，4，－2).(　　)
(3)若a＝(1，2，0)，b＝(－2，0，1)，则|a|＝|b|.(　　)
(4)若a＝(0，0，1)，b＝(1，0，0)，则a⊥b.(　　)
2.已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b等于(　　)
A．(16，0，4) B．(8，－16，4)
C．(8，16，4) D．(8，0，4)
【经典例题】
题型一　空间向量的坐标运算
点拨：空间向量的坐标运算注意以下几点
(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标．
(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算公式是应用的关键．
(3)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．
例1 （1）设a＝(1，－1，3)，b＝(－2，1，2)，则a＋2b＝________.
（2） 设a＝(1，－1，1)，b＝(－2，0，1)，则cos〈a，b〉＝________.
（3）已知点A(－1，2，0)，B(－1，0，2)，则||＝________.

【跟踪训练】1若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则
x＝________.

题型二　空间向量的平行与垂直
点拨：利用空间向量坐标形式证明两直线平行或垂直的步骤
①建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标;
②求出有关直线的方向向量;
③证明两直线平行即证明方向向量共线（特别注意：证明两直线平行要说明两条直线不重合）;证明两直线垂直即计算两直线方向向量的数量积为0；
④还原到几何问题，得出结论。
例2 设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；
(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.


【跟踪训练】2 已知a＝(λ＋1,1,2λ)，b＝(6,2m－1,2)．
(1)若a∥b，分别求λ与m的值；
(2)若|a|＝，且a与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a．


题型三　空间向量夹角及长度的计算
点拨：利用空间向量的坐标运算求夹角与距离的一般步骤
(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系；
(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标；
(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算；
(4)转化：转化为夹角与距离问题．
例3在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC­A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．
(1)求BN的长；
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值．




【跟踪训练】3 已知正三棱柱ABC－A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是棱AC，A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求三棱柱的侧棱长；
(2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值.




【当堂达标】
1.已知向量a＝(0，2，1)，b＝(－1，1，－2)，则a与b的夹角为(　　)
A.0° B.45° C.90° D.180°
2.设O为坐标原点，M(5，－1，2)，A(4，2，－1)，若＝，则点B应为(　　)
A.(－1，3，－3) B.(9，1，1) C.(1，－3，3) D.(－9，－1，－1)
3．若△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
4.(多选)已知a＝(2，－3,1)，则下列向量中与a平行的是(　　)
A．(1,1,1) B．(－4,6，－2) C．(2，－3,5) D．(－2，3, －1)
5.向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)
A．1 B. C. D.
6.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD．
(1)求证：EF⊥B1C；(2)求cos〈，〉．












【参考答案】
【自主学习】
一．(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3) (λa1，λa2，λa3)
二．a1b1＋a2b2＋a3b3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
思考：OA＝||＝．
【小试牛刀】
1.(1) × (2)√ (3)√ (4) √
2.D 解析： 4a＝(12，－8，4)，2b＝(－4，8，0)，所以4a＋2b＝(8，0，4).
【经典例题】
例1（1）(－3，1，7) 解析a＋2b＝(1,－1,3)＋2(－2，1，2)＝(1，－1，3)＋(－4，2，4)
＝(－3，1，7).
（2）－ 解析： cos〈a，b〉＝＝＝－.
（3）2 析： ||＝＝2.
【跟踪训练】1 2 解析：据题意，有c－a＝(0,0,1－x),2b＝(2,4,2)，故(c－a)·2b＝2(1－x)＝－2,解得x＝2.
例2解 (1)ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．因为(ka＋b)∥(a－3b)，所以＝＝，解得k＝－.
因为(ka＋b)⊥(a－3b)，所以(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，解得k＝.
【跟踪训练】2 解：(1)由a∥b，得(λ＋1,1,2λ)＝k(6,2m－1,2)，
∴解得∴λ＝，m＝3．
(2)∵|a|＝，且a⊥c，
∴化简，得解得λ＝－1．
因此，a＝(0,1，－2)．
例3 解：如图，以，，CC1为单位正交基底建立空间直角坐标系C­xyz.

(1)依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，
∴||＝ ＝，
∴线段BN的长为.
(2)依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，
∴BA1＝(1，－1，2), CB1＝(0，1，2)，
∴BA1·CB1＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.
又|BA1|＝，|CB1|＝，
∴cos 〈BA1，CB1〉＝＝.
故A1B与B1C所成角的余弦值为.
【跟踪训练】3 解(1)设侧棱长为b,则A(0，－1，0)，B1(，0，b)，B(，0，0)，C1(0，1，b)，
所以＝(，1，b)，＝(－，1，b).因为AB1⊥BC1，所以·＝(，1，b)·(－，1，b)＝－()2＋12＋b2＝0，解得b＝.故侧棱长为.
(2)由(1)知＝(，1，)，＝(－，1，0)，因为||＝＝，
||＝＝2，·＝(，1，)·(－，1，0)＝－()2＋1×1＝－2，
所以cos〈，〉＝＝＝.所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为.
【当堂达标】
1. C 解析：∵cos〈a，b〉＝＝＝0，0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝90°.
2. B 解析：设B(x，y，z)，由＝得(5，－1，2)＝(x－4，y－2，z＋1)，
∴∴
3.A解析：＝(3,4,2)，＝(5,1,3)，＝(2，－3,1)．由·＞0，得A为锐角；由·＞0，得C为锐角；由·＞0，得B为锐角．所以△ABC为锐角三角形．
4. BD 解析：若b＝(－4,6，－2)，则b＝－2(2，－3,1)＝－2a，所以a∥b，同理D也平行.
5.D 解析：依题意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，
而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝.
6.解：(1)如图，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点，

则有E，F，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G．
＝－＝，
＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)．
所以·＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0，所以⊥，即EF⊥B1C．
(2)因为＝－(0,1,1)＝．
所以||＝．
又·＝×0＋×＋×(－1)＝，||＝，
所以cos〈，〉＝＝．