湘教版4.3 解直角三角形一等奖教案

这是一份湘教版4.3 解直角三角形一等奖教案，共9页。教案主要包含了问题探索等内容，欢迎下载使用。

第4章　锐角三角函数
4.3　解直角三角形
教学目标
1.会运用锐角三角函数、勾股定理等知识解直角三角形.
2.经历解直角三角形的过程，掌握运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形的方法．
教学重难点
重点：利用直角三角形边角关系解直角三角形．
难点：会将求非直角三角形中的边角问题转化为解直角三角形问题．
教学过程
知识回顾
30°，45°，60°角的三角函数值：
α
sin α
cos α
tan α
30°

[

45°


1
60°



导入新课
教师：你知道在直角三角形中，除直角外，由几个元素组成吗？
学生：5个元素：两个锐角、两条直角边和一条斜边．
教师：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c，∠A，∠B这些元素间有哪些等量关系呢？(从Rt△ABC的角角关系、三边关系、边角关系讨论)
学生1：两锐角互余：∠A＋∠B＝90°．
学生2：三边满足勾股定理：a2＋b2＝c2．

学生3：边与角的关系：sin A＝cos B＝，cos A＝sin B＝，tan A＝．
利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．
设计意图：这样既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考：为什么两个已知元素中必有一个是边呢？激发了学生的学习热情．
探究新知
一、 预习新知
做一做：在Rt△ABC中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其他元素吗？
多媒体展示：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a＝，b＝，求这个三角形的其他元素．
思路一
填空：
教师：直角三角形中已知两边可以利用　　　　定理求出第三条边．
学生：勾股.
教师：直角三角形中，已知两边可以利用　　　　求∠A(或∠B)的度数．
学生：锐角三角函数.
教师：再利用　　　　求∠B(或∠A)的度数．
学生：两锐角互余.
教师引导学生分析，得出解直角三角形的方法，理清解题思路．
学生独立思考，然后找学生代表展示成果．
【解】在Rt△ABC中，a2＋b2＝c2，a＝，b＝，
∴c＝＝＝2.[
在Rt△ABC中，sin B＝＝＝，
∴ ∠B＝30°，∴ ∠A＝90°-∠B＝90°-30°＝60°．
思路二
分组探究，思考下面的问题：
1.由两个已知条件a＝，b＝能不能求出其中的一个锐角？
2.如何再求出另外一个锐角的度数？
3.如何求出第三条边的长？
学生先独立思考，然后小组讨论，教师巡视，及时发现问题，予以纠正，
最后教师多媒体展示解题过程．
教师小结：在直角三角形中，除直角外有5个元素(即3条边、2个锐角)，只要知道其中的2个元素(至少有1个是边)，就可以求出其余的3个未知元素.我们把在直角三角形中利用已知元素，求其余未知元素的过程叫作解直角三角形.
设计意图：通过对直角三角形6个元素的分析及对猜测的探究活动，自然而然地引出解直角三角形的概念，并让学生及时总结解题方法，加深对概念的理解．
拓展：已知直角三角形两条边求其他元素的方法：
方法1：已知两条边的长度，可以先利用勾股定理求出第三条边，然后利用锐角三角函数求出其中一个锐角，再根据直角三角形两锐角互余求出另外一个锐角．
方法2：已知两条边的长度，可以先利用锐角三角函数求出其中一个锐角，然后根据直角三角形中两锐角互余求出另外一个锐角，再利用锐角三角函数求出第三条边．
二、合作探究
教师提出问题：在Rt△ABC中，如果已知一边和一个锐角，你能求出这个三角形的其他元素吗？
多媒体展示：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且b＝30，∠B＝25°，求这个三角形的其他元素(边长精确到1).
教师引导学生分析，在直角三角形中可以利用两锐角互余求另外一个锐角，然后利用与锐角∠B和边b有关的三角函数先求出其中一条边a或c，再利用三角函数或勾股定理求出第三条边c或a．
找学生到黑板上板演解题过程．
教师提出问题：此题还有其他解法吗？
给学生留出足够的时间，然后让学生相互交流他们的解法．
设计意图：通过对学习活动的探究，学生逐步掌握解直角三角形所要具备的条件，并在探究的过程中及时总结归纳出解直角三角形的思路和方法．
拓展：已知直角三角形一条边和一个锐角求其他元素的方法.
已知一个锐角，先根据直角三角形的两锐角互余求出另外一个锐角．知道一条边的长，根据三角函数的定义可以求出另外两条边的长；也可以先利用三角函数的定义求出其中一条边的长，再利用三角函数或勾股定理求出第三条边的长．
除了已知“两边”和“一边一角”解直角三角形外，还有其他的情况解直角三角形吗？
教师：在Rt△ABC中，如果已知两个锐角，可以解直角三角形吗？
要求学生先独立判断，再分组讨论．
学生：只知道角度是无法求出直角三角形的边长的．
教师：只给出一条边长这一个条件，可以解直角三角形吗？
学生：只给出一条边长，不能解直角三角形．
教师总结：
解直角三角形需要满足的条件：在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三个元素，那么这个三角形的所有元素就都可以确定下来．
解直角三角形必须满足的一个条件是已知“一条边”．
典型例题
例1　如图，在Rt△ABC中，∠C ＝ 90°，cos A＝，BC＝5，试求AB的长.

【解】∵ ∠C＝90°,cos A＝，∴
设AB＝x，则AC＝.
又AB2＝AC2+BC2，∴ x2＝，
解得(舍去).
∴ AB的长为 .

例2　一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12 ，试求CD的长．

【问题探索】如图，过点B作BM⊥FD于点M，求出BM与CM的长度，然后在Rt△EFD中可求出∠EDF＝60°，利用解直角三角形解答即可．
【解】如图，过点B作BM⊥FD于点M.
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12 ，
∴BC＝AC＝12 ．
∵AB∥CF，∴∠ABC＝∠BCM＝45°，BM＝CM.
在Rt△BCM中，BM＝BC·sin 45°＝12 ×＝12，
∴ BM＝12．
在Rt△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，
∴MD＝＝4 ，∴CD＝CM－MD＝12－4 ．
【总结】解决此类题目一般是根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到问题的答案．

课堂练习
1.如图，小明为了测量其所在位置点A到河对岸点B之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m m，到达点C，测得∠ACB＝α，那么AB等于(　　)

A.m·sin α m B.m·tan α m
C.m·cos α m D. m
2.在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝50°，BC＝3，则AC等于(　　)
A.3sin 50° B.3sin 40°
C.3tan 50° D.3tan 40°
3.在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，AB＝2，则AC＝________.[
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝35，c＝，则∠A＝　　　　，b＝　　　　.
5.在Rt△ABC中，若sin A＝，AB＝10，那么BC＝　　　　, tan B＝　　　　.
6.在△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，已知c＝10，∠B＝30°，解这个直角三角形．
7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AB＝15，求△ABC的周长和tan A的值.


参考答案
1.B 　
2.D
3.3
4.45°　35
5.8　
6.解：∵在△ABC中，∠C为直角，
∴∠A＝90°－∠B＝90°－30°＝60°．
∵cos B＝，
∴a＝c·cos B＝10·cos 30°＝10×＝5．
∵sin B＝，
∴b＝c·sin B＝10·sin 30°＝10×＝5．
7.解：∵ sin A＝，
∴
∴ △ABC的周长＝AB+BC+AC＝15+12+9＝36，
tan A ＝
课堂小结
在解直角三角形时用到的关系式：
(1)三边之间的关系 ：a²+b²＝c²(勾股定理).
(2)两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°.
(3)边角之间的关系：


解直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构造直角三角形(作某边上的高是常用的辅助线).

布置作业
教材第123页练习第1，2，3题.
板书设计
4.3　解直角三角形
1.我们把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形.
2.解直角三角形的两种类型:
(1)已知直角三角形两边的长解直角三角形；
(2)已知直角三角形一边和一个锐角解直角三角形．
教学反思




































教学反思









































教学反思









































教学反思









































教学反思





















教学反思