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北师大版九年级上册1 菱形的性质与判定学案及答案
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这是一份北师大版九年级上册1 菱形的性质与判定学案及答案，共10页。
第01讲 菱形
我们之前学习了平行四边形及矩形，下面简单的回顾一下：
1．四边形
平行四边形
四边形
2．平行四边形的性质：
边：1.平行四边形两组对边分别平行；2.平行四边形两组对边分别相等。
角：1.平行四边形两组对角分别相等；2.平行四边形邻角互补。
对角线：平行四边形对角线互相评分。
3．我们又学习了哪种特殊的平行四边形？满足什么条件即可？它相比平行四边形而言，特殊在哪？
让我们一起通过折纸、剪纸的方法得到菱形。
我们一起这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.
观察得到的菱形，猜想菱形有什么性质？
边：菱形的两组对边分别平行。（这是平行四边形具有的性质），菱形的四条边都相等。（这是菱形特有的性质，如何进行证明呢？）
角：菱形的两组对角分别相等；菱形的邻角互补。
对角线：菱形的对角线互相平分、垂直，且每条对角线平分一组对角。
1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
■名师点拨
（1）菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等。二者必须同时具备，缺一不可．
(2)菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的基本判定方法．
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交于点O.
求证:(1）AB=BC=CD=AD；（2）AC⊥BD.（3）AC平分∠BAD、∠BCD,BD平分∠ABC、∠ADC（4）
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC（平行四边形的对边相等），又∵AB=AD（菱形的定义）;∴AB=BC=CD=AD.
（2）∵AB=AD、BC=CD（菱形的定义），∴△ABD、△BCD是等腰三角形，又∵平行四边形ABCD对角线AC、BD相交于点O，∴OA=OC、OB=OD（平行四边形的对角线互相评分），∴AO⊥BD、OC⊥BD（等腰三角形三线合一），即AC⊥BD.
（3）∵AB=BC，AD=CD（菱形的定义），在△ABC、△ADC中，,∴△ABC△ADC,∴∠BAC=∠DAC, ∠BCA=∠DCA,又∴∠BAD=∠BCD（平行四边形对角相等），∴∠BAC=∠DAC= ∠BCA=∠DCA，∴AC平分∠BAD、∠BCD，同理可证BD平分∠ABC、∠ADC.
(4)∵OA=OC、OB=OD,且AC⊥BD，
∴
2.菱形的性质：
（1）菱形的四条边都相等；
（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
（3）菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心
■名师点拨
（1）菱形具有平行四边形的一切性质；
（2）菱形既是中心对称图形,又是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.
（3）菱形的面积有两种计算方法：①菱形的面积等于底乘高；②菱形的面积等于对角线乘积的一半，对角线互相垂直的四边形的面积都可以用两条对角线乘积的一半来进行计算
（4）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题
3.菱形的判定：
判定定理1（对角线）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
已知：如图，在中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD. 求证：是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，又∵AC⊥BD，∴BD是线段AC的垂直平分线，∴BA＝BC，∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义)
判定定理2（边）：四边相等的四边形是菱形.
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
已知：右图中四边形ABCD,AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵AB=BC=CD=AD，∴AB=CD , BC=AD，∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的判定），又∵AB=BC,∴四边形ABCD是菱形 (菱形的定义).
判定定理3（定义）：：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
几何语言：∵AB=BC(BC=CD或者CD=DA)，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
■名师点拨
（1）判定菱形时，一定要明确前提条件是从“四边形”出发的，还是从“平行四边形”出发的；
（2）判定菱形的方法：
①若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分；
②若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四边都相等。
讲练互动
菱形的定义
1.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（ ）
A．AB=BC B．AC=BC
C．∠B=60° D．∠ACB=60°
分析：选C．∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AC平行且等于DE，∴四边形ACDE为平行四边形，当EC=DE时，平行四边形ACED是菱形，∵AC=DE，BC=CE，∴AC=BC时，平行四边形ACED是菱形，故选：C．
熟悉掌握菱形的定义，首先证明四边形为平行四边形，再找一组相等的邻边.
2.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（ ）
A．AB=AD B．AC⊥BD
C．AC=BD D．∠BAC=∠DAC
分析：A、根据菱形的定义可得，当AB=AD时▱ABCD是菱形；B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断，▱ABCD是菱形；C、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，命题错误；D、∠BAC=∠DAC时，∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC，∴∠BAC=∠ACB，∴AB=AC，∴▱ABCD是菱形．∴∠BAC=∠DAC．故命题正确．故选C．
菱形的性质
1.菱形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )．
A. B.4 C.1 D.2
解析：选C.由题意可得，设∠A＝x，则∠B=5x,根据菱形的性质知两组对角分别相等，得x=30°由菱形的性质知四边分别相等可得边长等于2，在直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半，所以菱形的高等于.
此类题目熟悉掌握菱形的性质，即可得出结果。
2.如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选C.作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．∴EP+FP=EP+F′P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选：C．
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AB的中点，如果EO=2，求四边形ABCD的周长．
3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AB的中点，如果EO=2，求四边形ABCD的周长．
解析：∵四边形ABCD为菱形，∴BO=DO，即O为BD的中点，又∵E是AB的中点，∴EO是△ABD的中位线，∴AD=2EO=2×2=4，∴菱形ABCD的周长=4AD=4×4=16．
菱形的判定
如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是菱形吗?试说明理由．
解析：四边形DECF是菱形，理由如下：∵DE∥AC，DF∥BC∴四边形DECF是平行四边形．∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2∵DF∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3．∴CF＝DF，∴四边形DECF是菱形．
1.如果用平行四边判定，先证明四边形为平行四边形，再证明对角线互相垂直或者平行四边形领边相等.
2.如果用四边形判定，用定义证明四边相等或者对角线垂直平分.
1.如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC于F，则四边形AEDF是菱形吗?请说明理由．
解析：四边形AEDF是菱形，理由如下：∵EF垂直平分AD，∴△AOF与△DOF关于直线EF成轴对称．∴∠ODF＝∠OAF，又∵AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，∴∠ODF＝∠OAE．∴AE∥DF，同理可得：DE∥AF．∴四边形AEDF是平行四边形，∴EO＝OF，又∵AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分．∴AEDF是菱形．
达标反馈
1、如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于（ ）
A．18 B．16 C．15 D．14
【解析】选B.菱形对角线互相垂直平分，∴BO=OD=3，AO=OC=4，∴AB=5，∴△ABD的周长等于5+5+6=16，故选B．
2、某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为2.5m）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（ ）
A．20m B．25m ．30m D．35m
【解析】如图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成，∴∠FGM=∠GMN=120°，GM=GF=EF，∴∠BMG=∠BGM=60°，∴△BMG是等边三角形，∴BG=GM=2.5（m），同理可证：AF=EF=2.5（m）∴AB=BG+GF+AF=2.5×3=7.5（m），∴扩建后菱形区域的周长为7.5×4=30（m），故选：C．
3、如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动，可以添加一个条件，使四边形CBFE为菱形，下列选项中错误的是（ ）
A．BD=AE B．CB=BF C．BE⊥CF D．BA平分∠CBF
解析：选A．答案 CB=BF(或BE⊥CF或∠EBF=60°或BD=BF等,答案不唯一)
解析 由已知得CB∥EF,CB=EF,∴四边形CBFE是平行四边形.因此可以添加CB=BF;BE⊥CF;∠EBF=60°;BD=BF等,都能说明四边形CBFE是菱形.
4、如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC的中点．若四边形ADEF是菱形，则△ABC必须满足的条件是（ ）
A．AB⊥AC B．AB=AC C．AB=BC D．AC=BC
解析：AB=AC，理由是：∵AB=AC，E为BC的中点，∴AE⊥BC，∵D、F分别为AB和AC的中点，∴DF∥BC，∴AE⊥DF，∵D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC的中点，∴EF∥AD，DE∥AF，∴四边形ADEF是平行四边形，∵AE⊥DF，∴四边形ADEF是菱形，即只有选项B的条件能推出四边形ADEF是菱形，选项A、C、D的条件都不能推出四边形ADEF是菱形，故选B．
5、如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为
解析：如图，∵四边形ABCD是菱形，AB=4，∴AB=CD=4，∵MN垂直平分AD，∴DN=AN，∵△CND的周长是10，∴CD+CN+DN=CD+CN+AN=CD+AC=10，∴AC=6，故答案为：6．
6、已知等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EF∥AB，分别交AC，BC于E，F点，作PM∥AC，交AB于M点，连接ME．
（1）求证：四边形AEPM为菱形；
（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？
解析：（1）∵EF∥AB，PM∥AC，∴四边形AEPM为平行四边形．∵AB=AC，AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD，∵∠BAD=∠EPA，∴∠CAD=∠EPA，∴EA=EP，∴四边形AEPM为菱形．
（2）解：P为EF中点时，S菱形AEPM=S四边形EFBM，∵四边形AEPM为菱形，∴AD⊥EM，∵AD⊥BC，∴EM∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形EFBM为平行四边形，作EN⊥AB于N，则S菱形AEPM=EP•EN=EF•EN=S四边形EFBM．
巩固提升
1、如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，则下列等式中一定成立的是（ ）
A．AB=BE B．AC=2AB C．AB=2OE D．AC=2OE
解析：选C．：∵点E为BC的中点，∴，∵AB=BC，∴AB=2BE，故选项A错误；∵在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴，∴OE是△ABC的中位线，∴，故选项C正确；
2、如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=70°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（ ）
A．75° B．70° C．60° D．55°
解析：选A．连接BD，BF，∵∠BAD=70°，∴∠ADC=110°，又∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD，∴AF=BF，BF=DF，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA=35°，∴∠CDF=110°﹣35°=75°．故答案为75°．
3、如图，菱形ABCD中，∠A=60°，周长是16，则菱形的面积是（ ）
A．16 B．16 C．16 D．8
解析:选D．如图所示：过点D作DE⊥BC于点E，∵在菱形ABCD中，周长是16，∴AD=AB=4，∵∠A=60°，∴DE=AE=*AD=，∴菱形ABCD的面积S=DE×AB=故选D．
4、如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，则下列结论：
①AD=BC=CE；②BD，AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④四边形ABED的面积为AB2．
其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解析：选A∵△DCE是由△ABC平移得到，∴AB=CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=CE，BD与AC互相平分，故①②正确，∵AD∥CE，AD=CE，∴四边形ACED是平行四边形，∵AC=CE，∴四边形ACED是菱形，故③正确，∵四边形ABED的面积=3•S△ABC= ，故④正确，
5、如图，下列选项中能使平行四边形ABCD是菱形的条件有（ ）
①AC⊥BD ②BA⊥AD ③AB=BC ④AC=BD．
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
解析：选A．因为一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．则能使平行四边形ABCD是菱形的有①或③．故选A．
6、在△ABC中，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，使四边形AFDE为菱形，应添加的条件是 （添加一个条件即可）．
解析：添加AF=AE，∵点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，∴DF∥AC，DE∥AB，∴四边形AFDE为平行四边形，∵AF=AE，∴四边形AFDE为菱形，故答案为：AF=AE．
7、如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长是 ．
解析：∵E，F分别是AD，BD的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴AB=2EF=4，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=CD=DA=4，∴菱形ABCD的周长=4×4=16．故答案为16．
8、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F在对角线AC上，且∠ABF=∠CDE，
AE=CF．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）当四边形ABCD满足什么条件时，四边形BFDE是菱形？为什么？
解析：（1）证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA．∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE．在△ABF和△CDE中，，又∵∠ABF=∠CDE，∴△ABF≌△CDE（AAS）；
（2）当四边形ABCD满足AB=AD时，四边形BEDF是菱形．理由如下：连接BD交AC于点O，如图所示：由（1）得：△ABF≌△CDE，∴AB=CD，BF=DE，∠AFB=∠CED，∴BF∥DE．∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形．∴BD⊥AC．∵BF=DE，BF∥DE，∴四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是菱形．
第01讲 菱形
我们之前学习了平行四边形及矩形，下面简单的回顾一下：
1．四边形
平行四边形
四边形
2．平行四边形的性质：
边：1.平行四边形两组对边分别平行；2.平行四边形两组对边分别相等。
角：1.平行四边形两组对角分别相等；2.平行四边形邻角互补。
对角线：平行四边形对角线互相评分。
3．我们又学习了哪种特殊的平行四边形？满足什么条件即可？它相比平行四边形而言，特殊在哪？
让我们一起通过折纸、剪纸的方法得到菱形。
我们一起这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.
观察得到的菱形，猜想菱形有什么性质？
边：菱形的两组对边分别平行。（这是平行四边形具有的性质），菱形的四条边都相等。（这是菱形特有的性质，如何进行证明呢？）
角：菱形的两组对角分别相等；菱形的邻角互补。
对角线：菱形的对角线互相平分、垂直，且每条对角线平分一组对角。
1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
■名师点拨
（1）菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等。二者必须同时具备，缺一不可．
(2)菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的基本判定方法．
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交于点O.
求证:(1）AB=BC=CD=AD；（2）AC⊥BD.（3）AC平分∠BAD、∠BCD,BD平分∠ABC、∠ADC（4）
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC（平行四边形的对边相等），又∵AB=AD（菱形的定义）;∴AB=BC=CD=AD.
（2）∵AB=AD、BC=CD（菱形的定义），∴△ABD、△BCD是等腰三角形，又∵平行四边形ABCD对角线AC、BD相交于点O，∴OA=OC、OB=OD（平行四边形的对角线互相评分），∴AO⊥BD、OC⊥BD（等腰三角形三线合一），即AC⊥BD.
（3）∵AB=BC，AD=CD（菱形的定义），在△ABC、△ADC中，,∴△ABC△ADC,∴∠BAC=∠DAC, ∠BCA=∠DCA,又∴∠BAD=∠BCD（平行四边形对角相等），∴∠BAC=∠DAC= ∠BCA=∠DCA，∴AC平分∠BAD、∠BCD，同理可证BD平分∠ABC、∠ADC.
(4)∵OA=OC、OB=OD,且AC⊥BD，
∴
2.菱形的性质：
（1）菱形的四条边都相等；
（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
（3）菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心
■名师点拨
（1）菱形具有平行四边形的一切性质；
（2）菱形既是中心对称图形,又是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.
（3）菱形的面积有两种计算方法：①菱形的面积等于底乘高；②菱形的面积等于对角线乘积的一半，对角线互相垂直的四边形的面积都可以用两条对角线乘积的一半来进行计算
（4）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题
3.菱形的判定：
判定定理1（对角线）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
已知：如图，在中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD. 求证：是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，又∵AC⊥BD，∴BD是线段AC的垂直平分线，∴BA＝BC，∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义)
判定定理2（边）：四边相等的四边形是菱形.
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
已知：右图中四边形ABCD,AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵AB=BC=CD=AD，∴AB=CD , BC=AD，∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的判定），又∵AB=BC,∴四边形ABCD是菱形 (菱形的定义).
判定定理3（定义）：：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
几何语言：∵AB=BC(BC=CD或者CD=DA)，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
■名师点拨
（1）判定菱形时，一定要明确前提条件是从“四边形”出发的，还是从“平行四边形”出发的；
（2）判定菱形的方法：
①若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分；
②若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四边都相等。
讲练互动
菱形的定义
1.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（ ）
A．AB=BC B．AC=BC
C．∠B=60° D．∠ACB=60°
分析：选C．∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AC平行且等于DE，∴四边形ACDE为平行四边形，当EC=DE时，平行四边形ACED是菱形，∵AC=DE，BC=CE，∴AC=BC时，平行四边形ACED是菱形，故选：C．
熟悉掌握菱形的定义，首先证明四边形为平行四边形，再找一组相等的邻边.
2.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（ ）
A．AB=AD B．AC⊥BD
C．AC=BD D．∠BAC=∠DAC
分析：A、根据菱形的定义可得，当AB=AD时▱ABCD是菱形；B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断，▱ABCD是菱形；C、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，命题错误；D、∠BAC=∠DAC时，∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC，∴∠BAC=∠ACB，∴AB=AC，∴▱ABCD是菱形．∴∠BAC=∠DAC．故命题正确．故选C．
菱形的性质
1.菱形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )．
A. B.4 C.1 D.2
解析：选C.由题意可得，设∠A＝x，则∠B=5x,根据菱形的性质知两组对角分别相等，得x=30°由菱形的性质知四边分别相等可得边长等于2，在直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半，所以菱形的高等于.
此类题目熟悉掌握菱形的性质，即可得出结果。
2.如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选C.作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．∴EP+FP=EP+F′P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选：C．
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AB的中点，如果EO=2，求四边形ABCD的周长．
3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AB的中点，如果EO=2，求四边形ABCD的周长．
解析：∵四边形ABCD为菱形，∴BO=DO，即O为BD的中点，又∵E是AB的中点，∴EO是△ABD的中位线，∴AD=2EO=2×2=4，∴菱形ABCD的周长=4AD=4×4=16．
菱形的判定
如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是菱形吗?试说明理由．
解析：四边形DECF是菱形，理由如下：∵DE∥AC，DF∥BC∴四边形DECF是平行四边形．∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2∵DF∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3．∴CF＝DF，∴四边形DECF是菱形．
1.如果用平行四边判定，先证明四边形为平行四边形，再证明对角线互相垂直或者平行四边形领边相等.
2.如果用四边形判定，用定义证明四边相等或者对角线垂直平分.
1.如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC于F，则四边形AEDF是菱形吗?请说明理由．
解析：四边形AEDF是菱形，理由如下：∵EF垂直平分AD，∴△AOF与△DOF关于直线EF成轴对称．∴∠ODF＝∠OAF，又∵AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，∴∠ODF＝∠OAE．∴AE∥DF，同理可得：DE∥AF．∴四边形AEDF是平行四边形，∴EO＝OF，又∵AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分．∴AEDF是菱形．
达标反馈
1、如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于（ ）
A．18 B．16 C．15 D．14
【解析】选B.菱形对角线互相垂直平分，∴BO=OD=3，AO=OC=4，∴AB=5，∴△ABD的周长等于5+5+6=16，故选B．
2、某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为2.5m）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（ ）
A．20m B．25m ．30m D．35m
【解析】如图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成，∴∠FGM=∠GMN=120°，GM=GF=EF，∴∠BMG=∠BGM=60°，∴△BMG是等边三角形，∴BG=GM=2.5（m），同理可证：AF=EF=2.5（m）∴AB=BG+GF+AF=2.5×3=7.5（m），∴扩建后菱形区域的周长为7.5×4=30（m），故选：C．
3、如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动，可以添加一个条件，使四边形CBFE为菱形，下列选项中错误的是（ ）
A．BD=AE B．CB=BF C．BE⊥CF D．BA平分∠CBF
解析：选A．答案 CB=BF(或BE⊥CF或∠EBF=60°或BD=BF等,答案不唯一)
解析 由已知得CB∥EF,CB=EF,∴四边形CBFE是平行四边形.因此可以添加CB=BF;BE⊥CF;∠EBF=60°;BD=BF等,都能说明四边形CBFE是菱形.
4、如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC的中点．若四边形ADEF是菱形，则△ABC必须满足的条件是（ ）
A．AB⊥AC B．AB=AC C．AB=BC D．AC=BC
解析：AB=AC，理由是：∵AB=AC，E为BC的中点，∴AE⊥BC，∵D、F分别为AB和AC的中点，∴DF∥BC，∴AE⊥DF，∵D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC的中点，∴EF∥AD，DE∥AF，∴四边形ADEF是平行四边形，∵AE⊥DF，∴四边形ADEF是菱形，即只有选项B的条件能推出四边形ADEF是菱形，选项A、C、D的条件都不能推出四边形ADEF是菱形，故选B．
5、如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为
解析：如图，∵四边形ABCD是菱形，AB=4，∴AB=CD=4，∵MN垂直平分AD，∴DN=AN，∵△CND的周长是10，∴CD+CN+DN=CD+CN+AN=CD+AC=10，∴AC=6，故答案为：6．
6、已知等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EF∥AB，分别交AC，BC于E，F点，作PM∥AC，交AB于M点，连接ME．
（1）求证：四边形AEPM为菱形；
（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？
解析：（1）∵EF∥AB，PM∥AC，∴四边形AEPM为平行四边形．∵AB=AC，AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD，∵∠BAD=∠EPA，∴∠CAD=∠EPA，∴EA=EP，∴四边形AEPM为菱形．
（2）解：P为EF中点时，S菱形AEPM=S四边形EFBM，∵四边形AEPM为菱形，∴AD⊥EM，∵AD⊥BC，∴EM∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形EFBM为平行四边形，作EN⊥AB于N，则S菱形AEPM=EP•EN=EF•EN=S四边形EFBM．
巩固提升
1、如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，则下列等式中一定成立的是（ ）
A．AB=BE B．AC=2AB C．AB=2OE D．AC=2OE
解析：选C．：∵点E为BC的中点，∴，∵AB=BC，∴AB=2BE，故选项A错误；∵在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴，∴OE是△ABC的中位线，∴，故选项C正确；
2、如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=70°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（ ）
A．75° B．70° C．60° D．55°
解析：选A．连接BD，BF，∵∠BAD=70°，∴∠ADC=110°，又∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD，∴AF=BF，BF=DF，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA=35°，∴∠CDF=110°﹣35°=75°．故答案为75°．
3、如图，菱形ABCD中，∠A=60°，周长是16，则菱形的面积是（ ）
A．16 B．16 C．16 D．8
解析:选D．如图所示：过点D作DE⊥BC于点E，∵在菱形ABCD中，周长是16，∴AD=AB=4，∵∠A=60°，∴DE=AE=*AD=，∴菱形ABCD的面积S=DE×AB=故选D．
4、如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，则下列结论：
①AD=BC=CE；②BD，AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④四边形ABED的面积为AB2．
其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解析：选A∵△DCE是由△ABC平移得到，∴AB=CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=CE，BD与AC互相平分，故①②正确，∵AD∥CE，AD=CE，∴四边形ACED是平行四边形，∵AC=CE，∴四边形ACED是菱形，故③正确，∵四边形ABED的面积=3•S△ABC= ，故④正确，
5、如图，下列选项中能使平行四边形ABCD是菱形的条件有（ ）
①AC⊥BD ②BA⊥AD ③AB=BC ④AC=BD．
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
解析：选A．因为一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．则能使平行四边形ABCD是菱形的有①或③．故选A．
6、在△ABC中，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，使四边形AFDE为菱形，应添加的条件是 （添加一个条件即可）．
解析：添加AF=AE，∵点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，∴DF∥AC，DE∥AB，∴四边形AFDE为平行四边形，∵AF=AE，∴四边形AFDE为菱形，故答案为：AF=AE．
7、如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长是 ．
解析：∵E，F分别是AD，BD的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴AB=2EF=4，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=CD=DA=4，∴菱形ABCD的周长=4×4=16．故答案为16．
8、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F在对角线AC上，且∠ABF=∠CDE，
AE=CF．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）当四边形ABCD满足什么条件时，四边形BFDE是菱形？为什么？
解析：（1）证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA．∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE．在△ABF和△CDE中，，又∵∠ABF=∠CDE，∴△ABF≌△CDE（AAS）；
（2）当四边形ABCD满足AB=AD时，四边形BEDF是菱形．理由如下：连接BD交AC于点O，如图所示：由（1）得：△ABF≌△CDE，∴AB=CD，BF=DE，∠AFB=∠CED，∴BF∥DE．∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形．∴BD⊥AC．∵BF=DE，BF∥DE，∴四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是菱形．
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