初中北师大版第一章 特殊平行四边形1 菱形的性质与判定一等奖ppt课件

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1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；2.探索并证明菱形的性质定理.（重点）3.应用菱形的性质定理解决相关问题.（难点）
问题:什么样的四边形是平行四边形？它有哪些性质呢？
边：对边平行且相等.对角线：相交并相互平分.角：对角相等,邻角互补.
欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？
问题1: 观察上图中的这些平行四边形，你能发现它们有什么 样的共同特征？
菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
一、菱形的概念及其与平行四边形的关系
菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，但平行四边形不一定是菱形.
问题2: 菱形与平行四边形有什么关系？
做一做请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题： （1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称 轴？对称轴之间有什么位置关系？
（2）菱形中有哪些相等的线段？
1.菱形是轴对称图形，有两条对称轴(对称轴直线AC和直线BD).2.菱形四条边都相等(AB=BC=CD=AD).3.菱形的对角线互相垂直(AC⊥BD).
发现菱形的性质
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交 于点O.求证:(1）AB = BC = CD =AD； （2）AC⊥BD.
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）. 又∵AB=AD; ∴AB = BC = CD =AD.
求证：菱形的四条边相等，对角线互相垂直.
思考：菱形的一条对角线所分成的两个内角有什么关系？试证明AC平分∠BAD和∠BCD， BD平分∠ABC和∠ADC.
（2）∵AB=AD, ∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是菱形， ∴OB=OD.
在等腰三角形ABD中， ∵OB=OD， ∴AO⊥BD， 即AC⊥BD.
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
对称性：是轴对称图形.边：四条边都相等.对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角.
对称性：中心对称图形角：对角相等.边：对边平行且相等.对角线：相互平分.
例1：已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=5cm,BD=8cm.则：（1）BO=____________; (2)AC=_____________.
菱形中已知边长或对角线，求相关长度问题，一般利用菱形的对角线垂直平分，再结合勾股定理解题.
例2：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD =6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直) OB=OD= BD = ×6=3(菱形的对角线互相平分)在等腰三角形ABC中，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形.∴AB = BD = 6.
在RtΔAOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2，∴OA = = =∴AC=2OA= （菱形的对角线相互平分）.
若菱形有一个内角为60°，那么60°角的两边与较短的对角线可构成等边三角形，且两条对角线把菱形分成四个全等的含30°角的直角三角形.
例3 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长．
例4 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.
证明：连接AC. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC平分∠BAD， 即∠BAC＝∠DAC. ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°. 又∵AC＝AC， ∴△ACE≌△ACF. ∴AE＝AF.
菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．
1.如图，在菱形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，图中的等腰三角形有______________________________，直角三角形有_____________________________ ，而且它们是________（“全等”或“不全等”）.
2.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A.内角和为360° B.对角线互相垂直 C.对边平行 D.对角线互相平分
△ABD, △BCD，△ABC,△ADC
△ABO，△ADO,△BCO,△CDO
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 （ ） A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等
2.如图，菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是 （ ） A.40 B.32 C.24 D.20
3.在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数是 （ ）
A.75° B.60° C.45° D.30°
6.已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的四个内角度数分别为_____________________.
4.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.5.菱形ABCD中∠ABC＝120 °，则∠BAC＝_______.
60°、60°、120°、120°
7.根据下图填一填：（1）已知菱形ABCD的周长是12cm，那么它的边长 是 ______.（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝120 °，则∠BAC＝ _______.（3）菱形ABCD的两条对角线长分别为6cm和8cm， 则菱形的边长是_______.
(4)菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角线长为11cm，菱形的周长为______.
8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O. 已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的长.
解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD (菱形的两条对角线互相垂直). ∴∠AOB=90°. ∴BO= =3(cm). ∴BD=2BO=2×3=6(cm).
9.如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E． 求证：∠AFD=∠CBE． 证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CB=CD， CA平分∠BCD．∴∠BCE=∠DCE．又 CE=CE，∴△BCE≌△DCE（SAS）．∴∠CBE=∠CDE． ∵在菱形ABCD中，AB∥CD， ∴∠AFD=∠EDC.∴∠AFD=∠CBE．
1.两组对边平行且相等；2.四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补
1.两条对角线互相垂直平分；2.每一条对角线平分一组对角