数学第3章 实数3.2 实数优秀测试题

实数知识梳理

一、平方根和算术平方根的概念

1.算术平方根

（1）定义：一般地，如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数x叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；

（2）表示方法：的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.

（3）性质：一个非负数的算术平方根等于它本身，即.

当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.

【注】与的区别与联系

（1）区别：①是先开方再平方，是先平方再开方，两者运算顺序不同；

           ②中a的取值范围是，中a取正数，零，负数都可以.

（2）联系：当时，.

2.平方根

（1）定义：一般地，如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.

（2）表示方法：(≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.

（3）性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.

二、平方根和算术平方根的区别与联系

1.区别：（1）定义不同；（2）表示方法不同：和.

2.联系：（1）平方根包含算术平方根，平方根中那个非负的根即为算术平方根；

（2）被开方数都是非负数；

        （3）0的平方根和算术平方根均为0．

三、实数

1.有理数与无理数：有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.有理数和无理数统称为实数.

2.常见的无理数有三种形式：

①含有π的式子.

②无限不循环小数，如：1.313113111…….

③开方开不尽的数的平方根，如.

3.实数的分类

按定义分类：

 实数

按性质分类：

  实数

4.实数的性质

实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.

四、立方根

1.定义

如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.

2.表示方法：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.

3.性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.

【注】任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.

五、实数大小的比较

（1）数轴比较法：对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.

（2）代数比较法：正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.

（3）作差比较法

（4）作商比较法

（5）倒数比较法：若，则.

（6）平方比较法：若，则.

（7）开方比较法：若，则.

（8）估值比较法：在实数的大小比较中，当遇到无理数时，可以按照所要求的的精确度用相应的近似有限小数取代替，再进行比较.

六、实数的运算

当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.