第10讲 直线与圆的位置关系（十三大题型）-暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（苏教版）

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第10讲 直线与圆的位置关系
【题型归纳目录】
题型一：不含参数的直线与圆的位置关系
题型二：含参数的直线与圆的位置关系
题型三：由直线与圆的位置关系求参数
题型四：求直线与圆的交点坐标
题型五：求过圆上一点的切线方程
题型六：求过圆外一点的切线方程
题型七：求切线长
题型八：已知切线求参数
题型九：求弦长问题
题型十：已知弦长求参数
题型十一：切点弦问题
题型十二：最值问题
题型十三：三角形面积问题
【知识点梳理】
知识点一：直线与圆的位置关系
1、直线与圆的位置关系：
（1）直线与圆相交，有两个公共点；
（2）直线与圆相切，只有一个公共点；
（3）直线与圆相离，没有公共点．
2、直线与圆的位置关系的判定：
（1）代数法：
判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点．
有两组实数解时，直线与圆C相交；
有一组实数解时，直线与圆C相切；
无实数解时，直线与圆C相离．
（2）几何法：
由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断：
当时，直线与圆C相交；
当时，直线与圆C相切；
当时，直线与圆C相离．
知识点诠释：
（1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得．
（2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理．
（3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决．
知识点二：圆的切线方程的求法
1、点在圆上，如图．

法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率
的乘积等于，即．
法二：圆心到直线的距离等于半径．
2、点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．
知识点诠释：
因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
常见圆的切线方程：
（1）过圆上一点的切线方程是；
（2）过圆上一点的切线方程是
．
知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法
1、应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．
2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．
【典例例题】
题型一：不含参数的直线与圆的位置关系
【例1】（2023·新疆喀什·高二校考期末）直线与圆的位置关系为（    ）
A．相切 B．相交但直线过圆心
C．相交但直线不过圆心 D．相离

【对点训练1】（2023·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中）直线与圆的位置关系是（    ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断

题型二：含参数的直线与圆的位置关系
【例2】（2023·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习）直线与圆的位置关系为（    ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定

【对点训练2】（2023·安徽亳州·高二统考开学考试）设，则直线：与圆的位置关系为（    ）
A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相交

【对点训练3】（2023·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）直线l：与圆C：的位置关系为（    ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．与a的值有关

题型三：由直线与圆的位置关系求参数
【例3】（2023·浙江嘉兴·高二统考期末）直线与曲线的交点个数为（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【对点训练4】（2023·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中）圆上到直线距离为的点有（    ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个

【对点训练5】（2023·高二单元测试）直线与圆没有公共点，则的取值范围是（    ）
A．或 B．
C． D．或

题型四：求直线与圆的交点坐标
【例4】（2023·江苏宿迁·高二统考期中）直线与曲线的交点个数为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3

【对点训练6】（2023·高二课时练习）给定四条曲线：①，②，③，④，其中与直线仅有一个交点的曲线是（    ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④

题型五：求过圆上一点的切线方程
【例5】（2023·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习）过点作圆的切线，则切线的方程为__________.

【对点训练7】（2023·云南昆明·高二统考期末）圆在点处的切线方程为____________.

【对点训练8】（2023·重庆九龙坡·高二重庆市渝高中学校校考期末）圆的过点的切线方程为___________.

题型六：求过圆外一点的切线方程
【例6】（2023·北京·高二北京一七一中校考阶段练习）过点的圆的切线方程为 _________________．

【对点训练9】（2023·高二单元测试）经过点作圆的切线，则切线的方程为_______.

【对点训练10】（2023·安徽芜湖·高二安徽省无为襄安中学校考阶段练习）过点做圆的切线l，则l的方程为________．

题型七：求切线长
【例7】（2023·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为______.

【对点训练11】（2023·上海杨浦·高二校考期中）由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为______．

【对点训练12】（2023·河北邢台·高二统考期中）过点作圆的一条切线，切点为，则___________.

【对点训练13】（2023·四川绵阳·高二校考期中）已知P是直线上的动点，是圆的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形面积的最小值为______________．

题型八：已知切线求参数
【例8】（2023·浙江杭州·高二浙江省杭州第七中学校考期中）若直线与曲线有且只有一个公共点，则实数m的取值范围是______．

【对点训练14】（2023·甘肃酒泉·高二敦煌中学校考期中）若A为射线上的动点，B为x轴正半轴上的动点．若直线AB与圆相切，则的最小值为________．

【对点训练15】（2023·高二单元测试）已知圆与直线相切，则___________.

【对点训练16】（2023·福建漳州·高二校联考期中）已知过点的直线与圆C：相切，且与直线垂直，则实数a的值为___________.

题型九：求弦长问题
【例9】（2023·江苏扬州·高二统考开学考试）若直线与圆相交于两点，则弦的长为______．

【对点训练17】（2023·山东菏泽·高二统考期末）以点为圆心，3为半径的圆与直线相交于A，B两点，则的取值范围为________.

【对点训练18】（2023·高二课时练习）直线：被圆截得的弦长是______．

【对点训练19】（2023·湖南永州·高二统考期末）已知直线与圆交于，两点，则__________．

【对点训练20】（2023·上海浦东新·高二上海师大附中校考阶段练习）已知过点的直线l被圆所截得的弦长为8，则直线l的方程为______.

题型十：已知弦长求参数
【例10】（2023·上海静安·高二上海市回民中学校考期中）设直线与圆相交所得弦长为，则_____

【对点训练21】（2023·高二单元测试）过圆内一点的最短的弦所在的直线方程是________.

【对点训练22】（2023·高二课时练习）直线截圆所得弦长为2，则的最小值为______．

题型十一：切点弦问题
【例11】（2023·全国·高二专题练习）过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为_______．

【对点训练23】（2023·江苏扬州·高二校考开学考试）已知圆，点P是直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为______．

【对点训练24】（2023·江苏·高二专题练习）过直线l：上任一点P向圆C：作两条切线，切点分别为A、B两点，线段AB的中点为Q，则点Q的轨迹方程为________________

【对点训练25】（2023·高二单元测试）过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是________．

【对点训练26】（2023·高二校考单元测试）已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A和B．若圆心O到直线的距离的最大值为，则实数m=________．

题型十二：最值问题
【例12】（2023·山东聊城·高二校考期末）已知圆经过点，且圆心在直线上，
(1)求圆的方程.
(2)点在圆上，求的最大值.
(3)直线当为何值时，圆上恰有3个点到直线的距离都等于3.




【对点训练27】（2023·浙江杭州·高二期末）已知圆C的方程为．
(1)直线l过点，且与圆C交于A、B两点，若，求直线l的方程；
(2)点为圆上任意一点，求的最大值和最小值．




【对点训练28】（2023·黑龙江佳木斯·高二富锦市第一中学校考阶段练习）已知圆C经过点和且圆心在直线上．
(1)求圆C的方程；
(2)若点P为圆C上的任意一点，求点P到直线距离的最大值和最小值．




【对点训练29】（2023·高二课时练习）若点在圆上运动，求：
(1)的最大值；
(2)的最值．




【对点训练30】（2023·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考期末）已知圆，点.
(1)求过点的圆的切线方程；
(2)求的最小值.




题型十三：三角形面积问题
【例13】（2023·浙江·高二校联考阶段练习）已知圆经过，，三点，且交直线于，两点.
(1)求圆的标准方程；
(2)求的面积.




【对点训练31】（2023·湖南岳阳·高二校联考期中）已知直线交圆于两点.

(1)当时，求直线的斜率；
(2)当的面积最大时，求直线的斜率.




【对点训练32】（2023·浙江杭州·高二统考期中）已知圆C的半径为3，圆心C在射线上，直线被圆C截得的弦长为
(1)求圆C方程;
(2)过点的直线l与圆C交于M、N两点，且的面积是为坐标原点，求直线l的方程.




【对点训练33】（2023·辽宁·高二校联考期中）已知圆，直线过点.
(1)若直线与圆相切，求直线的方程；
(2)若直线与圆相交于、两点，求面积的最大值，并求此时直线的斜率.




【对点训练34】（2023·安徽亳州·高二校联考期末）已知圆，直线l过原点．
(1)若直线l与圆M相切，求直线l的方程；
(2)若直线l与圆M交于P，Q两点，当的面积最大时，求直线l的方程．





【过关测试】
一、单选题
1．（2023·重庆·高二统考学业考试）直线被圆截的的弦长为（  ）
A． B． C．
2．（2023·河北石家庄·高二石家庄一中校考阶段练习）如图，从外一点引圆的切线和割线，已知，，的半径为4，则圆心到的距离为（    ）
  
A． B． C． D．
3．（2023·高二课时练习）过三点的圆交于轴于两点，则＝（    ）
A． B．8 C． D．10
4．（2023·高二课时练习）若直线与圆相交，则（    ）
A． B． C． D．
5．（2023·高二校考课时练习）若点在圆的内部，则a的取值范围是（　　）.
A． B． C． D．
6．（2023·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中）圆上到直线距离为的点有（    ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
7．（2023·高二单元测试）直线与圆的位置关系为（    ）
A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．不确定
8．（2023·上海宝山·高二统考期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023·湖北·高二校联考期中）在平面直角坐标系中，已知定点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，直线，则下列结论中正确的是（    ）
A．曲线的方程为 B．直线与曲线的位置关系无法确定
C．若直线与曲线相交，其弦长为4，则 D．的最大值为3
10．（2023·贵州·高二校联考阶段练习）已知圆的方程为，则关于圆的说法正确的是（    ）
A．圆心的坐标为
B．点在圆内
C．直线被圆截得的弦长为
D．圆在点处的切线方程为
11．（2023·山东日照·高二校考阶段练习）实数x，y满足，则的值可能为（　　）
A． B．
C． D．
12．（2023·云南临沧·高二云南省凤庆县第一中学校考期中）已知圆，直线为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则下列各选项正确的是（    ）
A．四边形面积的最小值为4
B．四边形面积的最大值为8
C．当最大时，
D．当最大时，直线的方程为
三、填空题
13．（2023·上海静安·高二统考期末）过点的直线与圆相切，则直线的斜率为______.
14．（2023·高二课时练习）已知圆关于直线成轴对称，则的取值范围是____．
15．（2023·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知直线与圆，则圆上的点到直线的距离的最小值为__________.
16．（2023·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习）以原点O为圆心作单位圆O，直线l与直线平行，且过点，P为直线l上一动点，过点P作直线与圆O相切于点B，则面积的最小值为____________．
四、解答题
17．（2023·浙江·高二校联考阶段练习）圆经过点，和直线相切，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)求圆在轴截得的弦长．




18．（2023·安徽·高二池州市第一中学校联考阶段练习）已知圆过三个点，过点引圆的切线，求：
(1)圆的一般方程；
(2)圆过点的切线方程.




19．（2023·高二单元测试）已知点在圆上．
(1)求该圆的圆心坐标及半径长；
(2)过点，斜率为的直线与圆相交于两点，求弦的长．




20．（2023·河南平顶山·高二统考期末）已知的顶点坐标分别是，，.
(1)求外接圆的方程；
(2)若直线l：与的外接圆相交于M，N两点，求.




21．（2023·福建宁德·高二统考期中）已知直线：与圆O：相交于不重合的A，B两点，O是坐标原点，且A，B，O三点构成三角形．
  
(1)求的取值范围；
(2)的面积为，求的最大值，并求取得最大值时的值．




22．（2023·江苏扬州·高二统考开学考试）在平面直角坐标系中，圆C的方程为，．
(1)当时，过原点O作直线l与圆C相切，求直线l的方程；
(2)对于，若圆C上存在点M，使，求实数的取值范围．