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第13讲 双曲线（十大题型）-暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（苏教版）
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这是一份第13讲 双曲线（十大题型）-暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（苏教版），文件包含第13讲双曲线十大题型解析版docx、第13讲双曲线十大题型原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共75页， 欢迎下载使用。
第13讲 双曲线
【题型归纳目录】
题型一：双曲线的定义、条件
题型二：求双曲线的标准方程
题型三：双曲线的综合问题
题型四：轨迹方程
题型五：双曲线的简单几何性质
题型六：求双曲线的离心率
题型七：求双曲线离心率的取值范围
题型八：由双曲线离心率求参数的取值范围
题型九：双曲线中的范围与最值问题
题型十：焦点三角形
【知识点梳理】
知识点一：双曲线的定义
在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距．
知识点诠释：
1、 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；
2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
3、 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；
4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；
5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
知识点二：双曲线的标准方程
1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；
2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中
椭圆、双曲线的区别和联系：
椭圆
双曲线
根据|MF1|+|MF2|=2a
根据|MF1|－|MF2|=±2a
a＞c＞0，
a2－c2=b2（b＞0）
0＜a＜c，
c2－a2=b2（b＞0）
，
（a＞b＞0）
，
（a＞0，b＞0，a不一定大于b）
（a最大）
（c最大）
标准方程统一为：
方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件
方程Ax2+By2=C可化为，即，
所以只有A、B异号，方程表示双曲线．
当时，双曲线的焦点在x轴上；
当时，双曲线的焦点在y轴上．
知识点诠释：
3、当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上．
4、双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2．
5、双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．
6、对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．
知识点三：求双曲线的标准方程
①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是“先定型，再定量”；
②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程．
知识点四：双曲线的简单几何性质
双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质
范围
双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a和x=a的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a．
对称性
对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心．
顶点
①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点．
②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为
A1（-a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点．
③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，-b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b．a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长．
①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆．
②双曲线的焦点总在实轴上．
③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
离心率
①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作．
②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率．
由c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度．
③等轴双曲线，所以离心率．
渐近线
经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是．
我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交．
知识点四：双曲线两个标准方程几何性质的比较
标准方程
图形
性质
焦点
，
，
焦距
范围
，
，
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
轴
实轴长=，虚轴长=
离心率
渐近线方程
知识点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．
对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．
知识点五：双曲线的渐近线
（1）已知双曲线方程求渐近线方程：
若双曲线方程为，则其渐近线方程为
已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．
（2）已知渐近线方程求双曲线方程：
若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可．
（3）与双曲线有公共渐近线的双曲线
与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上）
（4）等轴双曲线的渐近线
等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为．
知识点六：双曲线中a，b，c的几何意义及有关线段的几何特征：
双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞b＞0，c＞a＞0，且c2=b2+a2．
双曲线，如图：
（1）实轴长，虚轴长，焦距，
（2）离心率：；
（3）顶点到焦点的距离：，；
【典例例题】
题型一：双曲线的定义、条件
【例1】（2023·高二课时练习）平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线
【答案】B
【解析】如图：
设动点为，到两个定点的距离之差的绝对值为，
则若在线段（不包含两端点）上，有；
若在直线外，有；
若在线段的延长线上或线段的反向延长线上（均包含两端点），
则有.
故选：B
【对点训练1】（2023·高二课时练习）到两定点、的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹（ ）
A．椭圆 B．直线 C．双曲线 D．两条射线
【答案】D
【解析】因为，，
故的轨迹是已、为端点的两条射线，
故选：D.
【对点训练2】（2023·高二课时练习）已知动点满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线左支
C．双曲线右支 D．一条射线
【答案】C
【解析】因为 的几何意义是动点到点与的距离之差为2，
又因为，
所以由双曲线的定义，知动点P的轨迹是双曲线右支．
故选：C
【对点训练3】（2023·四川成都·高二成都实外校考阶段练习）方程所表示的曲线是（ ）
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分 D．直线的一部分
【答案】C
【解析】方程两边平方后可整理出双曲线的方程，由于的值只能取大于等于1的数，推断出方程表示的曲线为双曲线的一部分．两边平方，
可变为，
即，
表示的曲线为双曲线的一部分；
故选：C．
题型二：求双曲线的标准方程
【例2】（2023·广东揭阳·高二惠来县第一中学校考阶段练习）解答下列两个小题：
(1)双曲线：离心率为，且点在双曲线上，求的方程；
(2)椭圆的焦点在轴上，焦距为，且经过点，求椭圆的标准方程.
【解析】（1）双曲线半焦距为c，由离心率，得，即，
又，即，
双曲线的方程即为，点坐标代入此方程得，解得．
所以双曲线的方程为．
（2）依题意，设椭圆方程为：，
因为椭圆的焦距为，则椭圆的半焦距，即有，又椭圆过点，
因此，整理得：，解得：，则，
所以椭圆方程为：.
【对点训练4】（2023·高二课时练习）求与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线的标准方程．
【解析】设所求双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线方程可得，
因此，所求双曲线的方程为，其标准方程为.
【对点训练5】（2023·四川成都·高二校考期中）求满足下列条件的曲线的标准方程：
(1)两个焦点坐标分别是、，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10的椭圆方程；
(2)已知双曲线的渐近线方程为，焦距为10．
【解析】（1）因为椭圆的焦点在x轴上，
∴设它的标准方程为，
又椭圆上一点P到两焦点的距离的和是10，故，
∴，又∵，
∴，
∴所求椭圆的标准方程为；
（2）当双曲线的焦点在轴时，可设双曲线标准方程为，
则，解得，
所以双曲线的标准方程为；
当双曲线的焦点在轴时，可设双曲线标准方程为，
则，解得，
所以双曲线的标准方程为；
所以双曲线的标准方程为或.
【对点训练6】（2023·高二单元测试）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在轴上，实轴长为，其离心率；
(2)渐近线方程为，经过点．
(3)双曲线：离心率为，且点在双曲线上，求的方程；
(4)双曲线实轴长为，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程．
【解析】（1）设双曲线的标准方程为：，
由题知：，解得，
所以双曲线方程为：；
（2）由渐近线方程为，
设双曲线方程为：，
将代入，
解得，
所以双曲线方程为：；
（3）由，得，即，
又，即，
双曲线的方程即为，
点坐标代入得，
解得，
所以双曲线的方程为；
（4）椭圆的焦点为，
则，
设双曲线的方程为，
所以，且，
所以，，
所以双曲线的方程为.
题型三：双曲线的综合问题
【例3】（2023·新疆喀什·高二校考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，动点M满足|| MF₁ | -| MF₂|| =4.
(1)求动点M的轨迹C的方程：
(2)已知点A(-2，0)，B(2，0)，当点M与A，B不重合时，设直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，证明:为定值.
【解析】（1）由椭圆知：
所以左、右焦点分别为
因为动点M满足|| MF₁ | -| MF₂|| =4
所以动点在以为焦点的双曲线上，
设动点设方程为：
由双曲线的定义得：
所以
所以动点设方程为：
（2）设
则
由
所以
所以.
【对点训练7】（2023·江苏徐州·高二校考期中）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线．
(1)设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若，求点M的坐标；
(2)设斜率为的直线l交C于P、Q两点，若l与圆相切，求证：．
【解析】（1）由双曲线，可得，
∴，设，则，
∴，
∴，
又M是C右支上一点，故，
∴，
即；
（2）设直线PQ的方程为，因直线PQ与已知圆相切，
故，即，
由，得，
设、，则，
又，
所以
，
所以．
【对点训练8】（2023·上海·高二专题练习）已知点､依次为双曲线（，）的左､右焦点，且，.
(1)若，以为法向量的直线经过，求到的距离；
(2)设双曲线经过第一､三象限的渐近线为，若直线与直线垂直，求双曲线的离心率.
【解析】（1）由题意，，，则，，直线的方程为.
所以，点到的距离为.
（2）由题意，，，其中，，则直线的斜率.
双曲线的一条渐近线，其斜率为.
因为直线与直线垂直，所以.
代入可得，，又因为，所以，
两边同除以，可得，解得.
又因为，所以.
【对点训练9】（2023·四川资阳·高二校考期中）已知双曲线C：的焦距为4，且过点.
(1)求双曲线方程；
(2)若直线与双曲线C有且只有一个公共点，求实数的值.
【解析】（1）由题意可知双曲线的焦点为和，
根据定义有．
，又，所以，，．
所求双曲线的方程为．
（2）因为双曲线的方程为，所以渐近线方程为；
由，消去整理得．
①当即时，此时直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线相交于一点，符合题意；
②当即时，由，解得，
此时直线双曲线相切于一个公共点，符合题意．
综上所述：符合题意的的所有取值为，．
【对点训练10】（多选题）（2023·安徽合肥·高二校考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，点在双曲线上，则下列结论正确的是（ ）
A．该双曲线的离心率为
B．若，则的面积为
C．点到两渐近线的距离乘积为
D．直线和直线的斜率乘积为
【答案】ACD
【解析】由双曲线方程得，，，双曲线的离心率为，A正确；
若，不妨设，，，B错误；
设，则，，渐近线方程为，
点到两渐近线的距离乘积为，C正确；
，，，D正确；
故选：ACD
【对点训练11】（多选题）（2023·湖北十堰·高二校联考阶段练习）若是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，共焦点，，，，的离心率分别为，，则下列结论中正确的是（ ）
A．， B．
C．若，则 D．若，则的最小值为2
【答案】BC
【解析】依题意，，解得，A不正确；
令，由余弦定理得： ，
因为在椭圆中，在双曲线中，，
所以，故B选项正确；
当时，，即，
所以，即，
所以，，故C选项正确；
当时，，即，
所以，，有，
因为，
所以，，解得，D不正确；
故选：BC
题型四：轨迹方程
【例4】（2023·陕西宝鸡·高二统考期末）动点与点与点满足，则点的轨迹方程为__________．
【答案】
【解析】由知，
点的轨迹是以、为焦点的双曲线下支，
得，，
，，
故动点的轨迹方程是．
故答案为：．
【对点训练12】（2023·上海浦东新·高二校考期末）已知轴上两点，则平面内到这两点距离之差的绝对值为8的动点的轨迹方程为________
【答案】
【解析】由题，动点轨迹为以为焦点，实轴为的双曲线，设双曲线方程为：
，右焦点为，则，
故.则双曲线方程为：.
故答案为：.
【对点训练13】（2023·高二课时练习）动圆过点，且与圆外切，则动圆圆心的轨迹方程是______．
【答案】
【解析】设动圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
因为动圆过点，且与圆外切，
所以，，，
所以，
所以，由双曲线的定义得的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的右支，
因为实轴长为，焦点为，
所以，动圆圆心的轨迹方程是，即
故答案为：
【对点训练14】（2023·河北石家庄·高二河北新乐市第一中学统考期中）已知圆M与圆C1：和圆C2：一个内切一个外切，则点M的轨迹方程为___________.
【答案】
【解析】当圆与圆内切，与圆外切时，，，
当圆与圆外切，与圆内切时，，，
所以，点的轨迹为双曲线，设轨迹方程为，，，则，所以轨迹方程为.
故答案为：.
【对点训练15】（2023·辽宁本溪·高二校考阶段练习）已知椭圆的方程为，其左､右顶点分别为，一条垂直于轴的直线交椭圆于两点，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为___________.
【答案】
【解析】由题意知，
设直线为，，
由三点共线及三点共线，
得，
两式相乘化简，得，
又，
所以，即，
又，即，
所以点的轨迹方程为.
故答案为：
【对点训练16】（2023·浙江杭州·高二杭州四中校考期末）法国数学家蒙日发现：双曲线的两条互相垂直切线的交点的轨迹方程为：，这个圆被称为蒙日圆.若某双曲线对应的蒙日圆方程为，则___________.
【答案】2
【解析】由双曲线的方程可得，
由蒙日圆的定义可得双曲线对应的蒙日圆方程，所以，即，
可得.
故答案为：2.
【对点训练17】（2023·广西百色·高二阶段练习）设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段的中点，则点M的轨迹方程为_____________．
【答案】
【解析】设，，
则，即，
又，则，
整理得，
即点M的轨迹方程为.
故答案为：
【对点训练18】（2023·高二课时练习）如图，圆，点，动圆P过点F，且与圆E内切于点M，则动圆P的圆心P的轨迹方程为______．
【答案】
【解析】圆的方程为，圆心为，半径．
设动圆圆心为，
动圆与圆内切于点，
，
的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，其中，得，
而，，
故所求轨迹方程为．
故答案为：
【对点训练19】（2023·高二单元测试）已知双曲线，、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，是的平分线，过作的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为_______．
【答案】
【解析】延长，交于，因为，，
，所以，所以，
所以，
因为M是双曲线C右支上一点，所以，
又因为P是的中点，O是的中点，所以，
所以P的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆的一部分，
所以点P的轨迹方程为．
故答案为：.
题型五：双曲线的简单几何性质
【例5】（2023·江西萍乡·高二统考期末）已知是双曲线的两个焦点，若双曲线的左､右顶点和原点把线段四等分，则该双曲线的焦距为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】因为是双曲线的两个焦点，若双曲线的左､右顶点和原点把线段四等分，
所以，即，即，
又因为，
解得，所以c=2，
所以该双曲线的焦距为.
故选：D
【对点训练20】（2023·高二课时练习）双曲线的焦点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为双曲线方程为，
化为标准方程为：，所以，
由于焦点在轴上，所以焦点坐标为：.
故选：C.
【对点训练21】（2023·高二课时练习）已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设双曲线的方程为，
因为，所以，则，
所以渐近线方程为.
故选：C.
【对点训练22】（2023·湖南衡阳·高二衡阳市八中校考阶段练习）已知双曲线的渐近线方程为，若双曲线C的焦点到渐近线的距离为12，则双曲线C的焦距为（ ）
A．30 B．24 C．15 D．12
【答案】A
【解析】依题意，右焦点到渐近线的距离，解得，
所以双曲线C的焦距为30.
故选：A.
【对点训练23】（2023·山东菏泽·高二统考期末）设双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】双曲线 的渐近线方程为： ，
又 ；
故选：A.
【对点训练24】（2023·四川泸州·高二校考阶段练习）已知双曲线：的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】已知双曲线的一个焦点为，得，则 ，
即，所以双曲线的渐近线方程为，
即.
故选：D.
题型六：求双曲线的离心率
【例6】（2023·广西河池·高二校联考阶段练习）已知双曲线C：的右焦点到一条渐近线的距离为3，则双曲线C的离心率为______．
【答案】
【解析】由题意双曲线方程为C：，可知，，
右焦点坐标为，其中一条渐近线的方程为，
故右焦点到该渐近线的距离，所以，
所以，
故答案为：．
【对点训练25】（2023·河南省直辖县级单位·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线的左支上存在一点，使得与双曲线的一条渐近线垂直于点，且，则此双曲线的离心率为______．
【答案】
【解析】设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为：
，，
一条渐近线方程为，
可得到渐近线的距离为，，
则，，
在直角三角形中，，
在中，可得
，
化为，即有.
故答案为：.
【对点训练26】（2023·湖北·高二郧阳中学校联考阶段练习）如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作．该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线的一部分，设该双曲线的方程为，右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为__________．
【答案】/
【解析】如图所示，设双曲线的左焦点为点，连接，设，则，
由双曲线的定义可得，
由于，则,又，则四边形为矩形，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
在中，由勾股定理得，即，
．
故答案为：.
【对点训练27】（2023·湖北孝感·高二统考期中）已知分别是双曲线的左､右焦点，点是双曲线的右顶点，点在过点且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为___________.
【答案】
【解析】由题知，过作轴于，则，
，
，解得，
故答案为：
【对点训练28】（2023·四川德阳·高二四川省广汉中学校考阶段练习）已知焦点在x轴上的双曲线的左右焦点别为和，其右支上存在一点P满足，且的面积为3，则该双曲线的离心率为______.
【答案】
【解析】由双曲线中焦点三角形面积，
所以，，
则，
故答案为：.
【对点训练29】（2023·天津·高二校联考期末）已知圆与双曲线的渐近线相切，且圆心到双曲线左顶点的距离为，则该双曲线的离心率是__________．
【答案】2
【解析】由，得圆心为，半径为，
设双曲线的一条渐近线方程为，
则双曲线的右焦点到渐近线的距离为，
又圆与该双曲线的渐近线相切，所以圆心到渐近线的距离为半径，
所以圆心即双曲线的右焦点，即.
双曲线左顶点为，由题意得，
由，得，解得，
所以该双曲线的离心率是.
故答案为：2.
【对点训练30】（2023·北京东城·高二北京市第五中学校考期中）双曲线C： 的渐近线与直线交于A，B两点，且，那么双曲线C的离心率为____.
【答案】
【解析】由双曲线的方程可得，且渐近线的方程为：，
与联立可得，所以，
由题意可得，解得，又，
所以双曲线的离心率.
故答案为：.
【对点训练31】（2023·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）已知双曲线C：的右焦点为F，O为坐标原点，以F为圆心，OF为半径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于O，A两点，若的面积等于2，则双曲线C的离心率为______.
【答案】
【解析】如图，设以F为圆心，OF为半径的圆与轴的另一个交点为B，过F作交OA于点M，则M为OA的中点，
因为OA为双曲线的渐近线，其方程为，即，
所以，所以，，
所以的面积为，
所以，所以双曲线的离心率，
故答案为：．
【对点训练32】（2023·云南保山·高二校联考阶段练习）设双曲线 (a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为该双曲线上一点且2|PF1|＝3|PF2|，若∠F1PF2＝60°，则该双曲线的离心率为______．
【答案】
【解析】因为2|PF1|＝3|PF2|，
所以由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝2a，
故|PF1|＝6a，|PF2|＝4a．
在△PF1F2中，由余弦定理得4c2＝36a2＋16a2－2·6a·4acos60°，化简整理得到，故．
故答案为：.
【对点训练33】（2023·内蒙古赤峰·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P为双曲线C右支上一点，直线与圆相切，且，则双曲线C的离心率为__________．
【答案】
【解析】如图，设直线与圆相切于点M，则，，
取的中点N，连接，
由，可得，
则，，
可得，且为的中点，
则，
故，即有，
由双曲线的定义可得，即，则，
可得，即，解得，即．
故答案为：.
【对点训练34】（2023·陕西安康·高二统考开学考试）双曲线的左，右焦点分别为，，C上一点到轴的距离为，，则双曲线的离心率为______.
【答案】/
【解析】设为第一象限内的点，，，，则，在中，
由余弦定理得，即，即.
∴的面积为，化简得，
同除以可得，解得（负的舍去）
故答案为：
题型七：求双曲线离心率的取值范围
【例7】（2023·贵州黔东南·高二凯里一中校考阶段练习）已知双曲线，若过右焦点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由题意知，双曲线的渐近线方程为，
要使直线与双曲线的右支有两个交点，
需使双曲线的渐近线方程的斜率小于直线的斜率，
即，即，由，
得，整理得，所以，
因为双曲线中，所以双曲线的离心率的范围是，
故答案为：．
【对点训练35】（2023·上海普陀·高二曹杨二中校考阶段练习）双曲线与直线无公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为_______．
【答案】
【解析】双曲线的渐近线方程为，
若双曲线与直线无公共点，
等价为双曲线的渐近线的斜率，即，
即，即，即，则，则，
，离心率满足，
即双曲线离心率的取值范围是.
故答案为：.
【对点训练36】（2023·河南驻马店·高二校考阶段练习）已知，分别是双曲线：的左、右焦点.若双曲线上存在一点使得，则双曲线的离心率的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
如图所示，，所以，所以，
又因为，即，即，
所以离心率，
所以双曲线的离心率的取值范围为，
故答案为: .
【对点训练37】（2023·湖北·高二校联考阶段练习）已知是双曲线的右焦点，直线与双曲线相交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是__________.
【答案】
【解析】联立方程，消去x得：
所以，即，解得，
设，则可得，
取双曲线的左焦点为，连结，由对称性知四边形为平行四边形，
由可得，
∵，则，
∴，则
即，整理得，解得，
综上可得：.
故双曲线的离心率的取值范围是.
故答案为：.
【对点训练38】（2023·辽宁锦州·高二校考期中）已知双曲线：的左右焦点分别为，，点在双曲线右支上，满足，，又直线：与双曲线的左、右两支各交于一点，则双曲线的离心率的取值范围是______.
【答案】
【解析】因为，故，
由双曲线定义可得，
由勾股定理知：，
整理得，，
又，，，
故，，
解得，
直线：与双曲线的左、右两支各交于一点，
则直线的斜率，
所以，
所以.
故答案为：.
【对点训练39】（2023·上海杨浦·高二复旦附中校考期中）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别是F₁、F₂，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形，若|PF₁|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e₁、e₂，则e₁e₂的取值范围是_____.
【答案】．
【解析】设，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，焦距为，
则，，
在第一象限，则，∴，
，，，，又，∴，
∴，
，
，则，．
故答案为：．
【对点训练40】（2023·陕西西安·高二统考期末）设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，若过点且斜率为的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则该双曲线的离心率的取值范围为_______________.
【答案】
【解析】由题可知双曲线的渐近线方程为，
由于过点且斜率为的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，
则，
因此，，又，
所以，该双曲线的离心率为取值范围是.
故答案为：.
【对点训练41】（2023·全国·高二专题练习）若双曲线上存在一点满足以为边长的正方形的面积等于（其中为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由题意，，又，
则，即，得，
∴，所以，
所以，即的取值范围是．
故答案为：．
题型八：由双曲线离心率求参数的取值范围
【例8】（2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知，是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，若C的离心率为，则的值为______．
【答案】3
【解析】由及双曲线的定义可得，
所以，，因为，在中，
由余弦定理可得，
即，所以，
即，解得或（舍去）.
故答案为：3
【对点训练42】（2023·江苏·高二统考期末）设为实数，已知双曲线的离心率，则的取值范围为_____________
【答案】
【解析】因为表示双曲线的方程，
所以有，因此，
因为，
所以由
，
即k的取值范围为，
故答案为：.
【对点训练43】（2023·全国·高二专题练习）焦点在轴上的双曲线的离心率为，则的值为___________.
【答案】
【解析】双曲线的标准方程为，由题意可得，则，，，
所以，，解得.
故答案为：.
【对点训练44】（2023·全国·高二专题练习）若双曲线的离心率不大于，则C的虚轴长的取值范围为___________.
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，所以，解得，
则，故虚轴长.
故答案为：.
【对点训练45】（2023·高二课时练习）中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为________.
【答案】
【解析】由题意，社区向的中心在坐标原点，离心率为，且焦点在y轴上，
可得＝，则＝＝，整理得＝，解得＝，
所以，所以双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
【对点训练46】（2023·四川宜宾·高二校考阶段练习）已知双曲线的离心率为2，则点到的渐近线的距离为______.
【答案】3
【解析】由题意，双曲线的离心率为2，
即，解得，
所以双曲线的一条渐近线的方程为，即，
所以点到的渐近线的距离为.
题型九：双曲线中的范围与最值问题
【例9】（2023·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期末）若点,在双曲线的渐近线上,且的面积为1（为坐标原点）,则长度的最小值为_______.
【答案】2
【解析】解:由题知双曲线方程为,
所以双曲线渐近线为,
故两条渐近线斜率之积为-1,
即两渐近线垂直,
故为直角三角形,
记,
所以,
因为三角形的面积为1,
所以,
即,
解得,
因为
,
当且仅当时取等,
故长度的最小值为2.
故答案为:2
【对点训练47】（2023·高二课时练习）设双曲线C：的左焦点和右焦点分别是，，点A是C右支上的一点，则的最小值为___________.
【答案】8
【解析】由双曲线C：，可得，，
所以，所以，，由双曲线的定义可得，
所以，所以，
由双曲线的性质可知：，令，则，
所以，记，
设，则，
所以，即在上单调递增，
所以当时，取得最小值，此时点A为双曲线的右顶点（1，0）．
故答案为：8．
【对点训练48】（2023·湖南衡阳·高二衡阳市八中校考期中）已知双曲线的方程为，如图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线的右支上，则的最小值为_______．
【答案】/
【解析】双曲线的方程为，则，双曲线焦点为、，
， 圆心为，半径为，
则，
当、、共线时，等号成立；
又，
当、、共线时，等号成立，
的最小值为，
故答案为:．
【对点训练49】（2023·福建福州·高二福建省福州第二中学校考期末）有一凸透镜其剂面图（如图所示）是由椭圆和双曲线的实线部分组成，已知两曲线有共同焦点M，N，动点A，B分别在左右两部分实线上运动，则△ANB周长的最小值为______________
【答案】
【解析】由题意，双曲线，可得，
根据双曲线的定义可得，即，
又由椭圆，可得，
根据椭圆的定义可得，所以，
所以周长为,
故周长的最小值为，其中三点共线时，等号成立.
故答案为：.
【对点训练50】（2023·北京·高二期中）已知点，，，动点M到A的距离比到B的距离多2，则动点M到B，C两点的距离之和的最小值为___________.
【答案】4
【解析】点，，且动点M到A的距离比到B的距离多2，
所以，
故动点M的轨迹为双曲线右侧一支，
则动点M到B，C两点的距离之和，
当且仅当M，A，C三点共线时取等号，
所以动点M到B，C两点的距离之和的最小值为4.
故答案为：4.
【对点训练51】（2023·高二课时练习）已知双曲线的一个焦点为．若已知点，点是双曲线上的任意一点，则的最小值是______．
【答案】3
【解析】由题意，可知，∴，∴双曲线的方程为．
由，得，
∴．
又或，
∴当时，取得最小值，为3．
故答案为：3.
【对点训练52】（2023·江西宜春·高二上高二中校考期末）是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为__________．
【答案】9
【解析】由题意，圆的圆心为，半径为2，的圆心为，半径为1，故双曲线焦点即为两圆圆心.
所以的最大值即：的最大值减去的最小值. 的最大值为，的最小值为，根据双曲线的定义可得两者相减得.
故答案为：9
【对点训练53】（2023·广西桂林·高二桂林中学校考期中）已知直线与双曲线的左、右支各有一个公共点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】由，可得，
依题意有，
解得.
故答案为：.
题型十：焦点三角形
【例10】（2023·安徽滁州·高二校考期末）若直线与双曲线的左支交于不同的两点，则的取值范围为________.
【答案】
【解析】联立方程得,①
若直线与双曲线的左支交于不同的两点，则方程①有两个不等的负根.
所以
解得.
故答案为：.
【对点训练54】（2023·高二课时练习）已知点F1，F2分别是双曲线=1的左、右焦点，若点P是双曲线左支上的点，且，则△的面积为____.
【答案】16
【解析】双曲线，所以，，所以，，
是双曲线左支上的点，，，
在△中，由余弦定理得，
，
△的面积为.
故答案为：.
【对点训练55】（2023·上海普陀·高二校考期中）点为双曲线上的点，、为左、右焦点，若，则的面积是__．
【答案】
【解析】由题意得，，且，
由余弦定理得
，
所以,
所以的面积,
故答案为：
【对点训练56】（2023·江苏泰州·高二靖江高级中学校考阶段练习）已知椭圆C与双曲线E：有相同的焦点，，点M是椭圆C与双曲线E的一个公共点，若，则椭圆C的标准方程为_________．
【答案】
【解析】设椭圆标准方程为，焦半距为.
令，
，即
因为点M在双曲线E上，所以即,
，即
又因为点M在椭圆C上，所以，即.
因为椭圆C与双曲线E：有相同的焦点，，
所以，，所以椭圆方程为.
故答案为：
【对点训练57】（2023·高二课时练习）已知点分别是双曲线的下、上焦点，若点是双曲线下支上的点，且，则的面积为________.
【答案】16
【解析】因为是双曲线下支上的点，所以，两边平方得：
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36，所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.
在△F1PF2中，由余弦定理，得cos ∠F1PF2==0，
所以∠F1PF2=90°，所以|PF1|·|PF2|=×32=16
故答案为：
【对点训练58】（2023·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）已知，为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C上，，则______．
【答案】/
【解析】，，则，，，
.
故答案为：.
【对点训练59】（2023·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）已知双曲线的焦点为，，过左焦点交双曲线左支于A、B两点，若则等于________.
【答案】8
【解析】双曲线的实轴长
过左焦点交双曲线左支于A、B两点，
则，
又,
则
故答案为：8
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·四川成都·高二校联考期末）若双曲线的渐近线方程为，实轴长为 ，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题可得，解得，
因为焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为.
故选:C.
2．（2023·高二课时练习）方程＋＝1表示的曲线是（ ）
A．焦点为点(－3,0)与(3,0)，离心率为的椭圆
B．焦点为点(0,－3)与(0,3)，离心率为的椭圆
C．焦点为点(－3,0)与(3,0)，离心率为的椭圆
D．焦点为点(0,－3)与(0,3)，离心率为的椭圆
【答案】B
【解析】由方程可知，它表示焦点在y轴上的椭圆，且a＝5，b＝4，∴c＝3，
所以椭圆的焦点为F1(0,－3)，F2(0,3)，离心率为．
故选：B.
3．（2023·江西·高二校联考期中）若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】方程表示双曲线,则，解得或，
故选：D
4．（2023·河南周口·高二校联考阶段练习）已知双曲线的右焦点为，点M在双曲线的右支上，满足轴，O为坐标原点且，则离心率（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】，设M点为，代入，解得，
又，
故，则，即，即，
又，解得．
故选：C．
5．（2023·四川宜宾·高二宜宾市叙州区第一中学校校考期末）已知双曲线的离心率e是它的一条渐近线斜率的2倍，则e=（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】由题意可知，，即，
则，解得：，
所以双曲线的离心率.
故选：C
6．（2023·安徽滁州·高二校考开学考试）若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【解析】由双曲线标准方程得：，
由双曲线定义得:
即，
解得（舍去）或，
故选：A.
7．（2023·陕西汉中·高二校考期中）设双曲线C的方程为，直线l过点和点．若双曲线C的一条渐近线与直线l平行，另一条渐近线与直线l垂直，则双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知，直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，
因为，解得．
故选：D．
8．（2023·福建泉州·高二校联考期中）已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若恒成立，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，过点作渐近线的垂线，垂足为，
设，则点到渐近线的距离.
由双曲线的定义可得，故，
所以，即的最小值为，
因为恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
所以，，即，即，
所以，，即，解得.
故选：A.
二、多选题
9．（2023·湖南衡阳·高二衡阳市一中校考期末）若，则方程可以表示下列哪些曲线（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
【答案】ABD
【解析】当时，，方程表示双曲线，
当时，方程为，即，表示两条直线，
当时，，方程表示焦点在轴的椭圆，
当时，，方程表示焦点在轴的椭圆，
当时，，方程表示圆.
故选：ABD
10．（2023·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）已知双曲线，左、右焦点为，为双曲线上一点，则下列正确的是（ ）
A．离心率为 B．渐近线方程为
C．虚轴长为4 D．若，则
【答案】BCD
【解析】对于A，已知双曲线，则，A选项错误；
对于B，，所以渐近线方程为，B选项正确；
对于C，虚轴长，C选项正确；
对于D，由定义可知，若，
则或（舍），D选项正确；
故选：BCD.
11．（2023·广东深圳·高二深圳中学校考期中）定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线，以下关于共轭双曲线的结论正确的有（ ）
A．与共轭的双曲线是
B．互为共轭的双曲线渐近线不相同
C．互为共轭的双曲线的离心率为，则
D．互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上
【答案】CD
【解析】对于A，根据共轭双曲线的定义可知，与共轭的双曲线是，A错误；
对于B，的渐近线方程为，
的渐近线方程也为，二者相同，B错误；
对于C，由题意可得，
故，
由于，故，即，
当且仅当时等号成立，C正确；
对于D，的焦点坐标为，
其共轭双曲线的焦点坐标为，
显然这4个焦点在以原点为圆心，为半径的圆上，D正确，
故选：CD
12．（2023·云南玉溪·高二云南省玉溪第一中学校考期中）已知双曲线：与椭圆的焦点相同，双曲线的左右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，与轴相交于点，的内切圆与边相切于点.若，则下列说法错误的有（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的方程为
C．若，则的内切圆面积为
D．过点与双曲线有且仅有一个交点的直线有3条
【答案】ACD
【解析】
如图，设、与的内切圆分别相切与两点，
所以，且，
因为
，可得，
双曲线：与椭圆的焦点相同，
所以，可得，所以双曲线的离心率为，故A错误；
所以双曲线的方程为，故B正确；
对于C，若，设，则，，
由可得，解得，
可得，
由得，
解得，即内切圆的半径为，
则的内切圆面积为故C错误；
对于D，当过点的直线与轴垂直时，其方程为，与双曲线方程联立
，可得，即直线与双曲线有一个交点；
当过点的直线与轴不垂直时，设其方程为，与双曲线方程联立
可得，
当时，此时可得直线与双曲线有一个交点；
当即时，由得
，可得，此时直线与双曲线有一个交点；
综上所述，过点与双曲线有且仅有一个交点的直线有4条，故D错误；
故选：ACD.
三、填空题
13．（2023·上海宝山·高二统考期末）双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为______.
【答案】/0.6
【解析】双曲线的两条渐近线为，直线的倾斜角为，，，
所以两条渐近线的夹角的余弦值为．
故答案为：．
14．（2023·上海静安·高二统考期末）若双曲线的渐近线方程为，且过点，则的焦距为__________.
【答案】
【解析】因为双曲线的渐近线方程是，故可设双曲线的方程为：，
把点代入双曲线方程可得，
所以双曲线方程为，化为标准方程得，
所以，，，，
所以双曲线的焦距为．
故答案为：．
15．（2023·贵州·高二贵州师大附中校联考阶段练习）点是双曲线上一动点，过做圆的两条切线，切点为，，则的最小值为____________.
【答案】
【解析】由题知：设，，则，
由于是直角三角形，且，所以当取得最小值时，取得最小值，
则
，当时，等号成立，
故，
故答案为:.
16．（2023·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）已知直线与离心率为的双曲线的一条渐近线平行，则所有可能取的值之和为______．
【答案】
【解析】由离心率为可得，解得：，
则的渐近线为，
则m可能取的值为，和为0.
故答案为：0．
四、解答题
17．（2023·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考期中）求满足下列条件的曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，且经过点和点的椭圆的标准方程；
(2)焦点在轴上，焦距是16，的双曲线的标准方程
【解析】（1）由题意得：，，因为焦点在x轴上，所以椭圆方程为：；
（2）依题意，又，所以，所以，
由于双曲线焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为．
18．（2023·高二单元测试）若双曲线C：上一点到左、右焦点的距离之差的绝对值为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设、是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线上的点，若，求的面积.
【解析】（1）令分别是左右焦点，则，得，
双曲线的方程为 ，将点 代入上式，得：
，
双曲线的标准方程为 ；
（2）不妨设点P在第一象限，由双曲线的几何性质知： ，
，解得 ，
在△中，，
设与的夹角为 ，由余弦定理得：，
；
综上，双曲线的标准方程为，△的面积为 .
19．（2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，右顶点为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知过点的直线与双曲线只有一个公共点，求直线的方程.
【解析】（1）双曲线的一条渐近线为，故焦点到直线的距离为，所以，又，
所以双曲线方程为
（2）由题知，直线的斜率必存在.
设直线方程为：
联立，消y得
①当时，上述方程只有一解，符合题意，
所以；
②当时，为使上述方程只有一解即，
，
化解得：，所以，
所以.
综上，直线方程为：或.
20．（2023·湖南湘潭·高二统考期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程.
【解析】（1）由题意得：，，，
解得：，，，
双曲线的标准方程为．
（2）由题意可知，直线的斜率一定存在，
设直线的方程为，，，，，
联立方程组，消去整理得，
则，
原点到直线的距离为 ，
所以，
解得或，故 或，
故直线方程为或
21．（2023·重庆璧山·高二重庆市璧山来凤中学校校考阶段练习）已知双曲线的离心率为，实轴长为．
(1)写出双曲线的渐近线方程；
(2)直线与双曲线右支交于不同的两点，求实数的取值范围．
【解析】（1）由已知有，，所以，
所以双曲线方程为，或，渐近线方程为
（2）设两交点坐标分别为，，
联立，消去得，
由已知，因为直线与双曲线右支交于不同的两点，
所以解得，
实数的取值范围为.
22．（2023·江苏南通·高二统考期末）已知双曲线的实轴长为2，右焦点到的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于，两点，求的面积.
【解析】（1）设双曲线的焦距为，
因为双曲线的实轴长为2，所以，解得.
因为右焦点到的距离为，所以，解得或.
因为，所以.可得，
所以双曲线的方程为.
（2）设，，
联立直线和双曲线可得，
即，或
不妨设，，所以.
所以.
即的面积为
第13讲 双曲线
【题型归纳目录】
题型一：双曲线的定义、条件
题型二：求双曲线的标准方程
题型三：双曲线的综合问题
题型四：轨迹方程
题型五：双曲线的简单几何性质
题型六：求双曲线的离心率
题型七：求双曲线离心率的取值范围
题型八：由双曲线离心率求参数的取值范围
题型九：双曲线中的范围与最值问题
题型十：焦点三角形
【知识点梳理】
知识点一：双曲线的定义
在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距．
知识点诠释：
1、 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；
2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
3、 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；
4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；
5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
知识点二：双曲线的标准方程
1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；
2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中
椭圆、双曲线的区别和联系：
椭圆
双曲线
根据|MF1|+|MF2|=2a
根据|MF1|－|MF2|=±2a
a＞c＞0，
a2－c2=b2（b＞0）
0＜a＜c，
c2－a2=b2（b＞0）
，
（a＞b＞0）
，
（a＞0，b＞0，a不一定大于b）
（a最大）
（c最大）
标准方程统一为：
方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件
方程Ax2+By2=C可化为，即，
所以只有A、B异号，方程表示双曲线．
当时，双曲线的焦点在x轴上；
当时，双曲线的焦点在y轴上．
知识点诠释：
3、当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上．
4、双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2．
5、双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．
6、对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．
知识点三：求双曲线的标准方程
①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是“先定型，再定量”；
②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程．
知识点四：双曲线的简单几何性质
双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质
范围
双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a和x=a的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a．
对称性
对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心．
顶点
①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点．
②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为
A1（-a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点．
③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，-b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b．a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长．
①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆．
②双曲线的焦点总在实轴上．
③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
离心率
①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作．
②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率．
由c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度．
③等轴双曲线，所以离心率．
渐近线
经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是．
我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交．
知识点四：双曲线两个标准方程几何性质的比较
标准方程
图形
性质
焦点
，
，
焦距
范围
，
，
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
轴
实轴长=，虚轴长=
离心率
渐近线方程
知识点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．
对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．
知识点五：双曲线的渐近线
（1）已知双曲线方程求渐近线方程：
若双曲线方程为，则其渐近线方程为
已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．
（2）已知渐近线方程求双曲线方程：
若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可．
（3）与双曲线有公共渐近线的双曲线
与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上）
（4）等轴双曲线的渐近线
等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为．
知识点六：双曲线中a，b，c的几何意义及有关线段的几何特征：
双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞b＞0，c＞a＞0，且c2=b2+a2．
双曲线，如图：
（1）实轴长，虚轴长，焦距，
（2）离心率：；
（3）顶点到焦点的距离：，；
【典例例题】
题型一：双曲线的定义、条件
【例1】（2023·高二课时练习）平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线
【答案】B
【解析】如图：
设动点为，到两个定点的距离之差的绝对值为，
则若在线段（不包含两端点）上，有；
若在直线外，有；
若在线段的延长线上或线段的反向延长线上（均包含两端点），
则有.
故选：B
【对点训练1】（2023·高二课时练习）到两定点、的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹（ ）
A．椭圆 B．直线 C．双曲线 D．两条射线
【答案】D
【解析】因为，，
故的轨迹是已、为端点的两条射线，
故选：D.
【对点训练2】（2023·高二课时练习）已知动点满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线左支
C．双曲线右支 D．一条射线
【答案】C
【解析】因为 的几何意义是动点到点与的距离之差为2，
又因为，
所以由双曲线的定义，知动点P的轨迹是双曲线右支．
故选：C
【对点训练3】（2023·四川成都·高二成都实外校考阶段练习）方程所表示的曲线是（ ）
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分 D．直线的一部分
【答案】C
【解析】方程两边平方后可整理出双曲线的方程，由于的值只能取大于等于1的数，推断出方程表示的曲线为双曲线的一部分．两边平方，
可变为，
即，
表示的曲线为双曲线的一部分；
故选：C．
题型二：求双曲线的标准方程
【例2】（2023·广东揭阳·高二惠来县第一中学校考阶段练习）解答下列两个小题：
(1)双曲线：离心率为，且点在双曲线上，求的方程；
(2)椭圆的焦点在轴上，焦距为，且经过点，求椭圆的标准方程.
【解析】（1）双曲线半焦距为c，由离心率，得，即，
又，即，
双曲线的方程即为，点坐标代入此方程得，解得．
所以双曲线的方程为．
（2）依题意，设椭圆方程为：，
因为椭圆的焦距为，则椭圆的半焦距，即有，又椭圆过点，
因此，整理得：，解得：，则，
所以椭圆方程为：.
【对点训练4】（2023·高二课时练习）求与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线的标准方程．
【解析】设所求双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线方程可得，
因此，所求双曲线的方程为，其标准方程为.
【对点训练5】（2023·四川成都·高二校考期中）求满足下列条件的曲线的标准方程：
(1)两个焦点坐标分别是、，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10的椭圆方程；
(2)已知双曲线的渐近线方程为，焦距为10．
【解析】（1）因为椭圆的焦点在x轴上，
∴设它的标准方程为，
又椭圆上一点P到两焦点的距离的和是10，故，
∴，又∵，
∴，
∴所求椭圆的标准方程为；
（2）当双曲线的焦点在轴时，可设双曲线标准方程为，
则，解得，
所以双曲线的标准方程为；
当双曲线的焦点在轴时，可设双曲线标准方程为，
则，解得，
所以双曲线的标准方程为；
所以双曲线的标准方程为或.
【对点训练6】（2023·高二单元测试）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在轴上，实轴长为，其离心率；
(2)渐近线方程为，经过点．
(3)双曲线：离心率为，且点在双曲线上，求的方程；
(4)双曲线实轴长为，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程．
【解析】（1）设双曲线的标准方程为：，
由题知：，解得，
所以双曲线方程为：；
（2）由渐近线方程为，
设双曲线方程为：，
将代入，
解得，
所以双曲线方程为：；
（3）由，得，即，
又，即，
双曲线的方程即为，
点坐标代入得，
解得，
所以双曲线的方程为；
（4）椭圆的焦点为，
则，
设双曲线的方程为，
所以，且，
所以，，
所以双曲线的方程为.
题型三：双曲线的综合问题
【例3】（2023·新疆喀什·高二校考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，动点M满足|| MF₁ | -| MF₂|| =4.
(1)求动点M的轨迹C的方程：
(2)已知点A(-2，0)，B(2，0)，当点M与A，B不重合时，设直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，证明:为定值.
【解析】（1）由椭圆知：
所以左、右焦点分别为
因为动点M满足|| MF₁ | -| MF₂|| =4
所以动点在以为焦点的双曲线上，
设动点设方程为：
由双曲线的定义得：
所以
所以动点设方程为：
（2）设
则
由
所以
所以.
【对点训练7】（2023·江苏徐州·高二校考期中）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线．
(1)设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若，求点M的坐标；
(2)设斜率为的直线l交C于P、Q两点，若l与圆相切，求证：．
【解析】（1）由双曲线，可得，
∴，设，则，
∴，
∴，
又M是C右支上一点，故，
∴，
即；
（2）设直线PQ的方程为，因直线PQ与已知圆相切，
故，即，
由，得，
设、，则，
又，
所以
，
所以．
【对点训练8】（2023·上海·高二专题练习）已知点､依次为双曲线（，）的左､右焦点，且，.
(1)若，以为法向量的直线经过，求到的距离；
(2)设双曲线经过第一､三象限的渐近线为，若直线与直线垂直，求双曲线的离心率.
【解析】（1）由题意，，，则，，直线的方程为.
所以，点到的距离为.
（2）由题意，，，其中，，则直线的斜率.
双曲线的一条渐近线，其斜率为.
因为直线与直线垂直，所以.
代入可得，，又因为，所以，
两边同除以，可得，解得.
又因为，所以.
【对点训练9】（2023·四川资阳·高二校考期中）已知双曲线C：的焦距为4，且过点.
(1)求双曲线方程；
(2)若直线与双曲线C有且只有一个公共点，求实数的值.
【解析】（1）由题意可知双曲线的焦点为和，
根据定义有．
，又，所以，，．
所求双曲线的方程为．
（2）因为双曲线的方程为，所以渐近线方程为；
由，消去整理得．
①当即时，此时直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线相交于一点，符合题意；
②当即时，由，解得，
此时直线双曲线相切于一个公共点，符合题意．
综上所述：符合题意的的所有取值为，．
【对点训练10】（多选题）（2023·安徽合肥·高二校考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，点在双曲线上，则下列结论正确的是（ ）
A．该双曲线的离心率为
B．若，则的面积为
C．点到两渐近线的距离乘积为
D．直线和直线的斜率乘积为
【答案】ACD
【解析】由双曲线方程得，，，双曲线的离心率为，A正确；
若，不妨设，，，B错误；
设，则，，渐近线方程为，
点到两渐近线的距离乘积为，C正确；
，，，D正确；
故选：ACD
【对点训练11】（多选题）（2023·湖北十堰·高二校联考阶段练习）若是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，共焦点，，，，的离心率分别为，，则下列结论中正确的是（ ）
A．， B．
C．若，则 D．若，则的最小值为2
【答案】BC
【解析】依题意，，解得，A不正确；
令，由余弦定理得： ，
因为在椭圆中，在双曲线中，，
所以，故B选项正确；
当时，，即，
所以，即，
所以，，故C选项正确；
当时，，即，
所以，，有，
因为，
所以，，解得，D不正确；
故选：BC
题型四：轨迹方程
【例4】（2023·陕西宝鸡·高二统考期末）动点与点与点满足，则点的轨迹方程为__________．
【答案】
【解析】由知，
点的轨迹是以、为焦点的双曲线下支，
得，，
，，
故动点的轨迹方程是．
故答案为：．
【对点训练12】（2023·上海浦东新·高二校考期末）已知轴上两点，则平面内到这两点距离之差的绝对值为8的动点的轨迹方程为________
【答案】
【解析】由题，动点轨迹为以为焦点，实轴为的双曲线，设双曲线方程为：
，右焦点为，则，
故.则双曲线方程为：.
故答案为：.
【对点训练13】（2023·高二课时练习）动圆过点，且与圆外切，则动圆圆心的轨迹方程是______．
【答案】
【解析】设动圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
因为动圆过点，且与圆外切，
所以，，，
所以，
所以，由双曲线的定义得的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的右支，
因为实轴长为，焦点为，
所以，动圆圆心的轨迹方程是，即
故答案为：
【对点训练14】（2023·河北石家庄·高二河北新乐市第一中学统考期中）已知圆M与圆C1：和圆C2：一个内切一个外切，则点M的轨迹方程为___________.
【答案】
【解析】当圆与圆内切，与圆外切时，，，
当圆与圆外切，与圆内切时，，，
所以，点的轨迹为双曲线，设轨迹方程为，，，则，所以轨迹方程为.
故答案为：.
【对点训练15】（2023·辽宁本溪·高二校考阶段练习）已知椭圆的方程为，其左､右顶点分别为，一条垂直于轴的直线交椭圆于两点，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为___________.
【答案】
【解析】由题意知，
设直线为，，
由三点共线及三点共线，
得，
两式相乘化简，得，
又，
所以，即，
又，即，
所以点的轨迹方程为.
故答案为：
【对点训练16】（2023·浙江杭州·高二杭州四中校考期末）法国数学家蒙日发现：双曲线的两条互相垂直切线的交点的轨迹方程为：，这个圆被称为蒙日圆.若某双曲线对应的蒙日圆方程为，则___________.
【答案】2
【解析】由双曲线的方程可得，
由蒙日圆的定义可得双曲线对应的蒙日圆方程，所以，即，
可得.
故答案为：2.
【对点训练17】（2023·广西百色·高二阶段练习）设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段的中点，则点M的轨迹方程为_____________．
【答案】
【解析】设，，
则，即，
又，则，
整理得，
即点M的轨迹方程为.
故答案为：
【对点训练18】（2023·高二课时练习）如图，圆，点，动圆P过点F，且与圆E内切于点M，则动圆P的圆心P的轨迹方程为______．
【答案】
【解析】圆的方程为，圆心为，半径．
设动圆圆心为，
动圆与圆内切于点，
，
的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，其中，得，
而，，
故所求轨迹方程为．
故答案为：
【对点训练19】（2023·高二单元测试）已知双曲线，、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，是的平分线，过作的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为_______．
【答案】
【解析】延长，交于，因为，，
，所以，所以，
所以，
因为M是双曲线C右支上一点，所以，
又因为P是的中点，O是的中点，所以，
所以P的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆的一部分，
所以点P的轨迹方程为．
故答案为：.
题型五：双曲线的简单几何性质
【例5】（2023·江西萍乡·高二统考期末）已知是双曲线的两个焦点，若双曲线的左､右顶点和原点把线段四等分，则该双曲线的焦距为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】因为是双曲线的两个焦点，若双曲线的左､右顶点和原点把线段四等分，
所以，即，即，
又因为，
解得，所以c=2，
所以该双曲线的焦距为.
故选：D
【对点训练20】（2023·高二课时练习）双曲线的焦点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为双曲线方程为，
化为标准方程为：，所以，
由于焦点在轴上，所以焦点坐标为：.
故选：C.
【对点训练21】（2023·高二课时练习）已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设双曲线的方程为，
因为，所以，则，
所以渐近线方程为.
故选：C.
【对点训练22】（2023·湖南衡阳·高二衡阳市八中校考阶段练习）已知双曲线的渐近线方程为，若双曲线C的焦点到渐近线的距离为12，则双曲线C的焦距为（ ）
A．30 B．24 C．15 D．12
【答案】A
【解析】依题意，右焦点到渐近线的距离，解得，
所以双曲线C的焦距为30.
故选：A.
【对点训练23】（2023·山东菏泽·高二统考期末）设双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】双曲线 的渐近线方程为： ，
又 ；
故选：A.
【对点训练24】（2023·四川泸州·高二校考阶段练习）已知双曲线：的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】已知双曲线的一个焦点为，得，则 ，
即，所以双曲线的渐近线方程为，
即.
故选：D.
题型六：求双曲线的离心率
【例6】（2023·广西河池·高二校联考阶段练习）已知双曲线C：的右焦点到一条渐近线的距离为3，则双曲线C的离心率为______．
【答案】
【解析】由题意双曲线方程为C：，可知，，
右焦点坐标为，其中一条渐近线的方程为，
故右焦点到该渐近线的距离，所以，
所以，
故答案为：．
【对点训练25】（2023·河南省直辖县级单位·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线的左支上存在一点，使得与双曲线的一条渐近线垂直于点，且，则此双曲线的离心率为______．
【答案】
【解析】设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为：
，，
一条渐近线方程为，
可得到渐近线的距离为，，
则，，
在直角三角形中，，
在中，可得
，
化为，即有.
故答案为：.
【对点训练26】（2023·湖北·高二郧阳中学校联考阶段练习）如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作．该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线的一部分，设该双曲线的方程为，右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为__________．
【答案】/
【解析】如图所示，设双曲线的左焦点为点，连接，设，则，
由双曲线的定义可得，
由于，则,又，则四边形为矩形，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
在中，由勾股定理得，即，
．
故答案为：.
【对点训练27】（2023·湖北孝感·高二统考期中）已知分别是双曲线的左､右焦点，点是双曲线的右顶点，点在过点且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为___________.
【答案】
【解析】由题知，过作轴于，则，
，
，解得，
故答案为：
【对点训练28】（2023·四川德阳·高二四川省广汉中学校考阶段练习）已知焦点在x轴上的双曲线的左右焦点别为和，其右支上存在一点P满足，且的面积为3，则该双曲线的离心率为______.
【答案】
【解析】由双曲线中焦点三角形面积，
所以，，
则，
故答案为：.
【对点训练29】（2023·天津·高二校联考期末）已知圆与双曲线的渐近线相切，且圆心到双曲线左顶点的距离为，则该双曲线的离心率是__________．
【答案】2
【解析】由，得圆心为，半径为，
设双曲线的一条渐近线方程为，
则双曲线的右焦点到渐近线的距离为，
又圆与该双曲线的渐近线相切，所以圆心到渐近线的距离为半径，
所以圆心即双曲线的右焦点，即.
双曲线左顶点为，由题意得，
由，得，解得，
所以该双曲线的离心率是.
故答案为：2.
【对点训练30】（2023·北京东城·高二北京市第五中学校考期中）双曲线C： 的渐近线与直线交于A，B两点，且，那么双曲线C的离心率为____.
【答案】
【解析】由双曲线的方程可得，且渐近线的方程为：，
与联立可得，所以，
由题意可得，解得，又，
所以双曲线的离心率.
故答案为：.
【对点训练31】（2023·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）已知双曲线C：的右焦点为F，O为坐标原点，以F为圆心，OF为半径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于O，A两点，若的面积等于2，则双曲线C的离心率为______.
【答案】
【解析】如图，设以F为圆心，OF为半径的圆与轴的另一个交点为B，过F作交OA于点M，则M为OA的中点，
因为OA为双曲线的渐近线，其方程为，即，
所以，所以，，
所以的面积为，
所以，所以双曲线的离心率，
故答案为：．
【对点训练32】（2023·云南保山·高二校联考阶段练习）设双曲线 (a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为该双曲线上一点且2|PF1|＝3|PF2|，若∠F1PF2＝60°，则该双曲线的离心率为______．
【答案】
【解析】因为2|PF1|＝3|PF2|，
所以由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝2a，
故|PF1|＝6a，|PF2|＝4a．
在△PF1F2中，由余弦定理得4c2＝36a2＋16a2－2·6a·4acos60°，化简整理得到，故．
故答案为：.
【对点训练33】（2023·内蒙古赤峰·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P为双曲线C右支上一点，直线与圆相切，且，则双曲线C的离心率为__________．
【答案】
【解析】如图，设直线与圆相切于点M，则，，
取的中点N，连接，
由，可得，
则，，
可得，且为的中点，
则，
故，即有，
由双曲线的定义可得，即，则，
可得，即，解得，即．
故答案为：.
【对点训练34】（2023·陕西安康·高二统考开学考试）双曲线的左，右焦点分别为，，C上一点到轴的距离为，，则双曲线的离心率为______.
【答案】/
【解析】设为第一象限内的点，，，，则，在中，
由余弦定理得，即，即.
∴的面积为，化简得，
同除以可得，解得（负的舍去）
故答案为：
题型七：求双曲线离心率的取值范围
【例7】（2023·贵州黔东南·高二凯里一中校考阶段练习）已知双曲线，若过右焦点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由题意知，双曲线的渐近线方程为，
要使直线与双曲线的右支有两个交点，
需使双曲线的渐近线方程的斜率小于直线的斜率，
即，即，由，
得，整理得，所以，
因为双曲线中，所以双曲线的离心率的范围是，
故答案为：．
【对点训练35】（2023·上海普陀·高二曹杨二中校考阶段练习）双曲线与直线无公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为_______．
【答案】
【解析】双曲线的渐近线方程为，
若双曲线与直线无公共点，
等价为双曲线的渐近线的斜率，即，
即，即，即，则，则，
，离心率满足，
即双曲线离心率的取值范围是.
故答案为：.
【对点训练36】（2023·河南驻马店·高二校考阶段练习）已知，分别是双曲线：的左、右焦点.若双曲线上存在一点使得，则双曲线的离心率的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
如图所示，，所以，所以，
又因为，即，即，
所以离心率，
所以双曲线的离心率的取值范围为，
故答案为: .
【对点训练37】（2023·湖北·高二校联考阶段练习）已知是双曲线的右焦点，直线与双曲线相交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是__________.
【答案】
【解析】联立方程，消去x得：
所以，即，解得，
设，则可得，
取双曲线的左焦点为，连结，由对称性知四边形为平行四边形，
由可得，
∵，则，
∴，则
即，整理得，解得，
综上可得：.
故双曲线的离心率的取值范围是.
故答案为：.
【对点训练38】（2023·辽宁锦州·高二校考期中）已知双曲线：的左右焦点分别为，，点在双曲线右支上，满足，，又直线：与双曲线的左、右两支各交于一点，则双曲线的离心率的取值范围是______.
【答案】
【解析】因为，故，
由双曲线定义可得，
由勾股定理知：，
整理得，，
又，，，
故，，
解得，
直线：与双曲线的左、右两支各交于一点，
则直线的斜率，
所以，
所以.
故答案为：.
【对点训练39】（2023·上海杨浦·高二复旦附中校考期中）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别是F₁、F₂，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形，若|PF₁|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e₁、e₂，则e₁e₂的取值范围是_____.
【答案】．
【解析】设，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，焦距为，
则，，
在第一象限，则，∴，
，，，，又，∴，
∴，
，
，则，．
故答案为：．
【对点训练40】（2023·陕西西安·高二统考期末）设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，若过点且斜率为的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则该双曲线的离心率的取值范围为_______________.
【答案】
【解析】由题可知双曲线的渐近线方程为，
由于过点且斜率为的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，
则，
因此，，又，
所以，该双曲线的离心率为取值范围是.
故答案为：.
【对点训练41】（2023·全国·高二专题练习）若双曲线上存在一点满足以为边长的正方形的面积等于（其中为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由题意，，又，
则，即，得，
∴，所以，
所以，即的取值范围是．
故答案为：．
题型八：由双曲线离心率求参数的取值范围
【例8】（2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知，是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，若C的离心率为，则的值为______．
【答案】3
【解析】由及双曲线的定义可得，
所以，，因为，在中，
由余弦定理可得，
即，所以，
即，解得或（舍去）.
故答案为：3
【对点训练42】（2023·江苏·高二统考期末）设为实数，已知双曲线的离心率，则的取值范围为_____________
【答案】
【解析】因为表示双曲线的方程，
所以有，因此，
因为，
所以由
，
即k的取值范围为，
故答案为：.
【对点训练43】（2023·全国·高二专题练习）焦点在轴上的双曲线的离心率为，则的值为___________.
【答案】
【解析】双曲线的标准方程为，由题意可得，则，，，
所以，，解得.
故答案为：.
【对点训练44】（2023·全国·高二专题练习）若双曲线的离心率不大于，则C的虚轴长的取值范围为___________.
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，所以，解得，
则，故虚轴长.
故答案为：.
【对点训练45】（2023·高二课时练习）中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为________.
【答案】
【解析】由题意，社区向的中心在坐标原点，离心率为，且焦点在y轴上，
可得＝，则＝＝，整理得＝，解得＝，
所以，所以双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
【对点训练46】（2023·四川宜宾·高二校考阶段练习）已知双曲线的离心率为2，则点到的渐近线的距离为______.
【答案】3
【解析】由题意，双曲线的离心率为2，
即，解得，
所以双曲线的一条渐近线的方程为，即，
所以点到的渐近线的距离为.
题型九：双曲线中的范围与最值问题
【例9】（2023·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期末）若点,在双曲线的渐近线上,且的面积为1（为坐标原点）,则长度的最小值为_______.
【答案】2
【解析】解:由题知双曲线方程为,
所以双曲线渐近线为,
故两条渐近线斜率之积为-1,
即两渐近线垂直,
故为直角三角形,
记,
所以,
因为三角形的面积为1,
所以,
即,
解得,
因为
,
当且仅当时取等,
故长度的最小值为2.
故答案为:2
【对点训练47】（2023·高二课时练习）设双曲线C：的左焦点和右焦点分别是，，点A是C右支上的一点，则的最小值为___________.
【答案】8
【解析】由双曲线C：，可得，，
所以，所以，，由双曲线的定义可得，
所以，所以，
由双曲线的性质可知：，令，则，
所以，记，
设，则，
所以，即在上单调递增，
所以当时，取得最小值，此时点A为双曲线的右顶点（1，0）．
故答案为：8．
【对点训练48】（2023·湖南衡阳·高二衡阳市八中校考期中）已知双曲线的方程为，如图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线的右支上，则的最小值为_______．
【答案】/
【解析】双曲线的方程为，则，双曲线焦点为、，
， 圆心为，半径为，
则，
当、、共线时，等号成立；
又，
当、、共线时，等号成立，
的最小值为，
故答案为:．
【对点训练49】（2023·福建福州·高二福建省福州第二中学校考期末）有一凸透镜其剂面图（如图所示）是由椭圆和双曲线的实线部分组成，已知两曲线有共同焦点M，N，动点A，B分别在左右两部分实线上运动，则△ANB周长的最小值为______________
【答案】
【解析】由题意，双曲线，可得，
根据双曲线的定义可得，即，
又由椭圆，可得，
根据椭圆的定义可得，所以，
所以周长为,
故周长的最小值为，其中三点共线时，等号成立.
故答案为：.
【对点训练50】（2023·北京·高二期中）已知点，，，动点M到A的距离比到B的距离多2，则动点M到B，C两点的距离之和的最小值为___________.
【答案】4
【解析】点，，且动点M到A的距离比到B的距离多2，
所以，
故动点M的轨迹为双曲线右侧一支，
则动点M到B，C两点的距离之和，
当且仅当M，A，C三点共线时取等号，
所以动点M到B，C两点的距离之和的最小值为4.
故答案为：4.
【对点训练51】（2023·高二课时练习）已知双曲线的一个焦点为．若已知点，点是双曲线上的任意一点，则的最小值是______．
【答案】3
【解析】由题意，可知，∴，∴双曲线的方程为．
由，得，
∴．
又或，
∴当时，取得最小值，为3．
故答案为：3.
【对点训练52】（2023·江西宜春·高二上高二中校考期末）是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为__________．
【答案】9
【解析】由题意，圆的圆心为，半径为2，的圆心为，半径为1，故双曲线焦点即为两圆圆心.
所以的最大值即：的最大值减去的最小值. 的最大值为，的最小值为，根据双曲线的定义可得两者相减得.
故答案为：9
【对点训练53】（2023·广西桂林·高二桂林中学校考期中）已知直线与双曲线的左、右支各有一个公共点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】由，可得，
依题意有，
解得.
故答案为：.
题型十：焦点三角形
【例10】（2023·安徽滁州·高二校考期末）若直线与双曲线的左支交于不同的两点，则的取值范围为________.
【答案】
【解析】联立方程得,①
若直线与双曲线的左支交于不同的两点，则方程①有两个不等的负根.
所以
解得.
故答案为：.
【对点训练54】（2023·高二课时练习）已知点F1，F2分别是双曲线=1的左、右焦点，若点P是双曲线左支上的点，且，则△的面积为____.
【答案】16
【解析】双曲线，所以，，所以，，
是双曲线左支上的点，，，
在△中，由余弦定理得，
，
△的面积为.
故答案为：.
【对点训练55】（2023·上海普陀·高二校考期中）点为双曲线上的点，、为左、右焦点，若，则的面积是__．
【答案】
【解析】由题意得，，且，
由余弦定理得
，
所以,
所以的面积,
故答案为：
【对点训练56】（2023·江苏泰州·高二靖江高级中学校考阶段练习）已知椭圆C与双曲线E：有相同的焦点，，点M是椭圆C与双曲线E的一个公共点，若，则椭圆C的标准方程为_________．
【答案】
【解析】设椭圆标准方程为，焦半距为.
令，
，即
因为点M在双曲线E上，所以即,
，即
又因为点M在椭圆C上，所以，即.
因为椭圆C与双曲线E：有相同的焦点，，
所以，，所以椭圆方程为.
故答案为：
【对点训练57】（2023·高二课时练习）已知点分别是双曲线的下、上焦点，若点是双曲线下支上的点，且，则的面积为________.
【答案】16
【解析】因为是双曲线下支上的点，所以，两边平方得：
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36，所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.
在△F1PF2中，由余弦定理，得cos ∠F1PF2==0，
所以∠F1PF2=90°，所以|PF1|·|PF2|=×32=16
故答案为：
【对点训练58】（2023·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）已知，为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C上，，则______．
【答案】/
【解析】，，则，，，
.
故答案为：.
【对点训练59】（2023·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）已知双曲线的焦点为，，过左焦点交双曲线左支于A、B两点，若则等于________.
【答案】8
【解析】双曲线的实轴长
过左焦点交双曲线左支于A、B两点，
则，
又,
则
故答案为：8
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·四川成都·高二校联考期末）若双曲线的渐近线方程为，实轴长为 ，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题可得，解得，
因为焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为.
故选:C.
2．（2023·高二课时练习）方程＋＝1表示的曲线是（ ）
A．焦点为点(－3,0)与(3,0)，离心率为的椭圆
B．焦点为点(0,－3)与(0,3)，离心率为的椭圆
C．焦点为点(－3,0)与(3,0)，离心率为的椭圆
D．焦点为点(0,－3)与(0,3)，离心率为的椭圆
【答案】B
【解析】由方程可知，它表示焦点在y轴上的椭圆，且a＝5，b＝4，∴c＝3，
所以椭圆的焦点为F1(0,－3)，F2(0,3)，离心率为．
故选：B.
3．（2023·江西·高二校联考期中）若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】方程表示双曲线,则，解得或，
故选：D
4．（2023·河南周口·高二校联考阶段练习）已知双曲线的右焦点为，点M在双曲线的右支上，满足轴，O为坐标原点且，则离心率（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】，设M点为，代入，解得，
又，
故，则，即，即，
又，解得．
故选：C．
5．（2023·四川宜宾·高二宜宾市叙州区第一中学校校考期末）已知双曲线的离心率e是它的一条渐近线斜率的2倍，则e=（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】由题意可知，，即，
则，解得：，
所以双曲线的离心率.
故选：C
6．（2023·安徽滁州·高二校考开学考试）若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【解析】由双曲线标准方程得：，
由双曲线定义得:
即，
解得（舍去）或，
故选：A.
7．（2023·陕西汉中·高二校考期中）设双曲线C的方程为，直线l过点和点．若双曲线C的一条渐近线与直线l平行，另一条渐近线与直线l垂直，则双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知，直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，
因为，解得．
故选：D．
8．（2023·福建泉州·高二校联考期中）已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若恒成立，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，过点作渐近线的垂线，垂足为，
设，则点到渐近线的距离.
由双曲线的定义可得，故，
所以，即的最小值为，
因为恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
所以，，即，即，
所以，，即，解得.
故选：A.
二、多选题
9．（2023·湖南衡阳·高二衡阳市一中校考期末）若，则方程可以表示下列哪些曲线（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
【答案】ABD
【解析】当时，，方程表示双曲线，
当时，方程为，即，表示两条直线，
当时，，方程表示焦点在轴的椭圆，
当时，，方程表示焦点在轴的椭圆，
当时，，方程表示圆.
故选：ABD
10．（2023·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）已知双曲线，左、右焦点为，为双曲线上一点，则下列正确的是（ ）
A．离心率为 B．渐近线方程为
C．虚轴长为4 D．若，则
【答案】BCD
【解析】对于A，已知双曲线，则，A选项错误；
对于B，，所以渐近线方程为，B选项正确；
对于C，虚轴长，C选项正确；
对于D，由定义可知，若，
则或（舍），D选项正确；
故选：BCD.
11．（2023·广东深圳·高二深圳中学校考期中）定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线，以下关于共轭双曲线的结论正确的有（ ）
A．与共轭的双曲线是
B．互为共轭的双曲线渐近线不相同
C．互为共轭的双曲线的离心率为，则
D．互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上
【答案】CD
【解析】对于A，根据共轭双曲线的定义可知，与共轭的双曲线是，A错误；
对于B，的渐近线方程为，
的渐近线方程也为，二者相同，B错误；
对于C，由题意可得，
故，
由于，故，即，
当且仅当时等号成立，C正确；
对于D，的焦点坐标为，
其共轭双曲线的焦点坐标为，
显然这4个焦点在以原点为圆心，为半径的圆上，D正确，
故选：CD
12．（2023·云南玉溪·高二云南省玉溪第一中学校考期中）已知双曲线：与椭圆的焦点相同，双曲线的左右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，与轴相交于点，的内切圆与边相切于点.若，则下列说法错误的有（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的方程为
C．若，则的内切圆面积为
D．过点与双曲线有且仅有一个交点的直线有3条
【答案】ACD
【解析】
如图，设、与的内切圆分别相切与两点，
所以，且，
因为
，可得，
双曲线：与椭圆的焦点相同，
所以，可得，所以双曲线的离心率为，故A错误；
所以双曲线的方程为，故B正确；
对于C，若，设，则，，
由可得，解得，
可得，
由得，
解得，即内切圆的半径为，
则的内切圆面积为故C错误；
对于D，当过点的直线与轴垂直时，其方程为，与双曲线方程联立
，可得，即直线与双曲线有一个交点；
当过点的直线与轴不垂直时，设其方程为，与双曲线方程联立
可得，
当时，此时可得直线与双曲线有一个交点；
当即时，由得
，可得，此时直线与双曲线有一个交点；
综上所述，过点与双曲线有且仅有一个交点的直线有4条，故D错误；
故选：ACD.
三、填空题
13．（2023·上海宝山·高二统考期末）双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为______.
【答案】/0.6
【解析】双曲线的两条渐近线为，直线的倾斜角为，，，
所以两条渐近线的夹角的余弦值为．
故答案为：．
14．（2023·上海静安·高二统考期末）若双曲线的渐近线方程为，且过点，则的焦距为__________.
【答案】
【解析】因为双曲线的渐近线方程是，故可设双曲线的方程为：，
把点代入双曲线方程可得，
所以双曲线方程为，化为标准方程得，
所以，，，，
所以双曲线的焦距为．
故答案为：．
15．（2023·贵州·高二贵州师大附中校联考阶段练习）点是双曲线上一动点，过做圆的两条切线，切点为，，则的最小值为____________.
【答案】
【解析】由题知：设，，则，
由于是直角三角形，且，所以当取得最小值时，取得最小值，
则
，当时，等号成立，
故，
故答案为:.
16．（2023·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）已知直线与离心率为的双曲线的一条渐近线平行，则所有可能取的值之和为______．
【答案】
【解析】由离心率为可得，解得：，
则的渐近线为，
则m可能取的值为，和为0.
故答案为：0．
四、解答题
17．（2023·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考期中）求满足下列条件的曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，且经过点和点的椭圆的标准方程；
(2)焦点在轴上，焦距是16，的双曲线的标准方程
【解析】（1）由题意得：，，因为焦点在x轴上，所以椭圆方程为：；
（2）依题意，又，所以，所以，
由于双曲线焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为．
18．（2023·高二单元测试）若双曲线C：上一点到左、右焦点的距离之差的绝对值为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设、是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线上的点，若，求的面积.
【解析】（1）令分别是左右焦点，则，得，
双曲线的方程为 ，将点 代入上式，得：
，
双曲线的标准方程为 ；
（2）不妨设点P在第一象限，由双曲线的几何性质知： ，
，解得 ，
在△中，，
设与的夹角为 ，由余弦定理得：，
；
综上，双曲线的标准方程为，△的面积为 .
19．（2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，右顶点为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知过点的直线与双曲线只有一个公共点，求直线的方程.
【解析】（1）双曲线的一条渐近线为，故焦点到直线的距离为，所以，又，
所以双曲线方程为
（2）由题知，直线的斜率必存在.
设直线方程为：
联立，消y得
①当时，上述方程只有一解，符合题意，
所以；
②当时，为使上述方程只有一解即，
，
化解得：，所以，
所以.
综上，直线方程为：或.
20．（2023·湖南湘潭·高二统考期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程.
【解析】（1）由题意得：，，，
解得：，，，
双曲线的标准方程为．
（2）由题意可知，直线的斜率一定存在，
设直线的方程为，，，，，
联立方程组，消去整理得，
则，
原点到直线的距离为 ，
所以，
解得或，故 或，
故直线方程为或
21．（2023·重庆璧山·高二重庆市璧山来凤中学校校考阶段练习）已知双曲线的离心率为，实轴长为．
(1)写出双曲线的渐近线方程；
(2)直线与双曲线右支交于不同的两点，求实数的取值范围．
【解析】（1）由已知有，，所以，
所以双曲线方程为，或，渐近线方程为
（2）设两交点坐标分别为，，
联立，消去得，
由已知，因为直线与双曲线右支交于不同的两点，
所以解得，
实数的取值范围为.
22．（2023·江苏南通·高二统考期末）已知双曲线的实轴长为2，右焦点到的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于，两点，求的面积.
【解析】（1）设双曲线的焦距为，
因为双曲线的实轴长为2，所以，解得.
因为右焦点到的距离为，所以，解得或.
因为，所以.可得，
所以双曲线的方程为.
（2）设，，
联立直线和双曲线可得，
即，或
不妨设，，所以.
所以.
即的面积为
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