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第14讲 抛物线（七大题型）-暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（苏教版）
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这是一份第14讲 抛物线（七大题型）-暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（苏教版），文件包含第14讲抛物线七大题型解析版docx、第14讲抛物线七大题型原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共54页， 欢迎下载使用。
第14讲 抛物线
【题型归纳目录】
题型一：抛物线的定义
题型二：求抛物线的标准方程
题型三：抛物线的综合问题
题型四：轨迹方程
题型五：抛物线的几何性质
题型六：抛物线中的范围与最值问题
题型七：焦半径问题
【知识点梳理】
知识点一：抛物线的定义
定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
知识点诠释:
（1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值
（2）定义中的隐含条件：焦点F不在准线上，若F在上，抛物线变为过F且垂直与的一条直线.
（3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化.
知识点二：抛物线的标准方程
抛物线标准方程的四种形式：
根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式
，，，。
知识点诠释：
①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；
②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下）
③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍.
④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论.
⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况。
知识点三：抛物线的简单几何性质：
抛物线标准方程的几何性质
范围：，，
抛物线y2=2px（p＞0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。
对称性：关于x轴对称
抛物线y2=2px（p＞0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。
顶点：坐标原点
抛物线y2=2px（p＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）。
抛物线标准方程几何性质的对比
图形
标准方程
y2=2px（p＞0）
y2=－2px（p＞0）
x2=2py（p＞0）
x2=－2py（p＞0）
顶点
O（0，0）
范围
x≥0，
x≤0，
y≥0，
y≤0，
对称轴
x轴
y轴
焦点
离心率
e=1
准线方程
焦半径
知识点诠释：
（1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；
（2）标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程.
【典例例题】
题型一：抛物线的定义
【例1】（2023·高二课时练习）若P为抛物线y2=2px（p>0）上任意一点，F为抛物线的焦点，则以|PF|为直径的圆与y轴的位置关系为（ ）
A．相交 B．相离
C．相切 D．不确定
【对点训练1】（2023·广东深圳·高二统考期末）若抛物线上一点到轴的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【对点训练2】（2023·浙江台州·高二期末）已知抛物线的焦点为F，是C上一点，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【对点训练3】（2023·四川德阳·高二四川省广汉中学校考阶段练习）抛物线的方程为，抛物线上一点P的横坐标为，则点P到抛物线的焦点的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【对点训练4】（2023·四川绵阳·高二四川省绵阳实验高级中学校考阶段练习）已知为抛物线：的焦点，纵坐标为5的点在C上，，则（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
题型二：求抛物线的标准方程
【例2】（2023·高二课时练习）根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1)准线方程是；
(2)过点；
(3)焦点到准线的距离为.
【对点训练5】（2023·陕西西安·高二西北大学附中校考阶段练习）根据下列条件写出抛物线的标准方程，并求焦点坐标和准线方程．
(1)经过点．
(2)焦点为直线与坐标轴的交点．
【对点训练6】（2023·高二课时练习）已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点和准线方程：
(1)；
(2)．
【对点训练7】（2023·高二课时练习）求焦点在x轴正半轴上，并且经过点的抛物线的标准方程．
【对点训练8】（2023·高二单元测试）根据下列条件写出抛物线的标准方程：
（1）经过点；
（2）焦点在轴的负半轴上，且焦点到准线的距离是6.
题型三：抛物线的综合问题
【例3】（2023·山西晋中·高二统考期末）抛物线的焦点到准线的距离为.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过焦点的直线（斜率存在且不为0）交抛物线于两点，线段的中垂线交抛物线的对称轴于点，求.
【对点训练9】（2023·河南洛阳·高二统考期末）已知圆S：，点P是圆S上的动点，T是抛物线的焦点，Q为PT的中点，过Q作交PS于G，设点G的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过的直线l交曲线C于点M，N，若在曲线C上存在点A，使得四边形OMAN为平行四边形（O为坐标原点），求直线l的方程．
【对点训练10】（2023·贵州贵阳·高二统考期末）设直线与抛物线相交于两点，且.
(1)求抛物线方程；
(2)求面积的最小值.
【对点训练11】（2023·广西河池·高二统考期末）已知抛物线C：过点．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为60°的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB的长度．
【对点训练12】（2023·广东梅州·高二统考期末）已知动点与点的距离与其到直线的距离相等.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标.
题型四：轨迹方程
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知平面直角坐标系中有两点，且曲线上的任意一点P都满足．则曲线的轨迹方程为_______________.
【对点训练13】（2023·高三课时练习）已知点F（1，0），直线，若动点P到点F和到直线l的距离相等，则点P的轨迹方程是______.
【对点训练14】（2023·上海·高二专题练习）动点在曲线上移动，则点和定点连线的中点的轨迹方程是__________.
【对点训练15】（2023·全国·高三专题练习）在平面坐标系中，动点P和点满足，则动点的轨迹方程为_____________．
【对点训练16】（2023·北京海淀·高二北京市十一学校校考期中）设O为坐标原点，，点A是直线上一个动点，连接AF并作AF的垂直平分线l，过点A作y轴的垂线交l于点P，则点P的轨迹方程为______．
【对点训练17】（2023·四川·高二双流中学校考开学考试）已知动圆M与直线相切，且与定圆C：外切，那么动圆圆心M的轨迹方程为_______.
【对点训练18】（2023·江苏·高二专题练习）点，点B是x轴上的动点，线段PB的中点E在y轴上，且AE垂直PB，则点P的轨迹方程为______．
【对点训练19】（2023·江苏·高二专题练习）与点和直线的距离相等的点的轨迹方程是______．
题型五：抛物线的几何性质
【例5】（2023·高二课时练习）抛物线上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是__________．
【对点训练20】（2023·高二课时练习）一个正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积为__________．
【对点训练21】（2023·福建·高二校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线交于两点，线段中点的纵坐标为，则__________.
【对点训练22】（2023·贵州·高二校联考阶段练习）抛物线在第一象限上一点，满足，为该抛物线的焦点，则直线的斜率为______.
【对点训练23】（2023·山东德州·高二统考期末）如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为______米．
【对点训练24】（2023·四川凉山·高二统考期末）过点的直线与抛物线交于，两点，点在轴上方，若，则直线的斜率___________.
【对点训练25】（2023·陕西汉中·高二校考期中）已知抛物线：经过点，若点到抛物线的焦点的距离为4，则______
题型六：抛物线中的范围与最值问题
【例6】（2023·河南南阳·高二校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点M（3，6），点Q在抛物线上，则的最小值为______．
【对点训练26】（2023·福建莆田·高二莆田一中校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，点为上任意一点，点，则的最小值为______.
【对点训练27】（2023·江苏常州·高三校联考开学考试）在平面直角坐标系中，点到直线与到点的距离相等，点在圆上，则的最小值为__________.
【对点训练28】（2023·湖南衡阳·高二校考期末）已知抛物线的焦点为为抛物线内侧一点，为上的一动点，的最小值为，则______.
【对点训练29】（2023·河北邢台·高二邢台一中校考期末）已知点分别是抛物线和圆上的动点，到的准线的距离为，则的最小值为__________.
【对点训练30】（2023·高二课时练习）已知抛物线：的准线为，若M为上的一个动点，设点N的坐标为，则的最小值为___________.
【对点训练31】（2023·浙江宁波·高二效实中学校考期中）抛物线的焦点为，点，为抛物线上一点且不在直线上，则△周长的最小值为______．
题型七：焦半径问题
【例7】（2023·广西·高二校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，是抛物线C上一点，若，则________．
【对点训练32】（2023·北京·高二北京师大附中校考期中）若抛物线的焦点为，点在此抛物线上且横坐标为，则________.
【对点训练33】（多选题）（2023·山西大同·高二统考期末）经过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，设，，则下列说法中正确的是（ ）
A．当与轴垂直时，最小 B．
C．以弦为直径的圆与直线相离 D．
【对点训练34】（多选题）（2023·广西河池·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若为坐标原点，则（ ）
A．点的坐标为 B．
C． D．
【对点训练35】（多选题）（2023·安徽·高二校联考期末）已知为坐标原点，抛物线的焦点到其准线的距离为4，过点作直线交于，两点，则（ ）
A．的准线为 B．的大小可能为
C．的最小值为8 D．
【对点训练36】（多选题）（2023·高二课时练习）设抛物线的焦点为，点为上一点，若，则直线的倾斜角可能是（ ）
A． B． C． D．
【对点训练37】（多选题）（2023·湖北·高二校联考期中）已知抛物线：的焦点为，为上一点，且，直线交于另一点，记坐标原点为，则（ ）
A． B． C． D．
【对点训练38】（多选题）（2023·湖北·高二宜昌市三峡高级中学校联考期中）直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标为 B．的最小值为4
C．对任意的直线， D．以为直径的圆与抛物线的准线相切
【对点训练39】（2023·江苏·金陵中学校联考三模）已知抛物线：，圆：，点M的坐标为，分别为、上的动点，且满足，则点的横坐标的取值范围是______.
【对点训练40】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多，记点的轨迹为．直线与轨迹恰好有两个公共点，则的取值范围是__________．
【对点训练41】（2023·山东济南·高二济南市历城第二中学校考期中）抛物线与圆交于A、B两点，圆心，点为劣弧上不同于A、的一个动点，平行于轴的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是______．
【对点训练42】（2023·江苏·高二专题练习）若过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，且直线l的倾斜角，点A在x轴上方，则的取值范围是______．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·广东东莞·高二校联考阶段练习）一种卫星接收天线（如图1），其曲面与轴截面的交线可视为抛物线的一部分（如图2），已知该卫星接收天线的口径米，深度米，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河南南阳·高二校联考阶段练习）抛物线C：过点，则C的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·高二课时练习）已知是抛物线上的三点，点F是抛物线的焦点，且，则（ ）
A．
B．
C．
D．与的大小关系不确定
4．（2023·高二课时练习）抛物线上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·云南昆明·高二统考期中）圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·江苏盐城·高二统考期末）若抛物线上的一点到坐标原点的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
7．（2023·河南周口·高二校联考阶段练习）已知抛物线，过其焦点的直线交抛物线于、两点，交准线于点，且是线段的中点，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·广西河池·高二统考期末）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的面积为（ ）
A．4 B． C． D．
二、多选题
9．（2023·广西河池·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若为坐标原点，则（ ）
A．点的坐标为 B．
C． D．
10．（2023·高二单元测试）抛物线的准线方程是（ ）
A．其焦点坐标是
B．其焦点坐标是
C．其准线方程是
D．其准线方程是
11．（2023·湖北·高二宜昌市三峡高级中学校联考期中）直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标为 B．的最小值为4
C．对任意的直线， D．以为直径的圆与抛物线的准线相切
12．（2023·安徽阜阳·高二统考期末）若直线与抛物线只有一个交点，则的可能取值为（ ）
A．2 B． C． D．0
三、填空题
13．（2023·陕西西安·高二统考期末）若抛物线上一点到轴的距离为，则点到抛物线的焦点的距离为________．
14．（2023·河南南阳·高二校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点M（3，6），点Q在抛物线上，则的最小值为______．
15．（2023·河南·高二校联考阶段练习）设是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，线段的中点的坐标为，若，则实数的值为_________．
16．（2023·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期中）设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点,若为的重心，则_________
四、解答题
17．（2023·高二课时练习）分别求符合下列条件的抛物线方程:
(1)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且过点;
(2)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为.
18．（2023·北京丰台·高二北京市第十二中学校考阶段练习）已知抛物线上一点到焦点F的距离为4．
(1)求实数p的值；
(2)若过点的直线l与抛物线交于A，B两点，且，求直线l的方程．
19．（2023·安徽滁州·高二校考开学考试）已知动圆过定点，且与直线：相切，圆心的轨迹为．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)过点作倾斜角为的直线交轨迹于，两点，求．
20．（2023·上海静安·高二上海市新中高级中学校考期中）如图1，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分（如图2），盛水或食物的容器放在抛物线的焦点处，该容器由6根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑（图中F点为放置容器处，其余6个焊点在镜口圆上）．已知镜口圆的直径为，镜深．
(1)建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程及焦点的坐标；
(2)若把盛水或食物的容器近似地看作点，试求支撑容器的架子所用铁筋的总长度（单位）．
21．（2023·上海宝山·高二统考期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线，已知动点到点的距离等于点到直线的距离，设点的轨迹为.
(1)过点且斜率为2的直线与曲线交于两个不同的点、，求线段的长；
(2)求曲线上的点到直线的最短距离.
22．（2023·河南南阳·高二校联考阶段练习）已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，且．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l过点F且与抛物线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点N，交直线l于点M，求证为定值．
第14讲 抛物线
【题型归纳目录】
题型一：抛物线的定义
题型二：求抛物线的标准方程
题型三：抛物线的综合问题
题型四：轨迹方程
题型五：抛物线的几何性质
题型六：抛物线中的范围与最值问题
题型七：焦半径问题
【知识点梳理】
知识点一：抛物线的定义
定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
知识点诠释:
（1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值
（2）定义中的隐含条件：焦点F不在准线上，若F在上，抛物线变为过F且垂直与的一条直线.
（3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化.
知识点二：抛物线的标准方程
抛物线标准方程的四种形式：
根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式
，，，。
知识点诠释：
①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；
②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下）
③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍.
④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论.
⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况。
知识点三：抛物线的简单几何性质：
抛物线标准方程的几何性质
范围：，，
抛物线y2=2px（p＞0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。
对称性：关于x轴对称
抛物线y2=2px（p＞0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。
顶点：坐标原点
抛物线y2=2px（p＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）。
抛物线标准方程几何性质的对比
图形
标准方程
y2=2px（p＞0）
y2=－2px（p＞0）
x2=2py（p＞0）
x2=－2py（p＞0）
顶点
O（0，0）
范围
x≥0，
x≤0，
y≥0，
y≤0，
对称轴
x轴
y轴
焦点
离心率
e=1
准线方程
焦半径
知识点诠释：
（1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；
（2）标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程.
【典例例题】
题型一：抛物线的定义
【例1】（2023·高二课时练习）若P为抛物线y2=2px（p>0）上任意一点，F为抛物线的焦点，则以|PF|为直径的圆与y轴的位置关系为（ ）
A．相交 B．相离
C．相切 D．不确定
【对点训练1】（2023·广东深圳·高二统考期末）若抛物线上一点到轴的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【对点训练2】（2023·浙江台州·高二期末）已知抛物线的焦点为F，是C上一点，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【对点训练3】（2023·四川德阳·高二四川省广汉中学校考阶段练习）抛物线的方程为，抛物线上一点P的横坐标为，则点P到抛物线的焦点的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【对点训练4】（2023·四川绵阳·高二四川省绵阳实验高级中学校考阶段练习）已知为抛物线：的焦点，纵坐标为5的点在C上，，则（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
题型二：求抛物线的标准方程
【例2】（2023·高二课时练习）根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1)准线方程是；
(2)过点；
(3)焦点到准线的距离为.
【对点训练5】（2023·陕西西安·高二西北大学附中校考阶段练习）根据下列条件写出抛物线的标准方程，并求焦点坐标和准线方程．
(1)经过点．
(2)焦点为直线与坐标轴的交点．
【对点训练6】（2023·高二课时练习）已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点和准线方程：
(1)；
(2)．
【对点训练7】（2023·高二课时练习）求焦点在x轴正半轴上，并且经过点的抛物线的标准方程．
【对点训练8】（2023·高二单元测试）根据下列条件写出抛物线的标准方程：
（1）经过点；
（2）焦点在轴的负半轴上，且焦点到准线的距离是6.
题型三：抛物线的综合问题
【例3】（2023·山西晋中·高二统考期末）抛物线的焦点到准线的距离为.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过焦点的直线（斜率存在且不为0）交抛物线于两点，线段的中垂线交抛物线的对称轴于点，求.
【对点训练9】（2023·河南洛阳·高二统考期末）已知圆S：，点P是圆S上的动点，T是抛物线的焦点，Q为PT的中点，过Q作交PS于G，设点G的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过的直线l交曲线C于点M，N，若在曲线C上存在点A，使得四边形OMAN为平行四边形（O为坐标原点），求直线l的方程．
【对点训练10】（2023·贵州贵阳·高二统考期末）设直线与抛物线相交于两点，且.
(1)求抛物线方程；
(2)求面积的最小值.
【对点训练11】（2023·广西河池·高二统考期末）已知抛物线C：过点．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为60°的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB的长度．
【对点训练12】（2023·广东梅州·高二统考期末）已知动点与点的距离与其到直线的距离相等.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标.
题型四：轨迹方程
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知平面直角坐标系中有两点，且曲线上的任意一点P都满足．则曲线的轨迹方程为_______________.
【对点训练13】（2023·高三课时练习）已知点F（1，0），直线，若动点P到点F和到直线l的距离相等，则点P的轨迹方程是______.
【对点训练14】（2023·上海·高二专题练习）动点在曲线上移动，则点和定点连线的中点的轨迹方程是__________.
【对点训练15】（2023·全国·高三专题练习）在平面坐标系中，动点P和点满足，则动点的轨迹方程为_____________．
【对点训练16】（2023·北京海淀·高二北京市十一学校校考期中）设O为坐标原点，，点A是直线上一个动点，连接AF并作AF的垂直平分线l，过点A作y轴的垂线交l于点P，则点P的轨迹方程为______．
【对点训练17】（2023·四川·高二双流中学校考开学考试）已知动圆M与直线相切，且与定圆C：外切，那么动圆圆心M的轨迹方程为_______.
【对点训练18】（2023·江苏·高二专题练习）点，点B是x轴上的动点，线段PB的中点E在y轴上，且AE垂直PB，则点P的轨迹方程为______．
【对点训练19】（2023·江苏·高二专题练习）与点和直线的距离相等的点的轨迹方程是______．
题型五：抛物线的几何性质
【例5】（2023·高二课时练习）抛物线上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是__________．
【对点训练20】（2023·高二课时练习）一个正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积为__________．
【对点训练21】（2023·福建·高二校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线交于两点，线段中点的纵坐标为，则__________.
【对点训练22】（2023·贵州·高二校联考阶段练习）抛物线在第一象限上一点，满足，为该抛物线的焦点，则直线的斜率为______.
【对点训练23】（2023·山东德州·高二统考期末）如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为______米．
【对点训练24】（2023·四川凉山·高二统考期末）过点的直线与抛物线交于，两点，点在轴上方，若，则直线的斜率___________.
【对点训练25】（2023·陕西汉中·高二校考期中）已知抛物线：经过点，若点到抛物线的焦点的距离为4，则______
题型六：抛物线中的范围与最值问题
【例6】（2023·河南南阳·高二校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点M（3，6），点Q在抛物线上，则的最小值为______．
【对点训练26】（2023·福建莆田·高二莆田一中校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，点为上任意一点，点，则的最小值为______.
【对点训练27】（2023·江苏常州·高三校联考开学考试）在平面直角坐标系中，点到直线与到点的距离相等，点在圆上，则的最小值为__________.
【对点训练28】（2023·湖南衡阳·高二校考期末）已知抛物线的焦点为为抛物线内侧一点，为上的一动点，的最小值为，则______.
【对点训练29】（2023·河北邢台·高二邢台一中校考期末）已知点分别是抛物线和圆上的动点，到的准线的距离为，则的最小值为__________.
【对点训练30】（2023·高二课时练习）已知抛物线：的准线为，若M为上的一个动点，设点N的坐标为，则的最小值为___________.
【对点训练31】（2023·浙江宁波·高二效实中学校考期中）抛物线的焦点为，点，为抛物线上一点且不在直线上，则△周长的最小值为______．
题型七：焦半径问题
【例7】（2023·广西·高二校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，是抛物线C上一点，若，则________．
【对点训练32】（2023·北京·高二北京师大附中校考期中）若抛物线的焦点为，点在此抛物线上且横坐标为，则________.
【对点训练33】（多选题）（2023·山西大同·高二统考期末）经过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，设，，则下列说法中正确的是（ ）
A．当与轴垂直时，最小 B．
C．以弦为直径的圆与直线相离 D．
【对点训练34】（多选题）（2023·广西河池·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若为坐标原点，则（ ）
A．点的坐标为 B．
C． D．
【对点训练35】（多选题）（2023·安徽·高二校联考期末）已知为坐标原点，抛物线的焦点到其准线的距离为4，过点作直线交于，两点，则（ ）
A．的准线为 B．的大小可能为
C．的最小值为8 D．
【对点训练36】（多选题）（2023·高二课时练习）设抛物线的焦点为，点为上一点，若，则直线的倾斜角可能是（ ）
A． B． C． D．
【对点训练37】（多选题）（2023·湖北·高二校联考期中）已知抛物线：的焦点为，为上一点，且，直线交于另一点，记坐标原点为，则（ ）
A． B． C． D．
【对点训练38】（多选题）（2023·湖北·高二宜昌市三峡高级中学校联考期中）直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标为 B．的最小值为4
C．对任意的直线， D．以为直径的圆与抛物线的准线相切
【对点训练39】（2023·江苏·金陵中学校联考三模）已知抛物线：，圆：，点M的坐标为，分别为、上的动点，且满足，则点的横坐标的取值范围是______.
【对点训练40】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多，记点的轨迹为．直线与轨迹恰好有两个公共点，则的取值范围是__________．
【对点训练41】（2023·山东济南·高二济南市历城第二中学校考期中）抛物线与圆交于A、B两点，圆心，点为劣弧上不同于A、的一个动点，平行于轴的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是______．
【对点训练42】（2023·江苏·高二专题练习）若过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，且直线l的倾斜角，点A在x轴上方，则的取值范围是______．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·广东东莞·高二校联考阶段练习）一种卫星接收天线（如图1），其曲面与轴截面的交线可视为抛物线的一部分（如图2），已知该卫星接收天线的口径米，深度米，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河南南阳·高二校联考阶段练习）抛物线C：过点，则C的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·高二课时练习）已知是抛物线上的三点，点F是抛物线的焦点，且，则（ ）
A．
B．
C．
D．与的大小关系不确定
4．（2023·高二课时练习）抛物线上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·云南昆明·高二统考期中）圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·江苏盐城·高二统考期末）若抛物线上的一点到坐标原点的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
7．（2023·河南周口·高二校联考阶段练习）已知抛物线，过其焦点的直线交抛物线于、两点，交准线于点，且是线段的中点，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·广西河池·高二统考期末）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的面积为（ ）
A．4 B． C． D．
二、多选题
9．（2023·广西河池·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若为坐标原点，则（ ）
A．点的坐标为 B．
C． D．
10．（2023·高二单元测试）抛物线的准线方程是（ ）
A．其焦点坐标是
B．其焦点坐标是
C．其准线方程是
D．其准线方程是
11．（2023·湖北·高二宜昌市三峡高级中学校联考期中）直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标为 B．的最小值为4
C．对任意的直线， D．以为直径的圆与抛物线的准线相切
12．（2023·安徽阜阳·高二统考期末）若直线与抛物线只有一个交点，则的可能取值为（ ）
A．2 B． C． D．0
三、填空题
13．（2023·陕西西安·高二统考期末）若抛物线上一点到轴的距离为，则点到抛物线的焦点的距离为________．
14．（2023·河南南阳·高二校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点M（3，6），点Q在抛物线上，则的最小值为______．
15．（2023·河南·高二校联考阶段练习）设是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，线段的中点的坐标为，若，则实数的值为_________．
16．（2023·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期中）设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点,若为的重心，则_________
四、解答题
17．（2023·高二课时练习）分别求符合下列条件的抛物线方程:
(1)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且过点;
(2)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为.
18．（2023·北京丰台·高二北京市第十二中学校考阶段练习）已知抛物线上一点到焦点F的距离为4．
(1)求实数p的值；
(2)若过点的直线l与抛物线交于A，B两点，且，求直线l的方程．
19．（2023·安徽滁州·高二校考开学考试）已知动圆过定点，且与直线：相切，圆心的轨迹为．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)过点作倾斜角为的直线交轨迹于，两点，求．
20．（2023·上海静安·高二上海市新中高级中学校考期中）如图1，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分（如图2），盛水或食物的容器放在抛物线的焦点处，该容器由6根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑（图中F点为放置容器处，其余6个焊点在镜口圆上）．已知镜口圆的直径为，镜深．
(1)建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程及焦点的坐标；
(2)若把盛水或食物的容器近似地看作点，试求支撑容器的架子所用铁筋的总长度（单位）．
21．（2023·上海宝山·高二统考期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线，已知动点到点的距离等于点到直线的距离，设点的轨迹为.
(1)过点且斜率为2的直线与曲线交于两个不同的点、，求线段的长；
(2)求曲线上的点到直线的最短距离.
22．（2023·河南南阳·高二校联考阶段练习）已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，且．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l过点F且与抛物线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点N，交直线l于点M，求证为定值．
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