6.3 一次函数的图像-八年级数学上册同步精品讲义（苏科版）

第6章 一次函数
6.3 一次函数的图像
目标导航

课程标准
课标解读
1、 能正确画出一次函数的图象．
2、 掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，
3、 能运用所学的函数知识解决简单的实际问题．
1、 理解正比例函数的概念，能在用描点法画正比例函数图象过程中发现正比例函数图象性质。
2、 能熟练的作出一次函数的图像，归纳作函数图像的一般步骤。
3、 正比例函数、一次函数图象的特点探索过程
知识精讲

知识点01 一次函数图像与性质
1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线：
当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的；
当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的.
2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质：
正比例函数的图象是经过原点（0，0）和点（1，）的一条直线；
一次函数图象和性质如下：

3. 、对一次函数的图象和性质的影响：
决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．
4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：
（1）与相交； （2），且与平行；
【微点拨】
（1）k值决定直线上升、下降的趋势，b值决定直线与y轴交点的位置(0,b).
（2）一次函数的图像可以由正比例函数的图像平移得到，两个函数的k值相等时，两直线平行。
【即学即练1】1．已知函数y＝kx（k≠0），y随x增大而增大，那么函数y＝kx+k的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
函数y＝kx（k≠0），当k>0，y随x增大而增大，图象经过原点与一、三象限，则y＝kx+k的图象向上平移，与y轴正半轴有交点，图象过一、二、三象限．
【详解】
解：∵正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∵b＝k＞0，
∴一次函数y＝kx+k的图象经过一、二、三象限．
故选：D．
知识点02 一次函数图像的变换----平移
1、已知一个点的坐标和直线的斜率 k，我们就可以写出这条直线的解析式”
2、y =kx+b经过点（0，b)，而（0，b)向上平移m个单位得到点（0，b+m)，向下平移m个单位得到点（0，b－m)，向左平移m个单位得到点（0－m，b)，向右平移m个单位得到点（0+m，b)，直线y =kx+b平移后斜率不变仍然是k，设出平移后的解析式为y =kx+h,把平移后得到的点的坐标带入这个解析式求出h，就可以求出平移后直线的解析式。
【微点拨】
求直线平移后的解析式时，只要找出一个点坐标，求出按要求平移后此点的坐标变为多少，再根据斜率不变和变化后的点来求解析式
【即学即练2】2．将一次函数的图象向上平移3个单位，则新的一次函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】
解：由“上加下减”的原则可知，
将一次函数的图象向上平移3个单位，
所得的直线解析式为：，
即：，
故选：C．
知识点03 一次函数图像的变换----对称
1、与直线y=kx+b关于x轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数。设l上任一点的坐标为（x,y），则（x,-y）应当在直线y=kx+b上，于是有-y=kx+b,即l：y=-kx-b。
2、与直线y=kx+b关于y轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数。设l上任一点的坐标为（x,y），则（-x, y）应当在直线y=kx+b上，于是有y=-kx+b,即l：y=-kx+b。
【微点拨】
1、 根据对称求直线的解析式关键在找对称的坐标点。
2、 关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数；
3、 关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数；
【即学即练3】3．若直线l1经过点（0，3），直线l2经过点（5，2），且l1与l2关于x轴对称，则l1与l2的交点坐标为（　　）
A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（﹣3，0） D．（3，0）
【答案】D
【分析】
根据对称的性质得出点（0，3）关于x轴对称的对称点，再根据待定系数法确定直线l2的关系式，求出直线l2与x轴的交点即可．
【详解】
解：设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∵直线l1经过点（0，3），l2经过点（5，2），且l1与l2关于x轴对称，
∴两直线相交于x轴上，点（0，3）关于x轴的对称点（0，﹣3）在直线l2上，
把（0，﹣3）和（5，2）代入y＝kx+b，
得，
解得：，
故直线l2的解析式为：y＝x﹣3，
令y＝0，则x＝3，
即l1与l2的交点坐标为（3，0）．
故选：D．
知识点04 一次函数图像的变换----旋转
当旋转的角度为180°时，两条直线关于这点成中心对称。设旋转后直线上任一点（x,y），则关于旋转点（m,n）成中心的对称的点为（2m-x,2n-y）,此点在旋转前的直线上。若旋转的角度不是180°，则需根据已知的条件求出两个点的坐标，再用待定系数法求解。
【微点拨】
若直线是绕着某一点旋转180°，则设点（x,y）在旋转后的直线上，再根据中心对称求中心对称的点的坐标代入旋转前的直线求出直线的解析式；若旋转一点的角度，可根据已知条件求出两个点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式。
【即学即练4】4．若把一次函数y＝kx+b的图象先绕着原点旋转180°，再向右平移2个单位长度后，恰好经过点A(4，0)和点B(0，﹣2)，则原一次函数的表达式为（　　）
A．y＝﹣x﹣1 B．y＝﹣x+1 C．y＝x+1 D．y＝x﹣1
【答案】C
【分析】
设直线AB的解析式为y=kx+b，根据题意，得，得到直线解析式为y＝x-2，将其向左平移2个单位，得到y＝x-1，绕着原点旋转180°，得解．
【详解】
设直线AB的解析式为y=kx+b，
根据题意，得，
解得，
∴直线解析式为y＝x-2，
将其向左平移2个单位，得y＝（x+2）-2，
即y＝x-1，
∴与y轴的交点为（0，-1），与x轴的交点为（2,0），
∵绕着原点旋转180°，
∴新直线与与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（-2,0），
∵设直线的解析式为y=mx+1，
∴-2m+1=0，
解得m=，
∴y＝x+1，
故选C．
能力拓展

考法01 一次函数图像平移问题
1、已知一个点的坐标和直线的斜率 k，我们就可以写出这条直线的解析式”
2、y =kx+b经过点（0，b)，而（0，b)向上平移m个单位得到点（0，b+m)，向下平移m个单位得到点（0，b－m)，向左平移m个单位得到点（0－m，b)，向右平移m个单位得到点（0+m，b)，直线y =kx+b平移后斜率不变仍然是k，设出平移后的解析式为y =kx+h,把平移后得到的点的坐标带入这个解析式求出h，就可以求出平移后直线的解析式。
【典例1】将直线：，先向下平移3个单位，再向右平移4个单位得直线，则平移后得到直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据一次函数平移k、b变化规律，在自变量或常数项上加减即可．
【详解】
解：，先向下平移3个单位，再向右平移4个单位得直线为：
，即；
故选：C．
考法02 判断一次函数的图像
在一次函数y=kx+b中,
1、当k>0时,y的值随x值的增大而增大;
2、当k<0时,y的值随x值的增大而减小.
3、当k>0 b>0时,图象过一 二 三象限;
4、当k>0 b<0时,图象过一 三 四象限;
5、当k<0 b>0时,图象过一 二 四象限;
6、当k<0 b<0时,图象过二 三 四象限.
7、当k大于0时，图象向右斜上方倾斜
8、当k小于0时，图象向右斜下方倾斜
9、当b大于0时，图象与Y轴的交点在X轴的上方
10、当b小于0时，图象与Y轴的交点在X轴的下方
【典例2】在同一平面直角坐标系中，直线和直线的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据一次函数的性质，对k的取值分三种情况进行讨论，排除错误选项，即可得到结果．
【详解】
解：由题意知，分三种情况：
1、当k＞2时，y=（k-2）x+k的图象经过第一、二、三象限，选项B、C符合；y=kx的图象y随x的增大而增大，选项B不符合，C选项符合；故C选项符合；
2、当0＜k＜2时，y=（k-2）x+k的图象经过第一、二、四象限，选项A、D符合；y=kx的图象y随x的增大而增大，选项A、D均不符合；
3、当k＜0时，y=（k-2）x+k的图象经过第二、三、四象限，没有选项符合．
故选：C．
分层提分

题组A 基础过关练
1．下列对于一次函数的描述错误的是（ ）
A．y随x的增大而减小 B．图像经过点
C．图像与直线相交 D．图像可由直线向上平移2个单位得到
【答案】B
【分析】
根据一次函数的性质，一次函数上的点以及交点，一次函数的平移分别判断即可．
【详解】
解：A、∵-3＜0，∴y随x的增大而减小，故选项正确，不合题意；
B、当x=2时，y=-3×2+2=-4，则图像经过点，故选项错误，符合题意；
C、令-3x+2=3x，则x=，则图像与直线相交，故选项正确，不合题意；
D、图像可由直线向上平移2个单位得到，故选项正确，不合题意；
故选B．
2．若点在正比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
把P点坐标代入函数解析式可求得k，再把选项中所给点的坐标代入进行判断即可．
【详解】
解：∵点P（2，4）在正比例函数y=kx的图象上，
∴4=2k，解得k=2，
∴y=2x，
当x=-3时，y=2×（-3）=-6≠4，故点（-3，4）不在函数图象上，
当x=-2时，y=2×（-2）=-4，故点（-2，-4）在函数图象上，
当x=0.5时，y=2×0.5=1≠4，故点（0.5，4）不在函数图象上，
当x=1时，y=2×1=2≠5，故点（1，5）不在函数图象上，
故选：B．
3．已知一次函数的图象经过，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
把点A坐标代入函数解析式即可求解．
【详解】
解：∵一次函数的图象经过，
∴2k+6=-2，
解得 k=-4．
故选：A
4．已知一次函数的图象经过点，则k的值是（ ）
A．1 B．0 C． D．4
【答案】A
【分析】
把点（5，2）代入一次函数y=kx﹣3即可解出k的值.
【详解】
把点（5，2）代入一次函数y=kx﹣3
得2=k×5-3，
解得k=1，
故选：A.
5．一次函数的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
【答案】B
【分析】
因为k=4>0，b=-3<0，根据一次函数y=kx+b（）的性质得到图像经过第一、三象限，图像与y轴交点在x轴下方，于是可判断图像经过的象限．
【详解】
对于一次函数，
k=4>0，
图像经过第一、三象限，
又 b=-3<0，
一次函数的图像与y轴的交点在x轴下方，即函数图像还经过第四象限．
故答案为B．
6．若一次函数的图象经过点和点，当时，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由条件可判断一次函数的增减性，可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围．
【详解】
解：∵当时，
∴一次函数y随x的增大而减小
∴m−3＜0，解得m＜3
故选：A．
7．一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】
根据一次函数的图象特点即可得．
【详解】
一次函数中的，
它的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
题组B 能力提升练
1．若函数y=2mx−（m2−4）的图象经过原点，且y随x的增大而减小（ ）
A．m=2 B．m=−2 C．m=±2 D．以上答案都不对
【答案】B
【分析】
根据函数过原点，求出m的值，利用一次函数的性质得m<0，即可得到答案．
【详解】
解：∵若函数y=2mx−（m2−4）的图象经过原点，则函数经过得一个点的坐标为（0，0），则0=−（m2-4），
∴m=±2，
∵y随x的增大而减少，则2m<0， 即m<0．
∴m=-2．
故选：B．
2．若一次函数（k是常数，）的图象经过点P，且函数y的值随自变量x的增大而减小，则点P的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据增减性判断k的取值范围，再分别把各个点代入，将解得的k与取值范围对照即可．
【详解】
解：∵一次函数（k是常数，）的图象，函数y的值随自变量x的增大而减小，
∴，
当一次函数经过（3,2）时，，解得k=0，与k的取值范围不符，故A选项不符合题意；
当一次函数经过（3,3）时，，解得，与k的取值范围不符，故B选项不符合题意；
当一次函数经过（-1,3）时，，解得，与k的取值范围符合，故C选项符合题意；
当一次函数经过时，，解得，与k的取值范围不符，故D选项不符合题意；
故选：C．
3．若关于的不等式组有解，则一次函数的图象一定不经过的象限是（　　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】
先解不等式组，根据不等式组有解，求得的取值范围，即可判断一次函数的图象一定不经过的象限．
【详解】
∵，
∴，
∵不等式组有解，
∴，
∴，
∴，
∴经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D．
4．一次函数y=2x+1的图像，可由函数y=2x的图像（　　　）
A．向左平移1个单位长度而得到 B．向右平移1个单位长度而得到
C．向上平移1个单位长度而得到 D．向下平移1个单位长度而得到
【答案】C
【分析】
根据一次函数图象平移规律，直接判断即可．
【详解】
解：∵一次函数图象向上平移m（m>0）个单位，常数项增加m，
∴函数y=2x的图像向上平移1个单位可以得到y=2x+1的图像，
故选：C．
5．已知某个一次函数自变量x的取值范围是0≤x≤10，函数y的取值范围是10≤y≤30 ，则此函数解析式是_____．
【答案】y=2x+10 或y=-2x+30
【分析】
设y=kx+b，分两种情况讨论，即x=0， y=10且x=10，y=30或x=10，y=10且x=0，y=30， 根据题所给的x和y的范围可得出k及b的值，继而得出解析式.
【详解】
设y=kx+b，
∵一次函数是直线，
∴①当k>0时，y随x的增大而增大，
∴当x=0，y=10且x=10，y=30，
得到，解得，
∴此函数解析式是y=2x+10；
②当k<0时，y随x的增大而减小，
∴x= 10，y=10且x=0，y=30，
∴，解得，
∴此函数解析式是y=-2x+30，
综上所述，函数的解析式为y=2x+ 10或y=- 2x + 30.
故答案为：y=2x+ 10或y=- 2x + 30.
6．已知直线（为常数，且），当变化时，坐标原点到直线的最大距离是_________．
【答案】
【分析】
先将原表达式写成（3x+6）m-（4+y）=0，令3x+6=0,4+y=0，解得x=-2、y=-4，即直线过定点P（-2，-4），最后运用勾股定理求出PO的长即可．
【详解】
解：∵
∴（3x+6）m-（4+y）=0
令3x+6=0,4+y=0，解得x=-2、y=-4
∴该直线过定点P（-2，-4），即PO为坐标原点到直线的最大距离
∴PO=．
故答案为．
7．如图，己知A(4 ，0)，B(4 ， 4)， 直线y=kx+4与x轴正半轴交于点C，与y轴交于点D，将线段CD绕着点C顺时针旋转90°，点D落在点E处，连接AE，BE，若为等腰三角形，则k的值为__________．

【答案】
【分析】
分三种情况讨论，当时，过作于过作于证明即可得到答案；当时，过作于再证明 利用勾股定理列方程求解可得答案；当 此时重合， 再证明 从而列方程求解即可得到答案．
【详解】
解：如图，当时，


过作于


过作于 则
由题意得：










如图，当
过作于
由

为，
令，则，

令 则

由（1）得：



由




经检验：是原方程的根，但由一次函数得＜，


当 此时重合，

则三点共线，





经检验：是原方程的根且符合题意，

综上：或 或
故答案为：
题组C 培优拔尖练
1．已知函数若，则下列说法错误的是（ ）
A．当时，有最小值0.5 B．当时，有最大值1.5
C．当时，有最小值1 D．当时，有最大值2
【答案】B
【分析】
画出函数图像，在当n-m=1时，当b-a=1时，两种情况下，分别分当a、b均大于1，当a、b均小于等于1，当a≤1，b＞1三种情况分别讨论．
【详解】
解：如图，作出函数图，
当n-m=1时，
当a、b均大于1时，b-a=1，
当a、b均小于等于1时，
，
则=，
则b-a=，
当a≤1，b＞1时，
则0＜a≤1，1＜b＜2，
则，
∴，
当a=1，b=2时有解，故不存在，
∴b-a最小值为，b-a的最大值为1；
故A正确，B错误；
当b-a=1时，
当a、b均大于1时，n-m=1，
当a、b均小于等于1时，
，
当0＜a≤1且1＜b＜2时，
，
当时为最大值1，当接近0时取值无限接近2但小于2，
故n-m最大值为2，最小值为1，则C、D正确，
故选B．

2．我们把三个数的中位数记作Z{a，b，c}．例如Z{1，3，2}=2．函数y=|2x+b|的图象为C1，函数y=Z{x+1，-x+1，3}的图象为C2．图象C1在图象C2的下方点的横坐标x满足-3 A．03或b<0 C．0≤b≤3 D．1 【答案】C
【分析】
画出函数图象，利用图象法，取特殊点求出b的值即可解决问题．
【详解】
解：如图，图象、如图所示．

对于函数，当时，，当函数经过时，，
对于函数，当时，，当函数经过时，，
观察图象可知，当图象在图象的下方点的横坐标满足，则的取值范围为，
故选：C．
3．把直线向上平移个单位后，与直线的交点在第二象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据平移特征：向上平移个单位后可得：，再根据与直线的交点，组成方程组，解关于x，y的方程，得到x,y关于m的代数式，二象项的点横坐标小于0.纵坐标大于0,组成不等式组，即可得到答案.
【详解】
解：直线向上平移个单位后可得：，
联立两直线解析式得：，
解得：，
即交点坐标为，，
交点在第二象限，
，
解得：．
故选：．
4．已知点，，，四点在直线的图象上，且，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用点D求出直线解析式，再根据函数的性质依据各点的横坐标的大小关系确定纵坐标的大小关系即可.
【详解】
将点D代入中，得2k+4=-1，
∴，
∴，
∵<0，
∴y随x的增大而减小，
∵点，，，且，
∴，
故选：B.
5．对于实数,，定义符号,其意义为:当时,:当时,,例如,若关于的函数,则该函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据定义分情况列出不等式：①当2x-1≥-x+5时，y=min{2x-1，-x+5}=-x+5；②当2x-1≤-x+5时，y=min{2x-1，-x+5}=2x-1，再根据一次函数的性质可得出结果．
【详解】
解：由题意得：
①当2x-1≥-x+5,即x≥2时，y=min{2x-1，-x+5}=-x+5,
∴-1＜0，y随x的增大而减小，
∴当x≥2时，y取得最大值3；
②当2x-1＜-x+5,即x＜2时，y=min{2x-1，-x+5}=2x-1,
∴2＞0，y随x的增大而增大，
∴当x＜2时，y＜3.
综上可知，函数的最大值为3.
故选：B.
6．如果点、均在一次函数的图象上，那么的值为( )
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】
直接把两点代入一次函数y=kx+b（k≠0），求出k的值即可．
【详解】
解：∵点A（m+1，n-1）、B（m-2，n+5）均在一次函数y=kx+b（k≠0）的图象上，
∴，①-②解得k=-2．
故选：D．
7．在平面直角坐标系中，过点（1,2）作直线l，若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l的条数是（   ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【详解】
【分析】设直线l解析式为：y=kx+b，由l与x轴交于点A（-，0），与y轴交于点B（0，b），依题可得关于k和b的二元一次方程组，代入消元即可得出k的值，从而得出直线条数.
【详解】设直线l解析式为：y=kx+b，则l与x轴交于点A（- ，0），与y轴交于点B（0，b），
∴，
∴（2-k）2=8|k|，
∴k2-12k+4=0或（k+2）2=0，
∴k=6±4或k=-2，
∴满足条件的直线有3条，
故选C.