人教版 (2019)必修 第二册2 万有引力定律学案及答案

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1．开普勒第三定律同样适用于卫星围绕地球的运动，其中k由中心天体决定.2.万有引力和重力的关系：(1)考虑星球自转时，物体所受重力为万有引力的分力．赤道上：mg＝eq \f(GMm,R2)－mRω自2；两极处：mg＝eq \f(GMm,R2).(2)忽略星球自转时，重力等于万有引力，即mg＝Geq \f(Mm,R2).3.天体质量和密度的估算：(1)由g、R估算：mg＝Geq \f(Mm,R2)；(2)由T、r估算：Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2r,T2).
1．2020年7月，我国用长征运载火箭将“天问一号”探测器发射升空，探测器在星箭分离后，进入地火转移轨道，如图所示，2021年5月在火星乌托邦平原着陆．则探测器( )
A．与火箭分离时的速度小于第一宇宙速度
B．每次经过P点时的速度相等
C．绕火星运行时在捕获轨道上的周期最大
D．绕火星运行时在不同轨道上与火星的连线每秒扫过的面积相等
答案 C
解析 与火箭分离即脱离地球束缚进入太阳系，应为第二宇宙速度即速度大于第一宇宙速度，故A错误；由题图可知，探测器做近心运动，故每次经过P点的速度越来越小，故B错误；由题图可得，绕火星运行时在捕获轨道上的轨道半径最大，则由开普勒第三定律知在捕获轨道上的周期最大，故C正确；由开普勒第二定律可知，绕火星运行时在同一轨道上与火星的连线每秒扫过的面积相等，故D错误．
2．飞船运行到地球和月球间某处时，飞船所受地球、月球引力的合力恰好为零．已知地球与月球质量之比为k，则在该处时，飞船到地球中心的距离与到月球中心的距离之比为( )
A．k2 B．k C.eq \r(k) D.eq \f(1,k)
答案 C
解析 设地球质量与月球质量分别为m1、m2，飞船到地球中心的距离与到月球中心的距离分别为R1、R2，飞船质量为m，飞船所受地球、月球引力大小相等，则有Geq \f(m1m,R12)＝Geq \f(m2m,R22)，解得eq \f(R1,R2)＝eq \r(\f(m1,m2))＝eq \r(k)，故选C.
3．(多选)如表格中列出一些地点的重力加速度，表中数据的规律可表述为：随着地面上地点纬度的增大，该处的重力加速度增大．已知地面不是标准球面，纬度越大的地点半径越小，是形成表格所示规律的原因，以下说法正确的有( )
A．地面物体的重力等于所受地球引力的大小与随地球自转所需向心力大小之差
B．地面物体受到地球引力的大小随所在地纬度的增大而增大
C．地面物体随地球自转所需向心力随所在地纬度的增大而增大
D．地面物体受地球引力的方向与随地球自转所需向心力的方向的夹角随所在地纬度的增大而增大
答案 BD
解析 地面物体的重力等于所受地球引力与随地球自转所需向心力矢量之差，故A错误；由题意可知，地面物体受到地球引力的大小随所在地纬度的增大而增大，故B正确；由F向＝mω2r且纬度越高的地点半径越小可得地面物体随地球自转所需向心力随所在地纬度的增大而减小，故C错误；如图所示，可得出地面物体受地球引力的方向与随地球自转所需向心力的方向的夹角随所在地纬度的增大而增大，故D正确．
4．假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为( )
A.eq \f(3πg0－g,GT2g0) B.eq \f(3πg0,GT2g0－g)
C.eq \f(3π,GT2) D.eq \f(3πg0,GT2g)
答案 B
解析 物体在地球的两极时有mg0＝Geq \f(Mm,R2)，物体在赤道时有mg＋m(eq \f(2π,T))2R＝Geq \f(Mm,R2)，其中M＝ρ·eq \f(4,3)πR3，联立解得地球的密度ρ＝eq \f(3πg0,GT2g0－g)，故B正确，A、C、D错误．
5.(多选)如图，某次发射火箭的过程中，当火箭距地面的高度恰好为地球半径的3倍时，火箭的加速度大小为a，方向竖直向上，火箭内有一电子台秤，物体在该台秤上显示的示数为发射前在地面上静止时示数的一半．已知地球的第一宇宙速度为v，忽略地球自转，引力常量为G，则下列说法正确的是( )
A．距地面高度恰好为地球半径的3倍处的重力加速度大小为地球表面重力加速度大小的eq \f(1,16)
B．地球表面的重力加速度大小约为16a
C．地球的半径为R＝eq \f(7v2,16a)
D．地球的质量为M＝eq \f(9v4,16aG)
答案 AC
解析 设地球表面的重力加速度为g，距地面高度恰好为地球半径的3倍处的重力加速度为g1，由G eq \f(Mm,R2)＝mg，得eq \f(g,g1)＝eq \f(R＋H2,R2)，解得g1＝eq \f(g,16)，A项正确；设台秤上物体的质量为m，火箭在地面上时台秤显示的示数FN1＝mg，距地面3R时台秤显示的示数FN2＝eq \f(1,2)FN1＝ma＋mg1，解得a＝eq \f(7,16)g，同时得到g＝eq \f(16a,7)，B项错误；在地球表面，设近地卫星质量为m0，有m0g＝m0eq \f(v2,R)，解得R＝eq \f(7v2,16a)，C项正确；由Geq \f(Mm0,R2)＝m0g，解得M＝eq \f(7v4,16aG)，D项错误．
6．(2023·上海市松江区模拟)2020年5月22日，“祝融号”火星车驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡视探测，火星的质量和半径分别约为地球eq \f(1,10)和eq \f(1,2)，忽略地球和火星的自转，则火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比约为( )
A．0.2 B．0.4 C．2.5 D．5
答案 B
解析 在天体的表面，根据万有引力等于重力有Geq \f(Mm,R2)＝mg，可得火星表面的重力加速度为g火＝eq \f(Gm火,R火2)＝eq \f(G·\f(1,10)m地,\f(1,2)R地2)＝eq \f(2Gm地,5R地2)＝0.4g地，则火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比约为0.4，故选B.
7．若将地球看作质量分布均匀的球体(半径为R)，且不计地球的自转．地球表面处的重力加速度为g1，地球表面下方深eq \f(R,2)处的重力加速度为g2，地球表面上方高eq \f(R,2)处的重力加速度为g3，下列说法正确的是( )
A．g3C．g1答案 A
解析 在地球表面的物体，万有引力近似等于重力，有Geq \f(Mm,R2)＝mg1；在地球表面下方深eq \f(R,2)处的重力加速度相当于半径为R－eq \f(R,2)＝eq \f(R,2)的球体在其表面产生的加速度，由球的体积公式V＝eq \f(4,3)πr3及M＝ρV可知，半径为eq \f(R,2)的球体质量为半径为R的球体的eq \f(1,8)，故Geq \f(\f(1,8)Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R,2)))2)＝Geq \f(Mm,2R2)＝mg2；地球表面上方高eq \f(R,2)处的重力加速度为Geq \f(Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(R＋\f(R,2)))2)＝Geq \f(4Mm,9R2)＝mg3.由上面的分析可知g38．(多选)(2023·河北保定市模拟)设想宇航员随飞船绕火星飞行，飞船贴近火星表面时的运动可视为绕火星做匀速圆周运动．若宇航员测试飞船在靠近火星表面的圆形轨道绕行n圈的时间为t，飞船在火星上着陆后，宇航员用弹簧测力计测得质量为m的物体受到的重力大小为F，引力常量为G，将火星看成一个球体，不考虑火星的自转，则下列说法正确的是( )
A．火星的半径为eq \f(Ft2,n2m)
B．火星的质量为eq \f(F3t4,16π4Gn4m3)
C．飞船贴近火星表面做圆周运动的线速度大小为eq \f(2πnF,mt)
D．火星的平均密度为eq \f(3πn2,Gt2)
答案 BD
解析 靠近火星表面的圆形轨道绕行的周期T＝eq \f(t,n)，弹簧测力计测得质量为m的物体受到的重力大小为F，即F＝mg，根据万有引力提供向心力有Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(4π2,T2)R，Geq \f(Mm,R2)＝mg＝F，联立求得火星半径R＝eq \f(Ft2,4π2n2m)，火星质量M＝eq \f(F3t4,16π4Gn4m3)，A错误，B正确；线速度大小满足v＝eq \f(2πR,T)，联立解得v＝eq \f(Ft,2πmn)，C错误；火星的平均密度为ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)，解得ρ＝eq \f(3πn2,Gt2)，D正确．
9．(多选)(2023·山东省模拟)为了探测某未知星球，探测飞船载着登陆舱先是在离该星球中心距离为r1的圆轨道上运动，经测定周期为T1；随后登陆舱脱离飞船，变轨到该星球的近地圆轨道上运动．已知该星球的半径为R，引力常量为G.则( )
A．登陆舱在近地圆轨道上运行的周期为T1eq \r(\f(R3,r13))
B．登陆舱在近地圆轨道上运行的周期为T1eq \r(\f(r13,R3))
C．该未知星球的平均密度为eq \f(3πr13,GT12R3)
D．该未知星球的平均密度为eq \f(3π,GT12)
答案 AC
解析 根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，解得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，结合已知条件可得登陆舱在该星球近地圆轨道上运行的周期T2＝T1eq \r(\f(R3,r13))，故A正确，B错误；根据Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(4π2,T22)R，结合V＝eq \f(4,3)πR3，和密度公式ρ＝eq \f(M,V)，联立解得ρ＝eq \f(3πr13,GT12R3)，故C正确，D错误．地点
纬度
重力加速度
赤道海平面
0°
9.780 m/s2
马尼拉
14°35′
9.784 m/s2
广州
23°06′
9.788 m/s2
上海
31°12′
9.794 m/s2
东京
35°43′
9.798 m/s2
北京
39°56′
9.801 m/s2
莫斯科
55°45′
9.816 m/s2
北极
90°
9.832 m/s2