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第一单元《直角三角形的边角关系》（较易）单元测试卷（含解析）
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这是一份第一单元《直角三角形的边角关系》（较易）单元测试卷（含解析），共19页。
第一单元《直角三角形的边角关系》（含答案解析）
考试范围：第一单元； 考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，则tanB的值为( )
A. 35 B. 45 C. 43 D. 34
2. 在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则角A的三角函数值( )
A. 不变 B. 扩大5倍 C. 缩小5倍 D. 不能确定
3. 13cos30°的值是( )
A. 36 B. 33 C. 16 D. 26
4. 在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tanB−3|+(2cosA−1)2=0，则△ABC是( )
A. 直角(不等腰)三角形 B. 等边三角形
C. 等腰(不等边)三角形 D. 等腰直角三角形
5. 已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=23，BC=4，则AB长为( )
A. 6 B. 455 C. 83 D. 213
6. 如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=( )
A. 26 B. 2626
C. 2613 D. 1313
7. 如图，AD是△ABC的高．若BD=2CD=4，tanC=2，则边AB的长为( )
A. 22 B. 42 C. 35 D. 62
8. 在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD.如图，已知小明距假山的水平距离BD为12m，他的眼镜距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为( )
A. (43+1.6)m B. (123+1.6)m C. (42+1.6)m D. 43m
9. 如图，为了测量河岸A、B两点的距离，在与AB垂直的方向点C处测得AC=a，∠ACB=50°，那么AB等于( )
A. asin50° B. atan50° C. acos50° D. atan50∘
10. 如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为24°，荷塘另一端点D与点C，B在同一直线上，已知楼房AC=32米，CD=16米，则荷塘的宽BD为(sin24°≈0.41,cos24°≈0.91,tan24°≈0.45.结果精确到0.1)( )
A. 55.1米 B. 30.4米 C. 51.2米 D. 19.2米
11. 一个台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( )
A. 斜坡AB的坡度是10° B. 斜坡AB的坡度是tan10°
C. AC=1.2tan10°米 D. AB=1.2cos10∘米
12. 如图，电线杆CD的高度为ℎ，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=a，则拉线BC的长度为(A,D,B在同一条直线上)( )
A. ℎsina B. ℎcosa C. ℎtana D. ℎ·cosa
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 在Rt△ABC中，∠C=90°，tan A=43，BC=8，则AC= ．
14. 在△ABC中，∠C=90°，sinA=12，AC=43，则BC=______．
15. 如图，建筑物BC上有一高为8m的旗杆AB，从D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则建筑物BC的高约为 m(结果保留小数点后一位，参考数据：sin53∘≈0.80，cos53∘≈0.60，tan53∘≈1.33)．
16. 如图，渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达B处在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是______海里．
三、 解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
在△ABC中，∠C=90°，sinA=45，BC=20，求△ABC的周长和面积．
18. (本小题8.0分)
(1)已知∠A是锐角，sinA=15，求∠A的其他三角函数值；
(2)已知∠A是锐角，tanA=815.求∠A的其他三角函数值．
19. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(x+2x2−2x−x−1x2−4x+4)÷x−4x，其中x=tan60°+2．
20. (本小题8.0分)
在Rt△ABC中，∠C=90°，b=23，c=4.解这个直角三角形．
21. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，∠B=45°，tanC=23，AC=213，求BC的长．
22. (本小题8.0分)
图1是挂墙式淋浴花洒的实物图，图2是抽象出来的几何图形．为使身高175cm的人能方便地淋浴，应当使旋转头固定在墙上的某个位置O，花洒的最高点B与人的头顶的铅垂距离为15cm，已知龙头手柄OA长为10cm，花洒直径AB是8cm，龙头手柄与墙面的较小夹角∠COA=26°，∠OAB=146°，则安装时，旋转头的固定点O与地面的距离应为多少？(计算结果精确到1cm，参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49)
23. (本小题8.0分)
如图，身高1.75m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度(∠A=30°)，已知她与树之间的距离为5m.那么这棵树大约有多高?(结果精确到0.1m，3≈1.732)
24. (本小题8.0分)
如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC=200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD=100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．
(1)求步道DE的长度(精确到个位)；
(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D.请计算说明他走哪一条路较近？
(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)
25. (本小题8.0分)
如图，两座建筑物的水平距离BC为40m，从A点测得D点的俯角α为45°，测得C点的俯角β为60°.求这两座建筑物AB，CD的高度．(结果保留小数点后一位，2≈1.414，3≈1.732.)
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出BC，根据正切的定义计算即可．
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切是解题的关键．
【解答】
解：由勾股定理得，BC=AB2−AC2=4，
∴tanB=ACBC=34，
故选：D．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的对应角相等．掌握三角函数值只与角的大小有关，与角的边的长短无关是解决问题的关键．
易得边长扩大后的三角形与原三角形相似，那么对应角相等，相应的三角函数值不变．
【解答】
解：∵各边都扩大5倍，
∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，
∴两三角形相似，
∴∠A的三角函数值不变，
故选A．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记30°的余弦值是解题的关键．
根据30°的余弦值为32计算即可．
【解答】
解：13cos30°
=13×32
=36，
故选：A．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．直接利用特殊角的三角函数值得出∠B，∠A的度数，进而得出答案．
【解答】
解：∵tanB−3+2cosA−12=0，
∴tanB=3，2cosA=1，
则∠B=60°,∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形．
故选B．
5.【答案】A
【解析】解：如图所示：∵sinA=23，BC=4，
∴sinA=BCAB=23=4AB，
解得：AB=6．
故选：A．
直接利用已知画出直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出答案．
此题主要考查了锐角三角函数定义，正确画出直角三角形是解题关键．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理，三角形的面积，锐角三角函数的定义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键．
作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角△ABD中根据三角函数的意义求解．
【解答】
解：如图，作BD⊥AC于D，
由勾股定理得，AB=32+22=13，AC=32+32=32，
∵S△ABC=12AC·BD=12×32·BD=12×1×3，
∴BD=22，
∴sin∠BAC=BDAB=2213=2626．
故选B．
7.【答案】B
【解析】解：由题意可知，
tanC=ADCD=2，
∵CD=2，
∴AD=4，
∴AD=BD=4，
∵AD⊥BD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AD=2AD=42．
故选：B．
利用题目信息得到AD的长度，然后根据AD和BD的长度判断出△ABD的形状，然后根据特殊直角三角形的三边关系得到AB的长度．
本题考查解直角三角形与三角形的高，能够充分利用含有45°角的直角三角形的三边关系是解答本题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵BD=12米，李明的眼睛高AB=1.6米，∠AOE=60°，
∴DB=AK，AB=KD=1.6米，∠CAK=30°，
∴tan30°=CKAK=CK12，
解得CK=43(米)，
即CD=CK+DK=43+1.6=(43+1.6)米．
故选：A．
根据已知得出AK=BD=12m，再利用tan30°=CKAK=CK12，进而得出CD的长．
本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意得出tan30°=CKAK=CK12解答是解答此题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：根据题意，在Rt△ABC，有AC=a，∠ACB=50°，且tan50°=ABAC，
则AB=AC×tan50°=a⋅tan50°，
故选：B．
根据题意，可得Rt△ABC，同时可知AC与∠ACB.根据三角函数的定义解答．
本题考查了解直角三角形的应用，要熟练掌握三角函数的定义．
10.【答案】A
【解析】解：由题意知，∠ABC=24°，∠ACB=90°，AC=32米，
∵tan∠ABC=tan24°=ACBC，
∴BC=ACtan24∘=320.45≈71.1(米)，
∵CD=16米，
∴BD=BC−CD=71.1−16=55.1米．
故选：A．
根据已知条件转化为直角三角形ABC中的有关量，由锐角三角函数的定义可求出BC，根据BD=BC−CD可得出答案．
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用仰俯角的定义将题目中的相关量转化为直角三角形ABC中的有关元素．
11.【答案】B
【解析】
【分析】
此题主要考查了三角函数坡度坡角问题及三角函数的定义.正确的理解三角函数的定义及坡度坡角的定义是解决问题的关键．
根据坡度坡角的定义和三角函数的定义逐项进行判断即可．
【解答】
解：A.因为坡度不是指角的度数，是指BC:AC，故此项错误；
B.斜坡AB的坡度是BC:AC=tan10∘,故此项正确；
C.由三角函数的定义可知AC=1.2tan10°米，故此项错误；
D.由三角函数的定义可知AB=1.2sin10°米，故此项错误，
故选：B．
12.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键.根据同角的余角相等得∠CAD=∠BCD，由cos∠BCD=CDBC可知BC=CDcos∠BCD=ℎcosα．
【解答】
解：∵CD⊥AB，AC⊥BC，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠CAD=∠BCD，
在Rt△BCD中，∵cos∠BCD=CDBC，
∴BC=CDcos∠BCD=ℎcosα．
13.【答案】6
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是三角函数定义，根据tanA=BCAC=43，即可得到AC=BCtanA，代入tan A=43，BC=8即可得到答案．
【解答】
解：∵tanA=BCAC=43，BC=8，
∴AC=BCtanA=8×34=6．
故答案为6．
14.【答案】4
【解析】
【分析】
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确得出∠A的度数是解题关键．
直接利用特殊角的三角函数值得出∠A的度数，再利用锐角三角函数关系得出答案．
【解答】
解：∵∠C=90°，sinA=12，
∴∠A=30°，
∴tanA=BCAC=33，
∴BC=AC·tanA=43×33=4．
15.【答案】24.2
【解析】略
16.【答案】72
【解析】解：由已知得，AB=12×28=14海里，∠MAB=30°，∠ABM=105°．
过点B作BN⊥AM于点N．
∵在直角△ABN中，∠BAN=30°
∴BN=12AB=7海里．
在直角△BNM中，∠MBN=45°，则直角△BNM是等腰直角三角形．即BN=MN=7海里，
∴BM=BN2+MN2=72+72=72(海里)．
故答案为：72．
过点B作BN⊥AM于点N，由已知可求得BN的长；再根据三角函数求BM的长．
本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．
17.【答案】解：由sinA=BCAB=45，BC=20，
得出：AB=25，
由勾股定理得出：AC=AB2−BC2=15，
则C△ABC=AB+BC+AC=25+20+15=60，
故S△ABC=12BC⋅AC=12×20×15=150．
【解析】本题考查了解直角三角形，由直角三角形已知元素求未知元素的过程，还考查了直角三角形的性质．
根据锐角三角函数的概念和勾股定理求解，根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系及勾股定理，然后再代入三角函数进行求解，最后求出△ABC的周长和面积．
18.【答案】解：不妨设锐角A、B是Rt△ABC中的锐角，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边．
(1)∵sinA=15，
∴ac=15，即c=5a．
∴b=c2−a2=26a.
∴cosA=bc=26a5a=265，
tanA=ab=a26a=612．
(2)∵tanA=815，
∴ab=815，即a=815b.
∴c=a2+b2=1715b，
∴sinA=ac=815b1715b=817，
cosA=bc=1517．
【解析】不妨设锐角A、B是Rt△ABC中的锐角，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边．
(1)由sinA=15，将b和c用a表示出来，再根据余弦函数和正切函数的定义得出答案即可；求∠A的其他三角函数值；
(2)由tanA=815，将a和c用b表示出来，再根据正弦函数和余弦函数的定义得出答案即可．
本题主要考查了锐角三角函数的定义，明确锐角三角函数的定义并结合勾股定理表示出未知的边长是解题的关键．
19.【答案】解：原式=(x+2x(x−2)−x−1(x−2)2)⋅xx−4
=((x−2)(x+2)x(x−2)2−x(x−1)x(x−2)2)⋅xx−4
=x2−4−x2+xx(x−2)2⋅xx−4
=1(x−2)2．
∵x=tan60°+2=3+2，
∴当x=3+2时，原式=13
【解析】化简后代入计算即可；
本题考查分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式，代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
20.【答案】解：如图，
在Rt△ACB中，∵∠C=90°，AC=23，AB=4，
∴BC=AB2−AC2=42−(23)2=2，
∴AB=2BC，
∴∠A=30°，∠B=60°．
【解析】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于基础题型．
利用勾股定理求出BC，根据AB=2BC，推出∠A=30°即可解决问题．
21.【答案】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
∴△ABD、△ACD均为直角三角形．
在Rt△ACD中，
∵tanC=ADCD=23，
∴AD=23CD．
在Rt△ACD中，∵AD2+CD2=AC2，AC=213，
∴(23CD)2+CD2=(213)2,
∴CD2=36，
∵CD>0，
∴CD=6，
∴AD=23CD=23×6=4．
在Rt△ABD中，∵∠B=45°，∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°−45°=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD=4．
∴BC=AD+CD=4+6=10．
【解析】过点A作AD⊥BC，垂足为D.得到Rt△ACD和Rt△ABD，先在Rt△ACD中根据正切定义和勾股定理求出AD、CD，再在Rt△ABD中求出BD，最后利用线段的和差关系求出BC．
本题考查了解直角三角形，构造直角三角形并掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
22.【答案】解：如图，过点B作地面的垂线，垂足为D，过点A作地面GD的平行线，交OC于点E，交BD于点F，
在Rt△AOE中，∠AOE=26°，OA=10，
则OE=OA⋅cos∠AOE≈10×0.90=9cm，
在Rt△ABF中，∠BOF=146°−90°−26°=30°，AB=8，
则BF=AB⋅sin∠BOF=8×12=4cm，
∴OG=BD−BF−OE=(175+15)−4−9=177cm，
答：旋转头的固定点O与地面的距离应为177cm．
【解析】通过作辅助线构造直角三角形，分别在Rt△ABF和在Rt△AOE中，根据锐角三角函数求出OE、BF，而点B到地面的高度为175+15=190cm，进而取出后OG即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确计算的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
23.【答案】解：由题意得：AD=5m，
在Rt△ACD中，tanA=CDAD=33
∴CD=533，又AB=1.75m
∴CE=CD+DE=CD+AB=533+1.75≈4.6m
答：树的高度约为4.6米．
【解析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键.树高相当于CE，问题也就转化为求CD和DE的和，而DE相当于小丽的身高，在Rt△ACD中利用三角函数的知识求CD就成了解题的关键．
24.【答案】解：(1)过D作DF⊥AE于F，如图：
由已知可得四边形ACDF是矩形，
∴DF=AC=200米，
∵点D在点E的北偏东45°，即∠DEF=45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DE=2DF=2002≈283(米)；
(2)由(1)知△DEF是等腰直角三角形，DE=283米，
∴EF=DF=200米，
∵点B在点A的北偏东30°，即∠EAB=30°，
∴∠ABC=30°，
∵AC=200米，
∴AB=2AC=400米，BC=AB2−AC2=2003米，
∵BD=100米，
∴经过点B到达点D路程为AB+BD=400+100=500米，
CD=BC+BD=(2003+100)米，
∴AF=CD=(2003+100)米，
∴AE=AF−EF=(2003+100)−200=(2003−100)米，
∴经过点E到达点D路程为AE+DE=2003−100+2002≈529米，
∵529>500，
∴经过点B到达点D较近．
【解析】(1)过D作DF⊥AE于F，由已知可得四边形ACDF是矩形，则DF=AC=200米，根据点D在点E的北偏东45°，即得DE=2DF=2002≈283(米)；
(2)由△DEF是等腰直角三角形，DE=283米，可得EF=DF=200米，而∠ABC=30°，即得AB=2AC=400米，BC=AB2−AC2=2003米，又BD=100米，即可得经过点B到达点D路程为AB+BD=500米，CD=BC+BD=(2003+100)米，从而可得经过点E到达点D路程为AE+DE=2003−100+2002≈529米，即可得答案．
本题考查解直角三角形−方向角问题，解题的关键是掌握含30°、45°角的直角三角形三边的关系．
25.【答案】解：延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE，
在Rt△AED中，AE=BC=40m，∠EAD=45°，
∴ED=AE·tan45°=40m，
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=40m，
∴AB=403≈69.3m，
则CD=EC−ED=AB−ED≈69.28−40=29.3m．
答：这两座建筑物AB、CD的高度分别为69.3m和29.3m．
【解析】延长CD，交过A点的水平线AE于点E，可得DE⊥AE，在直角三角形ABC中，由题意确定出AB的长，进而确定出EC的长，在直角三角形AED中，由题意求出ED的长，由EC−ED求出DC的长即可
此题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
第一单元《直角三角形的边角关系》（含答案解析）
考试范围：第一单元； 考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，则tanB的值为( )
A. 35 B. 45 C. 43 D. 34
2. 在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则角A的三角函数值( )
A. 不变 B. 扩大5倍 C. 缩小5倍 D. 不能确定
3. 13cos30°的值是( )
A. 36 B. 33 C. 16 D. 26
4. 在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tanB−3|+(2cosA−1)2=0，则△ABC是( )
A. 直角(不等腰)三角形 B. 等边三角形
C. 等腰(不等边)三角形 D. 等腰直角三角形
5. 已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=23，BC=4，则AB长为( )
A. 6 B. 455 C. 83 D. 213
6. 如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=( )
A. 26 B. 2626
C. 2613 D. 1313
7. 如图，AD是△ABC的高．若BD=2CD=4，tanC=2，则边AB的长为( )
A. 22 B. 42 C. 35 D. 62
8. 在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD.如图，已知小明距假山的水平距离BD为12m，他的眼镜距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为( )
A. (43+1.6)m B. (123+1.6)m C. (42+1.6)m D. 43m
9. 如图，为了测量河岸A、B两点的距离，在与AB垂直的方向点C处测得AC=a，∠ACB=50°，那么AB等于( )
A. asin50° B. atan50° C. acos50° D. atan50∘
10. 如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为24°，荷塘另一端点D与点C，B在同一直线上，已知楼房AC=32米，CD=16米，则荷塘的宽BD为(sin24°≈0.41,cos24°≈0.91,tan24°≈0.45.结果精确到0.1)( )
A. 55.1米 B. 30.4米 C. 51.2米 D. 19.2米
11. 一个台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( )
A. 斜坡AB的坡度是10° B. 斜坡AB的坡度是tan10°
C. AC=1.2tan10°米 D. AB=1.2cos10∘米
12. 如图，电线杆CD的高度为ℎ，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=a，则拉线BC的长度为(A,D,B在同一条直线上)( )
A. ℎsina B. ℎcosa C. ℎtana D. ℎ·cosa
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 在Rt△ABC中，∠C=90°，tan A=43，BC=8，则AC= ．
14. 在△ABC中，∠C=90°，sinA=12，AC=43，则BC=______．
15. 如图，建筑物BC上有一高为8m的旗杆AB，从D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则建筑物BC的高约为 m(结果保留小数点后一位，参考数据：sin53∘≈0.80，cos53∘≈0.60，tan53∘≈1.33)．
16. 如图，渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达B处在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是______海里．
三、 解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
在△ABC中，∠C=90°，sinA=45，BC=20，求△ABC的周长和面积．
18. (本小题8.0分)
(1)已知∠A是锐角，sinA=15，求∠A的其他三角函数值；
(2)已知∠A是锐角，tanA=815.求∠A的其他三角函数值．
19. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(x+2x2−2x−x−1x2−4x+4)÷x−4x，其中x=tan60°+2．
20. (本小题8.0分)
在Rt△ABC中，∠C=90°，b=23，c=4.解这个直角三角形．
21. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，∠B=45°，tanC=23，AC=213，求BC的长．
22. (本小题8.0分)
图1是挂墙式淋浴花洒的实物图，图2是抽象出来的几何图形．为使身高175cm的人能方便地淋浴，应当使旋转头固定在墙上的某个位置O，花洒的最高点B与人的头顶的铅垂距离为15cm，已知龙头手柄OA长为10cm，花洒直径AB是8cm，龙头手柄与墙面的较小夹角∠COA=26°，∠OAB=146°，则安装时，旋转头的固定点O与地面的距离应为多少？(计算结果精确到1cm，参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49)
23. (本小题8.0分)
如图，身高1.75m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度(∠A=30°)，已知她与树之间的距离为5m.那么这棵树大约有多高?(结果精确到0.1m，3≈1.732)
24. (本小题8.0分)
如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC=200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD=100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．
(1)求步道DE的长度(精确到个位)；
(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D.请计算说明他走哪一条路较近？
(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)
25. (本小题8.0分)
如图，两座建筑物的水平距离BC为40m，从A点测得D点的俯角α为45°，测得C点的俯角β为60°.求这两座建筑物AB，CD的高度．(结果保留小数点后一位，2≈1.414，3≈1.732.)
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出BC，根据正切的定义计算即可．
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切是解题的关键．
【解答】
解：由勾股定理得，BC=AB2−AC2=4，
∴tanB=ACBC=34，
故选：D．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的对应角相等．掌握三角函数值只与角的大小有关，与角的边的长短无关是解决问题的关键．
易得边长扩大后的三角形与原三角形相似，那么对应角相等，相应的三角函数值不变．
【解答】
解：∵各边都扩大5倍，
∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，
∴两三角形相似，
∴∠A的三角函数值不变，
故选A．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记30°的余弦值是解题的关键．
根据30°的余弦值为32计算即可．
【解答】
解：13cos30°
=13×32
=36，
故选：A．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．直接利用特殊角的三角函数值得出∠B，∠A的度数，进而得出答案．
【解答】
解：∵tanB−3+2cosA−12=0，
∴tanB=3，2cosA=1，
则∠B=60°,∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形．
故选B．
5.【答案】A
【解析】解：如图所示：∵sinA=23，BC=4，
∴sinA=BCAB=23=4AB，
解得：AB=6．
故选：A．
直接利用已知画出直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出答案．
此题主要考查了锐角三角函数定义，正确画出直角三角形是解题关键．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理，三角形的面积，锐角三角函数的定义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键．
作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角△ABD中根据三角函数的意义求解．
【解答】
解：如图，作BD⊥AC于D，
由勾股定理得，AB=32+22=13，AC=32+32=32，
∵S△ABC=12AC·BD=12×32·BD=12×1×3，
∴BD=22，
∴sin∠BAC=BDAB=2213=2626．
故选B．
7.【答案】B
【解析】解：由题意可知，
tanC=ADCD=2，
∵CD=2，
∴AD=4，
∴AD=BD=4，
∵AD⊥BD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AD=2AD=42．
故选：B．
利用题目信息得到AD的长度，然后根据AD和BD的长度判断出△ABD的形状，然后根据特殊直角三角形的三边关系得到AB的长度．
本题考查解直角三角形与三角形的高，能够充分利用含有45°角的直角三角形的三边关系是解答本题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵BD=12米，李明的眼睛高AB=1.6米，∠AOE=60°，
∴DB=AK，AB=KD=1.6米，∠CAK=30°，
∴tan30°=CKAK=CK12，
解得CK=43(米)，
即CD=CK+DK=43+1.6=(43+1.6)米．
故选：A．
根据已知得出AK=BD=12m，再利用tan30°=CKAK=CK12，进而得出CD的长．
本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意得出tan30°=CKAK=CK12解答是解答此题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：根据题意，在Rt△ABC，有AC=a，∠ACB=50°，且tan50°=ABAC，
则AB=AC×tan50°=a⋅tan50°，
故选：B．
根据题意，可得Rt△ABC，同时可知AC与∠ACB.根据三角函数的定义解答．
本题考查了解直角三角形的应用，要熟练掌握三角函数的定义．
10.【答案】A
【解析】解：由题意知，∠ABC=24°，∠ACB=90°，AC=32米，
∵tan∠ABC=tan24°=ACBC，
∴BC=ACtan24∘=320.45≈71.1(米)，
∵CD=16米，
∴BD=BC−CD=71.1−16=55.1米．
故选：A．
根据已知条件转化为直角三角形ABC中的有关量，由锐角三角函数的定义可求出BC，根据BD=BC−CD可得出答案．
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用仰俯角的定义将题目中的相关量转化为直角三角形ABC中的有关元素．
11.【答案】B
【解析】
【分析】
此题主要考查了三角函数坡度坡角问题及三角函数的定义.正确的理解三角函数的定义及坡度坡角的定义是解决问题的关键．
根据坡度坡角的定义和三角函数的定义逐项进行判断即可．
【解答】
解：A.因为坡度不是指角的度数，是指BC:AC，故此项错误；
B.斜坡AB的坡度是BC:AC=tan10∘,故此项正确；
C.由三角函数的定义可知AC=1.2tan10°米，故此项错误；
D.由三角函数的定义可知AB=1.2sin10°米，故此项错误，
故选：B．
12.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键.根据同角的余角相等得∠CAD=∠BCD，由cos∠BCD=CDBC可知BC=CDcos∠BCD=ℎcosα．
【解答】
解：∵CD⊥AB，AC⊥BC，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠CAD=∠BCD，
在Rt△BCD中，∵cos∠BCD=CDBC，
∴BC=CDcos∠BCD=ℎcosα．
13.【答案】6
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是三角函数定义，根据tanA=BCAC=43，即可得到AC=BCtanA，代入tan A=43，BC=8即可得到答案．
【解答】
解：∵tanA=BCAC=43，BC=8，
∴AC=BCtanA=8×34=6．
故答案为6．
14.【答案】4
【解析】
【分析】
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确得出∠A的度数是解题关键．
直接利用特殊角的三角函数值得出∠A的度数，再利用锐角三角函数关系得出答案．
【解答】
解：∵∠C=90°，sinA=12，
∴∠A=30°，
∴tanA=BCAC=33，
∴BC=AC·tanA=43×33=4．
15.【答案】24.2
【解析】略
16.【答案】72
【解析】解：由已知得，AB=12×28=14海里，∠MAB=30°，∠ABM=105°．
过点B作BN⊥AM于点N．
∵在直角△ABN中，∠BAN=30°
∴BN=12AB=7海里．
在直角△BNM中，∠MBN=45°，则直角△BNM是等腰直角三角形．即BN=MN=7海里，
∴BM=BN2+MN2=72+72=72(海里)．
故答案为：72．
过点B作BN⊥AM于点N，由已知可求得BN的长；再根据三角函数求BM的长．
本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．
17.【答案】解：由sinA=BCAB=45，BC=20，
得出：AB=25，
由勾股定理得出：AC=AB2−BC2=15，
则C△ABC=AB+BC+AC=25+20+15=60，
故S△ABC=12BC⋅AC=12×20×15=150．
【解析】本题考查了解直角三角形，由直角三角形已知元素求未知元素的过程，还考查了直角三角形的性质．
根据锐角三角函数的概念和勾股定理求解，根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系及勾股定理，然后再代入三角函数进行求解，最后求出△ABC的周长和面积．
18.【答案】解：不妨设锐角A、B是Rt△ABC中的锐角，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边．
(1)∵sinA=15，
∴ac=15，即c=5a．
∴b=c2−a2=26a.
∴cosA=bc=26a5a=265，
tanA=ab=a26a=612．
(2)∵tanA=815，
∴ab=815，即a=815b.
∴c=a2+b2=1715b，
∴sinA=ac=815b1715b=817，
cosA=bc=1517．
【解析】不妨设锐角A、B是Rt△ABC中的锐角，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边．
(1)由sinA=15，将b和c用a表示出来，再根据余弦函数和正切函数的定义得出答案即可；求∠A的其他三角函数值；
(2)由tanA=815，将a和c用b表示出来，再根据正弦函数和余弦函数的定义得出答案即可．
本题主要考查了锐角三角函数的定义，明确锐角三角函数的定义并结合勾股定理表示出未知的边长是解题的关键．
19.【答案】解：原式=(x+2x(x−2)−x−1(x−2)2)⋅xx−4
=((x−2)(x+2)x(x−2)2−x(x−1)x(x−2)2)⋅xx−4
=x2−4−x2+xx(x−2)2⋅xx−4
=1(x−2)2．
∵x=tan60°+2=3+2，
∴当x=3+2时，原式=13
【解析】化简后代入计算即可；
本题考查分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式，代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
20.【答案】解：如图，
在Rt△ACB中，∵∠C=90°，AC=23，AB=4，
∴BC=AB2−AC2=42−(23)2=2，
∴AB=2BC，
∴∠A=30°，∠B=60°．
【解析】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于基础题型．
利用勾股定理求出BC，根据AB=2BC，推出∠A=30°即可解决问题．
21.【答案】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
∴△ABD、△ACD均为直角三角形．
在Rt△ACD中，
∵tanC=ADCD=23，
∴AD=23CD．
在Rt△ACD中，∵AD2+CD2=AC2，AC=213，
∴(23CD)2+CD2=(213)2,
∴CD2=36，
∵CD>0，
∴CD=6，
∴AD=23CD=23×6=4．
在Rt△ABD中，∵∠B=45°，∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°−45°=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD=4．
∴BC=AD+CD=4+6=10．
【解析】过点A作AD⊥BC，垂足为D.得到Rt△ACD和Rt△ABD，先在Rt△ACD中根据正切定义和勾股定理求出AD、CD，再在Rt△ABD中求出BD，最后利用线段的和差关系求出BC．
本题考查了解直角三角形，构造直角三角形并掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
22.【答案】解：如图，过点B作地面的垂线，垂足为D，过点A作地面GD的平行线，交OC于点E，交BD于点F，
在Rt△AOE中，∠AOE=26°，OA=10，
则OE=OA⋅cos∠AOE≈10×0.90=9cm，
在Rt△ABF中，∠BOF=146°−90°−26°=30°，AB=8，
则BF=AB⋅sin∠BOF=8×12=4cm，
∴OG=BD−BF−OE=(175+15)−4−9=177cm，
答：旋转头的固定点O与地面的距离应为177cm．
【解析】通过作辅助线构造直角三角形，分别在Rt△ABF和在Rt△AOE中，根据锐角三角函数求出OE、BF，而点B到地面的高度为175+15=190cm，进而取出后OG即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确计算的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
23.【答案】解：由题意得：AD=5m，
在Rt△ACD中，tanA=CDAD=33
∴CD=533，又AB=1.75m
∴CE=CD+DE=CD+AB=533+1.75≈4.6m
答：树的高度约为4.6米．
【解析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键.树高相当于CE，问题也就转化为求CD和DE的和，而DE相当于小丽的身高，在Rt△ACD中利用三角函数的知识求CD就成了解题的关键．
24.【答案】解：(1)过D作DF⊥AE于F，如图：
由已知可得四边形ACDF是矩形，
∴DF=AC=200米，
∵点D在点E的北偏东45°，即∠DEF=45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DE=2DF=2002≈283(米)；
(2)由(1)知△DEF是等腰直角三角形，DE=283米，
∴EF=DF=200米，
∵点B在点A的北偏东30°，即∠EAB=30°，
∴∠ABC=30°，
∵AC=200米，
∴AB=2AC=400米，BC=AB2−AC2=2003米，
∵BD=100米，
∴经过点B到达点D路程为AB+BD=400+100=500米，
CD=BC+BD=(2003+100)米，
∴AF=CD=(2003+100)米，
∴AE=AF−EF=(2003+100)−200=(2003−100)米，
∴经过点E到达点D路程为AE+DE=2003−100+2002≈529米，
∵529>500，
∴经过点B到达点D较近．
【解析】(1)过D作DF⊥AE于F，由已知可得四边形ACDF是矩形，则DF=AC=200米，根据点D在点E的北偏东45°，即得DE=2DF=2002≈283(米)；
(2)由△DEF是等腰直角三角形，DE=283米，可得EF=DF=200米，而∠ABC=30°，即得AB=2AC=400米，BC=AB2−AC2=2003米，又BD=100米，即可得经过点B到达点D路程为AB+BD=500米，CD=BC+BD=(2003+100)米，从而可得经过点E到达点D路程为AE+DE=2003−100+2002≈529米，即可得答案．
本题考查解直角三角形−方向角问题，解题的关键是掌握含30°、45°角的直角三角形三边的关系．
25.【答案】解：延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE，
在Rt△AED中，AE=BC=40m，∠EAD=45°，
∴ED=AE·tan45°=40m，
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=40m，
∴AB=403≈69.3m，
则CD=EC−ED=AB−ED≈69.28−40=29.3m．
答：这两座建筑物AB、CD的高度分别为69.3m和29.3m．
【解析】延长CD，交过A点的水平线AE于点E，可得DE⊥AE，在直角三角形ABC中，由题意确定出AB的长，进而确定出EC的长，在直角三角形AED中，由题意求出ED的长，由EC−ED求出DC的长即可
此题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
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