数学选择性必修 第二册6.1 函数的单调性第1课时学案

第1课时　函数的单调性与导数

[教材要点]

要点　导数与函数的单调性

在某个区间(a，b)内，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：

状元随笔　(1)若在某区间上有有限个点使f ′(x)＝0，其余的点恒有f ′(x)＞0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．

(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f ′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f ′(x)不恒为0.

[基础自测]

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减．(　　)

(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．(　　)

(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(　　)

(4)判断函数单调性时，在区间内的个别点f′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性．(　　)

2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则(　　)

A．f′(3)>0    B．f′(3)<0

C．f′(3)＝0    D．f′(3)的符号不确定

3．导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)

4．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的，则甲是乙的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

题型一　导函数与原函数图象间的关系

例1　(1)设函数f(x)在定义域内可导，f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为(　　)

(2)(多选题)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个平面直角坐标系中，正确的是(　　)

方法归纳

函数与导数图象间的关系

判断函数与导数图象间的对应关系时，首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象，其次再注意以下两个方面：

(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．

(2)导数与函数图象的关系

跟踪训练1　(1)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)

(2)已知y＝x·f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(　　)

题型二　用导数研究不含参数的函数单调性

例2　判断下列函数的单调性

(1)f(x)＝x2－ln x；

(2)f(x)＝；

(3)f(x)＝x3＋.

方法归纳

用导数判断函数单调性的步骤

(1)确定函数f(x)的定义域；

(2)求导函数f′(x)；

(3)解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)；

(4)写出结论．

跟踪训练2　(1)已知函数f(x)＝x ln x，x∈(0，5)，下列判断正确的是(　　)

A．在(0，5)上是增函数

B．在(0，5)上是减函数

C．在(0，)上是减函数，在(，5)上是增函数

D．在(0，)上是增函数，在(，5)上是减函数

(2)函数f(x)＝sin x－x在(0，π)上单调________．(填“递增”、“递减”)．

题型三　用导数研究含参函数的单调性

例3　已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数f(x)的单调性．

变式探究　本例中的条件“a>0”改为“a∈R”，结果如何？

方法归纳

在讨论含有参数的函数单调性时，若f′(x)中的参数不容易判断其正负时，需要对参数进行分类，分类的标准：

(1)按导函数是否有零点分大类；

(2)在大类中再按导数零点的大小分小类；

(3)在小类中再按零点是否在定义域中分类．

跟踪训练3　已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，讨论f(x)的单调性．

易错辨析　讨论函数单调性时忽略定义域致错

例4　已知函数f(x)＝，判断函数f(x)的单调性．

解析：函数f(x)的定义域为(0，1)

f′(x)＝.

由f′(x)＝0，可得x＝e.

则当0<x<1或1<x<e时，

f′(x)<0，f(x)为减函数；

当x>e时，f′(x)>0，f(x)为增函数．

【易错警示】

[课堂十分钟]

1．已知f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(　　)

2．如果函数f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上f′(x)＜0，则在(0，＋∞)上f(x)的单调性是(　　)

A．递增    B．递减

C．先减后增    D．先增后减

3．“m<4”是“函数f(x)＝2x2－mx＋ln x在(0，＋∞)上单调递增”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

4．设f(x)＝x－sin x，则f(x)(　　)

A．既是奇函数又是减函数

B．既是奇函数又是增函数

C．是有零点的减函数

D．是没有零点的奇函数

5．设函数f(x)＝ax－1－ln x，讨论函数f(x)的单调性．

第1课时　函数的单调性与导数

新知初探·课前预习

要点

递增　递减　

[基础自测]

1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2．解析：由图象可知，函数f(x)在(1，5)上单调递减，则在(1，5)上有f′(x)<0，所以f′(3)<0.故选B.

答案：B

3．解析：∵当x>0时，f′(x)>0，当x<0时，f′(x)<0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数，故选D.

答案：D

4．解析：例如取f(x)＝x3(－1<x<1)，则f(x)＝x3在(－1，1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－1<x<1)，故甲是乙的充分不必要条件．故选A.

答案：A

题型探究·课堂解透

题型一

例1　解析：(1)由f(x)的图象可知，y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数，因此在x<0时，有f′(x)>0(即全部在x轴上方)，故排除A、C.从原函数图象上可以看出，在区间(0，x1)上原函数是增函数，f′(x)>0；在区间(x1，x2)上原函数是减函数，f′(x)<0；在区间(x2，＋∞)上原函数是增函数，f′(x)>0，故排除B，故选D.

(2)A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合，D不可能，故选ABC.

答案：(1)D　(2)ABC

跟踪训练1　解析：(1)当f′(x)<0时，函数f(x)单调递减，当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，则由导函数y＝f′(x)的图象可知：f(x)先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A、C，且f′(0)>0，所以在x＝0附近函数应单调递增，排除B.故选D.

(2)当x>0时，y＝x·f′(x)在[0，b]上恒大于等于零⇒f′(x)≥0，在[0，b]上恒成立，故f(x)在[0，b]上递增，当x≤0时，f′(x)≤0在(－∞，0]上恒成立，故f(x)在(－∞，0]上递减，只有D满足，故选D.

答案：(1)D　(2)D

题型二

例2　解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．

f′(x)＝2x－＝，

因为x>0，所以x＋1>0，

令f′(x)>0，解得x>，

所以函数f(x)在(，＋∞)上单调递增，

令f′(x)<0，解得0<x<，

所以函数f(x)在(0，)上单调递减．

(2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)

f′(x)＝＝，

因为x∈(－∞，2)所以ex>0，(x－2)2>0，

令f′(x)>0，得x>3，所以函数f(x)在(3，＋∞)上单调递增；

令f′(x)<0，得x<3，又x∈(－∞，2)

所以函数f(x)在(－∞，2)和(2，3)上单调递减．

(3)函数f(x)的定义域为(－∞，0)

f′(x)＝3x2－＝3(x2－)

令f′(x)>0，得x<－1或x>1，

所以函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增；

令f′(x)<0得－1<x<1且x≠0，

所以函数f(x)在(－1，0)和(0，1)上单调递减．

跟踪训练2　解析：(1)由f(x)＝x ln x，可得f′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1.由f′(x)>0且x∈(0，5)，可得<x<5；由f′(x)<0，可得0<x<，所以函数f(x)在(0，)上是减函数，在(，5)上是增函数，故选C.

(2)因为f(x)＝sin x－x，x∈(0，π)，

所以f′(x)＝cos x－1<0.

所以函数f(x)＝sin x－x在(0，π)上单调递减．

答案：(1)C　(2)递减

题型三

例3　解析：函数的定义域为(0，＋∞),

f′(x)＝ax－(a＋1)＋＝＝，

①当0<a<1时，>1，

∴x∈(0，1)和(，＋∞)时，f′(x)>0；

x∈时，f′(x)<0，

∴函数f(x)在(0，1)和上单调递增，在(1，)上单调递减；

②当a＝1时，＝1，

∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，

∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

③当a>1时，0<<1，

∴x∈(0，)和(1，＋∞)时，f′(x)>0；

x∈)时，f′(x)<0，

∴函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减，

综上，当0<a<1时，函数f(x)在(0，1)和上单调递增，在上单调递减；

当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

当a>1时，函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．

变式探究　解析：a>0时，讨论同上；

当a≤0时，ax－1<0，

∴x∈(0，1)时，f′(x)>0，x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，

∴函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，

综上，当a≤0时，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；

当0<a<1时，函数f(x)在(0，1)和(，＋∞)上单调递增，在上单调递减；

当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

当a>1时，函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．

跟踪训练3　解析：函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，

f′(x)＝ex(ex－a)＋ex·ex－a2＝2e2x－aex－a2

＝(2ex＋a)(ex－a)．

①若a＝0，则f(x)＝e2x，在(－∞，＋∞)上单调递增．

②若a>0，则由f′(x)＝0得x＝ln a.

当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；

当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.

故f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，

在(ln a，＋∞)上单调递增．

③若a<0，则由f′(x)＝0得x＝ln .

当x∈时，f′(x)<0；

当x∈时，f′(x)>0.

故f(x)在上单调递减，

在上单调递增．

[课堂十分钟]

1．解析：由导函数的图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数；当0<x<x1时，f′(x)<0，即函数f(x)为减函数；当x>x1时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数，观察选项易知C正确，故选C.

答案：C

2．解析：∵在(－∞，0)上f′(x)＜0，故f(x)在(－∞，0)上递减，

又函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，∴在(0，＋∞)上f(x)递增．故选A.

答案：A

3．解析：若f(x)＝2x2－mx＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，则f′(x)＝4x－m＋≥0对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，

∴有4x＋≥m对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，即m≤，而4x＋≥2＝4当且仅当x＝时等号成立，则m≤4.

∴“m<4”是“函数f(x)＝2x2－mx＋ln x在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件．故选A.

答案：A

4．解析：由题意知f(0)＝0，f(x)的定义域为R.

∵f(－x)＝－x－sin (－x)＝－(x－sin x)＝－f(x)，

∴f(x)是奇函数，

又f′(x)＝1－cos x≥0，

∴f(x)是增函数，

故选B.

答案：B

5．解析：f′(x)＝(x>0)，

当a≤0时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减；

当a>0时，令f′(x)＝0，则x＝，

∴当0<x<时，f′(x)<0；当x>时，f′(x)>0，

∴f(x)在上单调递减，在上单调递增；

综上，当a≤0时，f(x)单调递减区间是(0，＋∞)，无单调递增区间；

当a>0时，f(x)单调递减区间是，单调递增是(，＋∞)．