高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册6.1 函数的单调性优秀课件ppt

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1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间.
研究股票时，我们最关心的是股票的发展趋势(走高或走低)以及股票价格的变化范围(封顶或保底).从股票走势曲线图来看，股票有升有降.在数学上，函数曲线也有升有降，就是我们常说的单调性.那么，函数的单调性与导数有什么关系呢？
一、导数与函数单调性的关系
二、判断或证明函数的单调性
问题　已知函数：(1)y＝2x－1，(2)y＝－3x，(3)y＝2x，它们的导数的正负与它们的单调性之间有怎样的关系？
提示　(1)y′＝2>0，y＝2x－1是增函数.(2)y′＝－3<0，y＝－3x是减函数.(3)y′＝2xln 2>0，y＝2x是增函数.
导数的符号与函数单调性之间的关系
若在某个区间内，f′(x)≥0，且只在有限个点为0，则在这个区间内，函数y＝f(x)单调递增；若在某个区间内，f′(x)≤0，且只在有限个点为0，则在这个区间内，函数y＝f(x)单调递减.
注意点：“在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)”是“函数f(x)在此区间上为单调递增(减)”的充分条件，而不是必要条件.如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间上的单调性.例如函数f(x)＝x3，在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但因为f′(x)＝3x2，所以f′(0)＝0，即不是在定义域内的任意一点处都满足f′(x)>0.
例1　设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为
解析　由函数的图象，可知当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.
反思感悟　函数的图象与函数的导数关系的判断方法(1)对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减.(2)对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致.
跟踪训练1　f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是
解析　由导函数的图象可知函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，排除A，C，在(0,2)上单调递减，排除B，故选D.
例2　利用导数判断下列函数的单调性：
所以f′(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，
(3)f(x)＝x－ex(x>0).
解　因为f(x)＝x－ex，x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＝1－ex<0，所以f(x)＝x－ex在(0，＋∞)上为减函数.
反思感悟　利用导数判断或证明一个函数的单调性，实质上就是判断或证明不等式f′(x)>0(f′(x)<0)在定义域或给定区间上恒成立.一般步骤为：(1)确定函数的定义域(给定区间除外).(2)求导函数f′(x).(3)判断f′(x)的符号.(4)给出单调性结论.
因为0＜x＜2，所以ln x＜ln 2＜1，
即函数在区间(0,2)上单调递增.
例3　(1)函数f(x)＝ln x－4x＋1的单调递增区间为
(2)函数f(x)＝(x2＋2x)ex(x∈R)的单调递减区间为___________________.
解析　由f′(x)＝(x2＋4x＋2)ex<0，即x2＋4x＋2<0，
反思感悟　利用导数求函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求导函数f′(x).(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围.当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上单调递增；当f′(x)<0时，f(x)在相应的区间上单调递减.(4)结合定义域写出单调区间.
跟踪训练3　求函数f(x)＝3x2－2ln x的单调区间.
解　f(x)＝3x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)，
1.知识清单：(1)函数的单调性与导数正负的关系.(2)利用导数判断函数单调性、求单调区间的方法.2.方法归纳：数形结合、分类讨论、转化化归.3.常见误区：(1)研究函数的单调区间时，忘记求函数的定义域，没有在定义域范围内研究函数的单调区间.(2)将函数具有相同单调性的区间用“∪”连接.(3)混淆“函数的单调区间是(a，b)”和“函数在(a，b)上单调”.
解析　∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都单调递减，∴当x>0时，f′(x)<0，当x<0时，f′(x)<0.
1.函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是
2.函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为A.(2，＋∞) B.(－∞，2)C.(－∞，0) D.(0,2)
解析　f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，f′(x)<0，得03.函数f(x)＝x＋ln xA.在(0,6)上单调递增B.在(0,6)上单调递减
当00，∴f(x)在(0,6)上单调递增.
4.y＝x＋sin x在[0，π)上单调递____(填“增”或“减”).
解析　∵y′＝1＋cs x≥0恒成立，∴y＝x＋sin x在[0，π)上单调递增.
1.函数f(x)＝(x＋3)e-x的单调递增区间是A.(－∞，－2) B.(0,3)C.(1,4) D.(2，＋∞)
解析　∵f(x)＝(x＋3)e-x，∴f′(x)＝e-x－(x＋3)e-x＝e-x(－x－2)，由f′(x)>0得x<－2.
2.下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是A.y＝sin x B.y＝xexC.y＝x3－x D.y＝ln x－x
解析　B项中，y＝xex，y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)，当x∈(0，＋∞)时，y′>0，∴y＝xex在(0，＋∞)上单调递增.
3.函数y＝xcs x－sin x在下面哪个区间内是递增的
解析　由已知得y′＝cs x－xsin x－cs x＝－xsin x.当x∈(π，2π)时，－xsin x>0.即函数在(π，2π)上是递增的.
4.函数f(x)＝xcs x的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致是
解析　因为f(x)＝xcs x，所以f′(x)＝cs x－xsin x.因为f′(－x)＝f′(x)，所以f′(x)为偶函数，所以函数图象关于y轴对称，可排除C项.由f′(0)＝1可排除D项.而f′(1)＝cs 1－sin 1<0，排除B项.
5.已知函数f(x)＝x＋ (x>1)，则有A.f(2)解析　因为在定义域(1，＋∞)上有f′(x)＝1－ >0，所以f(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以f(2)6.设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是
解析　A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合.
7.已知函数f(x)＝ ＋3x－2ln x，则函数f(x)的单调递增区间为______.
令f′(x)>0，解得18.函数y＝f(x)在定义域 内可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)<0的解集为______________.
9.已知导函数f′(x)的下列信息：当x<0或x>7时，f′(x)>0；当0解　当x<0或x>7时，f′(x)>0，可知函数f(x)在区间(－∞，0)和(7，＋∞)上都是单调递增的；当010.确定下列函数的单调区间.(1)y＝x3－9x2＋24x；
解　y′＝3x2－18x＋24＝3(x－2)(x－4)，由y′>0得x<2或x>4；由y′<0得211.函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b<0时，f(x)是A.增函数B.减函数C.常数函数D.既不是增函数也不是减函数
解析　求得函数的导函数f′(x)＝3x2＋2ax＋b，导函数对应方程f′(x)＝0的Δ＝4(a2－3b)<0，所以f′(x)>0恒成立，故f(x)是增函数.
12.已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是
解析　由函数y＝xf′(x)的图象可知当x<－1时，xf′(x)<0，f′(x)>0，∴f(x)单调递增，当－10，f′(x)<0，此时f(x)单调递减，当01时，xf′(x)>0，f′(x)>0，此时f(x)单调递增，∴选C.
13.函数f(x)＝x＋ (b>0)的单调递减区间为___________________.
解析　函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
14.已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集是__________________.
(－∞，－1)∪(0,1)
解析　因为在(0，＋∞)上f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)＝0，且f(x)在(－∞，0)上单调递减，f(x)的草图如图所示，所以xf(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1).
15.(多选)若函数exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是A.f(x)＝2－x B.f(x)＝x2＋2C.f(x)＝3－x D.f(x)＝cs x
解析　设g(x)＝ex·f(x)，
对于B，g(x)＝(x2＋2)ex，g′(x)＝(x2＋2x＋2)ex＝[(x＋1)2＋1]ex>0，所以g(x)在定义域R上是增函数，故B正确；
对于D，g(x)＝ex·cs x，
16.设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).(1)确定a的值；
解　因为f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，
令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，
(2)求函数f(x)的单调区间.
令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.当03时，f′(x)>0，故f(x)的单调递增区间为(0,2)，(3，＋∞)；当2

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